Преобразование нулевого смещения

Преобразование с нулевым смещением - это преобразование одного распределения вероятностей в другое. Преобразование возникает в приложениях метода Штейна к вероятности и статистике.

Формальное определение [ править ]

Преобразование нулевого смещения может применяться как к дискретным, так и к непрерывным случайным величинам. Преобразование нулевого смещения функции плотности $f (t)$ , определенной для всех действительных чисел $t \geq 0$ , является функцией $g (s)$ , определяемой формулой

{\ Displaystyle г (s) = \ int _ {s} ^ {\ infty} tf (t) 1 (t> s) \, dt}

где s и т являются действительными числами и е ( т ) является функцией плотности или массы случайной величины Т . ^[1]

Эквивалентный, но альтернативный подход - определить природу преобразованной случайной величины путем оценки ожидаемого значения.

{\ displaystyle \ operatorname {E} (TH (T)) = \ sigma ^ {2} E (h (T ^ {z}))}

где правый верхний индекс обозначает случайную величину со смещением нуля, тогда как математическое ожидание левой стороны представляет исходную случайную величину. Пример каждого подхода приведен в разделе примеров ниже.

Если случайная величина дискретна, интеграл становится суммой от положительной бесконечности до s . Преобразование нулевого смещения берется для случайной величины с нулевым средним и дисперсией 1, которая может потребовать преобразования шкалы местоположения в случайную величину.

Приложения [ править ]

Преобразование с нулевым смещением возникает в приложениях, где требуется нормальное приближение. Подобно методу Стейна, преобразование нулевого смещения часто применяется к суммам случайных величин, где каждое слагаемое имеет конечную дисперсию и нулевое среднее значение.

Преобразование с нулевым смещением было применено к ценообразованию траншей CDO. ^[2]

Примеры [ править ]

1. Рассмотрим случайную величину B Бернулли ( p ) с Pr ( B = 0) = 1 - p . Преобразование нулевого смещения для T = ( B - p ):

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {E} (TH (T)) & = - p (1-p) H (-p) + (1-p) pH (1-p) \\ & = p (1-p) [H (1-p) -H (-p)] \\ & = p (1-p) \ int _ {- p} ^ {1-p} h (s) \, ds \ конец {выровнено}}}

где ч является производной H . Отсюда следует, что случайная величина S является непрерывной равномерной случайной величиной на носителе (- p , 1 - p ). В этом примере показано, как преобразование нулевого смещения сглаживает дискретное распределение в непрерывное.

2. Рассмотрим непрерывную форму на опоре . ${\ displaystyle (- {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {3}})}$

\int _{s}^{\sqrt {3}}t1(t>s)f(t)\,dt=\int _{s}^{\sqrt {3}}{\frac {t}{2{\sqrt {3}}}}\,dt={\frac {\sqrt {3}}{4}}-{\frac {s^{2}}{{\sqrt {3}}\,4}}{\text{ where }}-{\sqrt {3}}<s<{\sqrt {3}}

Этот пример показывает, что преобразование нулевого смещения берет непрерывные симметричные распределения и делает их унимодулярными.

Ссылки [ править ]

^ Голдштейн, Ларри; Reinert, Gesine (1997), «Метод Штейна и преобразование нулевого смещения с применением к простой случайной выборке» (PDF) , Annals of Applied Probability , 7 (4): 935–952
^ Каруи, Н. Эль; Цзяо, Ю. (2009). «Метод Штейна и преобразование нулевой предвзятости для ценообразования транша CDO». Финансы и стохастика . 13 (2): 151–180. DOI : 10.1007 / s00780-008-0084-6 .

[1] Голдштейн, Ларри; Reinert, Gesine (1997), «Метод Штейна и преобразование нулевого смещения с применением к простой случайной выборке» (PDF) , Annals of Applied Probability , 7 (4): 935–952

[2] Каруи, Н. Эль; Цзяо, Ю. (2009). «Метод Штейна и преобразование нулевой предвзятости для ценообразования транша CDO». Финансы и стохастика . 13 (2): 151–180. DOI : 10.1007 / s00780-008-0084-6 .

[1]