Абстрактная индексная нотация - это математическая нотация для тензоров и спиноров, которая использует индексы для обозначения их типов, а не их компонентов в конкретном базисе. Индексы - это просто заполнители, не связанные с какой-либо базой и, в частности, не числовые. Таким образом, его не следует путать с исчислением Риччи . Обозначения были введены Роджером Пенроузом как способ использовать формальные аспекты соглашения Эйнштейна о суммировании, чтобы компенсировать сложность описания сокращений и ковариантного дифференцирования в современных абстрактных тензорных обозначениях, сохраняя при этом явную ковариантность используемых выражений.
Позвольте быть векторное пространство и его двойственный . Рассмотрим, например, ковариантный тензор второго порядка . Тогда можно отождествить с билинейной формой на . Другими словами, это функция двух аргументов, которая может быть представлена в виде пары слотов :
Обозначение абстрактного индекса - это просто маркировка слотов латинскими буквами, которые не имеют значения, кроме их обозначения как метки слотов (т. Е. Они не являются числовыми):
Сжатия тензора (или след) между двумя тензорами представлены повторением метки индекса, где одна метки контравариантна (ые верхний индексом , соответствующий фактором ) и одна метки ковариантна (а нижний индексом , соответствующим фактором ). Так, например,
является следом тензора на его последних двух слотах. Такой способ представления тензорных сокращений повторяющимися индексами формально аналогичен соглашению Эйнштейна о суммировании . Однако, поскольку индексы не являются числовыми, это не подразумевает суммирования: скорее, это соответствует абстрактной базисно-независимой операции трассировки (или естественному спариванию ) между тензорными факторами типа и факторами типа .
Абстрактные индексы и тензорные пространства [ править ]
Общий однородный тензор - это элемент тензорного произведения копий и , например
Обозначьте каждый фактор в этом тензорном произведении латинскими буквами в верхнем положении для каждого контравариантного фактора и в нижнем положении для каждого ковариантного положения. Таким образом, напишите продукт как
или просто
Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются аналогичными обозначениями, например:
Сокращение [ править ]
В общем, всякий раз, когда один контравариантный и один ковариантный факторы встречаются в тензорном произведении пространств, существует ассоциированное сжатие (или следовое ) отображение. Например,
- след на первых двух пространствах тензорного произведения.
это след на первом и последнем пробелах.
Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трассировки дается формулой
а второй
С любым тензорным произведением в одном векторном пространстве связаны карты плетения . Например, карта плетения
меняет местами два тензорных множителя (так что его действие на простые тензоры определяется выражением ). В общем, карты плетения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметрической группы , действуя путем перестановки тензорных множителей. Здесь мы используем для обозначения карты плетения, связанной с перестановкой (представленной как произведение непересекающихся циклических перестановок ).
Карты плетения важны в дифференциальной геометрии , например, для выражения тождества Бианки . Здесь пусть обозначает тензор Римана, рассматриваемый как тензор в . Тогда первое тождество Бьянки утверждает, что
Обозначение абстрактного индекса обрабатывает плетение следующим образом. На конкретном тензорном произведении фиксируется порядок абстрактных индексов (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представлена в обозначениях путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана
идентичность Бьянки становится
Антисимметризация и симметризация [ править ]
Общий тензор может быть антисимметричным или симметризованным, и существуют соответствующие обозначения.
Продемонстрируем обозначения на примере. Антисимметризуем тензор типа (0,3) , где - симметрическая группа на трех элементах.
Точно так же мы можем симметризовать:
См. Также [ править ]
- Графическое обозначение Пенроуза
- Обозначения Эйнштейна
- Обозначение индекса
- Тензор
- Антисимметричный тензор
- Повышение и понижение показателей
- Ковариация и контравариантность векторов
Ссылки [ править ]
- Роджер Пенроуз , Дорога к реальности: Полное руководство по Законам Вселенной , 2004, есть глава , объясняющий его.
- Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер , Спиноры и пространство-время , том I, двухспиновое исчисление и релятивистские поля .
|
Глоссарий тензорной теории |
- система координат
- полилинейная алгебра
- Евклидова геометрия
- тензорная алгебра
- диадическая алгебра
- дифференциальная геометрия
- внешнее исчисление
- тензорное исчисление
| - механика сплошной среды
- электромагнетизм
- явления переноса
- общая теория относительности
- компьютерное зрение
|
|
- индексное обозначение
- многоиндексная запись
- Обозначения Эйнштейна
- Исчисление Риччи
- Графическое обозначение Пенроуза
- Обозначение Фойгта
- обозначение абстрактного индекса
- тетрада (индексное обозначение)
- Обозначения Ван дер Вардена
|
- тензор (внутреннее определение)
- тензорное поле
- тензорная плотность
- тензоры в криволинейных координатах
- смешанный тензор
- антисимметричный тензор
- симметричный тензор
- тензорный оператор
- тензорное расслоение
- двухточечный тензор
|
- тензорное произведение
- внешний продукт
- тензорное сжатие
- транспонировать (тензоры 2-го порядка)
- повышение и понижение показателей
- Звездный оператор Ходжа
- ковариантная производная
- внешняя производная
- внешняя ковариантная производная
- Производная Ли
|
- измерение
- основа
- вектор , векторное пространство
- многовекторный
- ковариация и контравариантность векторов
- линейная карта
- матрица
- спинор
- Формализм Картана (физика)
- дифференциальная форма
- внешняя форма
- форма подключения
- геодезический
- многообразие
- пучок волокон
- Леви-Чивита связь
- аффинная связь
|
- Дельта Кронекера
- Символ Леви-Чивита
- метрический тензор
- тензор неметричности
- Символы Кристоффеля
- Кривизна Риччи
- Тензор кривизны Римана
- Тензор Вейля
- тензор кручения
| - момент инерции
- тензор углового момента
- спиновый тензор
- Тензор напряжений Коши
- тензор энергии-импульса
- ЭМ тензор
- тензор напряженности глюонного поля
- Тензор Эйнштейна
- метрический тензор (ОТО)
|
|
- Леонард Эйлер
- Карл Фридрих Гаусс
- Огюстен-Луи Коши
- Герман Грассманн
- Грегорио Риччи-Курбастро
- Туллио Леви-Чивита
- Ян Арнольдус Схоутен
- Бернхард Риманн
- Элвин Бруно Кристоффель
- Вольдемар Фойгт
- Эли Картан
- Герман Вейль
- Альберт Эйнштейн
|
|
- Новый разум императора (1989)
- Тени разума (1994)
- Дорога к реальности (2004)
- Циклы времени (2010)
- Мода, вера и фантазия в новой физике Вселенной (2016)
|
- Природа пространства и времени (со Стивеном Хокингом ) (1996)
- Большое, маленькое и человеческий разум (с Эбнером Шимони , Нэнси Картрайт и Стивеном Хокингом) (1997)
- Белый Марс или, Освобожденный разум (с Брайаном У. Олдиссом ) (1999)
|
- Методы дифференциальной топологии в теории относительности (1972)
- Спиноры и пространство-время: Том 1, Двухспинорное исчисление и релятивистские поля (с Вольфгангом Риндлером ) (1987)
- Спиноры и пространство-время: Том 2, Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени (с Вольфгангом Риндлером) (1988)
|
- Твисторная теория
- Спиновая сеть
- Обозначение абстрактного индекса
- Бомба черной дыры
- Геометрия пространства-времени
- Космическая цензура
- Гипотеза кривизны Вейля
- Неравенства Пенроуза
- Интерпретация квантовой механики Пенроуза
- Обратное преобразование Мура – Пенроуза
- Формализм Ньюмана – Пенроуза
- Диаграмма Пенроуза
- Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях
- Неравенство Пенроуза
- Процесс Пенроуза
- Плитка Пенроуза
- Лестница Пенроуза
- Графическое обозначение Пенроуза
- Преобразование Пенроуза
- Эффект Пенроуза-Террелла
- Организованная объективная редукция / аргумент Пенроуза – Лукаса
- ФЕЛИКС эксперимент
- Захваченная поверхность
- Андромеда парадокс
- Конформная циклическая космология
|
- Лайонел Пенроуз (отец)
- Оливер Пенроуз (брат)
- Джонатан Пенроуз (брат)
- Ширли Ходжсон (сестра)
- Джон Бересфорд Литес (дедушка)
- Проблема с освещением
- Квантовый разум
|