Обозначение абстрактного индекса

Абстрактная индексная нотация - это математическая нотация для тензоров и спиноров, которая использует индексы для обозначения их типов, а не их компонентов в конкретном базисе. Индексы - это просто заполнители, не связанные с какой-либо базой и, в частности, не числовые. Таким образом, его не следует путать с исчислением Риччи . Обозначения были введены Роджером Пенроузом как способ использовать формальные аспекты соглашения Эйнштейна о суммировании, чтобы компенсировать сложность описания сокращений и ковариантного дифференцирования в современных абстрактных тензорных обозначениях, сохраняя при этом явную ковариантность используемых выражений.

Позвольте быть векторное пространство и его двойственный . Рассмотрим, например, ковариантный тензор второго порядка . Тогда можно отождествить с билинейной формой на . Другими словами, это функция двух аргументов, которая может быть представлена ​​в виде пары слотов :${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle h \ in V ^ {*} \ otimes V ^ {*}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle h = h (-, -).}$

Обозначение абстрактного индекса - это просто маркировка слотов латинскими буквами, которые не имеют значения, кроме их обозначения как метки слотов (т. Е. Они не являются числовыми):

${\ displaystyle h = h_ {ab}.}$

Сжатия тензора (или след) между двумя тензорами представлены повторением метки индекса, где одна метки контравариантна (ые верхний индексом , соответствующий фактором ) и одна метки ковариантна (а нижний индексом , соответствующим фактором ). Так, например,${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

${\ displaystyle {t_ {ab}} ^ {b}}$

является следом тензора на его последних двух слотах. Такой способ представления тензорных сокращений повторяющимися индексами формально аналогичен соглашению Эйнштейна о суммировании . Однако, поскольку индексы не являются числовыми, это не подразумевает суммирования: скорее, это соответствует абстрактной базисно-независимой операции трассировки (или естественному спариванию ) между тензорными факторами типа и факторами типа .${\ displaystyle t = {t_ {ab}} ^ {c}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

Абстрактные индексы и тензорные пространства [ править ]

Общий однородный тензор - это элемент тензорного произведения копий и , например${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Обозначьте каждый фактор в этом тензорном произведении латинскими буквами в верхнем положении для каждого контравариантного фактора и в нижнем положении для каждого ковариантного положения. Таким образом, напишите продукт как${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

или просто

${\displaystyle {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}.}$

Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются аналогичными обозначениями, например:

${\displaystyle {{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\in {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

Сокращение [ править ]

В общем, всякий раз, когда один контравариантный и один ковариантный факторы встречаются в тензорном произведении пространств, существует ассоциированное сжатие (или следовое ) отображение. Например,

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

- след на первых двух пространствах тензорного произведения.

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$

это след на первом и последнем пробелах.

Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трассировки дается формулой

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:{{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\mapsto {{{h^{a}}_{ac}}^{d}}_{e}}$

а второй

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:{{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\mapsto {{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{a}.}$

Плетение [ править ]

С любым тензорным произведением в одном векторном пространстве связаны карты плетения . Например, карта плетения

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

меняет местами два тензорных множителя (так что его действие на простые тензоры определяется выражением ). В общем, карты плетения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметрической группы , действуя путем перестановки тензорных множителей. Здесь мы используем для обозначения карты плетения, связанной с перестановкой (представленной как произведение непересекающихся циклических перестановок ).${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$${\displaystyle \tau _{\sigma }}$${\displaystyle \sigma }$

Карты плетения важны в дифференциальной геометрии , например, для выражения тождества Бианки . Здесь пусть обозначает тензор Римана, рассматриваемый как тензор в . Тогда первое тождество Бьянки утверждает, что${\displaystyle R}$${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.}$

Обозначение абстрактного индекса обрабатывает плетение следующим образом. На конкретном тензорном произведении фиксируется порядок абстрактных индексов (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представлена ​​в обозначениях путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана

${\displaystyle R={R_{abc}}^{d}\in {V_{abc}}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}$

идентичность Бьянки становится

${\displaystyle {R_{abc}}^{d}+{R_{cab}}^{d}+{R_{bca}}^{d}=0.}$

Антисимметризация и симметризация [ править ]

Общий тензор может быть антисимметричным или симметризованным, и существуют соответствующие обозначения.

Продемонстрируем обозначения на примере. Антисимметризуем тензор типа (0,3) , где - симметрическая группа на трех элементах.${\displaystyle \omega _{abc}}$${\displaystyle \Sigma _{3}}$

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \Sigma _{3}}(-1)^{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

Точно так же мы можем симметризовать:

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \Sigma _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

См. Также [ править ]

• Графическое обозначение Пенроуза
• Обозначения Эйнштейна
• Обозначение индекса
• Тензор
• Антисимметричный тензор
• Повышение и понижение показателей
• Ковариация и контравариантность векторов

Ссылки [ править ]

• Роджер Пенроуз , Дорога к реальности: Полное руководство по Законам Вселенной , 2004, есть глава , объясняющий его.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер , Спиноры и пространство-время , том I, двухспиновое исчисление и релятивистские поля .