Ковариация и контравариантность векторов

А  вектор, v , представленный через

касательная база

  e ₁ , e ₂ , e ₃ на координатные кривые ( слева ),

двойной базис, ковекторный базис или взаимный базис

  e ¹ , e ² , e ³ к координатные поверхности ( справа ),

в трехмерных общих криволинейных координатах ( q ¹ , q ² , q ³ ) , набор чисел для определения точки в пространстве позиций . Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис ортогонален . ^[1]

В полилинейного алгебры и тензорного анализа , ковариации и контрвариации описывают , как количественное описание некоторых геометрических или физических лиц изменений с изменением базиса .

В физике под базисом иногда понимают набор опорных осей. Изменение масштаба на исходных осях соответствует изменению единиц в задаче. Так , например, путем изменения масштаба от метров до сантиметров (то есть, разделив масштаб опорных осей на 100), компоненты измеренной скорости вектора являются умноженное на 100. Векторы демонстрируют такое поведение изменения масштаба обратно к изменениям в масштабе, опорные оси и, следовательно, называются контравариантными . В результате векторы часто имеют единицы расстояния или расстояния с другими единицами (например, скорость имеет единицы расстояния, деленные на время).

Напротив, ковекторы (также называемые двойными векторами ) обычно имеют единицы, обратные расстоянию, или обратные расстоянию с другими единицами. Примером ковектора является градиент , который имеет единицы пространственной производной или расстояние ^-1 . Компоненты ковекторов изменяются так же, как изменения масштаба опорных осей, и поэтому называются ковариантными .

Третье понятие, связанное с ковариацией и контравариантностью, - это инвариантность . Примером физической наблюдаемой , которая не изменяется при изменении масштаба на опорных осях, является масса частицы, которая имеет единицы массы (то есть никакие единицы расстояния). Единичное скалярное значение массы не зависит от изменений масштаба исходных осей и, следовательно, называется инвариантным .

Под более общими изменениями в базе:

• Контравариантный вектор или касательный вектор (часто сокращенно обозначаемый просто вектором , например вектор направления или вектор скорости) имеет компоненты, которые противоположно изменяются при изменении базиса для компенсации. То есть матрица, преобразующая компоненты вектора, должна быть обратной по отношению к матрице, преобразующей базисные векторы. Компоненты векторов (в отличие от ковекторов) называются контравариантными . Примеры векторов с контравариантными компонентами включают положение объекта относительно наблюдателя или любую производную положения по времени, включая скорость, ускорение и рывок . ВВ обозначениях Эйнштейна контравариантные компоненты обозначаются верхними индексами, как в

  ${\ displaystyle \ mathbf {v} = v ^ {i} \ mathbf {e} _ {i}}$ (примечание: неявное суммирование по индексу "i")

• Ковариантный вектор или котангенс-вектор (часто обозначаемый как ковектор ) имеет компоненты, которые изменяются вместе с изменением базиса. То есть компоненты должны быть преобразованы той же матрицей, что и изменение базовой матрицы. Компоненты ковекторов (в отличие от компонентов векторов) называются ковариантными . Примеры ковариантных векторов обычно появляются при градиенте функции. В обозначениях Эйнштейна ковариантные компоненты обозначаются нижними индексами, как в

  ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} (\ mathbf {v}) = v_ {i}.}$

Криволинейные системы координат, такие как цилиндрические или сферические координаты, часто используются в физических и геометрических задачах. С любой системой координат связан естественный выбор базиса координат для векторов, базирующихся в каждой точке пространства, а ковариация и контравариантность особенно важны для понимания того, как описание координат вектора изменяется при переходе от одной системы координат к другой.

Термины ковариантный и контравариантный были введены Джеймсом Джозефом Сильвестром в 1851 г. ^{[2] [3]} в контексте теории ассоциированных алгебраических форм. Тензоры - это объекты полилинейной алгебры, которые могут иметь аспекты как ковариантности, так и контравариантности.

В лексиконе теории категорий , ковариация и контрвариантность является свойством функторов ; К сожалению, именно объекты с нижним индексом (ковекторы) обычно имеют откаты , которые являются контравариантными, в то время как объекты (векторы) с более высоким индексом вместо этого имеют обратные направления , которые являются ковариантными. Этого терминологического конфликта можно избежать, назвав контравариантные функторы «кофункторами» - в соответствии с терминологией «ковекторов» и продолжив традицию трактовки векторов как концепта, а ковекторов как коконцепта.

Введение [ править ]

В физике вектор обычно возникает как результат измерения или серии измерений и представляется в виде списка (или кортежа ) чисел, таких как

${\ displaystyle (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}).}$

Цифры в списке зависят от выбора системы координат . Например, если вектор представляет собой положение по отношению к наблюдателю ( положение вектора ), то система координат может быть получена из системы жестких стержней, или опорных осей, вдоль которых компоненты v ₁ , об ₂ , и v ₃ являются измеряется. Чтобы вектор представлял геометрический объект, должна быть возможность описать, как он выглядит в любой другой системе координат. Иными словами, компоненты векторов будут определенным образом преобразовываться при переходе от одной системы координат к другой.

Контравариантным вектор имеет компоненты , которые «преобразуется как координаты делают» при изменении координат (и так обратно к преобразованию опорных осей), в том числе вращения и дилатации. Сам вектор при этих операциях не меняется.; вместо этого компоненты вектора изменяются таким образом, что отменяет изменение пространственных осей, точно так же, как изменяются координаты. Другими словами, если опорные оси были повернуты в одном направлении, компонентное представление вектора повернулось бы точно в противоположном направлении. Точно так же, если опорные оси были растянуты в одном направлении, компоненты вектора, как и координаты, уменьшились бы точно компенсирующим образом. Математически, если система координат претерпевает преобразование, описываемое обратимой матрицей M , так что вектор координат x преобразуется в , то контравариантный вектор v должен быть преобразован аналогичным образом через${\ displaystyle \ mathbf {x} '= M \ mathbf {x}}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} '= М \ mathbf {v}}$. Это важное требование - то, что отличает контравариантный вектор от любой другой тройки физически значимых величин. Например, если v состоит из x -, y - и z -компонент скорости , то v является контравариантным вектором: если координаты пространства растягиваются, вращаются или скручиваются, то компоненты скорости преобразуются в так же. Примеры контравариантных векторов включают положение , смещение , скорость , ускорение , импульс и силу .

Напротив, ковариантный вектор имеет компоненты, которые изменяются противоположно координатам или, что то же самое, преобразуются, как опорные оси. Например, компоненты вектора градиента функции

${\ displaystyle \ nabla f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {1}}} {\ widehat {x}} ^ {1} + {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {2}}} {\ widehat {x}} ^ {2} + {\ frac {\ partial f} {\ partial x ^ {3}}} {\ widehat {x}} ^ {3}}$

трансформируются, как сами опорные оси.

Определение [ править ]

Общая формулировка ковариации и контравариантности относится к тому, как компоненты вектора координат преобразуются при изменении базиса ( пассивное преобразование ). Таким образом, пусть V - векторное пространство размерности n над полем скаляров S , и пусть каждое из f = ( X ₁ , ..., X _n ) и f ′ = ( Y ₁ , ..., Y _n ) будет основа из V . ^{[примечание 1]} Также позвольте изменению основыот f до f ′ задается формулой

${\ displaystyle \ mathbf {f} \ mapsto \ mathbf {f} '= \ left (\ sum _ {i} a_ {1} ^ {i} X_ {i}, \ dots, \ sum _ {i} a_ { n} ^ {i} X_ {i} \ right) = \ mathbf {f} A}$

( 1 )

для некоторой обратимой матрицы A размера n × n с элементами . Здесь каждый вектор Y _J из F основе 'представляет собой линейную комбинацию векторов X _I из ф основе, так что${\ displaystyle a_ {j} ^ {i}}$

${\ displaystyle Y_ {j} = \ sum _ {i} a_ {j} ^ {i} X_ {i}.}$

Контравариантное преобразование [ править ]

Вектор в V выражается однозначно в качестве линейной комбинации элементов в ф основе как${\ displaystyle v}$${\ displaystyle X_ {i}}$

${\ displaystyle v = \ sum _ {i} v ^ {i} [\ mathbf {f}] X_ {i},}$

( 2 )

где v ^я [ е ] являются скаляры в S известны как компоненты из V в ф основе. Обозначим вектор-столбец компонентов v через v [ f ]:

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}$

так что ( 2 ) можно переписать в виде матричного произведения

${\displaystyle v=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Вектор v также может быть выражен через базис f ', так что

${\displaystyle v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}$

Однако, поскольку сам вектор v инвариантен относительно выбора базиса,

${\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}$

Инвариантность v в сочетании с соотношением ( 1 ) между f и f ′ означает, что

${\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=\mathbf {f} A\,\mathbf {v} [\mathbf {f} A],}$

давая правило трансформации

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f'} ]=\mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Что касается компонентов,

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[\mathbf {f} ]}$

где коэффициенты являются записи по обратной матрицы из A .${\displaystyle {\tilde {a}}_{j}^{i}}$

Поскольку компоненты вектора v преобразуются с инверсией матрицы A , говорят, что эти компоненты преобразуются контрвариантно при изменении базиса.

То, как А связывает две пары, показано стрелкой на следующей неформальной диаграмме. Переворот стрелки указывает на контравариантное изменение:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\v[\mathbf {f} ]&\longleftarrow v[\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}$

Ковариантное преобразование [ править ]

Линейный функционал α на V выражено однозначно с точки зрения ее компонентов (скаляров в S ) в ф основе,

${\displaystyle \alpha (X_{i})=\alpha _{i}[\mathbf {f} ],\quad i=1,2,\dots ,n.}$

Эти компоненты действие & alpha ; на базисных векторах X _I из ф основы.

При замене базиса с f на f ′ ( 1 ) компоненты преобразуются так, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{i}[\mathbf {f} A]&=\alpha (Y_{i})\\&=\alpha \left(\sum _{j}a_{i}^{j}X_{j}\right)\\&=\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha (X_{j})\\&=\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha _{j}[\mathbf {f} ].\end{aligned}}}$

( 3 )

Обозначим вектор-строку компонент α через α [ f ]:

${\displaystyle \mathbf {\alpha } [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\alpha _{1}[\mathbf {f} ],\alpha _{2}[\mathbf {f} ],\dots ,\alpha _{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}$

так что ( 3 ) можно переписать в виде матричного произведения

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A.}$

Поскольку компоненты линейного функционала α преобразуются с матрицей A , говорят, что эти компоненты преобразуются ковариантно при изменении базиса.

То, как А связывает две пары, показано стрелкой на следующей неформальной диаграмме. Указывается ковариантная связь, поскольку стрелки движутся в одном направлении:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\\alpha [\mathbf {f} ]&\longrightarrow \alpha [\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}$

Если бы вместо этого использовалось представление вектора столбца, законом преобразования было бы транспонирование

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} A]=A^{\mathrm {T} }\alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} ].}$

Координаты [ править ]

Выбор базиса f на векторном пространстве V однозначно определяет набор координатных функций на V с помощью

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} ](v)=v^{i}[\mathbf {f} ].}$

Следовательно, координаты на V контравариантны в том смысле, что

${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{k=1}^{n}{\tilde {a}}_{k}^{i}x^{k}[\mathbf {f} ].}$

И наоборот, система из n величин v ^i, которые преобразуются подобно координатам x ⁱ на V, определяет контравариантный вектор. Тогда система из n величин, которые преобразуются противоположно координатам, является ковариантным вектором.

Эта формулировка контравариантности и ковариантности часто более естественна в приложениях, в которых существует координатное пространство ( многообразие ), на котором векторы живут как касательные векторы или котангенсные векторы . Учитывая локальную систему координат x ⁱ на коллекторе, опорными осями для системы координат являются векторные поля

${\displaystyle X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}.}$

Это дает начало кадру f = ( X ₁ , ..., X _n ) в каждой точке координатного патча.

Если y ⁱ - другая система координат и

${\displaystyle Y_{1}={\frac {\partial }{\partial y^{1}}},\dots ,Y_{n}={\frac {\partial }{\partial y^{n}}},}$

то репер f ' связан с репером f обратной матрицей якобиана координатного перехода:

${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} J^{-1},\quad J=\left({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)_{i,j=1}^{n}.}$

Или в индексах

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

Касательный вектор - это по определению вектор, который представляет собой линейную комбинацию координатных частей . Таким образом, касательный вектор определяется как${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Такой вектор контравариантен относительно смены системы отсчета. При изменении системы координат имеем

${\displaystyle \mathbf {v} \left[\mathbf {f} '\right]=\mathbf {v} \left[\mathbf {f} J^{-1}\right]=J\,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$

Следовательно, компоненты касательного вектора преобразуются через

${\displaystyle v^{i}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ].}$

Соответственно, система из n величин v ^i, зависящих от координат, которые преобразуются таким образом при переходе от одной системы координат к другой, называется контравариантным вектором.

Ковариантные и контравариантные компоненты вектора с метрикой [ править ]

В конечномерном векторном пространстве V над полем K с симметричной билинейной формой g  : V × V → K (которую можно назвать метрическим тензором ) различие между ковариантными и контравариантными векторами мало, поскольку билинейная форма позволяет отождествлять ковекторы с векторами. То есть вектор v однозначно определяет ковектор α через

${\displaystyle \alpha (w)=g(v,w)}$

для всех векторов w . И наоборот, каждый ковектор α определяет уникальный вектор v этим уравнением. Из-за этого отождествления векторов с ковекторами можно говорить о ковариантных компонентах или контравариантных компонентах вектора, то есть они являются просто представлениями одного и того же вектора с использованием взаимного базиса .

Учитывая базис f = ( X ₁ , ..., X _n ) в V , существует единственный взаимный базис f ^# = ( Y ¹ , ..., Y ⁿ ) в V, определяемый требованием, чтобы

${\displaystyle Y^{i}(X_{j})=\delta _{j}^{i},}$

Кронекера . В терминах этих базисов любой вектор v можно записать двумя способами:

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]\\&=\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f} ]Y^{i}=\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].\end{aligned}}}$

Компоненты V ^я [ е ] являемся контравариантными компонентами вектора V в базисе е , а компоненты v _я [ е ] являемся ковариантными компонентами из V в базисе е . Терминология оправдана, поскольку при смене основы

${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ],\quad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]=A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].}$

Евклидова плоскость [ править ]

В евклидовой плоскости скалярное произведение позволяет отождествлять векторы с ковекторами. Если - базис, то дуальный базис удовлетворяет${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=1,&\quad \mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=0\\\mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{1}=0,&\quad \mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=1.\end{aligned}}}$

Таким образом, e ¹ и e ₂ перпендикулярны друг другу, как и e ² и e ₁ , а длины e ¹ и e ² нормированы относительно e ₁ и e ₂ , соответственно.

Пример [ править ]

Например, ^[4] предположим, что нам дан базис e ₁ , e _2, состоящий из пары векторов, образующих угол 45 ° друг с другом, так что e ₁ имеет длину 2, а e ₂ - длину 1. Тогда двойственный базисные векторы задаются следующим образом:

• e ² - результат поворота e ₁ на угол 90 ° (где смысл измеряется, предполагая, что пара e ₁ , e ₂ ориентирована положительно), а затем масштабирования так, чтобы e ² ⋅ e ₂ = 1 .
• e ¹ является результатом поворота e ₂ на угол 90 ° с последующим изменением масштаба так, что выполняется e ¹ ⋅ e ₁ = 1 .

Применяя эти правила, находим

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{1}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{2}}$

и

${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}.}$

Таким образом, изменение базисной матрицы при переходе от исходного базиса к обратному базису равно

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}},}$

поскольку

${\displaystyle [\mathbf {e} ^{1}\ \mathbf {e} ^{2}]=[\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}]{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}}.}$

Например, вектор

${\displaystyle v={\frac {3}{2}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}}$

вектор с контравариантными компонентами

${\displaystyle v^{1}={\frac {3}{2}},\quad v^{2}=2.}$

Ковариантные компоненты получаются приравниванием двух выражений для вектора v :

${\displaystyle v=v_{1}\mathbf {e} ^{1}+v_{2}\mathbf {e} ^{2}=v^{1}\mathbf {e} _{1}+v^{2}\mathbf {e} _{2}}$

так

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}&=R^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}4&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}6+2{\sqrt {2}}\\2+{\frac {3}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}.}$

Трехмерное евклидово пространство [ править ]

В трехмерном евклидовом пространстве , можно также определить , явно двойственную основу для заданного набора базисных векторов е ₁ , е ₂ , е ₃ из E ₃ , которые не обязательно предполагается , должны быть ортогональными , ни единичной нормы. Двойственные базисные векторы:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})}};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})}};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}}.}$

Даже когда e _i и e ⁱ не ортонормированы , они все равно взаимно обратны:

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i},}$

Тогда контравариантные компоненты любого вектора V могут быть получены с помощью скалярного произведения из V с двумя базисными векторами:

${\displaystyle q^{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad q^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad q^{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{3}.}$

Точно так же ковариантные компоненты v могут быть получены из скалярного произведения v с базисными векторами, а именно.

${\displaystyle q_{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad q_{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad q_{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{3}.}$

Тогда v можно выразить двумя (взаимными) способами, а именно.

${\displaystyle \mathbf {v} =q^{i}\mathbf {e} _{i}=q^{1}\mathbf {e} _{1}+q^{2}\mathbf {e} _{2}+q^{3}\mathbf {e} _{3}.}$

или же

${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q_{1}\mathbf {e} ^{1}+q_{2}\mathbf {e} ^{2}+q_{3}\mathbf {e} ^{3}}$

Комбинируя указанные выше соотношения, имеем

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}}$

и мы можем конвертировать между базисом и дуальным базисом с помощью

${\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})q^{j}}$

и

${\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})q_{j}.}$

Если базисные векторы ортонормированы , то они такие же, как дуальные базисные векторы.

Общие евклидовы пространства [ править ]

В более общем смысле, в n -мерном евклидовом пространстве V , если базис

${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},}$

взаимная база равна (двойные индексы суммируются),

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$

где коэффициенты g ^ij являются элементами обратной матрицы

${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}$

Действительно, тогда мы имеем

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$

Ковариантные и контравариантные компоненты любого вектора

${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q^{i}\mathbf {e} _{i}\,}$

связаны, как указано выше,

${\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=q^{j}g_{ji}}$

и

${\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=q_{j}g^{ji}.}$

Неформальное использование [ править ]

В области физики , то прилагательное ковариантны часто используется неформально как синоним инварианта. Например, уравнение Шредингера не сохраняет свой письменный вид при преобразованиях координат специальной теории относительности . Таким образом, физик может сказать, что уравнение Шредингера нековариантно . В отличие от этого , уравнение Клейна-Гордона и уравнения Дирака делать держать их письменной форме в соответствии с этими преобразований координат. Таким образом, физик может сказать, что эти уравнения ковариантны .

Несмотря на такое использование термина «ковариантность», точнее будет сказать, что уравнения Клейна – Гордона и Дирака инвариантны, а уравнение Шредингера не инвариантно. Кроме того, чтобы устранить двусмысленность, следует указать преобразование, с помощью которого оценивается инвариантность.

Поскольку компоненты векторов контравариантны, а компоненты ковекторов ковариантны, сами векторы часто называют контравариантными, а ковекторы - ковариантными.

Использование в тензорном анализе [ править ]

Различие между ковариацией и контравариантностью особенно важно для вычислений с тензорами , которые часто имеют смешанную дисперсию . Это означает, что они имеют как ковариантные, так и контравариантные компоненты или как векторные, так и ковекторные компоненты. Валентность тензора - это количество вариантных и ковариантных членов, и в обозначениях Эйнштейна ковариантные компоненты имеют более низкие индексы, а контравариантные компоненты - верхние индексы. Двойственность между ковариацией и контравариантностью возникает всякий раз, когда векторная или тензорная величина представлена ​​своими компонентами, хотя современная дифференциальная геометрия использует более сложные безиндексные методы для представления тензоров .

В тензорной анализе , А ковариантный вектор изменяется более или менее совмещенным к соответствующему контравариантному вектору. Затем выражения для длин, площадей и объемов объектов в векторном пространстве могут быть даны в терминах тензоров с ковариантными и контравариантными индексами. При простых расширениях и сжатиях координат взаимность точна; при аффинных преобразованиях компоненты вектора перемешиваются при переходе между ковариантным и контравариантным выражением.

На многообразии , A тензорного поле , как правило , имеет несколько, верхние и нижние индексы, где Эйнштейн обозначение широко используется. Когда многообразие снабжено метрикой , ковариантные и контравариантные индексы становятся очень тесно связанными друг с другом. Контравариантные индексы можно превратить в ковариантные индексы, сжав метрический тензор. Обратное возможно, если сжать (матрицу), обратную метрическому тензору. Отметим, что, вообще говоря, такого отношения не существует в пространствах, не наделенных метрическим тензором. Более того, с более абстрактной точки зрения, тензор просто находится «там», и его компоненты любого вида являются только вычислительными артефактами, значения которых зависят от выбранных координат.

Объяснение в геометрических терминах состоит в том, что общий тензор будет иметь как контравариантные, так и ковариантные индексы, потому что у него есть части, которые живут как в касательном, так и в кокасательном пучках .

Контравариантный вектор - это вектор, который преобразуется как , где - координаты частицы в ее собственное время . Ковариантный вектор - это вектор, который преобразуется как , где - скалярное поле.${\displaystyle {\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$${\displaystyle x^{\mu }\!}$ ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x^{\mu }}}}$${\displaystyle \varphi }$

Алгебра и геометрия [ править ]

В теории категорий существуют ковариантные и контравариантные функторы . Сопоставление двойственного пространства векторному пространству - стандартный пример контравариантного функтора. Некоторые конструкции полилинейной алгебры имеют «смешанную» дисперсию, что не позволяет им быть функторами.

В дифференциальной геометрии компоненты вектора относительно базиса касательного расслоения ковариантны, если они изменяются с тем же линейным преобразованием, что и смена базиса. Они контравариантны, если изменяются обратным преобразованием. Иногда это вызывает путаницу по двум различным, но связанным причинам. Во-первых, векторы, компоненты которых ковариантны (называемые ковекторами или 1-формами ), фактически отступают под гладкими функциями, а это означает, что операция присвоения пространства ковекторов гладкому многообразию на самом деле является контравариантным функтором. Точно так же векторы, компоненты которых контравариантны, продвигаются вперед.при гладких отображениях, поэтому операция сопоставления пространства (контравариантных) векторов гладкому многообразию является ковариантным функтором. Во-вторых, в классическом подходе к дифференциальной геометрии наиболее примитивным объектом являются не основы касательного пучка, а скорее изменения в системе координат. Векторы с контравариантными компонентами трансформируются так же, как и изменения координат (поскольку они фактически изменяются противоположно индуцированному изменению базиса). Точно так же векторы с ковариантными компонентами трансформируются противоположным образом при изменении координат.

См. Также [ править ]

• Активная и пассивная трансформация
• Смешанный тензор
• Двухточечный тензор , обобщение, позволяющее индексам ссылаться на несколько векторных базисов

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Арфкен, Джордж Б .; Вебер, Ханс Дж. (2005), Математические методы для физиков (6-е изд.), Сан-Диего: Harcourt, ISBN 0-12-059876-0.
• Додсон, CTJ; Постон, Т. (1991), Тензорная геометрия , Тексты для выпускников по математике, 130 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-52018-4, Руководство по ремонту  1223091.
• Greub, Вернер Гильдберт (1967), полилинейная алгебра , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., Нью-Йорк, MR  0224623.
• Штернберг, Шломо (1983), Лекции по дифференциальной геометрии , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0316-0.
• Сильвестр, Дж. Дж. (1853 г.), «Об теории сизигетических отношений двух рациональных интегральных функций, включающей приложение к теории функций Штурма и наибольшей общей алгебраической меры» (PDF) , Philosophical Transactions of the Royal Society Лондон , The Royal Society, 143 : 407-548, DOI : 10.1098 / rstl.1853.0018 , JSTOR  108572.

Внешние ссылки [ править ]

• «Ковариантный тензор» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Контравариантный тензор» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Ковариантный тензор» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Контравариантный тензор» . MathWorld .
• Инвариантность, контравариантность и ковариантность
• Введение в тензорное исчисление - Киз Даллемонд и Каспер Питерс