Вектор (математика и физика)

В математике и физике , вектор является элементом векторного пространства .

Для многих конкретных векторных пространств векторы получили определенные имена, которые перечислены ниже.

Исторически векторы были введены в геометрию и физику (обычно в механику ) до формализации концепции векторного пространства. Поэтому часто говорят о векторах без указания векторного пространства, которому они принадлежат. В частности, в евклидовом пространстве рассматриваются пространственные векторы , также называемые евклидовыми векторами, которые используются для представления величин, которые имеют как величину, так и направление, и могут быть добавлены , вычтены и масштабированы (то есть умножены на действительное число ) для формирования векторного пространства. . ^[1]

Векторы в евклидовой геометрии [ править ]

В классической евклидовой геометрии (т.е. синтетической геометрии ), векторы были введены (в 19 веке) в качестве классов эквивалентности по равносильности , из упорядоченных пар точек; две пары ( A , B ) и ( C , D ) равноправны, если точки A , B , D , C в этом порядке образуют параллелограмм . Такой класс эквивалентности называется вектором , точнее, евклидовым вектором .^[2] Класс эквивалентности ( A , B ) часто обозначается${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}.}$

Евклидово вектор , таким образом , класс эквивалентности направленных отрезков с одной и той же величины (например, длина отрезка линии ( А , В ) ) и том же направлении (например, в направлении от A к B ). ^[3] В физике евклидовы векторы используются для представления физических величин, которые имеют как величину, так и направление, но не расположены в определенном месте, в отличие от скаляров , которые не имеют направления. ^[4] Например, скорость , силы и ускорение представлены векторами.

В современной геометрии евклидовы пространства часто определяются из линейной алгебры . Точнее, евклидово пространства Е определяются как набор , к которому связан собой внутреннему пространству продукта конечной размерности над полем действительных чисел и групповое действие от аддитивной группы из которой является свободным и транзитивным (См аффинного пространства для деталей этой конструкции) . Элементы называются переводами .${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}},}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {E}},}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

Было доказано, что два определения евклидовых пространств эквивалентны, и что классы эквивалентности при равносильности могут быть отождествлены с переводами.

Иногда евклидовы векторы рассматриваются без ссылки на евклидово пространство. В этом случае евклидов вектор является элементом нормированного векторного пространства конечной размерности над вещественными числами или, как правило, элементом, снабженным скалярным произведением . Это имеет смысл, поскольку сложение в таком векторном пространстве действует свободно и транзитивно в самом векторном пространстве. То есть, это евклидово пространство с самим собой в качестве связанного векторного пространства и скалярным произведением в качестве внутреннего продукта.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Евклидово пространство часто представляется как в евклидовом пространстве размерности п . Это вызвано тем , что каждый евклидово пространства размерности п является изоморфно к евклидову пространства Более точно, при таком евклидове пространства, можно выбрать любую точку O в качестве происхождения . С помощью процесса Грама – Шмидта можно также найти ортонормированный базис ассоциированного векторного пространства (такой базис, что скалярное произведение двух базисных векторов равно 0, если они разные, и 1, если они равны). Это определяет декартовы координаты любой точки P${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$пространства, как координаты на этой основе вектора. Эти выборы определяют изоморфизм данного евклидова пространства на , отображая любую точку в n -набор его декартовых координат, а каждый вектор - в его вектор координат .${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Определенные векторы в векторном пространстве [ править ]

• Нулевой вектор (иногда также называемый нулевым вектором и обозначаемый ^[5] ), аддитивная идентичность в векторном пространстве. В нормированном векторном пространстве это единственный вектор с нулевой нормой. В евклидовом векторном пространстве это единственный вектор нулевой длины. ^[6]${\displaystyle \mathbf {0} }$
• Базисный вектор , элемент заданного базиса векторного пространства.
• Единичный вектор , вектор в нормированном векторном пространстве с нормой 1 или евклидов вектор длины один. ^[6]
• Изотропный вектор или нулевой вектор в векторном пространстве с квадратичной формой , ненулевой вектор, для которого форма равна нулю. Если нулевой вектор существует, квадратичная форма называется изотропной квадратичной формой .

Векторы в определенных векторных пространствах [ править ]

• Вектор-столбец , матрица только с одним столбцом. Векторы-столбцы с фиксированным числом строк образуют векторное пространство.
• Вектор-строка , матрица только с одной строкой. Векторы-строки с фиксированным числом столбцов образуют векторное пространство.
• Координаты вектора , то п -кратный из координат вектора на основе из п элементов. Для векторного пространства над полем F эти n -наборы образуют векторное пространство (где операции - поточечное сложение и скалярное умножение).${\displaystyle F^{n}}$
• Вектор смещения , вектор, определяющий изменение положения точки относительно предыдущей позиции. Векторы смещения принадлежат векторному пространству переводов .
• Позиция вектор точки, то вектор смещения от опорной точки ( так называемого происхождением ) до точки. Вектор положения представляет положение точки в евклидовом пространстве или аффинном пространстве .
• Вектор скорости , производная по времени вектора положения. Он не зависит от выбора начала координат и, следовательно, принадлежит векторному пространству переводов.
• Псевдовектор , также называемый аксиальным вектором , элемент двойственного векторного пространства. В пространстве внутреннего продукта внутренний продукт определяет изоморфизм между пространством и его двойником, что может затруднить различение псевдовектора от вектора. Различие становится очевидным при изменении координат: матрица, используемая для изменения координат псевдовекторов, является транспонированной матрицей векторов.
• Касательный вектор , элемент касательного пространства в виде кривой , на поверхности или, более общо, дифференциальное многообразие в данной точке (эти касательные пространства естественным образом наделены структурой векторного пространства)
• Вектор нормали или просто нормаль в евклидовом пространстве или, в более общем смысле, во внутреннем пространстве продукта, вектор, перпендикулярный касательному пространству в точке. Нормали - это псевдовекторы, принадлежащие двойственному к касательному пространству.
• Градиент , вектор координат частных производных функции нескольких действительных переменных . В евклидовом пространстве градиент определяет величину и направление максимального увеличения скалярного поля . Градиент - это псевдовектор, нормальный к кривой уровня .
• Четырехвекторный , в теории относительности, вектор в четырехмерном вещественном векторном пространстве, называемом пространством Минковского.

Кортежи, которые на самом деле не являются векторами [ править ]

Набор из кортежей из п действительных чисел имеет естественную структуру векторного пространства , определяемого покомпонентного сложения и скалярного умножения . Когда такие кортежи используются для представления некоторых данных, их принято называть векторами , даже если добавление векторов ничего не значит для этих данных, что может запутать терминологию. Точно так же некоторые физические явления включают направление и величину. Они часто представлены векторами, даже если операции над векторными пространствами к ним не применяются.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Вектор вращения , евклидов вектор , направление которого совпадает с направлением оси вращения, а величина - углом поворота.
• Вектор Бюргерса, вектор , который представляет величину и направление искажения решетки дислокации в кристаллической решетке.
• Вектор интервалов , в теории музыкальных множеств, массив, который выражает интервальное содержание набора классов высоты тона.
• Вектор вероятности в статистике - это вектор с неотрицательными элементами, сумма которых равна единице.
• Случайный вектор или многомерная случайная величина , в статистике , множество реальных -значная случайных величин , которые могут быть соотнесены . Однако случайный вектор может также относиться к случайной переменной, которая принимает свои значения в векторном пространстве.
• Векторное отношение , бинарное отношение, определяемое логическим вектором.

Векторы в алгебрах [ править ]

Каждая алгебра над полем является векторным пространством, но элементы алгебры обычно не называют векторами. Однако в некоторых случаях их называют векторами , в основном по историческим причинам.

• Векторный кватернион , кватернион с нулевой действительной частью
• Мультивектор или p -вектор , элемент внешней алгебры векторного пространства.
• Спиноры , также называемые векторами вращения , были введены для расширения понятия вектора вращения . Фактически, векторы вращения представляют собой повороты скважины локально , но не глобально, потому что замкнутый цикл в пространстве векторов вращения может вызвать кривую в пространстве вращений, которая не является петлей. Кроме того, множество векторов вращения ориентируемо , а множество вращений - нет. Спиноры - это элементы векторного подпространства некоторой алгебры Клиффорда .
• Вектор Витта , бесконечная последовательность элементов коммутативного кольца, который принадлежит алгебре над этим кольцом , был введен для обработки распространения переноса в операциях над p-адическими числами .

См. Также [ править ]

Найдите вектор в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Вектор (значения)

Векторные пространства с большей структурой [ править ]

• Градуированное векторное пространство , тип векторного пространства, которое включает дополнительную структуру градации.
• Нормированное векторное пространство , векторное пространство, на котором определена норма.
• Гильбертово пространство
• Упорядоченное векторное пространство , векторное пространство с частичным порядком
• Супер векторное пространство , имя для Z ₂ -градуированного векторного пространства
• Симплектическое векторное пространство , векторное пространство V с невырожденной кососимметричной билинейной формой
• Топологическое векторное пространство , смесь топологической структуры с алгебраической концепцией векторного пространства

Векторные поля [ править ]

Векторное поле является вектор-функция , которая, как правило , имеет домен одного и того же размера (как коллектор ) в качестве области значений,

• Консервативное векторное поле , векторное поле, которое является градиентом скалярного потенциального поля.
• Гамильтоново векторное поле , векторное поле, определенное для любой энергетической функции или гамильтониана
• Векторное поле Киллинга , векторное поле на римановом многообразии
• Соленоидальное векторное поле , векторное поле с нулевой расходимостью
• Векторный потенциал , векторное поле, ротор которого является заданным векторным полем.
• Векторный поток , набор тесно связанных понятий потока, определяемых векторным полем.

Разное [ править ]

• Исчисление Риччи
• Векторный анализ , учебник по векторному исчислению Уилсона , впервые опубликованный в 1901 году, который много сделал для стандартизации обозначений и словаря трехмерной линейной алгебры и векторного исчисления.
• Векторное расслоение , топологическая конструкция, уточняющая идею семейства векторных пространств, параметризованных другим пространством.
• Векторное исчисление , раздел математики, связанный с дифференцированием и интегрированием векторных полей.
• Векторный дифференциал , или del , векторный дифференциальный оператор, представленный символом набла.${\displaystyle \nabla }$
• Векторный лапласиан , векторный оператор Лапласа, обозначаемый как , является дифференциальным оператором, определенным над векторным полем${\displaystyle \nabla ^{2}}$
• Векторные обозначения , общие обозначения, используемые при работе с векторами
• Векторный оператор , тип дифференциального оператора, используемый в векторном исчислении
• Векторное произведение или перекрестное произведение, операция над двумя векторами в трехмерном евклидовом пространстве, в результате чего получается третий трехмерный евклидов вектор.
• Проекция вектора , также известная как решающая векторная компонента или компонент вектора , линейное отображение, создающее вектор, параллельный второму вектору
• Векторнозначная функция , функция , имеющая векторное пространство как область значений
• Векторизация (математика) , линейное преобразование, которое преобразует матрицу в вектор-столбец
• Векторная авторегрессия , эконометрическая модель, используемая для отражения эволюции и взаимозависимостей между несколькими временными рядами.
• Векторный бозон , бозон со спиновым квантовым числом, равным 1
• Векторная мера , функция, определенная на семействе множеств и принимающая векторные значения, удовлетворяющие определенным свойствам.
• Векторный мезон , мезон с полным спином 1 и нечетной четностью
• Векторное квантование , метод квантования, используемый при обработке сигналов.
• Векторный солитон , уединенная волна с несколькими компонентами, соединенными вместе, которая сохраняет свою форму во время распространения.
• Векторный синтез , тип аудиосинтеза

Заметки [ править ]