Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Скалярный представляет собой элемент поля , которое используется , чтобы определить векторное пространство . Величина, описываемая несколькими скалярами, например имеющая как направление, так и величину, называется вектором. [1]

В линейной алгебре действительные числа или другие элементы поля называются скалярами и связаны с векторами в векторном пространстве посредством операции скалярного умножения , в которой вектор может быть умножен на число, чтобы получить другой вектор. [2] [3] [4] В более общем смысле векторное пространство может быть определено с использованием любого поля вместо действительных чисел, таких как комплексные числа . Тогда скаляры этого векторного пространства будут элементами связанного поля.

Скалярное произведение операция - не следует путать с скалярным умножением - может быть определена на векторном пространстве, позволяя два вектора должен быть умножен , чтобы произвести скаляр. Векторное пространство, снабженное скалярным произведением, называется внутренним пространством произведения .

Реальная составляющая кватерниона также называется его скалярной частью .

Термин также иногда используется неформально для обозначения вектора, матрицы , тензора или другого, обычно «составного» значения, которое фактически сводится к единственному компоненту. Так, например, произведение матрицы 1 × n и матрицы n × 1, которое формально является матрицей 1 × 1, часто называют скаляром .

Термин скалярная матрица используется для обозначения матрицы вида kI, где k - скаляр, а I - единичная матрица .

Этимология [ править ]

Слово скаляр происходит от латинского слова scalaris , прилагательной формы слова scala (латинское слово «лестница»), от которого также происходит английское слово scale . Первое зарегистрированное использование слова «скаляр» в математике встречается в « Аналитическом искусстве» Франсуа Виэта ( In artem analyticem isagoge ) (1591): [5] [ необходима страница ] [6]

Величины, которые возрастают или убывают пропорционально своей природе от одного вида к другому, могут быть названы скалярными членами.
(Латинское: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi пропорциональный адсендант ввел нисходящий, vocentur Scalares. )

Согласно цитате в Оксфордском словаре английского языка, первое зарегистрированное использование термина «скаляр» на английском языке произошло с В. Р. Гамильтоном в 1846 году, имея в виду действительную часть кватерниона:

В соответствии с вопросом, в котором она встречается, алгебраически действительная часть может принимать все значения, содержащиеся на одной шкале прогрессии чисел от отрицательной бесконечности к положительной; поэтому мы будем называть ее скалярной частью.

Определения и свойства [ править ]

Скаляры - это действительные числа, используемые в линейной алгебре, в отличие от векторов . На этом изображении показан евклидов вектор . Его координаты x и y являются скалярами, как и его длина, но v не является скаляром.

Скаляры векторных пространств [ править ]

Векторное пространство определяется как набор векторов, набор скаляров и операция скалярного умножения, которая переводит скаляр k и вектор v в другой вектор k v . Например, в координатном пространстве скалярное умножение дает . В (линейный) функционального пространства , kƒ функция х ↦ к ( ƒ ( х )).

Скаляры могут быть взяты из любого поля, включая рациональные , алгебраические , действительные и комплексные числа, а также конечные поля .

Скаляры как компоненты вектора [ править ]

Согласно основной теореме линейной алгебры каждое векторное пространство имеет базис . Отсюда следует , что каждое векторное пространство над скалярным полем K является изоморфной к координате векторного пространства , где координаты являются элементами K . Например, каждое вещественное векторное пространство размерности n изоморфно n -мерному вещественному пространству R n .

Скаляры в нормированных векторных пространствах [ править ]

В качестве альтернативы векторное пространство V может быть оснащено функцией нормы, которая назначает каждому вектору v в V скаляр || v ||. По определению, умножение v на скаляр k также умножает его норму на | k |. Если || v || интерпретируется как длина части V , эта операция может быть описана как масштабирование длины V по к . Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированным векторным пространством (или нормированным линейным пространством ).

Норма обычно определяется как элемент скалярного поля K V , которое ограничивает последнее до полей, поддерживающих понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или больше, K должно быть замкнуто под квадратный корень, а также четыре арифметических операции; таким образом, рациональные числа Q исключаются, но допустимое поле серда . По этой причине не каждое пространство скалярных произведений является нормированным векторным пространством.

Скаляры в модулях [ править ]

Когда требование, чтобы набор скаляров формировал поле, ослабляется так, что ему нужно только формировать кольцо (так, что, например, не нужно определять деление скаляров или скаляры не должны быть коммутативными ), в результате получается более общий алгебраическая структура называется модулем .

В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если R - кольцо, векторы пространства произведения R n могут быть преобразованы в модуль с матрицами n × n с элементами из R в качестве скаляров. Другой пример из теории многообразия , где пространство сечений в касательном расслоении образует модуль над алгеброй вещественных функций на многообразии.

Масштабирование трансформации [ править ]

Скалярное умножение векторных пространств и модулей - это частный случай масштабирования , разновидность линейного преобразования .

Скалярные операции (информатика) [ править ]

Операции, которые применяются к одному значению за раз.

  • Скалярный процессор против векторного или суперскалярного процессора
  • Переменная (информатика), иногда также называемая «скаляром».

См. Также [ править ]

  • Скаляр (физика)

Ссылки [ править ]

  1. ^ Mathwords.com - Скаляр
  2. ^ Lay, Дэвид С. (2006). Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 0-321-28713-4.
  3. Перейти ↑ Strang, Gilbert (2006). Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.). Брукс Коул . ISBN 0-03-010567-6.
  4. ^ Axler, Шелдон (2002). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
  5. ^ Виета, Франциск (1591). В artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua [ Руководство по аналитическому искусству [...] или новой алгебре ] (на латыни). Экскурсии: apud Iametium Mettayer typographum regium . Проверено 24 июня 2015 .
  6. ^ http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4010/s08/lcviete.pdf Линкольн Коллинз. Биографическая статья: Франсуа Вите

Внешние ссылки [ править ]

  • "Скаляр" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Вайстейн, Эрик В. «Скаляр» . MathWorld .
  • Mathwords.com - Скалярный