Кватернион

График Кэли Q8, показывающий 6 циклов умножения на i , j и k . (В файле SVG , наведите курсор мыши на или выберите цикл , чтобы выделить его.)

В математике , то кватернион система счисления расширяет комплексные числа . Кватернионы были впервые описаны ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году ^{[1] [2]} и применены к механике в трехмерном пространстве . Гамильтон определил кватернион как частное двух направленных прямых в трехмерном пространстве ^[3] или, что то же самое, как частное двух векторов . ^[4] Умножение кватернионов некоммутативно .

Кватернионы обычно представлены в виде

${\ Displaystyle а + б \ \ mathbf {я} + с \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}}$

где a , b , c и d - действительные числа; и i , j и k - фундаментальные кватернионные единицы .

Кватернионы используются в чистой математике , но также имеют практическое применение в прикладной математике , особенно для вычислений, включающих трехмерные вращения , например, в трехмерной компьютерной графике , компьютерном зрении и анализе кристаллографической текстуры . ^[5] Они могут использоваться вместе с другими методами вращения, такими как углы Эйлера и матрицы вращения , или как альтернатива им, в зависимости от приложения.

В современном математическом языке , кватернионы образуют четырех- мерной ассоциативная нормированная алгебру с делением над вещественными числами , и , следовательно , также область . Алгебра кватернионов часто обозначается H (для Гамильтона ) или жирным шрифтом на доске. Она также может быть задана классификациями алгебры Клиффорда. Фактически, это была первая открытая некоммутативная алгебра с делением .${\ displaystyle \ mathbb {H}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ).}$

Согласно теореме Фробениуса , алгебра является одной из двух конечномерных тел, содержащих собственное подкольцо, изоморфное действительным числам ; другой - комплексные числа . Эти кольца также являются евклидовой алгеброй Гурвица , из которых кватернионы являются наибольшей ассоциативной алгеброй . Дальнейшее расширение кватернионов дает неассоциативные октонионы , которые являются последней нормированной алгеброй с делением над действительными числами. ( Седенионы , продолжение октонионов, имеют делители нуля${\displaystyle \mathbb {H} }$ и поэтому не может быть нормированной алгеброй с делением.) ^[6]

В единичных кватернионов можно рассматривать как выбор структуры группы на 3-сферы S ³ , что дает группе Крутить (3) , которая изоморфна SU (2) , а также к универсальной накрывающей на SO (3) .

История [ править ]

Кватернионы были введены Гамильтоном в 1843 ^[7] Важные прекурсоры в эту работу включены четыре-квадрат идентичности Эйлера (1748) и Олинд Родриг ' параметризацию общих оборотов по четырем параметрам (1840 г.), но ни один из этих авторов не рассматривали четыре параметра вращения как алгебра. ^{[8] [9]} Карл Фридрих Гаусс также открыл кватернионы в 1819 году, но эта работа не была опубликована до 1900 года. ^{[10] [11]}

Гамильтон знал, что комплексные числа можно интерпретировать как точки на плоскости , и искал способ сделать то же самое для точек в трехмерном пространстве . Точки в пространстве могут быть представлены их координатами, которые представляют собой тройки чисел, и в течение многих лет он умел складывать и вычитать тройки чисел. Однако Гамильтон долгое время был зациклен на проблеме умножения и деления. Он не мог понять, как вычислить частное из координат двух точек в пространстве. Фактически, Фердинанд Георг Фробениус позже доказал в 1877 году, что для алгебры с делениемнад действительными числами, чтобы быть конечномерными и ассоциативными, он не может быть трехмерным, и есть только три таких алгебры с делением: (комплексные числа) и (кватернионы), которые имеют размерность 1, 2 и 4 соответственно.${\displaystyle \mathbb {R,C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Великий прорыв в кватернионах, наконец, произошел в понедельник 16 октября 1843 года в Дублине , когда Гамильтон направлялся в Королевскую ирландскую академию, где он собирался председательствовать на заседании совета. Когда он вместе с женой шел по тропинке к Королевскому каналу , концепции кватернионов обретали форму в его сознании. Когда до него дошел ответ, Гамильтон не смог устоять перед желанием высечь формулу для кватернионов:

${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1}$

в камень моста Брумэн, когда он остановился на нем. Хотя резьба с тех пор исчезла, с 1989 года ежегодно проводится паломничество под названием Гамильтонская прогулка для ученых и математиков, которые идут от обсерватории Дансинк до моста через Королевский канал в память об открытии Гамильтона.

На следующий день Гамильтон написал письмо своему другу и коллеге-математику Джону Т. Грейвсу, в котором описал ход мыслей, который привел к его открытию. Это письмо было позже опубликовано в лондонском, Эдинбургском и Дублинском философском журнале и журнале Science ; ^[12] Гамильтон утверждает:

И здесь меня осенило, что мы должны в некотором смысле допустить четвертое измерение пространства для целей вычисления с тройками ... Электрическая цепь, казалось, замкнулась, и вспыхнула искра. ^[12]

Гамильтон назвал четверку с этими правилами умножения кватернионом и посвятил большую часть своей жизни изучению и обучению им. Трактовка Гамильтона более геометрическая, чем современный подход, который подчеркивает алгебраические свойства кватернионов . Он основал школу «кватернионистов» и попытался популяризировать кватернионы в нескольких книгах. Последний и самый длинный из его книг, элементов кватернионов , ^[13] было 800 страниц длиной; его отредактировал сын и опубликовал вскоре после его смерти.

После смерти Гамильтона его ученик Питер Тейт продолжил продвигать кватернионы. В то время кватернионы были обязательной темой экзаменов в Дублине. Темы физики и геометрии, которые теперь будут описываться с использованием векторов, такие как кинематика в пространстве и уравнения Максвелла , были полностью описаны в терминах кватернионов. Существовала даже профессиональная исследовательская ассоциация Quaternion Society , занимавшаяся изучением кватернионов и других гиперкомплексных систем счисления.

С середины 1880-х годов кватернионы начали вытесняться с помощью векторного анализа , который был разработан Джозией Уиллардом Гиббсом , Оливером Хевисайдом и Германом фон Гельмгольцем . Векторный анализ описывал те же явления, что и кватернионы, поэтому некоторые идеи и терминологию были заимствованы из литературы по кватернионам. Однако векторный анализ был концептуально проще и чище с нотации, и в конечном итоге кватернионам отводилась второстепенная роль в математике и физике . Побочным эффектом этого перехода является то, что работа Гамильтонасложно понять многим современным читателям. Первоначальные определения Гамильтона незнакомы, а его стиль письма многословен и труден для понимания.

Однако кватернионы возродились с конца 20 века, в первую очередь из-за их полезности при описании пространственного вращения . Представления поворотов кватернионами более компактны и вычисляются быстрее, чем представления матрицами. Кроме того, в отличие от углов Эйлера , они не подвержены « блокировке кардана ». По этой причине кватернионов используются в компьютерной графике , ^{[14] [15]} компьютерное зрение , робототехника , ^[16] теория управления , обработки сигналов , управление ориентацией , физика , биоинформатика ,^{[17] [18]} молекулярная динамика , компьютерное моделирование и орбитальная механика . Например, длясистем управления ориентацией космических аппаратов обычно используются кватернионы. Кватернионы получили еще один импульс в теории чисел из-за их отношений с квадратичными формами . ^[19]

Кватернионы в физике [ править ]

Эссе П. Р. Жирара 1984 г. Группа кватернионов и современная физика ^[20] обсуждает некоторые роли кватернионов в физике. В эссе показано, как различные группы физических ковариаций, а именно SO (3) , группа Лоренца, группа общей теории относительности, алгебра Клиффорда SU (2) и конформная группа, могут быть легко связаны с группой кватернионов в современной алгебре . Girard начали с обсуждения представлений групп и представляющих некоторые пространственные группы по кристаллографии . Он перешел к кинематике движения твердого тела . Затем он использовал сложные кватернионы (бикватернионы ), чтобы представить группу Лоренца специальной теории относительности, включая прецессию Томаса . Он процитировал пятерых авторов, начиная с Людвика Зильберштейна , который использовал потенциальную функцию одной кватернионной переменной, чтобы выразить уравнения Максвелла в одном дифференциальном уравнении . Что касается общей теории относительности, он выразил вектор Рунге – Ленца . Он упомянул бикватернионы Клиффорда ( расщепленные бикватернионы ) как пример алгебры Клиффорда . Наконец, используя аналог бикватерниона, Жирар описал конформные отображения напространство-время . Среди пятидесяти упоминаний Жирар включил Александра Макфарлейна и его Бюллетень Общества Кватерниона . В 1999 году он показал, как уравнения общей теории относительности Эйнштейна могут быть сформулированы в рамках алгебры Клиффорда, которая напрямую связана с кватернионами. ^[21]

Нахождение 1924 , что в квантовой механике спина электрона и других частиц вещества (известный как спинорами ) может быть описана с использованием кватернионов продвинул их интерес; кватернионы помогли понять, как вращения электронов на 360 ° можно отличить от вращений на 720 ° (« трюк с пластиной »). ^{[22] [23]} По состоянию на 2018 год ^[update]их использование не превзошло группы ротации . ^[а]

Определение [ править ]

Кватернионов является выражением вида

${\displaystyle a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \ ,}$

где a , b , c , d - действительные числа , а i , j , k - символы, которые можно интерпретировать как единичные векторы, указывающие вдоль трех пространственных осей. На практике, если один из a , b , c , d равен 0, соответствующий член опускается; если a , b , c , d все равны нулю, кватернион - это нулевой кватернион , обозначенный 0; если один из b , c , d равно 1, соответствующий член записывается просто i , j или k .

Гамильтон описывает кватернион как состоящий из скалярной части и векторной части. Кватернион называется векторной частью (иногда мнимой ) q , а a - скалярной частью (иногда действительной ) q . Кватернион, равный его действительной части (то есть его векторная часть равна нулю), называется скалярным или действительным кватернионом и идентифицируется с соответствующим действительным числом. То есть, действительные числа встроенных${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$в кватернионах. (Более точно, поле действительных чисел изоморфно подмножеству кватернионов. Поле комплексных чисел также изоморфно трем подмножествам кватернионов.) ^[24] Кватернион, равный своей векторной части, называется векторным кватернионом .

Набор кватернионов представляет собой 4-мерное векторное пространство над действительными числами, в основе которых лежит покомпонентное сложение${\displaystyle \left\{\,1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \,\right\}}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}\,\mathbf {i} +c_{1}\,\mathbf {j} +d_{1}\,\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\,\mathbf {i} +c_{2}\,\mathbf {j} +d_{2}\,\mathbf {k} )=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\,\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\,\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\,\mathbf {k} \,,}$

и покомпонентное скалярное умножение

${\displaystyle \lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\,\mathbf {i} +(\lambda c)\,\mathbf {j} +(\lambda d)\,\mathbf {k} .}$

Мультипликативная групповая структура, называемая произведением Гамильтона , обозначаемая сопоставлением, может быть определена на кватернионах следующим образом:

• Настоящий кватернион 1 является элементом идентичности .
• В реальных кватернионах коммутируют со всеми другими кватернионами, то есть водно = QA для каждых кватернионов ц и любых вещественных кватернионами а . В алгебраической терминологии это означает, что поле действительных кватернионов является центром этой алгебры кватернионов.
• Произведение сначала дается для базовых элементов (см. Следующий подраздел), а затем распространяется на все кватернионы с использованием свойства распределения и свойства центра действительных кватернионов. Произведение Гамильтона не коммутативно , но ассоциативно , поэтому кватернионы образуют ассоциативную алгебру над действительными числами.
• Кроме того, каждый ненулевой кватернион имеет обратный по отношению к произведению Гамильтона:

${\displaystyle (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).}$

Таким образом, кватернионы образуют алгебру с делением .

Умножение базисных элементов [ править ]

Базисные элементы i , j и k коммутируют с действительным кватернионом 1, то есть

${\displaystyle \mathbf {i} \cdot 1=1\cdot \mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \cdot 1=1\cdot \mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \cdot 1=1\cdot \mathbf {k} =\mathbf {k} \,.}$

Остальные произведения базовых элементов определяются как

${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=-1\,,}$

и

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathbf {ij} &=\mathbf {k} \,,&\qquad \mathbf {ji} &=-\mathbf {k} \,,\\\mathbf {jk} &=\mathbf {i} \,,&\mathbf {kj} &=-\mathbf {i} \,,\\\mathbf {ki} &=\mathbf {j} \,,&\mathbf {ik} &=-\mathbf {j} \,.\end{alignedat}}}$

Эти формулы умножения эквивалентны

${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1~.}$

Фактически равенство ijk = –1 следует из

${\displaystyle (\mathbf {ij} )\mathbf {k} =\mathbf {k} ^{2}=-1.}$

Обратное утверждение является результатом манипуляций, подобных следующим. Умножая обе части −1 = ijk справа на - k , получаем

${\displaystyle \mathbf {k} =(\mathbf {ijk} )(-\mathbf {k} )=(\mathbf {ij} )(-\mathbf {k} ^{2})=\mathbf {ij} \,.}$

Все остальные продукты можно определить аналогичными методами.

Центр [ править ]

Центр из некоммутативного кольца является подкольцом элементов гр такие , что см = хс для каждого х . Центр алгебры кватернионов - это подполе вещественных кватернионов. Фактически, это часть определения, что настоящие кватернионы принадлежат центру. Наоборот, если q = a + b i + c j + d k принадлежит центру, то

${\displaystyle 0=\mathbf {i} \,q-q\,\mathbf {i} =2c\,\mathbf {ij} +2d\,\mathbf {ik} =2c\,\mathbf {k} -2d\,\mathbf {j} \,,}$

и c = d = 0 . Аналогичное вычисление с j вместо i показывает, что также b = 0 . Таким образом, q = a - действительный кватернион.

Кватернионы образуют алгебру с делением . Это означает, что некоммутативность умножения - единственное свойство, которое отличает кватернионы от поля . Эта некоммутативность имеет некоторые неожиданные последствия, в том числе то, что полиномиальное уравнение над кватернионами может иметь более различные решения, чем степень полинома. Например, уравнение г ² + 1 = 0 , имеет бесконечное множество решений кватернионов, которые являются кватернионов г = Ь я + с J + d к таким образом, что б ² + с ²+ d ² = 1 . Таким образом, эти «корни из –1» образуют единичную сферу в трехмерном пространстве векторных кватернионов.

Продукт Гамильтона [ править ]

Для двух элементов a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k и a ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k их произведение, называемое произведением Гамильтона ( a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k ) ( a ₂ + b ₂ i +c ₂ j + d ₂ k ), определяется произведением базисных элементов и закона распределения . Закон распределения позволяет расширить продукт так, чтобы он представлял собой сумму произведений основных элементов. Это дает следующее выражение:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}}$

Теперь базовые элементы можно умножить, используя приведенные выше правила, чтобы получить: ^[7]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}}$

Произведение двух кватернионов вращения ^[25] будет эквивалентно вращению a ₂ + b ₂ i + c ₂ j + d ₂ k с последующим вращением a ₁ + b ₁ i + c ₁ j + d ₁ k .

Скалярные и векторные части [ править ]

Кватернион вида a + 0 i + 0 j + 0 k , где a - действительное число, называется скалярным , а кватернион вида 0 + b i + c j + d k , где b , c и d - действительные числа, и хотя бы одно из b , c или d не равно нулю, называется векторным кватернионом . Если a + b i + c j +d k - любой кватернион, тогда a называется его скалярной частью, а b i + c j + d k называется его векторной частью . Несмотря на то, что каждый кватернион можно рассматривать как вектор в четырехмерном векторном пространстве, принято называть векторную часть векторами в трехмерном пространстве. Согласно этому соглашению, вектор - это то же самое, что и элемент векторного пространства ^[b]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Гамильтон также назвал векторные кватернионы правыми кватернионами ^{[27] [28]} и действительные числа (рассматриваемые как кватернионы с нулевой частью вектора) скалярными кватернионами .

Если кватернион разделен на скалярную часть и векторную часть, т.е.

${\displaystyle \mathbf {q} =(r,\ {\vec {v}}),~~\mathbf {q} \in \mathbb {H} ,~~r\in \mathbb {R} ,~~{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

тогда формулы для сложения и умножения следующие:

${\displaystyle (r_{1},\ {\vec {v}}_{1})+(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})=(r_{1}+r_{2},\ {\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})}$

${\displaystyle (r_{1},\ {\vec {v}}_{1})(r_{2},\ {\vec {v}}_{2})=(r_{1}r_{2}-{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2},\ r_{1}{\vec {v}}_{2}+r_{2}{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})}$

где « · » - скалярное произведение, а « × » - перекрестное произведение .

Спряжение, норма и реципрокность [ править ]

Сопряжение кватернионов аналогично сопряжению комплексных чисел и транспонированию (также известному как обращение) элементов алгебр Клиффорда . Чтобы определить это, позвольте быть кватернионом. Конъюгат из ц является кватернионов . Он обозначается через д ^* , д ^т , или д . ^[7] Сопряжение - это инволюция , что означает, что оно является обратным к самому себе, поэтому двойное сопряжение элемента возвращает исходный элемент. Конъюгат продукта двух кватернионов является продуктом конъюгатов в обратном порядке . То есть, если p и${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle q^{*}=a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle {\tilde {q}}}$q - кватернионы, то ( pq ) ^∗ = q ^∗ p ^∗ , а не p ^∗ q ^∗ .

Сопряжение кватерниона, в отличие от сложной настройки, может быть выражено умножением и сложением кватернионов:

${\displaystyle q^{*}=-{\frac {1}{2}}(q+\,\mathbf {i} \,q\,\mathbf {i} +\,\mathbf {j} \,q\,\mathbf {j} +\,\mathbf {k} \,q\,\mathbf {k} )~.}$

Сопряжение можно использовать для извлечения скалярной и векторной частей кватерниона. Скалярная часть p равна1/2( p + p ^∗ ) , а векторная часть p равна1/2( p - p ^∗ ) .

Квадратный корень из произведения кватерниона на сопряженный ему элемент называется его нормой и обозначается || q || (Гамильтон назвал эту величину тензора от д , но конфликты с современным значением « тензор »). В формуле это выражается следующим образом:

${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$

Это всегда неотрицательное действительное число, и это то же самое, что и евклидова норма в векторном пространстве . При умножении кватерниона на действительное число его норма масштабируется на абсолютное значение числа. То есть, если α вещественно, то${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

${\displaystyle \lVert \alpha q\rVert =\left|\alpha \right|\,\lVert q\rVert ~.}$

Это частный случай того факта, что норма мультипликативна , что означает, что

${\displaystyle \lVert pq\rVert =\lVert p\rVert \,\lVert q\rVert }$

для любых двух кватернионов p и q . Мультипликативность - это следствие формулы сопряженного произведения. В качестве альтернативы из тождества следует

${\displaystyle \det {\Bigl (}{\begin{array}{cc}a+ib&id+c\\id-c&a-ib\end{array}}{\Bigr )}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},}$

(где i обозначает обычную мнимую единицу ) и, следовательно, из мультипликативного свойства определителей квадратных матриц.

Эта норма позволяет определить расстояние d ( p , q ) между p и q как норму их разности:

${\displaystyle d(p,q)=\lVert p-q\rVert ~.}$

Это делает в метрическое пространство . Сложение и умножение непрерывны в метрической топологии. Действительно, для любого скаляра положительное a выполняется${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lVert (p+ap_{1}+q+aq_{1})-(p+q)\rVert =a\lVert p_{1}+q_{1}\rVert \,.}$

Непрерывность следует принимать к нулю в пределе. Аналогичным образом выполняется непрерывность умножения.

Кватернион единицы [ править ]

Блок кватернионы являются Кватернионными нормами одного. Разделив Ненулевой кватернион д по своей норме производит единичный кватернион U д , называемый versor из ц :

${\displaystyle \mathbf {U} q={\frac {q}{\lVert q\rVert }}.}$

Каждый кватернион имеет полярное разложение .${\displaystyle q=\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q}$

Использование сопряжения и нормы позволяет определить обратную величину ненулевого кватерниона. Произведение кватерниона на обратное должно равняться 1, и приведенные выше соображения подразумевают, что произведение и равно 1 (для любого порядка умножения). Таким образом, обратная из д определяется как${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{*}/\left\Vert q\right\|^{2}}$

${\displaystyle q^{-1}={\frac {q^{*}}{\lVert q\rVert ^{2}}}.}$

Это позволяет разделить два кватерниона p и q двумя разными способами (когда q не равно нулю). То есть их частное может быть либо p q ^−1, либо q ⁻¹ p  ; в общем, эти произведения различаются в зависимости от порядка умножения, за исключением особого случая, когда p и q являются скалярными кратными друг другу (включая случай, когда p = 0 ). Следовательно, обозначениеп/qнеоднозначен, потому что он не определяет, делится ли q слева или справа ( умножает ли  q ^{−1 на} p слева или справа).

Алгебраические свойства [ править ]

Набор всех кватернионов является векторным пространством над действительными числами с размерностью  4. ^[c] Умножение кватернионов является ассоциативным и распределяется по сложению векторов, но за исключением скалярного подмножества, оно не коммутативно. Следовательно, кватернионы представляют собой некоммутативную ассоциативную алгебру над действительными числами. Несмотря на то, что содержит копии комплексных чисел, это не ассоциативная алгебра над комплексными числами.${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Поскольку кватернионы можно разделить, они образуют алгебру с делением . Это структура, аналогичная полю, за исключением некоммутативности умножения. Конечномерные ассоциативные алгебры с делением над действительными числами очень редки. Теорема Фробениуса утверждает , что существует ровно три: , и . Норма составляет кватернионы в нормированную алгебру и нормированные алгебры с делением над вещественными числами также очень редко: теорема Гурвицы говорит , что есть только четыре: , , , и (в октонионах ). Кватернионы также являются примером алгебры композиции${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {O} }$и унитальной банаховой алгебры .

Поскольку произведение любых двух базисных векторов равно плюс или минус другому базисному вектору, набор {± 1, ± i , ± j , ± k } образует группу при умножении. Эта неабелева группа называется группой кватернионов и обозначается Q ₈ . ^[29] Реальное групповое кольцо из Q ₈ представляет собой кольцо , которое также восемь-мерное векторное пространство над Он имеет один базисный вектор для каждого элемента кватернионов изоморфны фактор - кольцо из по идеалу${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}].}$${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$порожденные элементами 1 + (−1) , i + (- i ) , j + (- j ) и k + (- k ) . Здесь первое слагаемое в каждом из разностей является одним из базисных элементов 1, я , J и K , а второй член является одним из базисных элементов -1, - я , - J , и - к , а не противоположное числа из 1, я , J , и к .

Кватернионы и геометрия пространства [ править ]

Векторная часть кватерниона может быть интерпретирована как вектор координат, поэтому алгебраические операции кватернионов отражают геометрию операций, таких как векторные точки, и перекрестные произведения могут быть определены в терминах кватернионов, и это позволяет применять методы кватернионов везде, где возникают пространственные векторы. Полезное применение кватернионов - интерполировать ориентацию ключевых кадров в компьютерной графике. ^[14]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3};}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

В оставшейся части этого раздела, я , J и K будет обозначать как три мнимых ^[30] базисных векторов и основу для Замена I на - I , J пути - J , и к по - к посылает вектор к его аддитивная инверсия , поэтому аддитивная инверсия вектора такая же, как и его сопряженный кватернион. По этой причине сопряжение иногда называют пространственным обратным .${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Для двух векторных кватернионов р = Ь ₁ я + с ₁ J + d ₁ к и д = Ь ₂ я + с ₂ J + d ₂ к их точка продукта , по аналогии с векторами в IS${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

${\displaystyle p\cdot q=b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}+d_{1}d_{2}~.}$

Это также может быть выражено без компонентов как

${\displaystyle p\cdot q=\textstyle {\frac {1}{2}}(p^{*}q+q^{*}p)=\textstyle {\frac {1}{2}}(pq^{*}+qp^{*}).}$

Это равно скалярным частям произведений pq ^∗ , qp ^∗ , p ^∗ q и q ^∗ p . Обратите внимание, что их векторные части разные.

Векторное произведение по р и д по отношению к ориентации определяется упорядоченной основе я , J и K является

${\displaystyle p\times q=(c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})\mathbf {i} +(d_{1}b_{2}-b_{1}d_{2})\mathbf {j} +(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})\mathbf {k} \,.}$

(Напомним, что ориентация необходима для определения знака.) Это равно векторной части произведения pq (в виде кватернионов), а также векторной части - q ^∗ p ^∗ . Он также имеет формулу

${\displaystyle p\times q=\textstyle {\tfrac {1}{2}}(pq-qp).}$

Для коммутатора , [ p , q ] = pq - qp , двух векторных кватернионов получается

${\displaystyle [p,q]=2p\times q.}$

В общем, пусть p и q - кватернионы, и напишите

${\displaystyle p=p_{\text{s}}+p_{\text{v}},}$

${\displaystyle q=q_{\text{s}}+q_{\text{v}},}$

где p _s и q _s - скалярные части, а p _v и q _v - векторные части p и q . Тогда у нас есть формула

${\displaystyle pq=(pq)_{\text{s}}+(pq)_{\text{v}}=(p_{\text{s}}q_{\text{s}}-p_{\text{v}}\cdot q_{\text{v}})+(p_{\text{s}}q_{\text{v}}+q_{\text{s}}p_{\text{v}}+p_{\text{v}}\times q_{\text{v}}).}$

Это показывает, что некоммутативность умножения кватернионов происходит от умножения векторных кватернионов. Это также показывает, что два кватерниона коммутируют тогда и только тогда, когда их векторные части коллинеарны. Гамильтон ^[31] показал, что это произведение вычисляет третью вершину сферического треугольника из двух заданных вершин и связанных с ними длин дуги, которая также является алгеброй точек в эллиптической геометрии .

Единичные кватернионы можно отождествить с вращениями в, и Гамильтон назвал их версорами . ^[31] Также см. Кватернионы и пространственное вращение для получения дополнительной информации о моделировании трехмерных вращений с использованием кватернионов.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

См. Hanson (2005) ^[32] для визуализации кватернионов.

Матричные представления [ править ]

Как комплексные числа могут быть представлены в виде матриц , так и кватернионы. Существует как минимум два способа представления кватернионов в виде матриц таким образом, чтобы сложение и умножение кватернионов соответствовало сложению матриц и умножению матриц . Один - использовать комплексные матрицы 2 × 2 , а другой - использовать вещественные матрицы 4 × 4 . В каждом случае данное представление является одним из семейства линейно связанных представлений. В терминологии абстрактной алгебры это инъективные гомоморфизмы из в кольца матриц M (2, ℂ) и M (4, ℝ) ,${\displaystyle \mathbb {H} }$ соответственно.

Используя комплексные матрицы 2 × 2, кватернион a + bi + cj + dk может быть представлен как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}.}$

Это представление обладает следующими свойствами:

• Ограничение любых двух из b , c и d нулем дает представление комплексных чисел . Например, установка c = d = 0 дает диагональное комплексное матричное представление комплексных чисел, а установка b = d = 0 дает вещественное матричное представление.
• Норма кватерниона (квадратный корень из произведения с его сопряженным, как с комплексными числами) - это квадратный корень из определителя соответствующей матрицы. ^[33]
• Сопряжение кватерниона соответствует сопряженному транспонированию матрицы.
• Ограничением это представление дает изоморфизм между подгруппой единичных кватернионов и их образом SU (2) . Топологически единичные кватернионы - это 3-сфера , поэтому базовое пространство SU (2) также является 3-сферой. Группа SU (2) важна для описания спина в квантовой механике ; см. матрицы Паули .
• Между кватернионными единицами и матрицами Паули существует сильная связь. Получите восемь единичных матриц кватернионов, взяв a , b , c и d , установив три из них на ноль, а четвертую на 1 или -1. Умножение любых двух матриц Паули всегда дает единичную матрицу кватернионов, все они кроме −1. −1 получается через i ² = j ² = k ² = ijk = −1; например, последнее равенство

${\displaystyle {\begin{aligned}ijk=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}=-1\end{aligned}}}$

Используя вещественные матрицы 4 × 4, тот же кватернион можно записать как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b&-c&-d\\b&a&-d&c\\c&d&a&-b\\d&-c&b&a\end{bmatrix}}=a{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}+c{\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}+d{\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Однако представление кватернионов в M (4, ℝ) не единственно. Например, тот же кватернион также может быть представлен как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&d&-b&-c\\-d&a&c&-b\\b&-c&a&-d\\c&b&d&a\end{bmatrix}}=a{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}+b{\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}+c{\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}+d{\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Существует 48 различных матричных представлений этой формы, в которых одна из матриц представляет скалярную часть, а остальные три являются кососимметричными. Точнее, существует 48 наборов четверок матриц с этими ограничениями симметрии, так что функция, отправляющая 1, i , j и k матрицам в четверке, является гомоморфизмом, то есть она переводит суммы и произведения кватернионов в суммы и изделия из матриц. ^[34] В этом представлении сопряжение кватерниона соответствует транспонированию матрицы. Четвертая степень нормы кватерниона - определительсоответствующей матрицы. Как и в случае комплексного представления 2 × 2, приведенного выше, комплексные числа снова могут быть получены путем соответствующего ограничения коэффициентов; например, как блочно-диагональные матрицы с двумя блоками 2 × 2, задав c = d = 0 .

Каждое матричное представление кватернионов 4 × 4 соответствует таблице умножения единичных кватернионов. Например, последнее приведенное выше матричное представление соответствует таблице умножения

который изоморфен - через -${\displaystyle \{a\mapsto 1,b\mapsto i,c\mapsto j,d\mapsto k\}}$

Если ограничить любую такую ​​таблицу умножения идентичностью в первой строке и столбце, а знаки заголовков строк должны быть противоположны знакам заголовков столбцов, тогда есть 3 возможных варианта для второго столбца (без учета знака), 2 возможных варианты выбора для третьего столбца (знак игнорирования) и 1 возможный выбор для четвертого столбца (знак игнорирования); что дает 6 возможностей. Затем второй столбец может быть выбран положительным или отрицательным, третий столбец может быть выбран положительным или отрицательным, а четвертый столбец может быть выбран положительным или отрицательным, что дает 8 вариантов для знака. Умножение возможных позиций букв и их знаков дает 48. Затем заменяя 1 на a , i на b, j с c и k с d и удаление заголовков строк и столбцов дает матричное представление a + b i + c j + d k .

Теорема Лагранжа о четырех квадратах [ править ]

Кватернионы также используются в одном из доказательств теоремы Лагранжа о четырех квадратах в теории чисел , в которой говорится, что каждое неотрицательное целое число является суммой четырех целых квадратов. Помимо того, что сама по себе элегантная теорема, теорема Лагранжа о четырех квадратах имеет полезные приложения в областях математики за пределами теории чисел, таких как комбинаторная теория проектирования . Доказательство на основе кватернионов использует кватернионы Гурвица - подкольцо кольца всех кватернионов, для которого существует аналог алгоритма Евклида .

Кватернионы как пары комплексных чисел [ править ]

Кватернионы можно представить как пары комплексных чисел. С этой точки зрения кватернионы являются результатом применения конструкции Кэли – Диксона к комплексным числам. Это обобщение построения комплексных чисел как пар действительных чисел.

Позвольте быть двумерным векторным пространством над комплексными числами. Выбираем основу, состоящую из двух элементов 1 и j . Вектор в может быть записан в терминах базисных элементов 1 и j как${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle (a+bi)1+(c+di)\mathbf {j} \,.}$

Если мы определим j ² = −1 и i j = - j i , то мы можем умножить два вектора, используя закон распределения. Использование k в качестве сокращенного обозначения продукта i j приводит к тем же правилам умножения, что и обычные кватернионы. Следовательно, указанный выше вектор комплексных чисел соответствует кватерниону a + bi + c j + d k . Если мы запишем элементы как упорядоченные пары, а кватернионы как четверки, то соответствие будет${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle (a+bi,\ c+di)\leftrightarrow (a,b,c,d).}$

Квадратные корни из −1 [ править ]

В комплексных числах всего два числа, i и - i , квадрат которых равен -1. In существует бесконечно много квадратных корней из минус единицы: кватернионное решение для квадратного корня из −1 является единичной сферой в. Чтобы увидеть это, пусть q = a + b i + c j + d k - кватернион, и предположим, что его квадрат равен −1. В терминах a , b , c и d это означает${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

${\displaystyle a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2}=-1,}$

${\displaystyle 2ab=0,}$

${\displaystyle 2ac=0,}$

${\displaystyle 2ad=0.}$

Чтобы удовлетворить последним трем уравнениям, либо a = 0, либо b , c и d равны 0. Последнее невозможно, потому что a - действительное число, а первое уравнение означало бы, что a ² = −1 . Следовательно, a = 0 и b ² + c ² + d ² = 1 . Другими словами: кватернион возводится в квадрат до −1 тогда и только тогда, когда он является векторным кватернионом с нормой 1. По определению, множество всех таких векторов образует единичную сферу.

Только отрицательные действительные кватернионы имеют бесконечно много квадратных корней. У всех остальных их всего два (или один в случае 0). ^{[ необходима цитата ] [d]}

Как объединение сложных плоскостей [ править ]

Каждая пара квадратных корней из -1 создает отдельную копию комплексных чисел внутри кватернионов. Если q ² = −1 , то копия определяется функцией

${\displaystyle a+b{\sqrt {-1\,}}\mapsto a+bq\,.}$

На языке абстрактной алгебры , каждый из них является инъективны кольцо гомоморфизм из в . Образы вложений, соответствующих q и - q , идентичны.${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Каждый нереальный кватернион определяет планарное подпространство в , которое изоморфно записи q как сумму его скалярной части и его векторной части:${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {C} :}$

${\displaystyle q=q_{s}+{\vec {q}}_{v}.}$

Далее разложите векторную часть как произведение ее нормы и ее версора :

${\displaystyle q=q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert \cdot \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}.}$

(Обратите внимание , что это не то же самое ) . В versor вектора части д , является правой versor с -1 , как его площади. Следовательно, он определяет копию комплексных чисел функцией${\displaystyle q_{s}+\lVert q\rVert \cdot \mathbf {U} q}$${\displaystyle \mathbf {U} {\vec {q}}_{v}}$

${\displaystyle a+b{\sqrt {-1\,}}\mapsto a+b\mathbf {U} {\vec {q}}_{v}\,.}$

Под этой функцией q - изображение комплексного числа . Таким образом получается объединение комплексных плоскостей, пересекающихся по общей действительной прямой , где объединение берется по сфере квадратных корней из минус единицы, имея в виду, что одна и та же плоскость связана с любой парой противоположных точек на сфере правых версоров. .${\displaystyle q_{s}+\lVert {\vec {q}}_{v}\rVert i}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Коммутативные подстроки [ править ]

Отношения кватернионов друг с другом в сложных подплосках также могут быть идентифицированы и выражены в терминах коммутативных подколец . В частности, поскольку два кватерниона p и q коммутируют (т. Е. Pq = qp ), только если они лежат в одной и той же комплексной подплоскости , профиль как объединение комплексных плоскостей возникает, когда кто-то пытается найти все коммутативные подкольца кольца кватернионов . Этот метод коммутативных подколец также используется для профилирования разделенных кватернионов , которые как алгебра над действительными числами изоморфны действительным матрицам 2 × 2 .${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Функции кватернионной переменной [ править ]

Подобно функциям комплексной переменной , функции кватернионной переменной предлагают полезные физические модели. Например, исходные электрические и магнитные поля, описанные Максвеллом, были функциями кватернионной переменной. Примеры других функций включают расширение множества Мандельброта и множеств Жюлиа в 4-мерное пространство. ^[36]

Экспоненциальные, логарифмические и степенные функции [ править ]

Учитывая кватернион,

${\displaystyle q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+\mathbf {v} }$

экспонента вычисляется как ^[37]

${\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right)~~}$

а логарифм равен ^[37]

${\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}~~}$

Отсюда следует, что полярное разложение кватерниона можно записать

${\displaystyle q=\|q\|e^{{\hat {n}}\varphi }=\|q\|\left(\cos(\varphi )+{\hat {n}}\sin(\varphi )\right),}$

где угол ^[e]${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle a=\|q\|\cos(\varphi )}$

а единичный вектор определяется как:${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\varphi )\,.}$

Любой кватернион единицы может быть выражен в полярной форме как .${\displaystyle e^{{\hat {n}}\varphi }}$

Мощности кватерниона , возведенной в произвольной (реальный) показатель х определяется по формуле:

${\displaystyle q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}\left(\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(x\varphi )\right)~.}$

Геодезическая норма [ править ]

Геодезическое расстояние d _г ( р , д ) между единичным кватернионами р и ц определяются следующим образом:

${\displaystyle d_{\text{g}}(p,q)=\lVert \ln(p^{-1}q)\rVert .}$^[39]

и составляет по абсолютной величине половины угла, р и д вдоль большой дуги из S ³ сферы. Этот угол также можно вычислить из кватернионного точечного произведения без логарифма как:

${\displaystyle \arccos(2(p\cdot q)^{2}-1).}$

Трехмерные и четырехмерные группы вращения [ править ]

Слово « сопряжение », помимо значения, данного выше, также может означать преобразование элемента a в r a r ^-1, где r - некоторый ненулевой кватернион. Все элементы, сопряженные с данным элементом (в этом смысле слова сопряженные), имеют одинаковую действительную часть и одинаковую норму векторной части. (Таким образом, сопряженное в другом смысле является одним из сопряженных в этом смысле.)

Таким образом, мультипликативная группа ненулевых кватернионов действует путем сопряжения на копию, состоящую из кватернионов с действительной частью, равной нулю. Сопряжение единичного кватерниона (кватерниона с абсолютным значением 1) с действительной частью cos ( φ ) представляет собой поворот на угол 2 φ , при этом ось вращения является направлением векторной части. Преимущества кватернионов:${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• Как избежать блокировки кардана , проблема с такими системами, как углы Эйлера .
• Быстрее и компактнее матриц .
• Неособое представление (например, по сравнению с углами Эйлера).
• Пары единичных кватернионов представляют вращение в четырехмерном пространстве (см. Вращения в четырехмерном евклидовом пространстве: Алгебра четырехмерных вращений ).

Множество всех единичных кватернионов ( версоров ) образует 3-сферу S ³ и группу ( группу Ли ) при умножении, дважды покрывая группу SO (3, ℝ) вещественных ортогональных матриц размера 3 × 3  с определителем  1, поскольку две единичные кватернионы соответствуют каждому вращению при указанном выше соответствии. Смотрите трюк с тарелкой .

Образ подгруппы версоров - это точечная группа , и, наоборот, прообраз точечной группы - подгруппа версоров. Прообраз конечной точечной группы называется тем же именем с префиксом binary . Например, прообраз группы икосаэдра является бинарная группа икосаэдра .

Группа версоров изоморфна SU (2) , группе комплексных унитарных матриц 2 × 2 определителя  1.

Пусть A будет набором кватернионов вида a + b i + c j + d k, где a, b, c и d либо все целые числа, либо все полуцелые числа . Множество A представляет собой кольцо (фактически область ) и решетку и называется кольцом кватернионов Гурвица . В этом кольце 24 единичных кватерниона, и они являются вершинами правильной 24 клетки с символом Шлефли {3,4,3}.Они соответствуют двойной крышке вращательной группы симметрии правильного тетраэдра . Точно так же вершины правильной 600-й ячейки с символом Шлефли {3,3,5}  могут быть взяты за единичные икозианы , соответствующие двойному покрытию группы вращательной симметрии правильного икосаэдра . Двойная крышка вращательной группы симметрии правильного октаэдра соответствует кватернионам, которые представляют вершины дисфеноидальной 288-ячейки .

Кватернионные алгебры [ править ]

Кватернионы могут быть обобщены на другие алгебры, называемые алгебрами кватернионов . Пусть F - любое поле с характеристикой, отличной от 2, а a и b - элементы F ; четырехмерный унитарная ассоциативная алгебра может быть определена над F с базисом 1, я , J , и Ij , где я ² = , J ² = Ь и IJ = - джи (так (Ij) ²= - ab ).

Алгебры кватернионов изоморфны алгебре матриц 2 × 2  над F или образуют алгебры с делением над F , в зависимости от выбора a и b .

Кватернионы как четная часть Cl _3,0 (ℝ) [ править ]

Полезность кватернионов для геометрических вычислений можно обобщить на другие измерения путем определения кватернионов как даже часть из алгебры Клиффорда Это ассоциативный поливектор алгебра строится из фундаментальных базисных элементов сг 1 , σ 2 , σ 3 с использованием правил продукции${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} ).}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=1,}$

${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\qquad (j\neq i).}$

Если взять эти фундаментальные базисные элементы для представления векторов в трехмерном пространстве, то окажется, что отражение вектора r в плоскости, перпендикулярной единичному вектору w, можно записать:

${\displaystyle r^{\prime }=-w\,r\,w.}$

Два отражения совершают поворот на угол, вдвое превышающий угол между двумя плоскостями отражения, поэтому

${\displaystyle r^{\prime \prime }=\sigma _{2}\sigma _{1}\,r\,\sigma _{1}\sigma _{2}}$

соответствует повороту на 180 ° в плоскости, содержащей σ ₁ и σ ₂ . Это очень похоже на соответствующую формулу кватерниона,

${\displaystyle r^{\prime \prime }=-\mathbf {k} \,r\,\mathbf {k} .}$

На самом деле они идентичны, если мы проведем идентификацию

${\displaystyle \mathbf {k} =\sigma _{2}\sigma _{1}\,,\quad \mathbf {i} =\sigma _{3}\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {j} =\sigma _{1}\sigma _{3}\,,}$

и несложно подтвердить, что это сохраняет соотношения Гамильтона

${\displaystyle \mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {i\,j\,k} =-1~.}$

На этом рисунке так называемые «векторные кватернионы» (то есть чисто мнимые кватернионы) соответствуют не векторам, а бивекторам - величинам, величина и ориентация которых связаны с конкретными 2D-  плоскостями, а не с одномерными  направлениями . Связь с комплексными числами также становится более ясной: в 2D, с двумя направлениями вектора σ ₁ и σ ₂ , есть только один бивекторный базисный элемент σ ₁ σ ₂ , поэтому только один мнимый. Но в 3D с тремя векторными направлениями есть три бивекторных базисных элемента σ ₁ σ ₂ , σ ₂σ ₃ , σ ₃ σ ₁ , так что три воображаемых.

Это рассуждение распространяется дальше. В алгебре Клиффорда есть шесть бивекторных базисных элементов, поскольку с четырьмя различными основными направлениями вектора можно определить шесть разных пар и, следовательно, шесть различных линейно независимых плоскостей. Вращения в таких пространствах с использованием этих обобщений кватернионов, называемых роторами , могут быть очень полезны для приложений, включающих однородные координаты . Но только в 3D количество базисных бивекторов равно количеству базисных векторов, и каждый бивектор может быть идентифицирован как псевдовектор .${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4,0}(\mathbb {R} ),}$

Размещение кватернионов в этом более широком контексте дает несколько преимуществ: ^[40]

• Роторы являются естественной частью геометрической алгебры и легко понимаются как кодирование двойного отражения.
• В геометрической алгебре ротор и объекты, на которые он действует, живут в одном пространстве. Это устраняет необходимость изменять представления и кодировать новые структуры данных и методы, что традиционно требуется при дополнении линейной алгебры кватернионами.
• Роторы универсально применимы к любому элементу алгебры, не только к векторам и другим кватернионам, но также к линиям, плоскостям, окружностям, сферам, лучам и так далее.
• В конформной модели евклидовой геометрии роторы позволяют кодировать вращение, перемещение и масштабирование в одном элементе алгебры, универсально воздействуя на любой элемент. В частности, это означает, что роторы могут представлять вращение вокруг произвольной оси, тогда как кватернионы ограничены осью через начало координат.
• Преобразования, кодируемые ротором, делают интерполяцию особенно простой.
• Роторы естественно переносятся на псевдо-евклидовых пространств , к примеру, пространство Минковского в специальной теории относительности . В таких пространствах роторы можно использовать для эффективного представления повышения Лоренца и для интерпретации формул, включающих гамма-матрицы .

Для получения дополнительной информации о геометрическом использовании алгебр Клиффорда см. Геометрическая алгебра .

Группа Брауэра [ править ]

Кватернионы «по сути» единственная (нетривиальная) центральная простая алгебра (CSA) над действительными числами в том смысле, что каждая CSA над действительными числами является эквивалентом Брауэра либо действительным числам, либо кватернионам. Явно группа Брауэра действительных чисел состоит из двух классов, представленных действительными числами и кватернионами, где группа Брауэра представляет собой набор всех CSA, вплоть до отношения эквивалентности одного CSA, являющегося матричным кольцом над другим. Согласно теореме Артина – Веддерберна (в частности, части Веддерберна), все CSA являются матричными алгебрами над алгеброй с делением, и, таким образом, кватернионы являются единственной нетривиальной алгеброй с делением над действительными числами.

CSA - кольца над полем, которые являются простыми алгебрами (не имеют нетривиальных двусторонних идеалов, как и в случае с полями), центром которых является в точности поле, - являются некоммутативным аналогом полей расширений и являются более ограничительными, чем общие расширения колец. . Тот факт, что кватернионы являются единственным нетривиальным CSA над действительными числами (с точностью до эквивалентности), можно сравнить с тем фактом, что комплексные числа являются единственным нетривиальным расширением поля действительных чисел.

Котировки [ править ]

Я рассматриваю это как неэлегантность или несовершенство в кватернионах или, скорее, в том состоянии, в котором оно было до сих пор развернуто, всякий раз, когда становится или кажется необходимым прибегнуть к помощи x, y, z и т. Д.

-  Уильям Роуэн Гамильтон ^[41]

Говорят, что время имеет только одно измерение, а пространство - три измерения. ... Математический кватернион состоит из обоих этих элементов; на техническом языке это можно назвать «время плюс пространство» или «пространство плюс время»: и в этом смысле он имеет или, по крайней мере, включает ссылку на четыре измерения. И каким может быть Один Времени, Три Пространства, Могут быть в Цепи Символов .

-  Уильям Роуэн Гамильтон ^{[42] [ требуется полная ссылка ]}

Кватернионы пришли от Гамильтона после того, как он проделал действительно хорошую работу; и, хотя они были прекрасны и изобретательны, они были несмешанным злом для тех, кто хоть как-то прикоснулся к ним, включая Клерка Максвелла .

-  У. Томпсон, лорд Кельвин (1892) ^{[ необходима цитата ]}

Позже я пришел к выводу, что с точки зрения векторного анализа, который мне требовался, кватернион не только не требовался, но и был положительным злом немалой величины; и что благодаря его избеганию создание векторного анализа стало довольно простым, и его работа также была упрощена, и что его можно было удобно согласовать с обычной декартовой работой.

-  Оливер Хевисайд (1893) ^[43]

Ни матрицы, ни кватернионы, ни обычные векторы не были исключены из этих десяти [дополнительных] глав. Ибо, несмотря на неоспоримую мощь современного тензорного исчисления, эти старые математические языки, на мой взгляд, продолжают давать заметные преимущества в ограниченной области специальной теории относительности. Более того, как в науке, так и в повседневной жизни, владение более чем одним языком также ценно, поскольку оно расширяет наши взгляды, способствует критике и защищает от ипостаси [слабого основания] этого вопрос, выраженный словами или математическими символами.

-  Людвик Зильберштейн (1924) ^{[44] [ требуется полная ссылка ]}

... кватернионы, кажется, источают атмосферу упадка девятнадцатого века как довольно неудачный вид в борьбе за жизнь математических идей. По общему признанию, математики до сих пор хранят в своих сердцах теплое место из-за замечательных алгебраических свойств кватернионов, но, увы, такой энтузиазм мало что значит для упрямого физика.

-  Саймон Л. Альтманн (1986) ^[45]

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Книги и публикации [ править ]

Ссылки и монографии [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике по алгебре ассоциативной композиции есть страница по теме: Кватернионы

Найдите кватернион в Викисловаре, бесплатном словаре.

• СМИ, связанные с кватернионами на Викискладе?