Подкольцо

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Основные понятия Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Основание - круговое кольцо p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • База - p целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • p -адические рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • База - p вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , А Подкольцо из R представляет собой подмножество из кольца , что сам по себе кольцо , когда бинарные операции сложения и умножения на R ограничены подмножество, и которая разделяет ту же мультипликативная идентичность , как R . Для тех, кто определяет кольца, не требуя существования мультипликативной идентичности, подкольцо R - это просто подмножество R, которое является кольцом для операций R (это означает, что оно содержит аддитивную идентичность R). Последнее дает строго более слабое условие, даже для колец, которые действительно имеют мультипликативную идентичность, так что, например, все идеалы становятся подкольцами (и они могут иметь мультипликативную идентичность, отличную от таковой в R ). С определением, требующим мультипликативного тождества (которое используется в этой статье), единственным идеалом кольца R, которое является подкольцом R, является само R.

Определение [ править ]

Подкольцо кольца ( R , +, *, 0, 1) представляет собой подмножество S из R , который сохраняет структуру кольца, т.е. кольцо ( S +, *, 0, 1) с S ⊆ R . Эквивалентно, это одновременно подгруппа в ( R , +, 0) и подмоноид в ( R , ∗, 1) .

Примеры [ править ]

Кольцо и его частные не имеют подколец (с мультипликативной единицей), кроме полного кольца.${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Каждое кольцо имеет единственное наименьшее подкольцо, изоморфное некоторому кольцу с неотрицательным целым числом n (см. Характеристику ). Целые числа соответствуют n = 0 в этом утверждении, поскольку изоморфно .${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /0\mathbb {Z} }$

Subring test [ править ]

Тест Подкольца является теоремой , которая утверждает , что для любого кольца R , A подмножество S из R является подкольцом тогда и только тогда , когда она закрыта относительно умножения и вычитания, и содержит мультипликативную идентичность R .

В качестве примера, кольцо Z из целых чисел является подкольцом поля из действительных чисел , а также подкольцо кольца многочленов Z [ X ].

Расширения звонков [ править ]

Если S является подкольцом кольца R , то же самым R называется быть кольцо продолжение из S , записывается в виде R / S в аналогичном обозначении, что и для расширений полей .

Подкольцо, созданное набором [ править ]

Пусть R - кольцо. Любое пересечение подколец R снова подкольцо R . Поэтому, если Х является любое подмножество R , пересечение всех подкольцах R , содержащий X является подкольцом S из R . S является наименьшим подкольцом R , содержащим X . («Наименьший» означает, что если T - любое другое подкольцо R, содержащее X , то S содержится в T. ) S называется подкольцом R генерируется с помощью X . Если S = R, то можно сказатьчто кольцо R будет генерироваться с помощью X .

Отношение к идеалам [ править ]

Собственные идеалы являются подкольцами (без единицы), которые закрыты под левой и правой умножения на элементы из R .

Если опустить требование, чтобы кольца имели единичный элемент, тогда подкольца должны быть только непустыми и в противном случае соответствовать структуре кольца, а идеалы становятся подкольцами. Идеалы могут иметь или не иметь свою собственную мультипликативную идентичность (отличную от идентичности кольца):

• Идеал I = {( z , 0) | z in Z } кольца Z × Z = {( x , y ) | x , y в Z } с покомпонентным сложением и умножением имеет тождество (1,0), которое отличается от тождества (1,1) кольца. Так я это кольцо с единицей, и «Подкольцо-без единства», но не «Подкольцо-с-единство» Z × Z .
• Собственные идеалы Z не имеют мультипликативного тождества.

Если я это идеал коммутативной кольца R , то пересечение I с любым подкольцом S из R остается простым в S . В этом случае говорят , что я лежит над I  ∩  S . Ситуация более сложная, когда R не коммутативно.

Профиль по коммутативным подстрокам [ править ]

Кольцо может быть профилировано ^{[ требуется пояснение ]} с помощью множества коммутативных подколец, которые оно содержит:

• Кватернионов кольцо Н содержит только комплексную плоскость в виде плоской подкольцу
• Coquaternion кольцо содержит три типа коммутативных плоских подколец: на двойной номер плоскость, то двойные числа плоскости, а также обычную комплексную плоскость
• Кольцо 3 × 3 вещественных матрицы содержит также 3-мерные коммутативных подкольца порожденных единичной матрицы и нильпотентной е 3 - го порядка (εεε = 0 ≠ εε). Например, группа Гейзенберга может быть реализована как объединение групп единиц двух из этих нильпотентно порожденных подколец матриц 3 × 3.

См. Также [ править ]

• Интегральное расширение
• Расширение группы
• Алгебраическое расширение
• Расширение руды

Ссылки [ править ]

• Иэн Т. Адамсон (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. С. 14–16. ISBN 0-05-002192-3.
• Страница 84 из Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848,13001
• Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . С.  15–17 . ISBN 0-521-33718-6.