Кольцо (математика)

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , кольца являются алгебраические структуры , обобщающие поля : необходимость умножения не быть коммутативных и мультипликативные обратными не должны существовать. Другими словами, кольцо представляет собой набор оснащен двумя бинарными операциями , удовлетворяющая свойства , аналогичные добавления и умножения из целых чисел . Элементы кольца могут быть числами, такими как целые или комплексные числа , но они также могут быть нечисловыми объектами, такими как многочлены ,квадратные матрицы , функции и степенные ряды .

Формально кольцо - это абелева группа , операция которой называется сложением , а вторая бинарная операция, называемая умножением , является ассоциативной , распределительной по операции сложения и имеет мультипликативный тождественный элемент . (Некоторые авторы используют термин «кольцо» для обозначения более общей структуры, которая опускает это последнее требование; см. § Примечания к определению .)

Независимо от того, является ли кольцо коммутативным (то есть может ли порядок, в котором перемножаются два элемента, изменить результат), имеет большое значение для его поведения. Коммутативная алгебра , теория коммутативных колец , является основным разделом теории колец . На его развитие большое влияние оказали проблемы и идеи алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии . Простейшие коммутативные кольца - это кольца, допускающие деление на ненулевые элементы; такие кольца называются полями .

Примеры коммутативных колец включают множество целых чисел с их стандартным сложением и умножением, множество многочленов с их сложениями и умножением, то координатное кольцо из в аффинном алгебраическом многообразии , а кольцо целых числового поля. Примеры некоммутативных колец включают кольцо вещественных квадратных матриц размера n × n с n ≥ 2 , групповые кольца в теории представлений , операторные алгебры в функциональном анализе , кольца дифференциальных операторов и кольца когомологий втопология .

Концептуализация колец охватила период с 1870-х по 1920-е годы с ключевыми вкладами Дедекинда , Гильберта , Френкеля и Нётер . Кольца были впервые формализованы как обобщение дедекиндовских областей, которые встречаются в теории чисел , а также колец полиномов и колец инвариантов, которые встречаются в алгебраической геометрии и теории инвариантов . Позже они оказались полезными в других областях математики, таких как геометрия и анализ .

Определение [ править ]

Кольцо представляет собой набор R оснащены два бинарных операциями ^[а] + (сложение) и ⋅ (умножение) , удовлетворяющих следующие три набора аксиом, называемые кольцевые аксиомами ^{[1] [2] [3]}

1. R является абелевой группой при добавлении, что означает, что:
   • ( a + b ) + c = a + ( b + c ) для всех a , b , c в R    (то есть + ассоциативен ).
   • a + b = b + a для всех a , b в R    (т.е. + коммутативен ).
   • В R существует элемент 0 такой, что a + 0 = a для всех a в R    (то есть 0 является аддитивной единицей ).
   • Для каждого a в R существует - a в R такое, что a + (- a ) = 0 (то есть - a является аддитивным обратным к a ).
2. R является моноидом относительно умножения, а это означает, что:
   • ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ) для всех a , b , c в R    (то есть ⋅ ассоциативно).
   • В R существует элемент 1 такой, что a ⋅ 1 = a и 1 ⋅ a = a для всех a в R    (то есть 1 - мультипликативная единица ). ^[b]
3. Умножение распределительно по отношению к сложению, что означает, что:
   • a ⋅ ( b + c ) = ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) для всех a , b , c в R    (левая дистрибутивность).
   • ( b + c ) ⋅ a = ( b ⋅ a ) + ( c ⋅ a ) для всех a , b , c в R    (правая дистрибутивность).

Примечания к определению [ править ]

В терминологии этой статьи кольцо определяется как имеющее мультипликативную идентичность, а структура с таким же аксиоматическим определением, но для требования мультипликативной идентичности называется rng (IPA: / r ʊ ŋ / ). Например, набор четных целых чисел с обычными + и ⋅ является rng, но не кольцом. Как объясняется в § История ниже, многие авторы применяют термин «кольцо», не требуя мультипликативного тождества.

Символ умножения ⋅ обычно опускается; например, xy означает x ⋅ y .

Хотя сложение колец коммутативно , умножение колец не обязательно должно быть коммутативным: ab не обязательно равно ba . Кольца, которые также удовлетворяют коммутативности для умножения (например, кольцо целых чисел), называются коммутативными кольцами . Книги по коммутативной алгебре или алгебраической геометрии часто принимают соглашение, что кольцо означает коммутативное кольцо , для упрощения терминологии.

В кольце наличие мультипликативных инверсий не требуется. A Non нулевой коммутативное кольцо , в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный называется полем .

Аддитивная группа кольца - это базовый набор, оснащенный только операцией сложения. Хотя определение требует, чтобы аддитивная группа была абелевой, это можно вывести из других аксиом кольца. ^[4] Доказательство использует «1» и не работает в группе. (Для цепочки опускание аксиомы коммутативности сложения оставляет ее выводимой из оставшихся предположений цепочки только для элементов, которые являются произведениями: ab + cd = cd + ab .)

Хотя большинство современных авторов используют термин «кольцо», как здесь определено, некоторые используют этот термин для обозначения более общих структур, в которых нет требования, чтобы умножение было ассоциативным. ^[5] Для этих других каждая алгебра является «кольцом».

Иллюстрация [ править ]

Самый известный пример кольца - это набор всех целых чисел , состоящий из чисел${\displaystyle \mathbf {Z} }$

..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Знакомые свойства сложения и умножения целых чисел служат моделью для аксиом кольца.

Некоторые свойства [ править ]

Некоторые основные свойства кольца непосредственно следуют из аксиом:

• Аддитивная идентичность уникальна.
• Аддитивная инверсия каждого элемента уникальна.
• Мультипликативная идентичность уникальна.
• Для любого элемента x в кольце R выполняется x 0 = 0 = 0 x (ноль является поглощающим элементом относительно умножения) и (–1) x = - x .
• Если 0 = 1 в кольце R (или, в более общем смысле, 0 - это единичный элемент), то R имеет только один элемент и называется нулевым кольцом .
• Если кольцо R содержит нулевое кольцо в качестве подкольца, то само R является нулевым кольцом. ^[6]
• Биномиальная формула справедлива для любых х и у , удовлетворяющий х = ух .

Пример: целые числа по модулю 4 [ править ]

Оснастите набор следующими операциями:${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} =\left\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\right\}}$

• Сумма в Z / 4 Z - это остаток от деления целого числа x + y на 4 (поскольку x + y всегда меньше 8, этот остаток равен либо x + y, либо x + y - 4 ). Например, и .${\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$${\displaystyle {\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}}$${\displaystyle {\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}}$
• Произведение в Z / 4 Z - это остаток от деления целого числа xy на 4. Например, и .${\displaystyle {\overline {x}}\cdot {\overline {y}}}$${\displaystyle {\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}}$${\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}}$

Тогда Z / 4 Z представляет собой кольцо: каждая аксиома следует из соответствующей аксиомы для Z . Если x является целым числом, остаток от x при делении на 4 можно рассматривать как элемент Z / 4 Z , и этот элемент часто обозначается как « x mod 4» или , что согласуется с обозначением для 0, 1 , 2, 3. Аддитивная инверсия любого в Z / 4 Z есть . Например,${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle {\overline {x}}}$${\displaystyle {\overline {-x}}}$${\displaystyle -{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.}$

Пример: матрицы 2 на 2 [ править ]

Набор квадратных матриц 2 на 2 с элементами в поле F равен ^{[7] [8] [9] [10]}

${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in F\right\}.}$

С операциями сложения матриц и умножения матриц , удовлетворяет указанным выше кольцевых аксиом. Элемент является мультипликативной единицей кольца. Если и , то в то время как ; этот пример показывает, что кольцо некоммутативно.${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)}$${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle A=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle B=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle AB=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$${\displaystyle BA=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$

В более общем смысле, для любого кольца R , коммутативного или нет, и любого неотрицательного целого числа n квадратные матрицы размерности n с элементами в R образуют кольцо: см. Кольцо матриц .

История [ править ]

Дедекинд [ править ]

Изучение колец возникло из теории колец многочленов и теории целых алгебраических чисел . ^[11] В 1871 году Ричард Дедекинд определил понятие кольца целых чисел числового поля. ^[12] В этом контексте он ввел термины «идеальный» (вдохновленный понятием идеального числа Эрнста Куммера ) и «модуль» и изучил их свойства. Дедекинд не использовал термин «кольцо» и не определял понятие кольца в общем контексте.

Гильберт [ править ]

Термин «Zahlring» (кольцо с цифрами) был придуман Дэвидом Гильбертом в 1892 году и опубликован в 1897 году. ^[13] В немецком языке 19-го века слово «Ring» могло означать «ассоциация», которое до сих пор используется в английском языке в ограниченном количестве. смысл (например, шпионская сеть), ^[14] так что, если бы это была этимология, то это было бы похоже на то, как «группа» вошла в математику, будучи нетехническим словом для «совокупности связанных вещей». По словам Харви Кона, Гильберт использовал термин для обозначения кольца, которое имело свойство «возвращаться назад» к элементу самого себя (в смысле эквивалентности ). ^[15]В частности, в кольце алгебраических целых чисел все высокие степени алгебраического целого числа могут быть записаны как целая комбинация фиксированного набора нижних степеней, и, таким образом, степени "циклически возвращаются". Например, если a ³ - 4 a + 1 = 0, то a ³ = 4 a - 1 , a ⁴ = 4 a ² - a , a ⁵ = - a ² + 16 a - 4 , a ⁶ = 16 a ² - 8 а + 1 , а ⁷ = −8a ² + 65 a - 16 и т. д .; в общем, ^п будет целочисленной линейной комбинацией 1,, и  в ² .

Френкель и Нётер [ править ]

Первое аксиоматическое определение кольца было дано Адольфом Френкелем в 1915 году ^{[16] [17],} но его аксиомы были строже, чем в современном определении. Например, он требовал, чтобы каждый ненулевой делитель имел мультипликативный обратный . ^[18] В 1921 году Эмми Нётер дала современное аксиоматическое определение коммутативных колец (с единицей и без единицы) и разработала основы теории коммутативных колец в своей статье Idealtheorie in Ringbereichen . ^[19]

Мультипликативная идентичность и термин "кольцо" [ править ]

Аксиомы Френкеля для «кольца» включали аксиомы мультипликативного тождества ^[20], тогда как аксиомы Нётер этого не делали. ^[19]

Почти все книги по алгебре ^{[21] [22]} вплоть до 1960 г. следовали соглашению Нётер о том, что для «кольца» не требуется 1. Начиная с 1960-х годов, все чаще можно было увидеть книги, в которых упоминалось о существовании 1 в определении «кольца», особенно в продвинутых книгах таких известных авторов, как Артин, ^[23] Атия и Макдональд, ^[24] Бурбаки, ^{[25]. ]} Eisenbud, ^[26] и Lang. ^[27] Есть также книги, опубликованные в 2006 году, в которых этот термин используется без требования к 1. ^{[28] [29] [30]}

Гарднер и Вигандт утверждают, что при работе с несколькими объектами в категории колец (в отличие от работы с фиксированным кольцом), если требуется, чтобы все кольца имели единицу, то некоторые последствия включают отсутствие существования бесконечных прямых сумм кольца, и что собственные прямые слагаемые колец не являются подкольцами. Они приходят к выводу, что «во многих, а может, и в большинстве ветвей теории колец требование существования элемента единства неразумно и, следовательно, неприемлемо». ^[31] Пуненвыдвигает контраргумент о том, что кольца без мультипликативной идентичности не являются полностью ассоциативными (произведение любой конечной последовательности элементов кольца, включая пустую последовательность, четко определено, независимо от порядка операций), и пишет: «естественное расширение ассоциативности требует что кольца должны содержать пустой продукт, поэтому естественно требовать, чтобы кольца имели 1 ". ^[32]

Авторы, которые следуют любому соглашению об использовании термина «кольцо», могут использовать один из следующих терминов для обозначения объектов, удовлетворяющих другому соглашению:

• включить требование мультипликативной идентичности: «унитальное кольцо», «унитарное кольцо», «единичное кольцо», «кольцо с единицей», «кольцо с идентичностью», «кольцо с единицей», ^[33] или «кольцо с единицей». ". ^[34]
• опустить требование мультипликативного тождества: «rng» ^[35] или «псевдокольцо» ^[36], хотя последнее может сбивать с толку, потому что оно также имеет другие значения.

Основные примеры [ править ]

Коммутативные кольца [ править ]

• Типичным примером является кольцо целых чисел с двумя операциями сложения и умножения.
• Рациональные, действительные и комплексные числа представляют собой коммутативные кольца типа, называемого полями .
• Ассоциативная алгебра с единицей над коммутативным кольцом R сама является кольцом, а также R -модулем . Некоторые примеры:
  • Алгебра R [ X ] из многочленов с коэффициентами из R . В качестве R - модуль, R [ X ] является свободным бесконечного ранга.
  • Алгебра R [[ X ₁ , ..., X _п ]] из формальных степенных рядов с коэффициентами в R .
  • Множество всех непрерывных действительных функций, определенных на вещественной прямой, образует коммутативную R -алгебру. Это поточечное сложение и умножение функций.
  • Пусть X - множество, а R - кольцо. Тогда множество всех функций от X до R образует кольцо, которое коммутативно, если R коммутативно. Кольцо непрерывных функций в предыдущем примере , является подкольцом этого кольца , если Х представляет собой прямую и R = R .
• ${\displaystyle \mathbf {Z} [c]}$, целые числа с соединенными действительным или комплексным числом c . В Z - модуль, он свободен от бесконечного ранга , если с является трансцендентным , свободный от конечного ранга , если с является целым алгебраическим, а не свободен в противном случае.
• ${\displaystyle \mathbf {Z} [1/10]}$, набор десятичных дробей . Не бесплатен как Z -модуль.
• ${\displaystyle \mathbf {Z} \left[\left(1+{\sqrt {d}}\right)/2\right]}$, где d - целое число без квадратов вида 4 n + 1 , где d 1 . Свободный Z -модуль ранга 2. См. Квадратичное целое число .
• ${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$, гауссовские целые числа .
• ${\displaystyle \mathbf {Z} [\left(1+{\sqrt {-3}}\right)/2]}$, целые числа Эйзенштейна .
• Предыдущие два примера являются случаи п = 4 и п = 3 из кругового кольца Z [ζ _п ] .
• Предыдущие четыре примеров являются случаями кольца целых чисел одного числового поля K , определяемым как множество алгебраических чисел в K .
• Множество всех алгебраических чисел в C образует кольцо называется целое замыкание из Z в C .
• Если S - множество, то набор степеней S становится кольцом, если мы определяем сложение как симметричную разность множеств, а умножение как пересечение . Это пример логического кольца .

Некоммутативные кольца [ править ]

• Для любого кольца R и любого натурального числа п , множество всех квадратных п матрицы с размерностью п матриц с элементами из R , образует кольцо с матрицей сложением и умножением матриц в качестве операций. Для п = 1 , эта матрица кольцо изоморфно R сам. При n > 1 (и R не нулевое кольцо) это кольцо матриц некоммутативно.
• Если G является абелевой группой , то эндоморфизмами из G образуют кольцо, кольцо эндоморфизмов End ( G ) от  G . В этом кольце операции сложения и композиции эндоморфизмов. В более общем смысле, если V - левый модуль над кольцом R , то множество всех R -линейных отображений образует кольцо, также называемое кольцом эндоморфизмов и обозначаемое End _R ( V ).
• Если G является группой , и R представляет собой кольцо, то групповое кольцо из G над R представляет собой свободный модуль над R , имеющей G в качестве основы. Умножение определяется правилами , что элементы G коммутируют с элементами R и размножаются вместе , как они это делают в группе G .
• Многие кольца, которые появляются при анализе, некоммутативны. Например, большинство банаховых алгебр некоммутативны.

Без звонков [ править ]

Основные понятия [ править ]

Продукты и возможности [ править ]

Для каждого неотрицательного целого числа n , учитывая последовательность из n элементов R , можно определить произведение рекурсивно: пусть P ₀ = 1 и пусть P _m = P _{m −1} a _m для 1 ≤ m ≤ n .${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$${\displaystyle \textstyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}}$

В качестве частного случая можно определить целые неотрицательные степени элемента a кольца: a ⁰ = 1 и a ⁿ = a ^{n −1} a для n ≥ 1 . Тогда a ^{m + n} = a ^m a ⁿ для всех m , n ≥ 0 .

Элементы в кольце [ править ]

Левый делитель нуля кольца представляет собой элемент в кольце таким образом, что существует ненулевой элемент из таких , что . ^[c] Правый делитель нуля определяется аналогично.${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle R}$${\displaystyle ab=0}$

Нильпотентный элемент является элементом , таким образом, что для некоторых . Одним из примеров нильпотентного элемента является нильпотентная матрица . Нильпотентный элемент ненулевого кольца обязательно является делителем нуля.${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{n}=0}$${\displaystyle n>0}$

Идемпотентная является элементом таким образом, что . Одним из примеров идемпотентного элемента является проекция в линейной алгебре.${\displaystyle e}$${\displaystyle e^{2}=e}$

Блок представляет собой элемент , имеющий мультипликативный обратный ; в этом случае инверсия единственна и обозначается . Множество единиц кольца - это группа кольцевого умножения; эта группа обозначается или или . Например, если R - кольцо всех квадратных матриц размера n над полем, то состоит из множества всех обратимых матриц размера n и называется общей линейной группой .${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle R^{\times }}$${\displaystyle R^{*}}$${\displaystyle U(R)}$${\displaystyle R^{\times }}$

Подкольцо [ править ]

Подмножество S из R называется подкольцом , если любой из следующих эквивалентных условий:

• сложение и умножение R ограничивают , чтобы дать операции S  ×  S  →  S делает S кольцо с той же мультипликативной идентичности как  R .
• 1 ∈  S ; и для всех х ,  у в  S , элементы х , х  +  у , а - х в  S .
• S можно снабдить операциями, делающими его кольцом, так что отображение включения S  →  R является гомоморфизмом колец.

Например, кольцо Z целых чисел является подкольцом поля действительных чисел, а также подкольцом кольца многочленов Z [ X ] (в обоих случаях Z содержит 1, которая является мультипликативной единицей больших колец). С другой стороны, подмножество четных целых чисел 2 Z не содержит единичного элемента 1 и, следовательно, не квалифицируется как подкольцо  Z ; можно было бы назвать 2 Z subrng , однако.

Пересечение подколец - это подкольцо. Учитывая подмножество Е из R , наименьший подкольцу R , содержащим Е является пересечением всех подкольцах R , содержащим  Е , и это называется подкольцо , порожденное Е .

Для кольца R , наименьший подкольцо R называется характерный подкольцо из R . Его можно сгенерировать путем сложения копий 1 и -1. Возможно, что ( n раз) может быть равно нулю. Если п есть наименьшее целое положительное число такое , что это происходит, то п называется характеристику из  R . В некоторых кольцах никогда не бывает нуля ни для какого положительного целого числа n , и говорят, что эти кольца имеют нулевую характеристику .${\displaystyle n\cdot 1=1+1+\ldots +1}$${\displaystyle n\cdot 1}$

Учитывая кольцо R , пусть обозначим множество всех элементов х в R такой , что х коммутирует с каждым элементом в R : для любого у в  R . Тогда это подкольцо  R , называется центром в  R . В более общем плане , учитывая подмножество Х из  R , пусть S будет множество всех элементов в R , которые коммутируют с каждым элементом в  X . Тогда S - подкольцо в  R , называемое централизатором.${\displaystyle \operatorname {Z} (R)}$${\displaystyle xy=yx}$${\displaystyle \operatorname {Z} (R)}$(или Коммутант) из  X . Центр централизатор всего кольца  R . Элементы или подмножества центра называются центральными в  R ; они (каждый в отдельности) образуют подкольцо центра.

Идеально [ править ]

Пусть R - кольцо. Левый идеал из R представляет собой непустое подмножество Я из R такое , что для любого х , у в I и г в R , элементов и в I . Если обозначает R -пространство I , то есть множество конечных сумм${\displaystyle x+y}$${\displaystyle rx}$${\displaystyle RI}$

${\displaystyle r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n}\quad {\textrm {such}}\;{\textrm {that}}\;r_{i}\in R\;{\textrm {and}}\;x_{i}\in I,}$

то I - левый идеал, если . Точно так же правый идеал - это такое подмножество I , что . Подмножество I называется двусторонним идеалом или просто идеалом, если оно одновременно является левым идеалом и правым идеалом. Односторонний или двусторонний идеал тогда аддитивная подгруппа R . Если E является подмножеством R , то является левым идеалом, называемым левым идеалом, порожденным E ; это наименьший левый идеал , содержащий Е . Кроме того , можно рассмотреть правый идеал или двусторонний идеал , порожденный подмножеством R .${\displaystyle RI\subseteq I}$${\displaystyle IR\subseteq I}$${\displaystyle RE}$

Если x находится в R , то и - левые идеалы и правые идеалы соответственно; они называются главными левыми идеалами и правыми идеалами, порожденными x . Главный идеал записывается как . Например, множество всех положительных и отрицательных кратных 2 вместе с 0 образуют идеал целых чисел, и этот идеал порождается целым числом 2. Фактически, каждый идеал кольца целых чисел является главным.${\displaystyle Rx}$${\displaystyle xR}$${\displaystyle RxR}$${\displaystyle (x)}$

Как и группа, кольцо называется простым, если оно ненулевое и у него нет собственных ненулевых двусторонних идеалов. Коммутативное простое кольцо - это в точности поле.

Кольца часто изучаются с особыми условиями, налагаемыми на их идеалы. Например, кольцо, в котором нет строго возрастающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется нётеровым слева кольцом . Кольцо, в котором нет строго убывающей бесконечной цепочки левых идеалов, называется артиновым левым кольцом . Несколько удивительно, что артиново левое кольцо является нётеровым слева ( теорема Хопкинса – Левицки ). Однако целые числа образуют нётерово кольцо, которое не является артиновым.

Для коммутативных колец идеалы обобщают классическое понятие делимости и разложения целого числа на простые числа в алгебре. Собственный идеал P из R называется простым идеалом , если для любых элементов мы имеем , что подразумевает либо или . Эквивалентно, P является простым, если для любых идеалов, которые мы имеем, подразумевает либо, либо. Эта последняя формулировка иллюстрирует идею идеалов как обобщений элементов.${\displaystyle x,y\in R}$${\displaystyle xy\in P}$${\displaystyle x\in P}$${\displaystyle y\in P}$${\displaystyle I,J}$${\displaystyle IJ\subseteq P}$${\displaystyle I\subseteq P}$${\displaystyle J\subseteq P.}$

Гомоморфизм [ править ]

Гомоморфизм из кольца ( R , +, ⋅ ) на кольце ( S , ‡, *) является функцией F от R до  S , который сохраняет кольцевые операции; а именно такой, что для всех a , b в R выполняются следующие тождества:

• f ( a + b ) = f ( a ) ‡ f ( b )
• f ( a ⋅ b ) = f ( a ) ∗ f ( b )
• f (1 _R ) = 1 _S

Если кто-то работает с rngs, то третье условие отбрасывается.

Гомоморфизм колец f называется изоморфизмом, если существует гомоморфизм, обратный к f (то есть гомоморфизм колец, являющийся обратной функцией ). Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом колец. Два кольца называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, и в этом случае одно пишет . Гомоморфизм колец одного и того же кольца называется эндоморфизмом, а изоморфизм одного и того же кольца автоморфизмом.${\displaystyle R,S}$${\displaystyle R\simeq S}$

Примеры:

• Функция, которая отображает каждое целое число x в его остаток по модулю 4 (число в {0, 1, 2, 3}), является гомоморфизмом из кольца Z в фактор-кольцо Z / 4 Z (термин "фактор-кольцо" определен ниже) .
• Если это единичный элемент в кольце R , то есть кольцевой гомоморфизм, называется внутренний автоморфизм из R .${\displaystyle u}$${\displaystyle R\to R,x\mapsto uxu^{-1}}$
• Пусть R - коммутативное кольцо простой характеристики p . Тогда кольцевой эндоморфизм R называется гомоморфизмом Фробениуса .${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$
• Группа Галуа расширения поля - это множество всех автоморфизмов L , ограничения которых на K тождественны.${\displaystyle L/K}$
• Для любого кольца R существует единственный гомоморфизм колец Z → R и единственный гомоморфизм колец R → 0 .
• Эпиморфизм (то есть, правый отменяемый морфизм) кольца не должен быть сюръективен. Например, единственное отображение Z → Q является эпиморфизмом.
• Гомоморфизм алгебры k -алгебры в алгебру эндоморфизмов векторного пространства над k называется представлением алгебры .

Учитывая кольцевой гомоморфизм , то множество всех элементов , отображенных в 0 е называется ядром из  е . Ядро двусторонний идеал  R . Изображение  е , с другой стороны, не всегда является идеальным, но это всегда подкольцо  S .${\displaystyle f:R\to S}$

Дать кольцевой гомоморфизм коммутативного кольца R в кольцо A с образом, содержащимся в центре A , то же самое, что дать структуру алгебры над R в  A (которая, в частности, дает структуру A -модуля) .

Факторное кольцо [ править ]

Понятие фактор-кольца аналогично понятию фактор-группы . Для кольца ( R , +, ⋅ ) и двустороннего идеала I в ( R , +, ⋅ ) рассматривайте I как подгруппу в ( R , +) ; то фактор - кольцо R / I есть множество смежных классов от I вместе с операциями

( a  +  I ) + ( b  +  I ) = ( a  +  b ) + I и

( а  +  я ) ( б  +  я ) = ( аб ) + я .

для всех а , б , в R . Кольцо R / I также называется фактор-кольцом .

Как и в случае фактор-группы, существует канонический гомоморфизм , задаваемый формулой . Он сюръективен и удовлетворяет следующему универсальному свойству: ${\displaystyle p\colon R\to R/I}$${\displaystyle x\mapsto x+I}$

• Если гомоморфизм колец такой, что , то существует единственный гомоморфизм такой, что .${\displaystyle f\colon R\to S}$${\displaystyle f(I)=0}$${\displaystyle {\overline {f}}\colon R/I\to S}$${\displaystyle f={\overline {f}}\circ p}$

Для любого гомоморфизма колец обращение к универсальному свойству с порождает гомоморфизм, который дает изоморфизм от к образу f .${\displaystyle f\colon R\to S}$${\displaystyle I=\ker f}$${\displaystyle {\overline {f}}\colon R/\ker f\to S}$${\displaystyle R/\ker f}$

Модуль [ править ]

Понятие модуля над кольцом обобщает понятие векторного пространства (над полем ) путем обобщения от умножения векторов на элементы поля ( скалярное умножение ) до умножения на элементы кольца. Более точно, дано кольцо R с 1, R -модуль M является абелевой группой, снабженной операцией R × M → M (сопоставляющей элемент из M каждой паре элемента из R и элемента из M ), удовлетворяющей определенные аксиомы. Эта операция обычно обозначается мультипликативно и называется умножением. Аксиомы модулей следующие: для всех a , b в R и всех x , y в M имеем:

• M - добавляемая абелева группа.
• ${\displaystyle a(x+y)=ax+ay}$
• ${\displaystyle (a+b)x=ax+bx}$
• ${\displaystyle 1x=x}$
• ${\displaystyle (ab)x=a(bx)}$

Когда кольцо некоммутативно, эти аксиомы определяют левые модули ; Правые модули определяются аналогично, записывая xa вместо ax . Это не только изменение обозначений, так как последняя аксиома правых модулей (то есть x ( ab ) = ( xa ) b ) становится ( ab ) x = b ( ax ) , если используется левое умножение (на элементы кольца) для правого модуля.

Базовыми примерами модулей являются идеалы, в том числе и само кольцо.

Несмотря на аналогичное определение, теория модулей намного сложнее, чем теория векторного пространства, в основном потому, что, в отличие от векторных пространств, модули не характеризуются (с точностью до изоморфизма) одним инвариантом ( размерностью векторного пространства ). В частности, не все модули имеют основу .

Из аксиом модулей следует, что (−1) x = - x , где первый минус означает аддитивный обратный в кольце, а второй минус аддитивный обратный в модуле. Использование этого и обозначение повторного сложения умножением на положительное целое число позволяет идентифицировать абелевы группы с модулями над кольцом целых чисел.

Любой гомоморфизм колец индуцирует структуру модуля: если f  : R → S - гомоморфизм колец, то S - левый модуль над R в силу умножения: rs = f ( r ) s . Если R коммутативно или если ф ( R ) содержится в центре из S , кольцо S называется R - алгебра . В частности, каждое кольцо является алгеброй над целыми числами.

Конструкции [ править ]

Прямой продукт [ править ]

Пусть R и S - кольца. Тогда произведение R × S можно снабдить следующей естественной кольцевой структурой:

• ( r ₁ , s ₁ ) + ( r ₂ , s ₂ ) = ( r ₁  +  r ₂ , s ₁  +  s ₂ )
• ( r ₁ , s ₁ ) ⋅ ( r ₂ , s ₂ ) = ( r ₁  ⋅  r ₂ , s ₁  ⋅  s ₂ )

для всех г ₁ , г ₂ в R и ев ₁ , ев ₂ в  S . Кольца R × S с указанными выше операциями сложения и умножения и мультипликативной идентичности называется прямым произведением из R с  S . Та же конструкция работает и для произвольного семейства колец: если кольца пронумерованы множеством I , то это кольцо с покомпонентным сложением и умножением.${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle \textstyle \prod _{i\in I}R_{i}}$

Пусть R - коммутативное кольцо и такие идеалы, что всякий раз . Тогда китайская теорема об остатках утверждает, что существует канонический изоморфизм колец:${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)}$${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x\;\operatorname {mod} \;{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x\;\operatorname {mod} \;{\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,x\;\operatorname {mod} \;{\mathfrak {a}}_{n})}$.

«Конечный» прямой продукт также можно рассматривать как прямую сумму идеалов. ^[37] А именно, пусть будут кольца, включения с изображениями (в частности кольца, но не подкольца). Тогда идеалы в R и${\displaystyle R_{i},1\leq i\leq n}$${\displaystyle \textstyle R_{i}\to R=\prod R_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$

${\displaystyle R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}}$

как прямая сумма абелевых групп (поскольку для абелевых групп конечные произведения аналогичны прямым суммам). Очевидно , что прямая сумма таких идеалов также определяет произведение колец, изоморфная  R . Точно так же все вышесказанное можно сделать с помощью центральных идемпотентов . Предположим, что R имеет указанное выше разложение. Тогда мы можем написать

${\displaystyle 1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.}$

По условиям on , есть центральные идемпотенты и (ортогональные). Опять же, можно перевернуть конструкцию. А именно, если дано разбиение 1 на ортогональные центральные идемпотенты, то пусть , которые являются двусторонними идеалами. Если каждый не является суммой ортогональных центральных идемпотентов, ^[D] , то их прямая сумма изоморфна  R .${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle e_{i}e_{j}=0,i\neq j}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i}}$${\displaystyle e_{i}}$

Важным приложением бесконечного прямого произведения является построение проективного предела колец (см. Ниже). Другое приложение - ограниченное произведение семейства колец (ср. Кольцо адела ).

Кольцо многочленов [ править ]

Для данного символа t (называемого переменной) и коммутативного кольца  R множество многочленов

${\displaystyle R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}}$

образует коммутативное кольцо с обычным сложением и умножением, содержащее R в качестве подкольца. Это называется кольцо многочленов над  R . В более общем смысле, набор всех многочленов от переменных образует коммутативное кольцо, содержащее в качестве подколец.${\displaystyle R\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle R\left[t_{i}\right]}$

Если R является областью целостности , то также является областью целостности; его поле дробей - это поле рациональных функций . Если R - нётерово кольцо, то это нётерово кольцо. Если R - уникальная область факторизации, то это уникальная область факторизации. Наконец, R является полем тогда и только тогда, когда является областью главных идеалов.${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle R[t]}$

Позвольте быть коммутативными кольцами. Для элемента x из  S можно рассмотреть гомоморфизм колец${\displaystyle R\subseteq S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)}$

(то есть подмена ). Если S = R [ t ] и x = t , то f ( t ) = f . По этой причине многочлен f также часто обозначают . Изображение карты обозначается ; это то же самое, что подкольцо S, порожденное R и  x .${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle f\mapsto f(x)}$${\displaystyle R[x]}$

Пример: обозначает образ гомоморфизма${\displaystyle k\left[t^{2},t^{3}\right]}$

${\displaystyle k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f\left(t^{2},t^{3}\right).}$

Другими словами, это подалгебра в, порожденная t ² и  t ³ .${\displaystyle k[t]}$

Пример: пусть F многочлен от одной переменной, то есть, элемент в кольце полиномов R . Тогда является элементом и делится на h в этом кольце. Результатом замены нуля на h в является производная f в  точке x .${\displaystyle f(x+h)}$${\displaystyle R[h]}$${\displaystyle f(x+h)-f(x)}$${\displaystyle (f(x+h)-f(x))/h}$${\displaystyle f'(x)}$

Подстановка - это частный случай универсального свойства кольца многочленов. Свойство гласит: для данного гомоморфизма колец и элемента x в S существует единственный гомоморфизм колец такой, что и ограничивается . ^[38] Например, при выборе базиса симметрическая алгебра удовлетворяет универсальному свойству, как и кольцо полиномов.${\displaystyle \phi :R\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}:R[t]\to S}$${\displaystyle {\overline {\phi }}(t)=x}$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$${\displaystyle \phi }$

В качестве примера пусть S - кольцо всех функций от R до самого себя; сложение и умножение принадлежат функциям. Пусть x - тождественная функция. Каждый r в R определяет постоянную функцию, вызывая гомоморфизм . Универсальное свойство говорит, что эта карта распространяется однозначно на${\displaystyle R\to S}$

${\displaystyle R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}}$

( t отображается в x ), где - полиномиальная функция, определяемая f . Полученное отображение инъективно тогда и только тогда, когда R бесконечно.${\displaystyle {\overline {f}}}$

Для непостоянного монического многочлена f in существует кольцо S, содержащее R, такое, что f является произведением линейных множителей в . ^[39]${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle S[t]}$

Пусть k - алгебраически замкнутое поле. В Гильберта о нулях (теорема нулей) утверждает , что существует естественное соответствие один к одному между множеством всех простых идеалов и множество замкнутых подмногообразий . В частности, многие локальные проблемы алгебраической геометрии могут быть решены путем изучения образующих идеала в кольце многочленов. (ср. базис Грёбнера .)${\displaystyle k\left[t_{1},\ldots ,t_{n}\right]}$${\displaystyle k^{n}}$

Есть и другие родственные конструкции. Формальный степенной ряд кольцо состоит из формальных степенных рядов${\displaystyle R[\![t]\!]}$

${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R}$

вместе с умножением и сложением, имитирующими сходящиеся ряды. Он содержит как подкольцо. Кольцо формальных степенных рядов не обладает универсальным свойством кольца многочленов; серия может не сходиться после замены. Важным преимуществом кольца формальных степенных рядов перед кольцом многочленов является то, что оно локально (фактически, полно ).${\displaystyle R[t]}$

Кольцо матриц и кольцо эндоморфизмов [ править ]

Пусть R - кольцо (не обязательно коммутативное). Множество всех квадратных матриц размера n с элементами в R образует кольцо с поэтапным сложением и обычным матричным умножением. Оно называется кольцом матриц и обозначается M _n ( R ). Для правого R -модуля множество всех R- линейных отображений из U в себя образует кольцо со сложением, которое является функцией, и умножением, которое имеет композицию функций ; оно называется кольцом эндоморфизмов U и обозначается через .${\displaystyle U}$${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)}$

Как и в линейной алгебре, матрица кольцо может быть истолковано как каноническое кольцо эндоморфизмов: . Это частный случай следующего факта: если это R -линейное отображение, то f можно записать как матрицу с элементами в , что приведет к изоморфизму колец:${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R)}$${\displaystyle f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U}$${\displaystyle f_{ij}}$${\displaystyle S=\operatorname {End} _{R}(U)}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).}$

Любой гомоморфизм колец R → S индуцирует M _n ( R ) → M _n ( S ) . ^[40]

Лемма Шура утверждает, что если U - простой правый R -модуль, то является телом. ^[41] Если - прямая сумма m _i -копий простых R -модулей , то${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)}$${\displaystyle \textstyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$${\displaystyle U_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{R}(U)\simeq \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))}$.

Теорема Артина – Веддерберна утверждает, что любое полупростое кольцо (см. Ниже) имеет такой вид.

Кольцо R и кольцо матриц M _n ( R ) над ним эквивалентны по Морите : категория правых модулей кольца R эквивалентна категории правых модулей над M _n ( R ). ^[40] В частности, двусторонние идеалы в R взаимно однозначно соответствуют двусторонним идеалам в M _n ( R ).

Пределы и копределы колец [ править ]

Пусть R _i - последовательность колец, такая что R _i - подкольцо R _{i +1} для всех i . Тогда объединение (или фильтрованный копредел ) R _i - это кольцо, определенное следующим образом: это несвязное объединение всех R _i по модулю отношения эквивалентности тогда и только тогда, когда в R _i для достаточно большого i .${\displaystyle \varinjlim R_{i}}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x=y}$

Примеры копределов:

• Кольцо многочленов от бесконечного числа переменных: ${\displaystyle R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].}$
• Алгебраическое замыкание на конечных полей одного и того же характеристики${\displaystyle {\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}.}$
• Поле формальных рядов Лорана над полем k : (это поле частных кольца формальных степенных рядов .)${\displaystyle k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]}$ ${\displaystyle k[\![t]\!]}$
• Поле функций алгебраического многообразия над полем к является где предел пробегает все кольца координат непустых открытых подмножеств U (более кратко это Стебель структурного пучка в общей точке .)${\displaystyle \varinjlim k[U]}$${\displaystyle k[U]}$

Любое коммутативное кольцо является копределом конечно порожденных подколец .

Проективный предел (или фильтруются предел ) колец определяются следующим образом . Предположим, нам дано семейство колец , i, пробегающее, скажем, положительные целые числа, и гомоморфизмы колец, такие, что все тождества и есть всякий раз . Тогда подкольцо, состоящее из таких, что отображается в нижнее .${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{j}\to R_{i},j\geq i}$${\displaystyle R_{i}\to R_{i}}$${\displaystyle R_{k}\to R_{j}\to R_{i}}$${\displaystyle R_{k}\to R_{i}}$${\displaystyle k\geq j\geq i}$${\displaystyle \varprojlim R_{i}}$${\displaystyle \textstyle \prod R_{i}}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle R_{j}\to R_{i},j\geq i}$

Пример проективного предела см. В § Завершение .

Локализация [ править ]

Локализации обобщает построение области фракций интегрального домена для произвольного кольца и модулей. Для кольца R (не обязательно коммутативного) и подмножества S в R существует кольцо вместе с гомоморфизмом колец, которое «инвертирует» S ; то есть гомоморфизм отображает элементы в S в единичные элементы в , и, более того, любой гомоморфизм колец из R, который «инвертирует» S, однозначно факторизуется . ^[42] Кольцо называется локализацией из R${\displaystyle R[S^{-1}]}$${\displaystyle R\to R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$по отношению к S . Например, если R - коммутативное кольцо, а f - элемент в R , то локализация состоит из элементов вида (точнее, ) ^[43]${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]}$${\displaystyle r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0}$${\displaystyle R\left[f^{-1}\right]=R[t]/(tf-1).}$

Локализации часто применяются к коммутативному кольцу R относительно дополнения к простому идеалу (или объединения простых идеалов) в  R . В этом случае часто пишут для . тогда является локальным кольцом с максимальным идеалом . Отсюда и возникновение терминологии «локализация». Поле частных области целостности R - это локализация R в нулевом первичном идеале. Если - первичный идеал коммутативного кольца R , то поле частных кольца  совпадает с полем вычетов локального кольца и обозначается через .${\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$

Если M - левый R -модуль, то локализация M относительно S задается заменой колец .${\displaystyle M\left[S^{-1}\right]=R\left[S^{-1}\right]\otimes _{R}M}$

Наиболее важные свойства локализации следующие: когда R - коммутативное кольцо, а S - мультипликативно замкнутое подмножество

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}\left[S^{-1}\right]}$является биекцией между множеством всех первичных идеалов в R, не пересекающихся с S, и множеством всех первичных идеалов в . ^[44]${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$
• ${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]=\varinjlim R\left[f^{-1}\right]}$, f пробегает элементы в S с частичным порядком, заданным делимостью. ^[45]
• Локализация точная:

  ${\displaystyle 0\to M'\left[S^{-1}\right]\to M\left[S^{-1}\right]\to M''\left[S^{-1}\right]\to 0}$точно над всякий раз точно над  R .${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

• Наоборот, если точно для любого максимального идеала , то точно.${\displaystyle 0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$
• Замечание: локализация не помогает доказать глобальное существование. Одним из примеров этого является то, что если два модуля изоморфны по всем первичным идеалам, из этого не следует, что они изоморфны. (Один из способов объяснить это состоит в том, что локализация позволяет рассматривать модуль как пучок над простыми идеалами, а пучок по своей сути является локальным понятием.)

В теории категорий , локализация категории составляет сделать некоторые морфизмов изоморфизмов. Элемент в коммутативном кольце R можно рассматривать как эндоморфизм любого R -модуля. Таким образом, категорически локализация R относительно подмножества S в R является функтором из категории R -модулей в себя, который переводит элементы S, рассматриваемые как эндоморфизмы, в автоморфизмы и универсален относительно этого свойства. (Конечно, затем R отображается в, а R -модули отображаются в -модули.)${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$${\displaystyle R\left[S^{-1}\right]}$

Завершение [ править ]

Пусть R коммутативное кольцо, и пусть я идеал в  R . Завершение из R в I является проективным пределом ; это коммутативное кольцо. Канонические гомоморфизмы из R в частные индуцируют гомоморфизм . Последний гомоморфизм инъективен, если R - нётерова область целостности, а I - собственный идеал, или если R - нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом I , по теореме Крулля о пересечении . ^[46] Эта конструкция особенно полезна, когда я${\displaystyle {\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n}}$${\displaystyle R/I^{n}}$${\displaystyle R\to {\hat {R}}}$ - максимальный идеал.

Базовый пример - пополнение Z в главном идеале ( p ), порожденном простым числом p ; оно называется кольцом целых p -адических чисел и обозначается Z _p . Завершение в этом случае может быть выполнен также из р -адического абсолютного значения на Q . Р -адическая абсолютное значение на Q представляет собой карту из Q в R определяется , где обозначает показатель степени р в разложении простого ненулевого целого числа п на простые числа (мы также положить${\displaystyle x\mapsto |x|}$${\displaystyle |n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}}$${\displaystyle v_{p}(n)}$${\displaystyle |0|_{p}=0}$и ). Он определяет функцию расстояния на Q, а пополнение Q как метрического пространства обозначается Q _p . Это снова поле, поскольку полевые операции продолжаются до завершения. Подкольцо в Q _p, состоящее из элементов x с , изоморфно  Z _p .${\displaystyle |m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}}$${\displaystyle |x|_{p}\leq 1}$

Точно так же кольцо формальных степенных рядов является пополнением at (см. Также лемму Гензеля )${\displaystyle R[{[t]}]}$${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle (t)}$

Полное кольцо имеет гораздо более простую структуру, чем коммутативное кольцо. Это связано с теоремой Коэна о структуре , которая грубо гласит, что полное локальное кольцо имеет тенденцию выглядеть как кольцо формальных степенных рядов или его частное. С другой стороны, взаимодействие между интегральным замыканием и пополнением было одним из наиболее важных аспектов, которые отличают современную коммутативную теорию колец от классической теории, разработанной Нётер. Патологические примеры, обнаруженные Нагатой, привели к пересмотру роли нётерских колец и послужили мотивацией, среди прочего, к определению превосходного кольца .

Кольца с образующими и отношениями [ править ]

Самый общий способ построить кольцо - указать образующие и отношения. Пусть F быть свободным кольцо (то есть свободная алгебра над целыми числами) с множеством X символов, то есть F состоит из многочленов с целыми коэффициентами в некоммутирующем переменных , которые являются элементами X . Свободное кольцо удовлетворяет универсальному свойству: любая функция из множества X в кольцо R пропускается через F, так что это единственный гомоморфизм колец. Как и в групповом случае, каждое кольцо можно представить как частное от свободного кольца. ^[47]${\displaystyle F\to R}$

Теперь мы можем установить отношения между символами в X , взяв частное. Явное, если Е представляет собой подмножество F , то фактор - кольцо F от идеала , порожденного Е называется кольцом с образующими X и соотношениями Е . Если бы мы использовали кольцо, скажем, А в качестве базового кольца вместо Z , то полученное кольцо будет более A . Например, если , то результирующее кольцо будет обычным кольцом многочленов с коэффициентами в A от переменных, которые являются элементами X (это также то же самое, что и симметрическая алгебра${\displaystyle E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}}$над A с символами X. )

В терминах теории категорий формация является левым сопряженным функтором забывчивого функтора из категории колец в Set (и его часто называют функтором свободных колец).${\displaystyle S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S}$

Пусть , В алгебрах над коммутативным кольцом R . Тогда тензорное произведение R -модулей является R -алгеброй с умножением, характеризуемым . См. Также: Тензорное произведение алгебр , Замена колец .${\displaystyle A\otimes _{R}B}$${\displaystyle (x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv}$

Особые виды колец [ править ]

Домены [ править ]

Отлична от нуля кольцо без ненулевых делителей нуля называется доменом . Коммутативная область называется областью целостности . Наиболее важными интегральными областями являются основные идеальные области, сокращенно PID и поля. Область главных идеалов - это целостная область, в которой каждый идеал является главным. Важным классом областей целостности, содержащих PID, является область уникальной факторизации (UFD), область целостности, в которой каждый неединичный элемент является произведением простых элементов (элемент является простым, если он порождает простой идеал ). Фундаментальный вопрос в теория алгебраических чисел находится в той степени, в которойкольцо (обобщенных) целых чисел в числовом поле , где «идеал» допускает разложение на простые множители, не может быть PID.

Среди теорем, касающихся PID, наиболее важной является теорема о структуре для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов . Теорема может быть проиллюстрирована следующим приложением к линейной алгебре. ^[48] Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем k и линейное отображение с минимальным многочленом q . Тогда, поскольку это единственная область факторизации, q разлагается на степени различных неприводимых многочленов (то есть простых элементов):${\displaystyle f:V\to V}$${\displaystyle k[t]}$

${\displaystyle q=p_{1}^{e_{1}}\ldots p_{s}^{e_{s}}.}$

Полагая , мы делаем V к [ т ] -модуль. Тогда структурная теорема говорит, что V является прямой суммой циклических модулей , каждый из которых изоморфен модулю формы . Теперь, если , то такой циклический модуль (для ) имеет базис, в котором ограничение f представлено жордановой матрицей . Таким образом, если, скажем, к алгебраически замкнуто, то все «s имеют вид и выше соответствует разложение на Иордане канонической форме из е .${\displaystyle t\cdot v=f(v)}$${\displaystyle k[t]/\left(p_{i}^{k_{j}}\right)}$${\displaystyle p_{i}(t)=t-\lambda _{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle t-\lambda _{i}}$

В алгебраической геометрии UFD возникают из-за гладкости. Точнее, точка в многообразии (над совершенным полем) является гладкой, если локальное кольцо в этой точке является регулярным локальным кольцом . Регулярное локальное кольцо - это УФО. ^[49]

Ниже приводится цепочка включений классов , описывающая отношения между кольцами, доменами и полями:

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ интегрально замкнутые области ⊃ области GCD ⊃ уникальные области факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Дивизионное кольцо [ править ]

Деление кольцо представляет собой кольцо , таким образом, что каждый ненулевой элемент является единицей. Коммутативное тело - это поле . Ярким примером делительного кольца, которое не является полем, является кольцо кватернионов . Любой центратор в делительном кольце также является делительным кольцом. В частности, центр физического кольца - это поле. Оказалось, что всякая конечная область (в частности, конечное тело) является полем; в частности, коммутативный ( малая теорема Веддерберна ).

Каждый модуль над телом является свободным модулем (имеет базис); следовательно, большая часть линейной алгебры может выполняться над телом вместо поля.

Изучение классов сопряженности занимает видное место в классической теории тел. см., например, теорему Картана – Брауэра – Хуа .

Циклическая алгебра , введенный LE Диксон , является обобщением алгебры кватернионов .

Полупростые кольца [ править ]

Полупростой модуль является прямой суммой простых модулей. Полупростое кольцо является кольцом , что полупрост как левый модуль (или правый модуль) над самим собой.

Примеры [ править ]

• Тело полупрост (и простой ).
• Для любого тела D и натурального числа n кольцо матриц M _n ( D ) полупростое (и простое ).
• Для поля к и конечной группе G , группа кольцо кГс полупроста тогда и только тогда , когда характеристика из к не делит порядок из G ( теорема Машкя ).
• Алгебры Клиффорда полупросты.

Алгебра Вейля над полем является простым кольцом , но не полупроста. То же верно и для кольца дифференциальных операторов многих переменных .

Свойства [ править ]

Любой модуль над полупростым кольцом полупрост. (Доказательство: свободный модуль над полупростым кольцом полупрост, и любой модуль является фактором свободного модуля.)

Для кольца R следующие условия эквивалентны:

• R полупростой.
• R является артиновым и полупросты .
• R - конечное прямое произведение, где каждое n _i - натуральное число, а каждое D _i - тело (теорема Артина – Веддерберна ).${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$

Полупростота тесно связана с отделимостью. Унитальная ассоциативная алгебра A над полем k называется сепарабельной, если базовое расширение полупросто для любого расширения поля . Если А оказывается полем, то это эквивалентно обычному определению в теории поля (ср. Сепарабельное расширение ).${\displaystyle A\otimes _{k}F}$ ${\displaystyle F/k}$

Центральная простая алгебра и группа Брауэра [ править ]

Для поля к , А к -алгебра является центральной , если ее центр к и просто , если это простое кольцо . Поскольку центр простой k -алгебры является полем, любая простая k -алгебра является центральной простой алгеброй над своим центром. В этом разделе предполагается, что центральная простая алгебра имеет конечную размерность. Также мы в основном исправляем базовое поле; таким образом, алгебра относится к k -алгебре. Кольцо матриц размера n над кольцом R обозначим через .${\displaystyle R_{n}}$

Теорема Сколема – Нётер утверждает, что любой автоморфизм центральной простой алгебры является внутренним.

Две центральные простые алгебры A и B называются подобными, если существуют такие целые числа n и m , что . ^[50] Так как подобие является отношением эквивалентности. Классы подобия с умножением образуют абелеву группу , называемую группой Брауэра из к и обозначается . По теореме Артина – Веддерберна центральная простая алгебра - это кольцо матриц тела; таким образом, каждый класс подобия представлен уникальным делительным кольцом.${\displaystyle A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}}$${\displaystyle k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm}}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$${\displaystyle \operatorname {Br} (k)}$

Например, тривиально, если k - конечное поле или алгебраически замкнутое поле (в более общем смысле квазиалгебраически замкнутое поле ; см. Теорему Цена ). имеет порядок 2 (частный случай теоремы Фробениуса ). Наконец, если k - неархимедово локальное поле (например, ), то через инвариантное отображение .${\displaystyle \operatorname {Br} (k)}$${\displaystyle \operatorname {Br} (\mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$${\displaystyle \operatorname {Br} (k)=\mathbf {Q} /\mathbf {Z} }$

Теперь, если F является полевым расширением k , то базовое расширение индуцирует . Его ядро ​​обозначается . Оно состоит из таких, что является матричным кольцом над F (то есть A расщепляется F. ) Если расширение конечно и Галуа, то канонически изоморфно . ^[51]${\displaystyle -\otimes _{k}F}$${\displaystyle \operatorname {Br} (k)\to \operatorname {Br} (F)}$${\displaystyle \operatorname {Br} (F/k)}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle A\otimes _{k}F}$${\displaystyle \operatorname {Br} (F/k)}$${\displaystyle H^{2}\left(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*}\right)}$

Алгебры Адзумая обобщают понятие центральных простых алгебр на коммутативное локальное кольцо.

Кольцо оценки [ править ]

Если K - поле, нормирование v - это гомоморфизм группы из мультипликативной группы K ^∗ в вполне упорядоченную абелеву группу G такой, что для любых f , g в K с f + g ненулевым, v ( f + g ) ≥ min { v ( f ), v ( g )}. Кольцо нормирования из V является подкольцом K , состоящим из нуля и все ненулевые етакое, что v ( f ) ≥ 0 .

Примеры:

Смотрите также: Кольцо Новикова и одинарное кольцо .

Кольца с дополнительной структурой [ править ]

Кольцо можно рассматривать как абелеву группу (с помощью операции сложения) с дополнительной структурой: а именно, кольцевым умножением. Точно так же есть другие математические объекты, которые можно рассматривать как кольца с дополнительной структурой. Например:

• Ассоциативная алгебра является кольцом , которое является также векторным пространством над полем K такое , что скалярное умножение совместимо с кольцевым умножением. Например, множество п матрица с размерностью N матрицы над реальным полем R имеет размерность п ² в качестве реального векторного пространства.
• Кольцо R является топологическим кольцом, если его набору элементов R задана топология, которая делает отображение сложения ( ) и отображение умножения ( ) непрерывными как отображения между топологическими пространствами (где X × X наследует топологию произведения или любую другой товар в категории). Например, матрицы размером n x n над действительными числами могут иметь либо евклидову топологию , либо топологию Зарисского , и в любом случае можно получить топологическое кольцо.${\displaystyle +:R\times R\to R\,}$${\displaystyle \cdot :R\times R\to R\,}$
• Λ-кольцо представляет собой коммутативное кольцо R вместе с операциями Л ^п : R → R , которые подобны п -х внешних степеней :

${\displaystyle \lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)}$.

Например, Z является λ-кольцо с , по биномиальных коэффициентов . Это понятие играет центральную роль в алгебраическом подходе к теореме Римана – Роха .${\displaystyle \lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}}}$

• Полностью упорядоченное кольцо представляет собой кольцо с общей упорядоченностью , которая совместима с кольцевыми операциями.

Некоторые примеры повсеместного распространения колец [ править ]

Многие виды математических объектов могут быть плодотворно проанализированы в терминах некоторого связанного кольца .

Кольцо когомологий топологического пространства [ править ]

Любому топологическому пространству X можно сопоставить его целочисленное кольцо когомологий

${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbf {Z} ),}$

градуированное кольцо . Существуют также группы гомологий пространства, и действительно, они были сначала определены как полезный инструмент для различения определенных пар топологических пространств, таких как сферы и торы , для которых методы топологии точечных множеств не подходят. Группы когомологий позже были определены в терминах групп гомологий способом, который примерно аналогичен двойственному векторному пространству . Знать каждую индивидуальную целочисленную группу гомологий по существу то же самое, что знать каждую индивидуальную целую группу когомологий, из-за теоремы об универсальных коэффициентах . Однако преимущество групп когомологий состоит в том, что существует${\displaystyle H_{i}(X,\mathbf {Z} )}$натуральный продукт , что аналогично наблюдению, что можно поточечно перемножить k - полилинейную форму и l- полилинейную форму, чтобы получить ( k + l ) -моллинейную форму.

Кольцевая структура в когомологиях обеспечивает основу для характеристических классов из пучков волокон , теории пересечений на многообразиях и алгебраических многообразий , Шуберта исчислении и многое другое.

Кольцо Бернсайда группы [ править ]

С любой группой связано ее кольцо Бернсайда, которое использует кольцо для описания различных способов, которыми группа может действовать на конечном множестве. Аддитивная группа кольца Бернсайда - это свободная абелева группа , базисом которой являются транзитивные действия группы, а добавление - несвязное объединение действия. Выражение действия в терминах основы - это разложение действия на его переходные составляющие. Умножение легко выражается через кольцо представлений: умножение в кольце Бернсайда формируется записью тензорного произведения двух модулей перестановок в виде модуля перестановок. Кольцевая структура позволяет формально отделить одно действие от другого. Поскольку кольцо Бернсайда содержится как подкольцо конечного индекса кольца представлений, можно легко перейти от одного к другому, расширив коэффициенты с целых до рациональных.

Представительное кольцо группового кольца [ править ]

С любым групповым кольцом или алгеброй Хопфа связано свое кольцо представлений или «зеленое кольцо». Аддитивная группа кольца представлений - это свободная абелева группа, в основе которой лежат неразложимые модули, а сложение которой соответствует прямой сумме. Выражение модуля в терминах базиса - это поиск неразложимой декомпозиции модуля. Умножение - это тензорное произведение. Когда алгебра полупроста, кольцо представлений - это просто кольцо характеров из теории характеров , которое более или менее является группой Гротендика с учетом кольцевой структуры.

Функциональное поле неприводимого алгебраического многообразия [ править ]

С любым неприводимым алгебраическим многообразием связано его функциональное поле . Точки алгебраического многообразия соответствуют оценочным кольцам, содержащимся в функциональном поле и содержащим координатное кольцо . Изучение алгебраической геометрии широко использует коммутативную алгебру для изучения геометрических понятий в терминах теоретико-кольцевых свойств. Бирациональная геометрия изучает карты между подкольцами функционального поля.

Лицевое кольцо симплициального комплекса [ править ]

Каждый симплициальный комплекс имеет ассоциированное кольцо граней, также называемое кольцом Стэнли – Райснера . Это кольцо отражает многие комбинаторные свойства симплициального комплекса, поэтому оно представляет особый интерес в алгебраической комбинаторике . В частности, алгебраическая геометрия кольца Стэнли – Рейснера использовалась для характеристики числа граней в каждом измерении симплициальных многогранников .

Теоретико-категориальное описание [ править ]

Каждое кольцо можно рассматривать как моноид в Ab , категории абелевых групп (рассматриваемой как моноидальная категория под тензорным произведением -модулей Z {\displaystyle {\mathbf {Z} }} ). Моноидное действие кольца R на абелевой группе - это просто R -модуль . По сути, R -модуль является обобщением понятия векторного пространства - где вместо векторного пространства над полем имеется «векторное пространство над кольцом».

Пусть ( A , +) - абелева группа, а End ( A ) - ее кольцо эндоморфизмов (см. Выше). Обратите внимание, что, по сути, End ( A ) - это множество всех морфизмов A , где, если f находится в End ( A ), а g находится в End ( A ), следующие правила могут использоваться для вычисления f + g и f ⋅ г :

• ( е +  д ) ( х ) = е ( х ) +  д ( х )
• ( е ⋅  g ) ( x ) = f ( g ( x )),

где +, как в f ( x ) + g ( x ), является сложением в A , а композиция функций обозначается справа налево. Поэтому, связанное с любой абелевой группой, представляет собой кольцо. Наоборот, учитывая любое кольцо, ( R +, ⋅ ) , ( R +) является абелевой группой. Кроме того, для каждого r в R правое (или левое) умножение на r приводит к морфизму ( R , +) на правую (или левую) дистрибутивность. Пусть A = ( R, +) . Рассмотрим эти эндоморфизмы из А , что «фактор через» правый (или левый) умножения R . Другими словами, пусть Конец _R ( ) множество всех морфизмов т из А , обладающие тем свойством , что м ( г ⋅ х ) = г ⋅ м ( х ) . Было замечено, что каждое r в R порождает морфизм A : правое умножение на r . На самом деле верно, что эта ассоциация любого элемента R   , к морфизму A , как функция от R к End _R ( A ), является изоморфизмом колец. В этом смысле, следовательно, любое кольцо можно рассматривать как кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой X -группы (под X -группой подразумевается группа, в которой X является ее множеством операторов ). ^[52] По сути, наиболее общая форма кольца - это группа эндоморфизмов некоторой абелевой X -группы.

Любое кольцо можно рассматривать как предаддитивную категорию с одним объектом. Поэтому естественно рассматривать произвольные предаддитивные категории как обобщения колец. И действительно, многие определения и теоремы, первоначально данные для колец, могут быть переведены в этот более общий контекст. Аддитивные функторы между предаддитивными категориями обобщают понятие гомоморфизма колец, а идеалы в аддитивных категориях могут быть определены как множества морфизмов, замкнутые относительно сложения и относительно композиции с произвольными морфизмами.

Обобщение [ править ]

Алгебраисты определили структуры более общие, чем кольца, ослабив или отбросив некоторые из аксиом колец.

Rng [ править ]

RNG такой же , как кольцо, за исключением того, что существование мультипликативной идентичности не предполагаются. ^[53]

Неассоциативное кольцо [ править ]

Неассоциативная кольцо является алгебраической структурой , которая удовлетворяет всем кольцевые аксиомы , кроме ассоциативной собственности и существования мультипликативной идентичности. Ярким примером является алгебра Ли . Для таких алгебр существует некоторая структурная теория, обобщающая аналогичные результаты для алгебр Ли и ассоциативных алгебр. ^{[ необходима цитата ]}

Semiring [ править ]

Полукольца (иногда вышка ) получается путем ослабления предположения о том, что ( R +) является абелевой группой к предположению , что ( R +) является коммутативным моноидом, и добавляя аксиому , что 0 ⋅ = ⋅ 0 = 0 для всех a в R (поскольку это уже не следует из других аксиом).

Примеры:

• неотрицательные целые числа с обычным сложением и умножением;${\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}}$
• тропическое полукольцо .

Другие кольцевидные объекты [ править ]

Кольцо объекта в категории [ править ]

Пусть C - категория с конечными продуктами . Пусть пт обозначит терминальный объект из C (пустой продукт). Кольцо объект в C представляет собой объект R , оснащенный морфизмы (дополнение), (умножение), (аддитивные идентичности), (аддитивные обратный) и (мультипликативные идентичности) , удовлетворяющий обычные кольцевые аксиомы. Эквивалентно, объект кольцо является объектом R оснащен факторизации его функтора точек через категорию колец: .${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {a}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\times R\;{\stackrel {m}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}\,R}$${\displaystyle R\;{\stackrel {i}{\to }}\,R}$${\displaystyle \operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}\,R}$${\displaystyle h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets} }$${\displaystyle C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets} }$

Схема звонка [ править ]

В алгебраической геометрии кольцевая схема над базовой схемой S является кольцевым объектом в категории S -схем. Одним из примеров являются схемой кольца Ш _п над Spec Z , который для любого коммутативного кольца А возвращает кольцо Ш _п ( А ) из р -isotypic векторов Витта длины п над А . ^[54]

Спектр кольца [ править ]

В алгебраической топологии , A кольцевой спектр представляет собой спектр Х вместе с умножением и единичной картой из сферы спектра S , таким образом, что кольцо аксиомы диаграмма коммутирует до гомотопии. На практике принято определять кольцевой спектр как моноидный объект в хорошей категории спектров, такой как категория симметричных спектров .${\displaystyle \mu \colon X\wedge X\to X}$${\displaystyle S\to X}$

См. Также [ править ]

В Викиучебнике есть книга на тему: Абстрактная алгебра / Кольца.

Особые виды колец:

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Общие ссылки [ править ]