Алгебраическая теория чисел

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

Алгебраическая теория чисел - это раздел теории чисел, который использует методы абстрактной алгебры для изучения целых чисел , рациональных чисел и их обобщений. Теоретико-числовые вопросы выражаются в терминах свойств алгебраических объектов, таких как поля алгебраических чисел и их кольца целых чисел , конечные поля и функциональные поля . Эти свойства, такие как ли кольцо допускает уникальное разложение , поведение идеалов , а Галуа группы из полей, может разрешить вопросы первостепенной важности в теории чисел, такие как существование решений диофантовых уравнений .

История алгебраической теории чисел [ править ]

Диофант [ править ]

Истоки алгебраической теории чисел можно проследить до диофантовых уравнений ^[1], названных в честь александрийского математика 3-го века Диофанта , который изучил их и разработал методы решения некоторых видов диофантовых уравнений. Типичная диофантова задача - найти два целых числа x и y , сумма которых и сумма их квадратов равны двум данным числам A и B соответственно:

${\displaystyle A=x+y\ }$

${\displaystyle B=x^{2}+y^{2}.\ }$

Диофантовы уравнения изучаются тысячи лет. Например, решения квадратного диофантова уравнения x ² + y ² = z ² даются тройками Пифагора , первоначально решенными вавилонянами (около 1800 г. до н.э.). ^[2] Решения линейных диофантовых уравнений, таких как 26 x + 65 y = 13, могут быть найдены с помощью алгоритма Евклида (около 5 века до нашей эры). ^[3]

Основным трудом Диофанта была « Арифметика» , из которой сохранилась лишь часть.

Ферма [ править ]

Последняя теорема Ферма была первой высказал предположение по Пьером де Ферма в 1637 году, как известно , в полях копии Arithmetica , где он утверждал , что у него было доказательство того, что был слишком велик , чтобы поместиться на полях. До 1995 года не было опубликовано ни одного успешного доказательства, несмотря на усилия бесчисленных математиков в течение 358 прошедших лет. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и доказательство теоремы модульности в XX веке.

Гаусс [ править ]

Один из основателей работ теории алгебраических чисел, то Disquisitiones Arithmeticae ( Latin : Арифметические исследования ) представляет собой учебное пособие по теории чисел написано на латинском языке ^[4] по Гаусс в 1798 году , когда Гаусс 21 и впервые опубликован в 1801 году , когда ему было 24 В этой книге Гаусс объединяет результаты по теории чисел, полученные такими математиками, как Ферма, Эйлер , Лагранж и Лежандр, и добавляет важные новые собственные результаты. До Дисквизициибыла опубликована, теория чисел состояла из сборника разрозненных теорем и гипотез. Гаусс собрал работы своих предшественников вместе со своей собственной оригинальной работой в систематизированные рамки, заполнил пробелы, исправил необоснованные доказательства и расширил предмет во многих отношениях.

В Disquisitiones стал отправной точкой для работы других девятнадцатого века европейских математиков , включая Куммер , Дирихль и Дедекинд . Многие аннотации, данные Гауссом, по сути являются объявлениями о его дальнейших исследованиях, некоторые из которых остались неопубликованными. Должно быть, они казались его современникам особенно загадочными; теперь мы можем читать их как содержащие ростки теорий L-функций и , в частности, комплексного умножения .

Дирихле [ править ]

В нескольких статьях в 1838 и 1839 годах Питер Густав Лежен Дирихле доказал первую формулу числа классов для квадратичных форм (позже усовершенствованную его учеником Леопольдом Кронекером ). Формула, которую Якоби назвал результатом, «затрагивающим всю человеческую хватку», открыла путь для аналогичных результатов в отношении более общих числовых полей . ^[5] На основе его исследования структуры элементарной группы из квадратичных полей , он доказал теорему единичного Дирихля , фундаментальный результат в теории алгебраических чисел. ^[6]

Он впервые использовал принцип ячеек , основной аргумент подсчета, в доказательстве теоремы в диофантовом приближении , позже названной в его честь аппроксимационной теоремой Дирихле . Он опубликовал важные вклады в последнюю теорему Ферма, для которой он доказал случаи n  = 5 и n  = 14, а также в закон биквадратичной взаимности . ^[5] Проблема делителей Дирихле , для которой он нашел первые результаты, все еще остается нерешенной проблемой в теории чисел, несмотря на более поздние вклады других исследователей.

Дедекинд [ править ]

Изучение Ричардом Дедекиндом работ Лежена Дирихле привело его к более позднему изучению полей и идеалов алгебраических чисел. В 1863 году он опубликовал лекции Лежена Дирихле по теории чисел под названием Vorlesungen über Zahlentheorie («Лекции по теории чисел»), о которых было написано, что:

«Хотя книга, несомненно, основана на лекциях Дирихле, и хотя сам Дедекинд на протяжении всей своей жизни называл книгу Дирихле, сама книга была полностью написана Дедекиндом, по большей части после смерти Дирихле». (Эдвардс, 1983)

Издания Vorlesungen 1879 и 1894 годов включали дополнения, вводящие понятие идеала, лежащее в основе теории колец . (Слово «кольцо», введенное позже Гильбертом , не встречается в работе Дедекинда.) Дедекинд определил идеал как подмножество набора чисел, составленного из целых алгебраических чисел , удовлетворяющих полиномиальным уравнениям с целыми коэффициентами. Эта концепция получила дальнейшее развитие в руках Гильберта и, особенно, Эмми Нётер . Идеалы обобщают идеальные числа Эрнста Эдуарда Куммера , разработанные как часть попытки Куммера 1843 года доказать Великую теорему Ферма.

Гильберт [ править ]

Давид Гильберт объединил область алгебраической теории чисел в своем трактате 1897 г. Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел, сформулированную Варингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой о конечности , он использовал доказательство существования, которое показывает, что проблемы должны быть решены, а не предоставлять механизм для получения ответов. ^[7] Тогда у него было немного больше, чтобы опубликовать по этому поводу; но появление модульных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя в дальнейшем связано с важной областью.

Он высказал ряд гипотез по теории полей классов . Понятия были весьма влиятельными, и его собственный вклад живет в названиях поля классов Гильберта и в символа Гильберта в локальной теории полей классов . Результаты были в основном подтверждены к 1930 году, после работы Тейджи Такаги . ^[8]

Артин [ править ]

Эмиль Артин установил закон взаимности Артина в серии работ (1924; 1927; 1930). Этот закон является общей теоремой теории чисел, которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов. ^[9] Термин « закон взаимности » относится к длинной череде более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до формулы произведения Гильберта для символа нормы . Результат Артина дал частичное решение девятой проблемы Гильберта .

Современная теория [ править ]

Примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма обнаружили возможную связь между двумя явно совершенно разными разделами математики, эллиптическими кривыми и модульными формами . Результирующая теорема модульности (в то время известная как гипотеза Таниямы – Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модульной , что означает, что она может быть связана с уникальной модулярной формой .

Первоначально это было отклонено как маловероятное или в высшей степени спекулятивное, и было воспринято более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие это, но не доказательства; в результате «поразительная» ^[10] гипотеза часто называлась гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля. Он стал частью программы Ленглендса , списка важных предположений, требующих доказательства или опровержения.

С 1993 по 1994 год Эндрю Уайлс представил доказательство теоремы модульности для полустабильных эллиптических кривых , которое вместе с теоремой Рибета предоставило доказательство Великой теоремы Ферма. Почти каждый математик в то время ранее считал и Великую теорему Ферма, и теорему о модульности либо невозможным, либо практически невозможным доказать, даже с учетом самых передовых разработок. Уайлс впервые объявил о своем доказательстве в июне 1993 года ^[11] в версии, которая вскоре была признана имеющей серьезный пробел в ключевом моменте. Доказательство было исправлено Уайлсом, частично в сотрудничестве с Ричардом Тейлором., а последняя, ​​широко принятая версия была выпущена в сентябре 1994 года и официально опубликована в 1995 году. Доказательство использует многие методы из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много ответвлений в этих областях математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категории из схем и теории Ивасавы , и других метод 20-го века , не доступных для Ферма.

Основные понятия [ править ]

Отказ уникальной факторизации [ править ]

Важным свойством кольца целых чисел является то, что оно удовлетворяет основной арифметической теореме о том , что каждое (положительное) целое число имеет факторизацию в произведение простых чисел , и это факторизация уникальна с точностью до порядка множителей. Это больше не может быть верно в кольце целых чисел O из поля алгебраических чисел К .

Простой элемент представляет собой элемент р из O такое , что если р водоразделы продукт AB , то она делит один из факторов , или б . Это свойство тесно связано с простотой целых чисел, потому что любое положительное целое число, удовлетворяющее этому свойству, равно 1 или простому числу. Однако он строго слабее. Например, -2 не является простым числом, потому что оно отрицательно, но это простой элемент. Если факторизация в простые элементы разрешена, то даже в целых числах существуют альтернативные факторизации, такие как

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(-2)\cdot (-3).}$

В общем, если u - единица , то есть число с мультипликативным обратным в O , и если p - простой элемент, то up также является простым элементом. Такие числа, как p и выше, называются ассоциированными . В целых числах простые числа p и - p ассоциированы, но только одно из них является положительным. Требование, чтобы простые числа были положительными, выбирает уникальный элемент из набора связанных простых элементов. Однако, когда K не является рациональным числом, аналог положительности отсутствует. Например, в целых гауссовских числах Z[ i ] , ^[12] числа 1 + 2 i и −2 + i являются ассоциированными, потому что последнее является произведением первого на i , но нет способа выделить одно как более каноническое, чем другое. Это приводит к таким уравнениям, как

${\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2+i)(2-i),}$

которые доказывают, что в Z [ i ] неверно, что факторизации уникальны до порядка множителей. По этой причине принято определение уникальной факторизации, используемое в уникальных доменах факторизации (UFD). Ожидается, что в UFD первичные элементы, встречающиеся при факторизации, будут уникальными только до единиц и их порядка.

Однако даже с этим более слабым определением многие кольца целых чисел в полях алгебраических чисел не допускают уникальной факторизации. Существует алгебраическое препятствие, называемое группой классов идеалов. Когда группа идеальных классов тривиальна, кольцо является UFD. Когда это не так, существует различие между простым и неприводимым элементом . Неприводимый элемент х является элементом таким образом, что , если х = уг , то либо у или г является единицей. Это элементы, которые нельзя рассматривать дальше. Каждый элемент в Oдопускает факторизацию на неприводимые элементы, но может допускать и более одного. Это потому, что, хотя все простые элементы неприводимы, некоторые неприводимые элементы могут не быть простыми. Например, рассмотрим кольцо Z [√ -5 ] . ^[13] В этом кольце числа 3 , 2 + √ -5 и 2 - √ -5 неприводимы. Это означает, что число 9 имеет две факторизации на неприводимые элементы:

${\displaystyle 9=3^{2}=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

Это уравнение показывает, что 3 делит произведение (2 + √ -5 ) (2 - √ -5 ) = 9 . Если бы 3 было простым элементом, то он разделил бы 2 + √ -5 или 2 - √ -5 , но это не так, потому что все элементы, делящиеся на 3, имеют форму 3 a + 3 b √ -5 . Аналогично, 2 + √ -5 и 2 - √ -5 делят произведение 3 ² , но ни один из этих элементов не делит 3сам по себе, поэтому ни один из них не является основным. Поскольку нет смысла, в котором элементы 3 , 2 + √ -5 и 2 - √ -5 можно сделать эквивалентными, уникальная факторизация не выполняется в Z [√ -5 ] . В отличие от ситуации с юнитами, где уникальность можно исправить, ослабив определение, преодоление этого отказа требует нового взгляда.

Факторизация в основные идеалы [ править ]

Если I - идеал в O , то всегда существует факторизация

${\displaystyle I={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}},}$

где каждый - простой идеал , и где это выражение уникально с точностью до порядка факторов. В частности, это верно, если I - главный идеал, порожденный одним элементом. Это самый сильный смысл, в котором кольцо целых чисел общего числового поля допускает однозначную факторизацию. На языке теории колец он говорит, что кольца целых чисел являются дедекиндовыми областями .${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

Когда O - UFD, каждый простой идеал порождается простым элементом. В противном случае существуют простые идеалы, которые не порождаются простыми элементами. В Z [√ -5 ] , например, идеал (2, 1 + √ -5 ) - это простой идеал, который не может быть порожден одним элементом.

Исторически идея разложения идеалов на простые идеалы предшествовала введению Эрнстом Куммером идеальных чисел. Эти цифры , лежащие в поле расширения E в K . Это поле расширения теперь известно как поле классов Гильберта. К основной теореме идеала , каждый простой идеал O генерирует главный идеал кольца целых чисел Е . Генератор этого главного идеала называется идеальным числом. Куммер использовал их как замену провала уникальной факторизации в круговых полях . В конечном итоге это привело Ричарда Дедекинда к представлению предшественника идеалов и к доказательству уникальной факторизации идеалов.

Идеал, который является простым в кольце целых чисел в одном числовом поле, может не быть простым при расширении до большего числового поля. Рассмотрим, например, простые числа. Соответствующие идеалы р Z являются простыми идеалами кольца Я . Однако, когда этот идеал расширяется до гауссовских целых чисел для получения p Z [ i ] , он может быть или не быть простым. Например, факторизация 2 = (1 + i ) (1 - i ) означает, что

${\displaystyle 2\mathbf {Z} [i]=(1+i)\mathbf {Z} [i]\cdot (1-i)\mathbf {Z} [i]=((1+i)\mathbf {Z} [i])^{2};}$

обратите внимание, поскольку 1 + i = (1 - i ) ⋅ i , идеалы, порожденные 1 + i и 1 - i , совпадают. Полный ответ на вопрос о том, какие идеалы остаются простыми в гауссовских целых числах, дает теорема Ферма о суммах двух квадратов . Это означает , что для нечетного простого числа р , р Z [ я ] является простым идеалом , если р ≡ 3 ( по модулю 4) и не является простым идеалом , если р ≡ 1 ( по модулю 4) . Это вместе с наблюдением, что идеал (1 + i )Z [ i ] простое число, дает полное описание простых идеалов в целых гауссовских числах. Обобщение этого простого результата на более общие кольца целых чисел - основная проблема алгебраической теории чисел. Теория полей классов достигает этой целикогда К является абелево расширение из Q (то есть расширение Галуа с абелевой группой Галуа).

Группа идеального класса [ править ]

Уникальная факторизация терпит неудачу тогда и только тогда, когда есть простые идеалы, которые не могут быть главными. Объект, который измеряет неспособность простых идеалов быть главными, называется группой классов идеалов. Определение группы классов идеалов требует расширения множества идеалов в кольце целых алгебраических чисел, чтобы они допускали групповую структуру. Это делается путем обобщения идеалов на фракционные идеалы . Дробная идеал аддитивная подгруппа J из K , замкнутое относительно умножения на элементы из О , а это означает , что Xj ⊆ J , если х ∈ O . Все идеалы O также являются дробными идеалами. Если яи J - дробные идеалы, то множество IJ всех произведений элемента из I и элемента из J также является дробным идеалом. Эта операция превращает множество ненулевых дробных идеалов в группу. Групповое тождество - это идеал (1) = O , а обратное к J - (обобщенное) идеальное частное :

${\displaystyle J^{-1}=(O:J)=\{x\in K:xJ\subseteq O\}.}$

Главные дробные идеалы, то есть идеалы вида Ox, где x ∈ K ^× , образуют подгруппу группы всех ненулевых дробных идеалов. Фактор группы ненулевых дробных идеалов по этой подгруппе является группой классов идеалов. Два дробные идеалы I и J представляют собой один и тот же элемент группы классов идеала , если и только если существует элемент х ∈ K такое , что Xi = J . Следовательно, группа классов идеалов делает два дробных идеала эквивалентными, если один так же близок к главному, как и другой. Группу классов идеалов обычно обозначают Cl K, Cl O или Pic O (последнее обозначение отождествляет его с группой Пикара в алгебраической геометрии).

Количество элементов в группе классов называется число классов из K . Число классов Q (√ -5 ) равно 2. Это означает, что существует только два класса идеалов: класс главных дробных идеалов и класс неглавных дробных идеалов, таких как (2, 1 + √ -5). ) .

Группа классов идеалов имеет другое описание в терминах дивизоров . Это формальные объекты, которые представляют возможные факторизации чисел. Делитель группа Див К определена , чтобы быть свободной абелевой группой , порожденная простыми идеалами O . Существует групповой гомоморфизм из K ^× , ненулевые элементы K до умножения, на Div K . Предположим, что x ∈ K удовлетворяет

${\displaystyle (x)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{t}^{e_{t}}.}$

Тогда div x определяется как делитель

${\displaystyle \operatorname {div} x=\sum _{i=1}^{t}e_{i}[{\mathfrak {p}}_{i}].}$

Ядро из DIV является группа единиц O , в то время как Коядро является идеальной группой классов. На языке гомологической алгебры это означает, что существует точная последовательность абелевых групп (записанных мультипликативно),

${\displaystyle 1\to O^{\times }\to K^{\times }{\xrightarrow {\text{div}}}\operatorname {Div} K\to \operatorname {Cl} K\to 1.}$

Реальные и сложные вложения [ править ]

Некоторые числовые поля, такие как Q (√ 2 ) , могут быть указаны как подполя действительных чисел. Другие, такие как Q (√ −1 ) , не могут. Абстрактно, такая спецификация соответствует полю гомоморфизм К → R или K → C . Они называются соответственно действительными и комплексными вложениями .

Вещественное квадратичное поле Q (√ a ) , где a ∈ R , a > 0 и a не является полным квадратом , называется так, потому что оно допускает два вещественных вложения, но не комплексное. Это гомоморфизмы полей, которые переводят √ a в √ a и в −√ a соответственно. Двойственно мнимое квадратичное поле Q (√ - a ) не допускает вещественных вложений, но допускает сопряженную пару комплексных вложений. Одно из этих вложений посылает √ - aк √ - a , а другой отправляет его своему комплексно сопряженному , −√ - a .

Обычно количество вещественных вложений K обозначается r ₁ , а количество сопряженных пар комплексных вложений обозначается r ₂ . Подпись из K является пара ( г ₁ , г ₂ ) . Это теорема, г ₁ + 2 г ₂ = d , где d является степень K .

Рассмотрение сразу всех вложений определяет функцию

${\displaystyle M\colon K\to \mathbf {R} ^{r_{1}}\oplus \mathbf {C} ^{2r_{2}}.}$

Это называется вложением Минковского . Подпространство области, зафиксированной комплексным сопряжением, является вещественным векторным пространством размерности d, называемым пространством Минковского . Поскольку вложение Минковского определяется гомоморфизмами полей, умножение элементов K на элемент x ∈ K соответствует умножению на диагональную матрицу в вложении Минковского. Скалярное произведение на пространстве Минковского соответствует форме следа .${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Tr} (xy)}$

Образ O при вложении Минковского представляет собой d -мерную решетку . Если B является основой для этой решетки, то опр Б ^Т Б является дискриминант из O . Дискриминант обозначается Д или D . Коволюм образа O равен .${\displaystyle {\sqrt {|\Delta |}}}$

Места [ править ]

Реальные и сложные вложения можно поставить в один ряд с первостепенными идеалами, если принять точку зрения, основанную на оценках . Рассмотрим, например, целые числа. В дополнение к обычной функции абсолютного значения | · | : Q → R существуют p-адические функции по модулю | · | _p  : Q → R , определенный для каждого простого числа p , которое измеряет делимость на p . Теорема Островского утверждает, что это все возможные функции абсолютного значения на Q(с точностью до эквивалентности). Следовательно, абсолютные значения - это общий язык для описания как реального вложения Q, так и простых чисел.

Место поля алгебраических чисел является класс эквивалентности абсолютных значений функций на K . Есть два типа мест. Существует -адическое абсолютное значение для каждого простого идеала в О , и, как р -адических абсолютных значения, он измеряет делимость. Эти места называются конечными . Другой тип места задается с помощью действительного или комплексного вложение K и стандартной функции абсолютного значения на R или C . Это бесконечные места${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Поскольку по абсолютным значениям невозможно различить сложное вложение и его сопряженное, сложное вложение и его сопряженное определяют одно и то же место. Следовательно, существует r ₁ реальных мест и r ₂ сложных мест. Поскольку числа охватывают простые числа, их иногда называют простыми числами . Когда это сделано, конечные места называются конечными простыми числами, а бесконечные места - бесконечными простыми числами . Если v - оценка, соответствующая абсолютному значению, то часто пишут, чтобы обозначить, что v - бесконечное место, и обозначить, что это конечное место.${\displaystyle v\mid \infty }$${\displaystyle v\nmid \infty }$

Рассмотрение всех мест поля вместе дает кольцо аделей числового поля. Кольцо аделей позволяет одновременно отслеживать все доступные данные с использованием абсолютных значений. Это дает значительные преимущества в ситуациях, когда поведение в одном месте может влиять на поведение в других местах, как в законе взаимности Артина .

Геометрические точки на бесконечности [ править ]

Имеется геометрическая аналогия для бесконечно удаленных точек, которая выполняется для функциональных полей кривых. Например, пусть и быть гладким , проективным , алгебраической кривой . Поле функции имеет много абсолютных значений или мест, и каждое соответствует точке на кривой. Если - проективное пополнение аффинной кривой${\displaystyle k=\mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle X/k}$ ${\displaystyle F=k(X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\hat {X}}\subset \mathbb {A} ^{n}}$

тогда точки в

${\displaystyle X-{\hat {X}}}$

соответствуют бесконечно удаленным местам. Тогда завершение в одной из этих точек дает аналог -adics. Например, если тогда его функциональное поле изоморфно где - неопределенность, а поле - это поле долей многочленов от . Затем место в точке измеряет порядок обращения в нуль или порядок полюса части многочленов в этой точке . Например, если , так и на аффинной карте это соответствует точке , оценка измеряет порядок исчезновения в минус порядок обращения в нуль на${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle k(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$${\displaystyle v_{p}}$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle p(x)/q(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=[2:1]}$${\displaystyle x_{1}\neq 0}$${\displaystyle 2\in \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle 2}$. Поле функций завершения на месте тогда , который является полем мощности серии в переменной , так что элемент имеет вид${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle k((t-2))}$${\displaystyle t-2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{-k}(t-2)^{-k}+\cdots +a_{-1}(t-1)^{-1}+a_{0}+a_{1}(t-2)+a_{2}(t-2)^{2}+\cdots \\&=\sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(t-2)^{n}\end{aligned}}}$

для некоторых . Для бесконечно удаленного места это соответствует функциональному полю, которое представляет собой степенной ряд вида${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle k((1/t))}$

${\displaystyle \sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(1/t)^{n}}$

Единицы [ править ]

Целые числа имеют только две единицы: 1 и -1 . Другие кольца целых чисел могут содержать больше единиц. Целые числа Гаусса состоят из четырех единиц, двух предыдущих и ± i . В Эйзенштейн целых чисел Z [ехр (2π я / 3)] имеет шесть единиц. Целые числа в полях действительных квадратичных чисел имеют бесконечно много единиц. Например, в Z [√ 3 ] каждая степень 2 + √ 3 является единицей, и все эти степени различны.

В общем случае группа единиц O , обозначаемая O ^× , является конечно порожденной абелевой группой. Таким образом, из фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах следует, что это прямая сумма торсионной части и свободной части. Переосмысливая это в контексте числового поля, торсионная часть состоит из корней из единицы , которые лежат в O . Эта группа циклическая. Свободная часть описывается теоремой Дирихле о единицах . Эта теорема утверждает, что ранг свободной части равен r ₁ + r ₂ - 1 . Так, например, единственными полями, для которых ранг свободной части равен нулю, являются поля Qи мнимые квадратичные поля. Более точная формулировка дает структуру O ^× ⊗ _Z Q как модуль Галуа для группы Галуа K / Q также возможно. ^[14]

Свободная часть единичной группы может быть изучена с помощью бесконечных мест K . Рассмотрим функцию

${\displaystyle {\begin{cases}L:K^{\times }\to \mathbf {R} ^{r_{1}+r_{2}}\\L(x)=(\log |x|_{v})_{v}\end{cases}}}$

где v меняется в бесконечных точках K и | · | _v - абсолютное значение, связанное с v . Функция L является гомоморфизмом из K ^× в вещественное векторное пространство. Можно показать, что образ O ^× представляет собой решетку, которая охватывает гиперплоскость, определяемую формулой . Коволюм этой решетки является регулятором числового поля. Одно из упрощений, которое стало возможным благодаря работе с кольцом аделей, состоит в том, что существует единственный объект, группа классов идеалов, которая описывает как фактор по этой решетке, так и группу классов идеалов.${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{r_{1}+r_{2}}=0.}$

Дзета-функция [ править ]

Дедекиндово дзета - функция поля чисел, аналогична дзета - функция Римана является аналитическим объектом , который описывает поведение простых идеалов в K . Когда K является абелевым расширением Q , дзета-функции Дедекинда являются продуктами L-функций Дирихле , причем для каждого символа Дирихле существует один фактор . Тривиальный характер соответствует дзета-функции Римана. Когда К является расширение Галуа , то дедекиндова дзета - функцией является Артин L-функция от регулярного представления группы Галуа K, и он имеет факторизацию в терминах неприводимых представлений Артина группы Галуа.

Дзета-функция связана с другими описанными выше инвариантами формулой числа классов .

Локальные поля [ править ]

Заполнение числового поля K в месте w дает полное поле . Если оценка архимедова, получается R или C , если она неархимедова и лежит над простым p рациональных чисел, получается конечное расширение полного дискретнозначного поля с конечным полем вычетов. Этот процесс упрощает арифметику поля и позволяет изучать проблемы на месте. Например, теорема Кронекера – Вебера${\displaystyle K_{w}/\mathbf {Q} _{p}:}$легко выводится из аналогичного локального утверждения. Философия, лежащая в основе изучения местных полей, во многом основана на геометрических методах. В алгебраической геометрии принято изучать многообразия локально в точке путем локализации на максимальном идеале. Затем глобальную информацию можно восстановить путем объединения локальных данных. Этот дух принят в алгебраической теории чисел. Учитывая простое число в кольце целых алгебраических чисел в числовом поле, желательно изучать поле локально в этом простом числе. Следовательно, мы локализируем кольцо целых алгебраических чисел на этом простом числе, а затем дополняем поле дробей в духе геометрии.

Основные результаты [ править ]

Конечность группы классов [ править ]

Один из классических результатов теории алгебраических чисел состоит в том, что группа классов идеалов поля алгебраических чисел K конечна. Это следствие теоремы Минковского, так как существует только конечное число интегральных идеалов с нормой меньше фиксированного положительного целого числа ^{[15] стр. 78} . Порядок группы классов называется номером класса и часто обозначается буквой h .

Теорема Дирихле о единицах [ править ]

Теорема Блок Дирихля дает описание структуры мультипликативной группы единиц O ^× кольца целого числа O . В частности, он утверждает, что O ^× изоморфна G × Z ^r , где G - конечная циклическая группа, состоящая из всех корней из единицы в O , и r = r ₁  +  r ₂  - 1 (где r ₁ (соответственно, r ₂ ) обозначает количество вещественных вложений (соответственно пар сопряженных невещественных вложений) K). Другими словами, O ^× является конечно порожденной абелевой группой из ранга г ₁  +  г ₂  - 1 , чьи кручения состоит из корней из единицы в O .

Законы взаимности [ править ]

В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности для положительных нечетных простых чисел

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Закон взаимности является обобщением закона квадратичной взаимности .

Есть несколько разных способов выразить законы взаимности. Ранние законы взаимности, найденные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является остатком степени n по модулю другого простого числа, и давало соотношение между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности, сказав, что произведение над p символов Гильберта ( a , b / p), Принимая значения в корнях из единицы, равно 1. Артиновых реформулированного «ы закона взаимности гласит , что символ Артина от идеалов (или идели) до элементов группы Галуа тривиален на некоторую подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности с помощью когомологий групп или представлений адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

Формула номера класса [ править ]

Формула числа классов связывает многие важные инварианты числового поля со специальным значением его дзета-функции Дедекинда.

Связанные области [ править ]

Алгебраическая теория чисел взаимодействует со многими другими математическими дисциплинами. Он использует инструменты из гомологической алгебры . По аналогии с функциональными полями и числовыми полями он опирается на методы и идеи алгебраической геометрии. Более того, изучение многомерных схем над Z вместо числовых колец называется арифметической геометрией . Алгебраическая теория чисел также используется при изучении арифметических трехмерных гиперболических многообразий .

См. Также [ править ]

• Число тамагава
• Теория Куммера

Примечания [ править ]

• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, Руководство по ремонту  1737196 , Zbl  0948.11001

Дальнейшее чтение [ править ]

Вступительные тексты [ править ]

• Стейн, Уильям (2012), Алгебраическая теория чисел, вычислительный подход (PDF)
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (2013), Классическое введение в современную теорию чисел , 84 , Springer, doi : 10.1007 / 978-1-4757-2103-4 , ISBN 978-1-4757-2103-4
• Стюарт, Ян ; Толл, Дэвид (2015), алгебраическая теория чисел и последняя теорема Ферма , CRC Press, ISBN 978-1-4987-3840-8

Промежуточные тексты [ править ]

• Маркус, Дэниел А. (2018), Number Fields (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-90233-3

Тексты для выпускников [ править ]

• Cassels, JWS ; Фрёлих, Альбрехт , ред. (2010) [1967], Алгебраическая теория чисел (2-е изд.), Лондон: 9780950273426, MR  0215665
• Фрёлих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин Дж. (1993), алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, 27 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-43834-9, Руководство по ремонту  1215934
• Лэнг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для выпускников по математике , 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94225-4, MR  1282723
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту  1697859 . Zbl  0956.11021 .

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с алгебраической теорией чисел на Викискладе?
• "Алгебраическая теория чисел" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]