Дробный идеал

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Основные понятия Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • Домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (р ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , в частности в коммутативной алгебре , понятие дробного идеала вводится в контексте областей целостности и особенно плодотворно при изучении дедекиндовских областей . В некотором смысле дробные идеалы области целостности подобны идеалам, в которых разрешены знаменатели . В контекстах, где обсуждаются как дробные идеалы, так и обычные кольцевые идеалы , последние иногда для ясности называют интегральными идеалами .

Определение и основные результаты [ править ]

Позвольте быть областью целостности , и пусть быть ее полем дробей .${\displaystyle R}$${\displaystyle K={\text{Quot}}(R)}$

Дробный идеал из это - подмодуль из таких , что существует ненулевая такое , что . Элемент можно рассматривать как очищающий знаменатели , отсюда и название дробный идеал.${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle K}$${\displaystyle r\in R}$${\displaystyle rI\subseteq R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I}$

В главные дробные идеалы являются те , - подмодули из порождается одним ненулевым элементом . Дробный идеал содержится в том и только в том случае, если он является («интегральным») идеалом в .${\displaystyle R}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Дробный идеал называется обратимым, если существует другой дробный идеал такой, что${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle IJ=R}$

где

${\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{j}\in J,n\in \mathbb {Z} _{n>0}\}}$

называется произведением двух дробных идеалов).

В этом случае дробный идеал определяется однозначно и равен обобщенному идеальному частному${\displaystyle J}$

${\displaystyle (R:_{K}I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

Множество обратимых дробных идеалов образуют абелеву группу по отношению к указанному выше произведению, где тождество является самим единичным идеалом . Эта группа называется группой дробных идеалов в . Главные дробные идеалы образуют подгруппу. (Ненулевой) дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он проективен как -модуль. Геометрически это означает, что обратимый дробный идеал можно интерпретировать как векторные расслоения ранга 1 над аффинной схемой . ${\displaystyle (1)=R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(R)}$

Каждый конечно порожденный R -подмодуль в K является дробным идеалом, и если он нётеров , то все это дробные идеалы модуля .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Дедекиндовы домены [ править ]

В дедекиндовских доменах ситуация намного проще. В частности, любой ненулевой дробный идеал обратим. Собственно, это свойство характеризует дедекиндовские домены :

Область целостности является дедекиндово доменом , если, и только если, каждый ненулевой дробный идеал обратим.

Множество дробных идеалов над дедекиндовым области обозначается .${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{Div}}(R)}$

Его фактор-группа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом дедекиндовской области, называемой группой классов идеалов .

Числовые поля [ править ]

Для специального случая числовых полей (например ) есть присоединенное кольцо , обозначаемые называется кольцом целых чисел от . Например, для квадрата равно . Ключевым свойством этих колец является то, что они являются дедекиндовскими доменами . Следовательно, теория дробных идеалов может быть описана для колец целых чисел числовых полей. Фактически теория полей классов - это изучение таких групп колец классов.${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 2,3{\text{ }}({\text{mod }}4)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Связанные структуры [ править ]

Для кольца целых чисел ^{[1] pg 2} числового поля группа дробных идеалов образует обозначенную группу и обозначенную подгруппу главных дробных идеалов . Группа классов идеалов - это группа дробных идеалов по модулю главных дробных идеалов, поэтому${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{K}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{K}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{K}:={\mathcal {I}}_{K}/{\mathcal {P}}_{K}}$

а его номер класса - это порядок группы . В некотором смысле, номер класса является мерой того, насколько «далеко» кольцо целых чисел от того, чтобы быть уникальной областью факторизации . Это потому, что если и только если это UFD.${\displaystyle h_{K}}$${\displaystyle h_{K}=|{\mathcal {C}}_{K}|}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle h_{K}=1}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Точная последовательность для идеальных групп классов [ править ]

Есть точная последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{K}^{*}\to K^{*}\to {\mathcal {I}}_{K}\to {\mathcal {C}}_{K}\to 0}$

связанный с каждым числовым полем .

Структурная теорема для дробных идеалов [ править ]

Одна из важных структурных теорем для дробных идеалов числового поля утверждает, что каждый дробный идеал однозначно разлагается с точностью до порядка как${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=({\mathfrak {p}}_{1}\ldots {\mathfrak {p}}_{n})({\mathfrak {q}}_{1}\ldots {\mathfrak {q}}_{m})^{-1}}$

за главные идеалы

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i},{\mathfrak {q}}_{j}\in {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$.

в спектре от . Например,${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle {\frac {2}{5}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}}$ факторы как ${\displaystyle (1+i)(1-i)((1+2i)(1-2i))^{-1}}$

Кроме того, поскольку дробные идеалы над числовым полем конечно порождены, мы можем очистить знаменатели , умножив их на некоторые, чтобы получить идеал . Следовательно${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle J}$

${\displaystyle I={\frac {1}{\alpha }}J}$

Другая полезная структурная теорема состоит в том, что целые дробные идеалы порождаются максимум двумя элементами. Мы называем дробным идеалом подмножество интеграла.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Примеры [ править ]

• ${\displaystyle {\frac {5}{4}}\mathbb {Z} }$ является дробным идеалом над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Для идеального разделения в виде${\displaystyle K=\mathbb {Q} (i)}$${\displaystyle (5)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} (i)}=\mathbb {Z} [i]}$${\displaystyle (2-i)(2+i)}$

• У нас есть факторизация .${\displaystyle \mathbb {Q} _{\zeta _{3}}}$${\displaystyle (3)=(2\zeta _{3}+1)^{2}}$

Это потому, что если мы его умножим, мы получим

${\displaystyle {\begin{aligned}(2\zeta _{3}+1)^{2}&=4\zeta _{3}^{2}+4\zeta _{3}+1\\&=4(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\end{aligned}}}$

Поскольку удовлетворяет , наша факторизация имеет смысл. Обратите внимание, что эту факторизацию можно обобщить, взяв${\displaystyle \zeta _{3}}$${\displaystyle \zeta _{3}^{2}+\zeta _{3}=-1}$${\displaystyle {\begin{aligned}(n\zeta _{3}+1)^{2}&=2n\zeta _{3}^{2}+2n\zeta _{3}+1\\&=2n(\zeta _{3}^{2}+\zeta _{3})+1\\&=1-2n\end{aligned}}}$

дающий факторизацию всех идеалов, порожденных нечетным числом (с ).${\displaystyle 1+2k}$${\displaystyle k=-n}$

• В мы можем умножить дробные идеалы${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

• ${\displaystyle I=(2,(1/2){\sqrt {-23}}-(1/2))}$ а также
• ${\displaystyle J=(4,(1/2){\sqrt {-23}}+(3/2))}$

получить идеал

${\displaystyle IJ=(-(1/2){\sqrt {-23}}-(3/2))}$

Дивизориальный идеал [ править ]

Обозначим через пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал .${\displaystyle {\tilde {I}}}$${\displaystyle I}$

Эквивалентно,

${\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I)),}$

где, как указано выше

${\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}.}$

Если то I называется дивизориальным . ^[2]${\displaystyle {\tilde {I}}=I}$

Другими словами, дивизориальный идеал - это ненулевое пересечение некоторого непустого множества дробных главных идеалов.

Если I дивизориален, а J - ненулевой дробный идеал, то ( I  : J ) дивизориален.

Пусть R - локальная область Крулля (например, нётерова целозамкнутая локальная область).

Тогда R является кольцом дискретного нормирования тогда и только тогда , когда максимальный идеал из R дивизориален. ^[3]

Область целостности , которая удовлетворяет восходящие условия цепи на дивизориальных идеалов называется доменом Мори . ^[4]

См. Также [ править ]

• Дивизориальная связка
• Теорема Дедекинда-Куммера

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Стейн, Уильям, Вычислительное введение в алгебраическую теорию чисел (PDF)
• Глава 9 Атии, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1994), Введение в коммутативную алгебру , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Глава VII.1 Бурбаки, Николас (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
• Глава 11 Мацумуры, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования по высшей математике, 8 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, MR  1011461