Кольцо целых чисел

В математике , то кольцо целых чисел от с поля алгебраических чисел $К$ является кольцо всех целых элементов , содержащихся в $K$ . Неотъемлемым элементом является корнем в унитарный многочлен с целыми коэффициентами, $х п + с п -1 х п -1 + ... C 0$ . Это кольцо часто обозначают $O K$ или . Поскольку любое целое число принадлежит $K$ и является неотъемлемым элементом ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ $К$ , кольцо $Z$ всегда Подкольцо из $O K$ .

Кольцо целых чисел $Z$ - это простейшее возможное кольцо целых чисел. ^[1] В частности, $Z = O Q$ , где $Q$ представляет собой поле из рациональных чисел . ^[2] И действительно, в теории алгебраических чисел элементы $Z$ часто называют «целыми рациональными числами» из-за этого.

Следующий простейший пример - кольцо целых гауссовских чисел $Z [i]$ , состоящее из комплексных чисел, действительная и мнимая части которых являются целыми числами. Это кольцо целых чисел в числовом поле $Q (i)$ комплексных чисел, действительная и мнимая части которого являются рациональными числами. Как и целые рациональные числа, это евклидова область .

Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел является единственным максимальным порядком в этом поле. Это всегда дедекиндовское владение . ^[3]

Свойства [ править ]

Кольцо целых $O K$ является конечно-порожденной $Z$ - модуль . В самом деле, это свободный $Z$ - модуль, и , следовательно , имеет интегральную основу , которая является основой $б 1, ..., б п \in O K$ из $Q$ -векторных пространства $K$ таким образом, что каждый элемент $х$ в $O K$ может быть однозначно представлен как

{\ displaystyle x = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i},}

с $в я \in Z$ . ^[4] Ранг $п$ из $O K$ как свободный $Z$ - модуль равен степени из $K$ над $Q$ .

Примеры [ править ]

Вычислительный инструмент [ править ]

Полезным инструментом для вычисления интегрального замыкания кольца целых чисел в алгебраическом поле $K / Q$ является использование дискриминанта. Если $K$ имеет степень $n$ над $Q$ и составляет базис $K$ над $Q$ , положим . Тогда, является подмодулем $Z$ -модуля, натянутого на ^[5]^стр.³³ . Фактически, если $d не$ содержит квадратов, то это составляет интегральную основу ^[5]^pg.³⁵ . ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ in {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle d = \ Delta _ {K / \ mathbb {Q}} (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ $\alpha _{1}/d,\ldots ,\alpha _{n}/d$ ${\mathcal {O}}_{K}$

Циклотомические расширения [ править ]

Если $p$ - простое число , $ζ$ - корень $p-$ й степени из единицы и $K = Q (ζ)$ - соответствующее круговое поле , то интегральный базис $O K = Z [ζ]$ задается формулами $(1, ζ, ζ 2, ..., ζ p -2)$ . ^[6]

Квадратичные расширения [ править ]

Если - целое число без квадратов и соответствующее квадратичное поле , то это кольцо целых квадратичных чисел, и его интегральный базис задается формулой $(1, (1 +$ $\sqrt$ $d$ $) / 2),$ если $d$ $\equiv 1 ($ $mod$ $4),$ и $(1,$ $\sqrt$ $d$ $),$ если $d$ $\equiv 2, 3 (mod 4)$ . ^[7] Это можно найти, вычислив минимальный многочлен произвольного элемента где . $d$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ ${\mathcal {O}}_{K}$ $a+b{\sqrt {d}}\in \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ $a,b\in \mathbf {Z}$

Мультипликативная структура [ править ]

В кольце целых чисел каждый элемент имеет факторизацию на неприводимые элементы , но кольцо не обязательно должно обладать свойством уникальной факторизации : например, в кольце целых чисел $Z [\sqrt -5]$ элемент 6 имеет две существенно разные факторизации. в неприводимые: ^[3]^[8]

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\ .

Кольцо целых чисел всегда является дедекиндовской областью , поэтому имеет уникальную факторизацию идеалов в простые идеалы . ^[9]

В единицы кольца целых чисел $О К$ является конечно порожденной абелевой группой по теореме Дирихле о единицах . Подгруппа кручения состоит из корней из единицы в $K$ . Набор генераторов без кручения называется набором фундаментальных единиц . ^[10]

Обобщение [ править ]

Один определяет кольцо целых чисел неархимедова локального поля $F$ как множество всех элементов $F$ с абсолютным значением $\leq 1$ ; это кольцо из-за сильного неравенства треугольника. ^[11] Если $F$ - пополнение поля алгебраических чисел, его кольцо целых чисел - это пополнение последнего кольца целых чисел. Кольцо целых чисел поля алгебраических чисел можно охарактеризовать как элементы, которые являются целыми числами в каждом неархимедовом пополнении. ^[2]

Например, целые $p$ -адические числа $Z p$ представляют собой кольцо целых p -адических чисел $Q p$ .

См. Также [ править ]

Минимальный многочлен (теория поля)
Интегральное замыкание - дает методику вычисления интегральных замыканий.

Ссылки [ править ]

Касселс, JWS (1986). Местные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества. 3 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006 .
Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Руководство по ремонту 1697859 . Zbl 0956.11021 .
Самуэль, Пьер (1972). Алгебраическая теория чисел . Германн / Кершоу.

Примечания [ править ]

^ Кольцо целых чисел без указания поля относится к кольцу $Z$ "обычных" целых чисел, прототипу объекта для всех этих колец. Это следствие неоднозначности слова « целое число » в абстрактной алгебре.
^ a b Касселс (1986) стр. 192
^ a b Сэмюэл (1972) стр.49
^ Касселс (1986) р. 193
^ а б Бейкер. "Алгебраическая теория чисел" (PDF) . С. 33–35.
↑ Самуэль (1972), стр.43
↑ Самуэль (1972), стр.35
^ Артин, Майкл (2011). Алгебра . Прентис Холл. п. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.
^ Самуэль (1972) стр.50
↑ Самуэль (1972), стр. 59–62
^ Касселс (1986) р. 41 год

[1] Кольцо целых чисел без указания поля относится к кольцу $Z$ "обычных" целых чисел, прототипу объекта для всех этих колец. Это следствие неоднозначности слова « целое число » в абстрактной алгебре.

[Cas192-2] Касселс (1986) стр. 192

[Sam49-3] Сэмюэл (1972) стр.49

[Cas193-4] Касселс (1986) р. 193

[:0-5] а б Бейкер. "Алгебраическая теория чисел" (PDF) . С. 33–35.

[Sam43-6] Самуэль (1972), стр.43

[Sam35-7] Самуэль (1972), стр.35

[8] Артин, Майкл (2011). Алгебра . Прентис Холл. п. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.

[Sam50-9] Самуэль (1972) стр.50

[10] Самуэль (1972), стр. 59–62

[Cas41-11] Касселс (1986) р. 41 год

[1]