Порядок (теория колец)

В математике , порядок в смысле теории колец является Подкольцом из кольца , таким образом, что${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle A}$

1. ${\ displaystyle A}$является конечномерной алгеброй над полем из рациональных чисел${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
2. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$пролеты над и${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$
3. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$является a - решеткой в .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle A}$

Последние два условия могут быть сформулированы в менее формальных терминах: аддитивно, это свободная абелева группа, порожденная базисом для более .${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

В более общем смысле для области целостности , содержащейся в поле , мы определяем , чтобы быть -порядком в -алгебрах , если это подкольцо , который является полной -решеткой. ^[1]${\ displaystyle R}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$

Когда не коммутативное кольцо , идея порядка все еще важна, но явления другие. Например, кватернионы Гурвица образуют максимальный порядок в кватернионах с рациональными координатами; это не кватернионы с целочисленными координатами в самом очевидном смысле. Максимальные порядки обычно существуют, но не обязательно должны быть уникальными: обычно нет самого большого заказа, а есть несколько максимальных заказов. Важный класс примеров - это целочисленные групповые кольца .${\ displaystyle A}$

Примеры [ править ]

Вот некоторые примеры заказов: ^[2]

• Если это кольцо матриц над , то кольцо матриц над является -порядок в${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle M_ {п} (К)}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle M_ {п} (R)}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$
• Если область целостности и конечное сепарабельное расширение из , то целое замыкание в в это -порядок в .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle L}$
• Если in - целочисленный элемент над , то кольцо многочленов является -порядком в алгебре${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R [а]}$${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle К [а]}$
• Если - групповое кольцо конечной группы , то - -порядок на${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle K [G]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle R [G]}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle K [G]}$

Фундаментальное свойство - порядков является то , что каждый элементом из -порядка является неотъемлемой более . ^[3]${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

Если целое замыкание в в это -порядок , то этот результат показывает , что должно быть ^{[ разъяснение необходимости ]} максимальный -порядок в . Однако эта гипотеза не всегда выполняется: на самом деле даже не обязательно должно быть кольцо, и даже если кольцо (например, когда оно коммутативно), то не обязательно должно быть -решеткой. ^[3]${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle R}$

Алгебраическая теория чисел [ править ]

Ведущим примером является случай, когда - числовое поле, а - его кольцо целых чисел . В алгебраической теории чисел есть примеры для любого другого поля, кроме рационального, собственных подколец кольца целых чисел, которые также являются порядками. Например, в расширении поля от гауссовских рациональных чисел над , целое замыкание является кольцом целых гауссовых чисел и поэтому это единственный максимальный -порядок: все другие заказы в которые содержатся в нем. Например, мы можем взять подкольцо комплексных чисел в форме с и целые числа. ^[4]${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle А = \ mathbb {Q} (я)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle a+2bi}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Вопрос о максимальном порядке может быть рассмотрен на местном уровне поля . Этот прием применяется в алгебраической теории чисел и теории модульных представлений .

См. Также [ править ]

• Порядок кватернионов Гурвица - Пример кольцевого порядка

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Pohst, M .; Цассенхаус, Х. (1989). Алгоритмическая алгебраическая теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. 30 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-33060-2. Zbl  0685.12001 .
• Райнер, И. (2003). Максимальные заказы . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. 28 . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-852673-3. Zbl  1024.16008 .