Алгебра над полем

В математике , алгебра над полем (часто просто называется алгебра ) является векторным пространством оснащен билинейным продуктом . Таким образом, алгебра - это алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с операциями умножения и сложения и скалярного умножения на элементы поля и удовлетворяющая аксиомам, вытекающим из «векторного пространства» и «билинейности». ^[1]

Операция умножения в алгебре может быть или не быть ассоциативной , что приводит к понятиям ассоциативных алгебр и неассоциативных алгебр . Дан целое число п , то кольцо из действительных квадратных матриц порядка п является пример ассоциативной алгебры над полем действительных чисел при сложении матриц и умножении матриц , так как умножение матриц ассоциативно. Трехмерное евклидово пространство с умножением на векторное произведениеявляется примером неассоциативной алгебры над полем действительных чисел, поскольку векторное векторное произведение неассоциативно, удовлетворяя вместо этого тождество Якоби .

Алгебра является унитальной или унитарной, если она имеет единичный элемент относительно умножения. Кольцо вещественных квадратных матриц порядка n образует унитальную алгебру, поскольку единичная матрица порядка n является единичным элементом по отношению к умножению матриц. Это пример ассоциативной алгебры с единицей, кольца с единицей , которое также является векторным пространством.

Многие авторы используют термин « алгебра» для обозначения ассоциативной алгебры или ассоциативной алгебры с единицей , или в некоторых предметах, таких как алгебраическая геометрия , ассоциативная коммутативная алгебра с единицей .

Замена поля скаляров коммутативным кольцом приводит к более общему понятию алгебры над кольцом . Алгебры не следует путать с векторными пространствами, снабженными билинейной формой , такими как внутренние пространства произведения , поскольку для такого пространства результат произведения находится не в пространстве, а скорее в поле коэффициентов.

Определение и мотивация [ править ]

Мотивирующие примеры [ править ]

Алгебра	векторное пространство	билинейный оператор	ассоциативность	коммутативность
сложные числа	${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$	произведение комплексных чисел ${\ Displaystyle \ влево (а + ib \ вправо) \ CDOT \ влево (с + ID \ вправо)}$	да	да
кросс-произведение трехмерных векторов	${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$	перекрестное произведение ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}}}$	Нет	Нет ( антикоммутативный )
кватернионы	${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$	Гамильтон продукт ${\ Displaystyle (а + {\ vec {v}}) (б + {\ vec {w}})}$	да	Нет

Определение [ править ]

Пусть K - поле, и пусть A - векторное пространство над K, снабженное дополнительной бинарной операцией из A × A в A , обозначаемой здесь · (т.е. если x и y - любые два элемента A , x · y - это продукт из х и у ). Тогда является алгебра над K , если выполнены следующие тождества для всех элементов х ,y , z ∈ A , и все элементы (часто называемые скалярами ) a и b из K :

• Правая дистрибутивность : ( x + y ) · z = x · z + y · z
• Левая дистрибутивность: z · ( x + y ) = z · x + z · y
• Совместимость со скалярами: ( a x ) · ( b y ) = ( ab ) ( x · y ) .

Эти три аксиомы - еще один способ сказать, что двоичная операция является билинейной . Алгебра над K иногда также называется К - алгебра , а K называется базовой поле из A . Бинарную операцию часто называют умножением в А . Соглашение, принятое в этой статье, состоит в том, что умножение элементов алгебры не обязательно ассоциативно , хотя некоторые авторы используют термин алгебра для обозначения ассоциативной алгебры .

Когда бинарная операция над векторным пространством коммутативна , левая дистрибутивность и правая дистрибутивность эквивалентны, и в этом случае только одна дистрибутивность требует доказательства. В общем, для некоммутативных операций левая и правая дистрибутивность не эквивалентны и требуют отдельных доказательств.

Основные понятия [ править ]

Гомоморфизмы алгебры [ править ]

Учитывая , K -алгебр и В , А К - алгебра гомоморфизм является К - линейное отображение F : → B такой , что F ( х ) = е ( х ) е ( у ) для всех х , у в А . Пространство всех гомоморфизмов K -алгебр между A и B часто записывается как

${\ displaystyle \ mathbf {Hom} _ {K {\ text {-alg}}} (A, B).}$

A K - алгебры изоморфизм является взаимно однозначным K - алгебра гомоморфизма. Практически изоморфные алгебры различаются только обозначениями.

Подалгебры и идеалы [ править ]

Подалгебра алгебры над полем K является линейным подпространством , что обладает свойством , что произведение любых двух его элементов снова в подпространстве. Другими словами, подалгебра алгебры - это непустое подмножество элементов, замкнутое относительно сложения, умножения и скалярного умножения. В символах, мы говорим , что подмножество L из К - алгебры А является подалгеброй , если для каждого х , у в L и C в K , имеем х · у , х + у и схвсе в L .

В приведенном выше примере комплексных чисел, рассматриваемых как двумерная алгебра над действительными числами, одномерная реальная прямая является подалгеброй.

Левый идеал из К - алгебры есть линейное подпространство, обладает тем свойством , что любой элемент подпространства , умноженный слева на любой элемент алгебры производит элемент подпространства. В символах мы говорим, что подмножество L в K -алгебре A является левым идеалом, если для любых x и y в L , z в A и c в K выполняются следующие три утверждения.

1. x + y находится в L ( L замкнуто относительно сложения),
2. cx находится в L ( L замкнуто относительно скалярного умножения),
3. z · x принадлежит L ( L замкнуто относительно умножения слева на произвольные элементы).

Если бы (3) заменить на x · z в L , то это определило бы правый идеал . Двусторонний идеал является подмножеством , который является одновременно левым и правым идеалом. Сам по себе термин « идеал» обычно означает двусторонний идеал. Конечно, когда алгебра коммутативна, все эти понятия идеала эквивалентны. Обратите внимание , что условия (1) и (2) совместно эквивалентны L является линейным подпространством А . Из условия (3) следует, что любой левый или правый идеал является подалгеброй.

Важно отметить, что это определение отличается от определения идеала кольца тем , что здесь требуется условие (2). Конечно, если алгебра унитальна, то из условия (3) следует условие (2).

Расширение скаляров [ править ]

Если у нас есть расширение поля F / K , который должен сказать большее поле F , содержащий K , то есть естественный способ построить алгебру над F из любой алгебры над K . Это та же самая конструкция, которую используют для создания векторного пространства над большим полем, а именно тензорное произведение . Так что, если алгебра над К , то алгебра над F .${\ displaystyle V_ {F}: = V \ otimes _ {K} F}$${\ displaystyle A_ {F}}$

Виды алгебр и примеры [ править ]

Алгебры над полями бывают разных типов. Эти типы задаются настаиванием на некоторых дополнительных аксиомах, таких как коммутативность или ассоциативность операции умножения, которые не требуются в широком определении алгебры. Теории, соответствующие различным типам алгебр, часто очень разные.

Унитальная алгебра [ править ]

Алгебра является унитальной или унитарной, если она имеет единицу или единичный элемент I с Ix = x = xI для всех x в алгебре.

Нулевая алгебра [ править ]

Алгебра называется нулевой алгеброй, если uv = 0 для всех u , v в алгебре ^[2], не путать с алгеброй с одним элементом. Он по своей природе неунитален (за исключением случая только одного элемента), ассоциативен и коммутативен.

Можно определить унитальную нулевую алгебру , взяв прямую сумму модулей поля (или, в более общем смысле, кольца) K и K -векторного пространства (или модуля) V , и определив произведение каждой пары элементов V как нуль. То есть, если λ , μ ∈ K и u , v ∈ V , то ( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + μu ) . Если e ₁, ... e _d является базисом V , нулевая алгебра с единицей - это фактор кольца многочленов K [ E ₁ , ..., E _n ] по идеалу, порожденному E _i E _j для каждой пары ( i , J ) .

Примером унитальной нулевой алгебры является алгебра двойственных чисел , унитальная нулевая R- алгебра, построенная из одномерного вещественного векторного пространства.

Эти нулевые алгебры с единицей могут быть более полезными, поскольку они позволяют переводить любое общее свойство алгебр в свойства векторных пространств или модулей . Например, теория базисов Грёбнера была введена Бруно Бухбергером для идеалов в кольце многочленов R = K [ x ₁ , ..., x _n ] над полем. Построение алгебры унитальных нулей над свободным R-модуль позволяет расширить эту теорию как базисную теорию Грёбнера для подмодулей свободного модуля. Это расширение позволяет для вычисления базиса Гребнера подмодуля использовать, без каких-либо изменений, любой алгоритм и любое программное обеспечение для вычисления базисов идеалов Гребнера.

Ассоциативная алгебра [ править ]

Примеры ассоциативных алгебр включают

• алгебра всех N матрицу с размерностью п матриц над полем (или коммутативным кольцом) К . Здесь умножение - это обычное умножение матриц .
• групповые алгебры , где группа служит основой векторного пространства, а алгебра умножения расширяет групповое умножение.
• коммутативная алгебра K [ x ] всех многочленов над K (см. кольцо многочленов ).
• алгебры функций , такие как R -алгебра всех действительных непрерывных функций, определенных на интервале [0,1], или C -алгебра всех голоморфных функций, определенных на некотором фиксированном открытом множестве в комплексной плоскости . Они также коммутативны.
• Алгебры инцидентности строятся на некоторых частично упорядоченных множествах .
• алгебры линейных операторов , например в гильбертовом пространстве . Здесь умножение алгебры задается композицией операторов. Эти алгебры также несут топологию ; многие из них определены на базовом банаховом пространстве , что превращает их в банаховы алгебры . Если также задана инволюция, мы получаем B * -алгебры и C * -алгебры . Они изучаются функциональным анализом .

Неассоциативная алгебра [ править ]

Не-ассоциативная алгебра ^[3] (или распределительная алгебра ) над полем K является K -векторного пространства оснащен K - билинейной картой . Использование термина «неассоциативный» здесь означает, что ассоциативность не предполагается, но не означает, что она запрещена. То есть означает «не обязательно ассоциативный». ${\displaystyle A\times A\rightarrow A}$

Примеры, подробно описанные в основной статье, включают:

• Евклидово пространство R ³ с умножением на векторное произведение
• Октонионы
• Алгебры Ли
• Йордановы алгебры
• Альтернативные алгебры
• Гибкие алгебры
• Степенно-ассоциативные алгебры

Алгебры и кольца [ править ]

Определение ассоциативной K -алгебры с единицей также часто дается альтернативным способом. В этом случае алгебра над полем K - это кольцо A вместе с гомоморфизмом колец

${\displaystyle \eta \colon K\to Z(A),}$

где Z ( ) является центром из A . Так как η является кольцевым гомоморфизмом, то следует иметь либо , что является нулевым кольцом , или что η является инъективен . Это определение эквивалентно приведенному выше со скалярным умножением

${\displaystyle K\times A\to A}$

дано

${\displaystyle (k,a)\mapsto \eta (k)a.}$

Для двух таких ассоциативных унитальных K -алгебр A и B гомоморфизм унитальных K -алгебр f : A → B - это гомоморфизм колец, который коммутирует со скалярным умножением, определяемым η , которое можно записать как

${\displaystyle f(ka)=kf(a)}$

для всех и . Другими словами, следующая диаграмма коммутирует:${\displaystyle k\in K}$${\displaystyle a\in A}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}}$

Коэффициенты структуры [ править ]

Для алгебр над полем, билинейное умножение из A × A в A полностью определяется умножением базисных элементов А . И наоборот, как только базис для A выбран, произведения базисных элементов могут быть заданы произвольно, а затем расширены уникальным способом до билинейного оператора на A , т. Е. Полученное умножение удовлетворяет законам алгебры.

Таким образом, с учетом поля K любую конечномерную алгебру можно задать с точностью до изоморфизма , задав ее размерность (скажем, n ) и указав n ³ структурных коэффициентов c _{i , j , k} , которые являются скалярами . Эти структурные коэффициенты определяют умножение в A по следующему правилу:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}}$

где е ₁ , ..., е _п образуют базис A .

Обратите внимание, однако, что несколько различных наборов структурных коэффициентов могут привести к изоморфным алгебрам.

В математической физике структурные коэффициенты обычно записываются с верхним и нижним индексами, чтобы различать их свойства преобразования при преобразованиях координат. В частности, нижние индексы являются ковариантными индексами и преобразуются посредством откатов , в то время как верхние индексы являются контравариантными , трансформируясь при движении вперед . Таким образом, структурные коэффициенты часто записываются c _{i , j} ^k , а их определяющее правило записывается с использованием обозначений Эйнштейна как

е _я е _{j знак} равно с _{я , j} ^к е _к .

Если вы примените это к векторам, записанным в индексной нотации , тогда это станет

( Х ) ^к = с _{я , J} ^к й ^I у ^J .

Если K только коммутативное кольцо , а не поле, а затем тот же процесс работает , если является свободным модулем над K . Если это не так, умножение по-прежнему полностью определяется его действием на множество, охватывающее A ; однако структурные константы не могут быть указаны произвольно в этом случае, и знание только структурных констант не определяет алгебру с точностью до изоморфизма.

Классификация ассоциативных алгебр с единицей малой размерности над комплексными числами [ править ]

Двумерные, трехмерные и четырехмерные унитальные ассоциативные алгебры над полем комплексных чисел были полностью классифицированы с точностью до изоморфизма Эдуардом Штуди . ^[4]

Таких двумерных алгебр существует две. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций (с комплексными коэффициентами) двух базисных элементов, 1 (единичный элемент) и a . Согласно определению элемента идентичности,

${\displaystyle \textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.}$

Осталось уточнить

${\displaystyle \textstyle aa=1}$   для первой алгебры,

${\displaystyle \textstyle aa=0}$   для второй алгебры.

Таких трехмерных алгебр существует пять. Каждая алгебра состоит из линейных комбинаций трех базисных элементов, 1 (единичный элемент), a и b . Принимая во внимание определение элемента идентичности, достаточно указать

${\displaystyle \textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0}$   для первой алгебры,

${\displaystyle \textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   для второй алгебры,

${\displaystyle \textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   для третьей алгебры,

${\displaystyle \textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b}$   для четвертой алгебры,

${\displaystyle \textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0}$   для пятой алгебры.

Четвертая из этих алгебр некоммутативна, а остальные коммутативны.

Обобщение: алгебра над кольцом [ править ]

В некоторых областях математики, такие как коммутативная алгебра , обычно рассматривать более общее понятие алгебры над кольцом , где коммутативная унитальная кольцо R заменяет поле K . Единственная часть определения, которая изменяется, - это то, что A предполагается R -модулем (а не векторным пространством над K ).

Ассоциативные алгебры над кольцами [ править ]

Кольцо всегда ассоциативная алгебра над ее центром , а над целыми числами . Классическим примером алгебры над ее центром является алгебра расщепленных бикватернионов , которая изоморфна прямому произведению двух алгебр кватернионов . Центр этого кольца есть , и, следовательно, оно имеет структуру алгебры над своим центром, которая не является полем. Обратите внимание, что алгебра расщепленных бикватернионов также естественным образом является 8-мерной -алгеброй.${\displaystyle \mathbb {H} \times \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

В коммутативной алгебре, если A - коммутативное кольцо , то любой гомоморфизм колец с единицей определяет структуру R -модуля на A , и это то, что известно как структура R- алгебры. ^[5] Таким образом, кольцо имеет естественную структуру -модуля, поскольку можно взять единственный гомоморфизм . ^[6] С другой стороны, не всем кольцам можно дать структуру алгебры над полем (например, целые числа). См. В разделе Поле с одним элементом описание попытки придать каждому кольцу структуру, которая ведет себя как алгебра над полем.${\displaystyle R\to A}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} \to A}$

См. Также [ править ]

• Алгебра над операдой
• Альтернативная алгебра
• Алгебра Клиффорда
• Дифференциальная алгебра
• Свободная алгебра
• Геометрическая алгебра
• Макс-плюс алгебра
• Мутация (алгебра)
• Операторная алгебра
• Лемма Зарисского

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Hazewinkel, Michiel ; Губарени, Надия; Кириченко, Владимир В. (2004). Алгебры, кольца и модули . 1 . Springer. ISBN 1-4020-2690-0.