Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья об алгебраической структуре. О группоидах в теории категорий см. Groupoid . Для использования в других целях, см Магма (значения) .
Алгебраические структуры
Группа -как
Теория групп
Кольцо -как
Теория колец
Lattice -как
Модуль- подобный
Алгебра- подобный
Алгебраические структуры между магмами и группами .

В абстрактной алгебре , в магма , Binar [1] или группоиде является основным видом алгебраической структуры . В частности, магма состоит из набора, оснащенного одной бинарной операцией, которая должна быть закрыта по определению. Никаких других свойств не налагается.

История и терминология [ править ]

Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом при описании своего группоида Брандта (в переводе с немецкого Gruppoid ). Затем этот термин был присвоен Б. А. Хаусманном и Ойстейном Оре (1937) [2] в смысле (множества с бинарной операцией), используемом в этой статье. В нескольких обзорах последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласился с такой перегруженностью терминологией. Группоид Брандта является группоидом в том смысле, который используется в теории категорий, но не в том смысле, который используется Хаусманном и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, включая Клиффорда иПрестон (1961) и Хоуи (1995) используют группоид в смысле Хаусмана и Оре. Холлингс (2014) пишет, что термин группоид «возможно, наиболее часто используется в современной математике» в том смысле, который ему дан в теории категорий. [3]

Согласно Бергману и Хаускнехту (1996): «Не существует общепринятого слова для обозначения множества с необязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово группоид используется многими универсальными алгебраистами, но специалисты в теории категорий и смежных областях категорически возражают против этого использования. потому что они используют одно и то же слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Термин магма был использован Серром [Алгебры Ли и группы Ли, 1965] ». [4] Он также появляется в Бурбаки «s ЭЛЕМЕНТОВ де Mathematique , Algèbre, chapitres 1 à 3, 1970. [5]

Определение [ править ]

Магма - это множество M, согласованное с операцией •, которая отправляет любые два элемента a , b ∈ M другому элементу a • b . Символ • является общим заполнителем для правильно определенной операции. Чтобы считаться магмой, набор и операция ( M , •) должны удовлетворять следующему требованию (известному как аксиома магмы или замыкания ):

Для всех а , Ь в М , результат операции с • Ь также находится в М .

И в математической записи:

.

Если • вместо этого является частичной операцией , то ( M , •) называется частичной магмой [6] или чаще частичным группоидом . [6] [7]

Морфизм магм [ править ]

Морфизм магм является функция, F  : М → Н , отображение магмы М в магматической N , который сохраняет бинарную операцию:

f ( x • M y ) = f ( x ) • N f ( y )

где • M и • N обозначают двоичную операцию над M и N соответственно.

Нотация и комбинаторика [ править ]

Операция с магмой может применяться многократно, и в общем, неассоциативном случае имеет значение порядок, который указан в скобках. Кроме того, операция • часто опускается и обозначается противопоставлением:

( a • ( b • c )) • d = ( a ( bc )) d

Сокращение часто используется для уменьшения количества скобок, в которых самые внутренние операции и пары скобок опускаются, заменяются просто сопоставлением, xy • z = ( x • y ) • z . Например, приведенное выше сокращено до следующего выражения, все еще содержащего круглые скобки:

( a • bc ) d .

Способом полностью избежать использования круглых скобок является префиксная нотация , в которой одно и то же выражение будет записано •• a • bcd . Другой способ, знакомый программистам, - это постфиксная нотация ( обратная польская нотация ), в которой одно и то же выражение будет записано abc •• d • , в котором порядок выполнения просто слева направо (без каррирования ).

Набор всевозможных цепочек, состоящий из символов, обозначающих элементы магмы, и наборов сбалансированных скобок называется языком Дайка . Общее количество различных способов написания п применений оператора магмы определяется числом каталонского , C н . Таким образом, например, C 2 = 2 , что является просто утверждением, что ( ab ) c и a ( bc ) - единственные два способа соединения трех элементов магмы с двумя операциями. Менее тривиально C 3 = 5 : ((ab ) c ) d , ( a ( bc )) d , ( ab ) ( cd ) , a (( bc ) d ) и a ( b ( cd )) .

Существует n n 2 магм с n элементами, поэтому есть 1, 1, 16, 19683, 4294967296, ... (последовательность A002489 в OEIS ) магмы с 0, 1, 2, 3, 4, ... элементами. Соответствующее количество неизоморфных магм составляет 1, 1, 10, 3330, 178981952, ... (последовательность A001329 в OEIS ), а количество одновременно неизоморфных и неантиизоморфных магм составляет 1, 1, 7, 1734. , 89521056, ... (последовательность A001424 в OEIS ). [8]

Свободная магма [ править ]

Бесплатно магма , M X на множестве, X , является «наиболее общей возможной» магмой , порожденной X (то есть, не существуют никаких отношений или аксиом , налагаемые на генераторах, см свободного объекта ). Его можно описать как набор неассоциативных слов на X с сохранением круглых скобок. [9]

Это также можно рассматривать в терминах , знакомых в информатике , как магма бинарных деревьев с листьями , помеченных элементами X . Операция заключается в соединении деревьев в корне. Следовательно, он играет основополагающую роль в синтаксисе .

Свободная магма обладает универсальным свойством : если f  : X → N является функцией от X до любой магмы, N , то существует уникальное расширение f до морфизма магм, f  ′

е  ': М Х → Н .
См. Также: свободная полугруппа , свободная группа , множество Холла и число Веддерберна – Этерингтона.

Типы магмы [ править ]

Магмы не часто изучаются как таковые; вместо этого существует несколько различных видов магмы, в зависимости от того, каким аксиомам должна удовлетворять операция. Обычно изучаемые типы магмы включают:

Квазигруппа
Магма, где всегда возможно разделение
Петля
Квазигруппа с элементом идентичности
Полугруппа
Магма, где операция ассоциативна
Обратная полугруппа
Полугруппа с инверсией.
Полурешетка
Полугруппа, в которой операция коммутативна и идемпотентна
Моноид
Полугруппа с элементом идентичности
Группа
Моноид с инверсными элементами , или, что то же самое, ассоциативная петля или непустая ассоциативная квазигруппа
Абелева группа
Группа, в которой операция коммутативна

Обратите внимание, что каждое из делимости и обратимости подразумевает свойство отмены .

Классификация по свойствам [ править ]

Групповые структуры
Целостность αАссоциативностьЛичностьОбратимостьКоммутативность
ПолугрупоидныйНенужныйНеобходимыйНенужныйНенужныйНенужный
Малая категорияНенужныйНеобходимыйНеобходимыйНенужныйНенужный
ГруппоидНенужныйНеобходимыйНеобходимыйНеобходимыйНенужный
МагмаНеобходимыйНенужныйНенужныйНенужныйНенужный
КвазигруппаНеобходимыйНенужныйНенужныйНеобходимыйНенужный
Единая МагмаНеобходимыйНенужныйНеобходимыйНенужныйНенужный
ПетляНеобходимыйНенужныйНеобходимыйНеобходимыйНенужный
ПолугруппаНеобходимыйНеобходимыйНенужныйНенужныйНенужный
Обратная полугруппаНеобходимыйНеобходимыйНенужныйНеобходимыйНенужный
МоноидНеобходимыйНеобходимыйНеобходимыйНенужныйНенужный
Коммутативный моноидНеобходимыйНеобходимыйНеобходимыйНенужныйНеобходимый
ГруппаНеобходимыйНеобходимыйНеобходимыйНеобходимыйНенужный
Абелева группаНеобходимыйНеобходимыйНеобходимыйНеобходимыйНеобходимый
^ α Замыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной тотальности, хотя и определяется по-другому.

Магма ( S , •) с x , y , u , z ∈ S называется

Медиальный
Если он удовлетворяет тождеству, xy • uz ≡ xu • yz
Левый полусредний
Если он удовлетворяет тождеству, xx • yz ≡ xy • xz
Правый полусредний
Если он удовлетворяет тождеству, yz • xx ≡ yx • zx
Полумедиальный
Если это и левый, и правый полумедиальный
Левый распределительный
Если он удовлетворяет тождеству, x • yz ≡ xy • xz
Правый дистрибутив
Если он удовлетворяет тождеству, yz • x ≡ yx • zx
Автораспределение
Если и левый, и правый распределительный
Коммутативный
Если он удовлетворяет тождеству, xy ≡ yx
Идемпотент
Если он удовлетворяет тождеству, xx ≡ x
Унипотентный
Если он удовлетворяет тождеству, xx ≡ yy
Нулевой потенциал
Если он удовлетворяет тождествам, xx • y ≡ xx ≡ y • xx [10]
Альтернатива
Если он удовлетворяет тождествам xx • y ≡ x • xy и x • yy ≡ xy • y
Властно-ассоциативный
Если подмагма, порожденная каким-либо элементом, ассоциативна
Гибкий
если xy • x ≡ x • yx
Полугруппа , или ассоциативный
Если он удовлетворяет тождеству, x • yz ≡ xy • z
Левый унар
Если он удовлетворяет тождеству, xy ≡ xz
Правильный унар
Если он удовлетворяет тождеству, yx ≡ zx
Полугруппа с нулевым умножением или нулевая полугруппа
Если он удовлетворяет тождеству, xy ≡ uv
Unital
Если в нем есть элемент идентичности
Лево- сокращения
Если для всех х , у , и, г , х = хг влечет у = г
Право-отменяющий
Если для всех х , у , и, г , уй = ге означают у = г
Отменяющий
Если это одновременно правая отменяющая и левая отменяющая
Полугруппа с левыми нулями
Если это полугруппа и для всех х , тождества, х ≡ х , имеет место
Полугруппа правых нулей
Если это полугруппа и для всех х , тождество, х ≡ уг , имеет место
Тримедиал
Если любая тройка (не обязательно различных) элементов порождает медиальную подмагму
Энтропийный
Если это гомоморфное медиальной отмена магмы. [11]

Категория магм [ править ]

Категория магм, обозначаемая Mag , - это категория , объектами которой являются магмы, а морфизмы - гомоморфизмами магм . Категория Mag имеет прямые продукты , и есть функтор включения : Set → Med ↪ Mag как тривиальные магмы с операциями, заданными проекцией : x  T  y = y  .

Важным свойством является то, что инъективный эндоморфизм может быть расширен до автоморфизма расширения магмы , просто копредела ( постоянной последовательности) эндоморфизма .

Поскольку одноточечный ({*}, *) является нулевым объектом из Mag , и потому , что Mag является алгебраическим , Mag заострен и полный . [12]

Обобщения [ править ]

См. N -арную группу .

См. Также [ править ]

  • Категория магмы
  • Объект авто магмы
  • Универсальная алгебра
  • Система компьютерной алгебры Magma , названная в честь объекта данной статьи.
  • Коммутативные неассоциативные магмы
  • Алгебраические структуры, аксиомы которых являются тождествами
  • Группоидная алгебра
  • Набор для прихожей

Ссылки [ править ]

  1. ^ Бергман, Клиффорд, Универсальная алгебра: основы и избранные темы
  2. ^ Hausmann, BA; Руда, Øystein (октябрь 1937), "Теория квази-групп", Американский журнал математики , 59 (4): 983-1004, DOI : 10,2307 / 2371362 , JSTOR 2371362 
  3. ^ Холлингс, Кристофер (2014), Математика через железный занавес: История алгебраической теории полугрупп , Американское математическое общество, стр. 142–3, ISBN 978-1-4704-1493-1
  4. ^ Бергман, Джордж М .; Хаускнехт, Адам О. (1996), Когруппы и ко-кольца в категориях ассоциативных колец , Американское математическое общество, с. 61, ISBN 978-0-8218-0495-7
  5. ^ Бурбаки, Н. (1998) [1970], "Алгебраические структуры: §1.1 Законы композиции: определение 1" , Алгебра I: главы 1–3 , Springer, с. 1, ISBN 978-3-540-64243-5
  6. ^ a b Мюллер-Хойссен, Фолкерт; Палло, Жан Марсель; Сташеф, Джим, ред. (2012), Associahedra , Tamari Lattices and Related Structures: Tamari Memorial Festschrift , Springer, p. 11, ISBN 978-3-0348-0405-9
  7. ^ Евсеев, AE (1988), "Обзор частичных группоидов", в Silver, Ben (ed.), Девятнадцать статей по алгебраическим полугруппам , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3115-1
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Группоид" . MathWorld .
  9. ^ Роуэн, Луи Галле (2008), "Определение 21B.1." , Аспирантура по алгебре: некоммутативный взгляд , Аспирантура по математике , Американское математическое общество , с. 321, ISBN 0-8218-8408-5
  10. ^ Кепка, Т .; Němec, P. (1996), "Простые сбалансированные группоиды" (PDF) , Acta Universitatis Palackianae Olomucensis. Facultas Rerum Naturalium. Mathematica , 35 (1): 53–60
  11. ^ Ježek, Ярослав; Кепка, Томаш (1981), "Свободные энтропийные группоиды" (PDF) , Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae , 22 (2): 223–233, MR 0620359  .
  12. ^ Borceux, Фрэнсис; Борн, Доминик (2004). Мальцев, протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Springer. С. 7, 19. ISBN 1-4020-1961-0.
  • М. Хазевинкель (2001) [1994], «Магма» , Энциклопедия математики , EMS Press
  • М. Хазевинкель (2001) [1994], "Группоид" , Энциклопедия математики , EMS Press
  • М. Хазевинкель (2001) [1994], «Свободная магма» , Энциклопедия математики , EMS Press
  • Вайсштейн, Эрик В. «Группоид» . MathWorld .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Брук, Ричард Хуберт (1971), Обзор двойных систем (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-03497-3