Группа с операторами

В абстрактной алгебре , разделе математики , алгебраическая структурная группа с операторами или Ω- группа может рассматриваться как группа с множеством Ω, которое действует на элементы группы особым образом.

Группы с операторами широко изучались Эмми Нётер и ее школой в 1920-х годах. Она использовала эту концепцию в своей первоначальной формулировке трех теорем об изоморфизме Нётер .

Определение [ править ]

Группа с операторами может быть определена ^[1] как группа вместе с действием множества на :${\ displaystyle (G, \ Omega)}$${\ Displaystyle G = (G, \ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ Omega \ times G \ rightarrow G: (\ omega, g) \ mapsto g ^ {\ omega}}$

что является распределительным относительно группового закона:

${\ displaystyle (g \ cdot h) ^ {\ omega} = g ^ {\ omega} \ cdot h ^ {\ omega}.}$

Для каждого , приложение является тогда эндоморфизм из G . Исходя из этого, он приводит , что Ω-группа также может рассматриваться как группа G с индексированной семейства эндоморфизмов G .${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ displaystyle g \ mapsto g ^ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle (и _ {\ omega}) _ {\ omega \ in \ Omega}}$

${\ displaystyle \ Omega}$называется операторной областью . Младшие эндоморфизмов ^[2] называются гомотетии из G .

Принимая во внимание две группы G , H с таким же доменом оператора , А гомоморфизм групп с операторами гомоморфизм групп , удовлетворяющих${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ phi: G \ to H}$

${\ Displaystyle \ фи (г ^ {\ омега}) = (\ фи (г)) ^ {\ омега}}$для всех и${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ displaystyle g \ in G.}$

Подгруппа S из G называется стабильной подгруппа , -подгруппа или -инвариантной подгруппа , если она уважает гомотетию, то есть${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle s ^ {\ omega} \ in S}$для всех и${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega.}$

Замечания по теории категорий [ править ]

В теории категории , A группа с операторами может быть определена ^[3] в качестве объекта в категории функторов Гр ^М , где М представляет собой моноид (т.е. категории с одним объектом ) и Grp обозначает категорию групп . Это определение эквивалентно предыдущему при условии, что это моноид (в противном случае мы можем расширить его, чтобы включить идентичность и все композиции).${\ displaystyle \ Omega}$

Морфизм в этой категории является естественным преобразованием между двумя функторами ( т.е. две группы с операторами совместных же оператор доменом M ). Мы снова восстановить определение выше гомоморфизма групп с операторами (с F на компоненты природной трансформации).

Группа с операторами - это тоже отображение

${\displaystyle \Omega \rightarrow \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}$

где есть множество групповых эндоморфизмов G .${\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)}$

Примеры [ править ]

• Для любой группы G ( G , ∅) тривиально является группой с операторами
• Учитывая модуль М над кольцом R , R действует путем скалярного умножения на нижележащей абелевой группы из М , так что ( M , R ) представляет собой группу с операторами.
• Как частный случай вышеизложенного, каждое векторное пространство над полем k является группой с операторами ( V , k ).

Приложения [ править ]

Теорема Жордана – Гёльдера верна и в контексте групп операторов. Требование, чтобы группа имела композиционный ряд , аналогично требованию компактности в топологии и иногда может быть слишком строгим требованием. Естественно говорить о «компактности относительно множества», т. Е. О композиционных рядах, где каждая ( нормальная ) подгруппа является оператор-подгруппой относительно множества операторов X рассматриваемой группы.

См. Также [ править ]

• Групповое действие

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, Николас (1974). Элементы математики: Алгебра I Главы 1–3 . Германн. ISBN 2-7056-5675-8.CS1 maint: ref=harv (link)
• Бурбаки, Николас (1998). Элементы математики: Алгебра I Главы 1–3 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9.CS1 maint: ref=harv (link)
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.CS1 maint: ref=harv (link)