Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Эмми Нётер
Noether.jpg
Родившийся
Амали Эмми Нётер

( 1882-03-23 )23 марта 1882 г.
Эрланген , Бавария , Германская империя
Умер14 апреля 1935 г. (1935-04-14)(53 года)
Брин Мор, Пенсильвания , США
НациональностьНемецкий
Альма-матерУниверситет Эрлангена
Известен
НаградыПремия Мемориала Аккермана – Тойбнера (1932 г.)
Научная карьера
ПоляМатематика и физика
Учреждения
ТезисО полных системах инвариантов тернарных биквадратичных форм  (1907 г.)
ДокторантПол Гордан
Докторанты

Амали Эмми Нётер [а] ( немецкий: [ˈnøːtɐ] ; 23 марта 1882 - 14 апреля 1935) была немецким математиком , внесшим важный вклад в абстрактную алгебру . Она открыла теорему Нётер , которая является фундаментальной в математической физике . [1] Она неизменно использовала имя «Эмми Нётер» в своей жизни и в публикациях. [a] Павел Александров , Альберт Эйнштейн , Жан Дьедонне , Герман Вейль и Норберт Винер описали ее как наиболее важныхженщина в истории математики . [2] [3] Как один из ведущих математиков своего времени, она разработала некоторые теории колец , полей и алгебр . В физике теорема Нётер объясняет связь между симметрией и законами сохранения . [4]

Нётер родилась в еврейской семье во франконском городе Эрланген ; ее отцом был математик Макс Нётер . Изначально она планировала преподавать французский и английский после сдачи необходимых экзаменов, но вместо этого изучала математику в Университете Эрлангена , где читал лекции ее отец. После получения докторской степени в 1907 году под руководством Пола Гордана она проработала в Математическом институте Эрлангена без оплаты семь лет. В то время женщин в значительной степени исключали с академических должностей. В 1915 году она была приглашена Дэвидом Гильбертом и Феликсом Кляйном на кафедру математики вГеттингенский университет , всемирно известный центр математических исследований. Однако философский факультет возражал, и она четыре года читала лекции под именем Гильберта. В 1919 году была утверждена ее абилитация , что позволило ей получить звание приват-доцента .

Нётер оставалась ведущим членом математического факультета Геттингена до 1933 года; ее учеников иногда называли «мальчиками Нётер». В 1924 г. к ее кругу присоединился голландский математик Б.Л. ван дер Варден, который вскоре стал ведущим исследователем идей Нётер; ее работа легла в основу второго тома его влиятельного учебника 1931 года « Современная алгебра» . К моменту выступления на пленарном заседании на Международном конгрессе математиков 1932 года в Цюрихе ее алгебраическая проницательность была признана во всем мире. В следующем году нацистское правительство Германии уволило евреев с университетских должностей, и Нётер переехала в Соединенные Штаты, чтобы занять должность в колледже Брин-Мор.в Пенсильвании . В 1935 году она перенесла операцию по поводу кисты яичника и, несмотря на признаки выздоровления, умерла через четыре дня в возрасте 53 лет.

Математические работы Нётер разделены на три «эпохи». [5] В первом (1908–1919) она внесла вклад в теории алгебраических инвариантов и числовых полей . Ее работа по дифференциальным инвариантам в вариационном исчислении , теорема Нётер , была названа «одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных и направляющих развитие современной физики». [6] Во вторую эпоху (1920–1926) она начала работу, которая «изменила лицо [абстрактной] алгебры». [7] В своей классической статье 1921 года Idealtheorie in Ringbereichen ( Теория идеалов в кольцевых областях ),Нётер разработал теориюидеалы в коммутативных кольцах в инструмент с широким спектром приложений. Она сделала элегантное использование условия восходящей цепи , и объектов , удовлетворяющий его называют нетеров в ее честь. В третью эпоху (1927–1935) она опубликовала работы по некоммутативным алгебрам и гиперкомплексным числам и объединила теорию представлений групп с теорией модулей и идеалов. Помимо собственных публикаций, Нётер была щедра на свои идеи, и ей приписывают несколько направлений исследований, опубликованных другими математиками, даже в областях, далеких от ее основной работы, таких как алгебраическая топология..

Личная жизнь [ править ]

Нётер выросла в баварском городе Эрланген , изображенном здесь на открытке 1916 года.
Эмми Нётер с братьями Альфредом, Фрицем и Робертом до 1918 года.

Эмми Нётер родилась 23 марта 1882 года и была первой из четырех детей. [8] Ее имя было «Амалия», в честь ее матери и бабушки по отцовской линии, но она начала использовать свое второе имя в молодом возрасте.

В учебе она не выделялась, хотя была известна своей умной и дружелюбной репутацией. Она была близорукой и в детстве говорила с незначительной шепелявостью . Спустя годы друг семьи рассказал историю о юной Нётер, которая быстро решила головоломку на детском празднике, проявив логическую проницательность в этом раннем возрасте. [9] Ее учили готовить и убирать, как и большинство девочек того времени, и она брала уроки игры на фортепиано. Ни одним из этих занятий она не занималась с энтузиазмом, хотя любила танцевать. [10]

У нее было три младших брата: старший, Альфред, родился в 1883 году, получил докторскую степень по химии в Эрлангене в 1909 году, но умер девять лет спустя. Фриц Нётер , родившийся в 1884 году, известен своими академическими достижениями; после учебы в Мюнхене он заработал себе репутацию в области прикладной математики . Самый младший, Густав Роберт, родился в 1889 году. О его жизни известно очень мало; он страдал от хронической болезни и умер в 1928 году. [11] [12]

Университетская жизнь и образование [ править ]

Пол Гордан руководил докторской диссертацией Нётер по инвариантам биквадратичных форм.

Нётер рано начала владеть французским и английским языками. Весной 1900 года она сдала экзамен для учителей этих языков и получила общий балл sehr gut (очень хорошо). Ее работа позволила ей преподавать языки в школах, предназначенных для девочек, но вместо этого она предпочла продолжить учебу в Университете Эрлангена .

Это было нестандартное решение; Двумя годами ранее Академический сенат университета объявил, что разрешение смешанного образования «ниспровергнет весь академический порядок». [13] Нётер, одной из двух женщин в университете с 986 студентами, было разрешено только аудиторские занятия, а не полное участие, и требовалось разрешение отдельных профессоров, чьи лекции она хотела бы посещать. Несмотря на эти препятствия, 14 июля 1903 года она сдала выпускной экзамен в Realgymnasium в Нюрнберге . [14] [15] [16]

В течение зимнего семестра 1903–1904 гг. Она училась в Геттингенском университете, посещая лекции астронома Карла Шварцшильда и математиков Германа Минковского , Отто Блюменталя , Феликса Кляйна и Давида Гильберта . Вскоре после этого ограничения на участие женщин в этом университете были отменены.

Нётер вернулась в Эрланген. Она официально повторно поступила в университет в октябре 1904 года и заявила о своем намерении сосредоточиться исключительно на математике. Под руководством Пола Гордана она написала диссертацию « Uber die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form» (« О полных системах инвариантов для тернарных биквадратных форм» , 1907). Гордан был членом «вычислительной» школы исследователей инвариантов, и диссертация Нётер закончилась списком из более чем 300 явно разработанных инвариантов. Позднее этот подход к инвариантам был заменен более абстрактным и общим подходом, впервые предложенным Гильбертом. [17] [18]Хотя она была хорошо принята, Нётер позже описала свою диссертацию и ряд последующих аналогичных работ, которые она подготовила, как «чушь». [18] [19] [b]

Период обучения [ править ]

Университет Эрлангена [ править ]

В течение следующих семи лет (1908–1915) она преподавала в Математическом институте Университета Эрлангена бесплатно, иногда заменяя своего отца, когда он был слишком болен, чтобы читать лекции. В 1910 и 1911 годах она опубликовала расширение своей дипломной работы с трех переменных до n переменных.

Нётер иногда использовала открытки, чтобы обсудить абстрактную алгебру со своим коллегой Эрнстом Фишером . Открытка от 10 апреля 1915 г.

Весной 1910 года Гордан ушел в отставку, но время от времени продолжал преподавать вместе со своим преемником Эрхардом Шмидтом , который вскоре после этого уехал на работу в Бреслау . Гордан полностью ушел с преподавания в 1911 году, когда прибыл преемник Шмидта Эрнст Фишер ; Гордан умер год спустя, в декабре 1912 года.

По словам Германа Вейля , Фишер оказала большое влияние на Нётер, в частности, познакомив ее с работами Дэвида Гильберта . С 1913 по 1916 Noether опубликовали несколько статей , простирающихся и применяя методы Гильберта для математических объектов , таких как полей из рациональных функций и инварианты из конечных групп . Этот этап знаменует собой начало ее занятия абстрактной алгеброй , областью математики, в которую она внесет революционный вклад.

Нётер и Фишер очень любили математику и часто обсуждали лекции спустя долгое время после их окончания; Известно, что Нётер отправляла Фишер открытки, продолжая ее ход математических мыслей. [20] [21]

Геттингенский университет [ править ]

Весной 1915 года Дэвид Гильберт и Феликс Кляйн пригласили Нётер вернуться в Геттингенский университет . Однако их попытка завербовать ее была заблокирована филологами и историками из числа философских факультетов: женщины, настаивали они, не должны становиться приват-доцентами . Один преподаватель возразил: « Что подумают наши солдаты, когда они вернутся в университет и обнаружат, что им нужно учиться у ног женщины? » [22] [23] [24] Гильберт возмутился, заявив: «Я не вижу, чтобы пол кандидата был аргументом против признания ее приват-доцентом. Ведь мы университет, а не баня. " [22] [23] [24]

В 1915 году Давид Гильберт пригласил Нётер работать на математическом факультете Геттингена, оспаривая взгляды некоторых своих коллег, согласно которым женщинам нельзя разрешать преподавать в университете.

Нётер уехала в Геттинген в конце апреля; две недели спустя ее мать внезапно умерла в Эрлангене. Ранее ей оказывалась медицинская помощь по поводу заболевания глаз, но его природа и влияние на ее смерть неизвестны. Примерно в то же время отец Нётер ушел на пенсию, а ее брат присоединился к немецкой армии, чтобы служить в Первой мировой войне . Она вернулась в Эрланген на несколько недель, в основном чтобы заботиться о своем стареющем отце. [25]

В первые годы преподавания в Геттингене у нее не было официальной должности, и ей не платили; ее семья оплачивала проживание и питание, а также поддерживала ее академическую работу. Ее лекции часто рекламировались под именем Гильберта, и Нётер оказывала «помощь».

Однако вскоре после прибытия в Геттинген она продемонстрировала свои способности, доказав теорему, теперь известную как теорема Нётер , которая показывает, что закон сохранения связан с любой дифференцируемой симметрией физической системы . [24] Статья была представлена ​​коллегой Ф. Кляйном 26 июля 1918 г. на заседании Королевского общества наук в Геттингене. [26] Нётер предположительно не представила его сама, потому что она не была членом общества. [27] Американские физики Леон М. Ледерман и Кристофер Т. Хилл спорят в своей книге « Симметрия и прекрасная Вселенная».что теорема Нётер «определенно является одной из самых важных математических теорем, когда-либо доказанных в качестве руководства для развития современной физики , возможно, наравне с теоремой Пифагора ». [6]

Математический факультет Геттингенского университета позволил Нётер получить абилитацию в 1919 году, через четыре года после того, как она начала читать лекции в школе.

Когда закончилась Первая мировая война, немецкая революция 1918–1919 годов внесла существенные изменения в социальные отношения, в том числе расширила права женщин. В 1919 году Геттингенский университет позволил Нётер получить абилитацию (право на занятие должности). Ее устный экзамен был проведен в конце мая, и она успешно прочитала лекцию по абилитации в июне 1919 года.

Три года спустя она получила письмо от Отто Белица  [ де ] , министра науки, искусства и народного образования Пруссии , в котором он присвоил ей звание nicht beamteter ausserordentlicher Professor (незарегистрированный профессор с ограниченными внутренними административными правами и функциями. [28] ). Это была неоплачиваемая «экстраординарная» профессура , а не более высокая «обычная» профессура, которая была должностью государственной службы. Несмотря на признание важности ее работы, должность по-прежнему не обеспечивала зарплаты. Лекции Нётер не платили до тех пор, пока она не была назначена на специальную должность в Lehrbeauftragte für Algebra.год спустя. [29] [30]

Работа по абстрактной алгебре [ править ]

Хотя теорема Нётер оказала значительное влияние на классическую и квантовую механику, математики больше всего помнят ее за вклад в абстрактную алгебру . В своем предисловии к Нётер Сборник статей , Джекобсон писал , что

Развитие абстрактной алгебры, которая является одним из самых ярких нововведений математики двадцатого века, во многом обязано ей - в опубликованных статьях, в лекциях и в личном влиянии на ее современников. [31]

Иногда она позволяла своим коллегам и ученикам отдавать должное ее идеям, помогая им развивать свою карьеру за счет ее собственных. [32]

Работа Нётер в области алгебры началась в 1920 году. Затем в сотрудничестве с В. Шмейдлером она опубликовала статью о теории идеалов, в которой они определили левый и правый идеалы в кольце .

В следующем году она опубликовала статью под названием Idealtheorie in Ringbereichen , в которой анализировались условия восходящей цепи с учетом (математических) идеалов . Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной»; [33] публикация дала начало термину « нётерское кольцо » и названию некоторых других математических объектов нётеровым . [33] [34]

В 1924 году молодой голландский математик Б.Л. ван дер Варден поступил в Геттингенский университет. Он сразу же начал работать с Нётер, которая предоставила бесценные методы абстрактной концептуализации. Позднее Ван дер Варден сказал, что ее оригинальность «абсолютна вне всякого сравнения». [35] В 1931 году он опубликовал современную алгебру , центральный текст в этой области; его второй том во многом заимствован из работ Нётер. Хотя Нётер не искал признания, он включил в седьмое издание примечание, «основанное частично на лекциях Э. Артина и Э. Нётер». [36] [37] [32]

Визит Ван дер Вардена был частью встречи математиков со всего мира в Геттингене, который стал крупным центром математических и физических исследований. С 1926 по 1930 год русский тополог Павел Александров читал лекции в университете, и они с Нётер быстро стали хорошими друзьями. Он начал называть ее der Noether , используя мужскую немецкую статью как выражение нежности, чтобы выразить свое уважение. Она пыталась организовать для него место в Геттингене в качестве обычного профессора, но смогла только помочь ему получить стипендию от Фонда Рокфеллера . [38] [39]Они регулярно встречались и с удовольствием обсуждали пересечения алгебры и топологии. В своем мемориальном обращении 1935 года Александров назвал Эмми Нётер «величайшей женщиной-математиком всех времен». [40]

Аспиранты и влиятельные лекции [ править ]

Помимо математической проницательности, Нётер уважали за внимание к другим. Хотя иногда она поступала грубо по отношению к тем, кто с ней не соглашался, тем не менее, она приобрела репутацию постоянного помощника и терпеливого руководства новым ученикам. Ее преданность математической точности заставила одного коллегу назвать ее «суровым критиком», но она объединила это требование точности с заботливым отношением. [41] Коллега позже описал ее так:

Совершенно неэгоистичная и свободная от тщеславия, она никогда ничего не требовала для себя, но прежде всего продвигала работы своих учеников. [42]

Гёттинген [ править ]

Нётер c. 1930 г.

В Геттингене Нётер руководила более чем дюжиной докторантов; ее первой была Грета Германн , защитившая диссертацию в феврале 1925 года. Позже она благоговейно отзывалась о своей «диссертации-матери». [43] Нётер также руководила Максом Дойрингом , который отличился как студент и продолжал вносить свой вклад в области арифметической геометрии ; Hans Fitting , запомнилась теоремы Фиттинга и Место леммы ; и Цзэн Цзюнчжи (также переведенный на английский как «Chiungtze C. Tsen»), который доказал теорему Цена . Она также тесно сотрудничала с Вольфгангом Круллем , который значительно продвинулкоммутативная алгебра с его Хауптидальзацем и его теорией размерности коммутативных колец. [44]

Сначала ее скромный образ жизни объяснялся тем, что ей не платили за работу; однако даже после того, как в 1923 году университет начал выплачивать ей небольшую зарплату, она продолжала жить простой и скромной жизнью. Позже ей платили более щедро, но она сохранила половину своей зарплаты, чтобы завещать ее племяннику Готфриду Э. Нётер . [45]

Биографы предполагают, что ее почти не волновала внешность и манеры, и она сосредоточилась на учебе. Выдающийся алгебраист Ольга Таусски-Тодд описала обед, во время которого Нётер, полностью поглощенная обсуждением математики, «дико жестикулировала», когда ела, «постоянно проливала пищу и вытирала ее с платья, совершенно невозмутимо». [46] Ученики, заботящиеся о внешности, съежились, когда она вытащила платок из блузки и проигнорировала растущее беспорядок в волосах во время лекции. Однажды две студентки подошли к ней во время перерыва в двухчасовом занятии, чтобы выразить свою озабоченность, но они не смогли прервать энергичный математический спор, который она вела с другими учениками. [47]

Согласно некрологу ван дер Варден об Эмми Нётер, она не следовала плану уроков для своих лекций, что расстроило некоторых студентов. Вместо этого она использовала свои лекции как время спонтанного обсуждения со своими учениками, чтобы обдумать и прояснить важные проблемы в математике. Некоторые из ее наиболее важных результатов были развиты в этих лекциях, а конспекты лекций ее студентов легли в основу нескольких важных учебников, таких как книги ван дер Вардена и Дойринга. [48]

Некоторые из ее коллег посещали ее лекции, и она разрешила другим опубликовать некоторые из своих идей, такие как скрещенное произведение ассоциативных алгебр (по- немецки verschränktes Produkt ). Было зарегистрировано, что Нётер прочитала не менее пяти семестровых курсов в Геттингене: [49]

  • Зима 1924/1925: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen [ Теория групп и гиперкомплексные числа ]
  • Зима 1927/1928: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie [ гиперкомплексные величины и теория представлений ]
  • Лето 1928 года: Нихткоммутативная алгебра [ некоммутативная алгебра ]
  • Лето 1929: Ничткоммутативная арифметика [ Некоммутативная арифметика ]
  • Зима 1929/30: Алгебра гиперкомплексных величин Грёссена [ Алгебра гиперкомплексных величин ]

Эти курсы часто предшествовали крупным публикациям по тем же предметам.

Нётер говорила быстро - многие говорили, что это отражает скорость ее мыслей - и требовала от учеников большой концентрации. Студенты, которым не нравился ее стиль, часто чувствовали себя отчужденными. [50] [51] Некоторые ученики считали, что она слишком полагалась на спонтанные обсуждения. Однако ее наиболее преданные ученики наслаждались энтузиазмом, с которым она подходила к математике, особенно потому, что ее лекции часто основывались на более ранней совместной работе.

У нее сложился тесный круг коллег и студентов, которые думали в том же духе, и старались исключать тех, кто этого не делал. «Посторонние», которые время от времени посещали лекции Нётер, обычно проводили в комнате всего 30 минут, прежде чем уходить в разочаровании или замешательстве. Обычный студент сказал об одном таком случае: «Враг побежден, он очистился». [52]

Нётер проявила преданность своему предмету и своим ученикам, выходящую за рамки академического дня. Однажды, когда здание было закрыто в связи с государственным праздником, она собрала класс на крыльце, провела через лес и читала лекцию в местной кофейне. [53] Позже, после того как она была уволена Третьим рейхом , она пригласила студентов к себе домой, чтобы обсудить их планы на будущее и математические концепции. [54]

Москва [ править ]

Павел Александров

Зимой 1928–1929 Нётер приняла приглашение в МГУ , где продолжила работать с П.С. Александровым . В дополнение к своим исследованиям, она преподавала уроки абстрактной алгебры и алгебраической геометрии . Она работала с топологами Львом Понтрягиным и Николаем Чеботаревым , которые позже высоко оценили ее вклад в развитие теории Галуа . [55] [56] [57]

Зимой 1928–1929 гг. Нётер преподавала в МГУ .

Хотя политика не занимала центральное место в ее жизни, Нётер проявляла большой интерес к политическим вопросам и, по словам Александрова, выказывала значительную поддержку русской революции . Она была особенно рада видеть советские достижения в области науки и математики, которые, по ее мнению, свидетельствовали о новых возможностях, которые открылись благодаря большевистскому проекту. Такое отношение вызвало у нее проблемы в Германии, кульминацией которых стало выселение из здания пансионата после того, как студенческие лидеры пожаловались на то, что живут с «марксисткой еврейкой». [58]

Нётер планировала вернуться в Москву, в чем она получила поддержку Александрова. После того, как она покинула Германию в 1933 году, он попытался помочь ей получить кафедру в МГУ через Министерство образования СССР . Хотя эта попытка оказалась безуспешной, они часто переписывались в течение 1930-х годов, и в 1935 году она планировала вернуться в Советский Союз. [58] Тем временем ее брат Фриц после потери работы в Германии устроился на работу в Научно-исследовательский институт математики и механики в Томске , Сибирский федеральный округ России [59], и впоследствии был казнен во время Великой чистки .

Признание [ править ]

В 1932 году Эмми Нётер и Эмиль Артин получили премию Мемориала Аккермана – Тойбнера за свой вклад в математику. [60] Приз включал денежное вознаграждение в размере 500  рейхсмарок и рассматривался как давно назревшее официальное признание ее значительного труда в этой области. Тем не менее, ее коллеги выразили разочарование по поводу того, что она не была избрана в Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (академию наук) и никогда не была повышена до должности профессора Ordentlicher [61] [62] (полный профессор). [28]

Нётер посетила Цюрих в 1932 году, чтобы выступить с пленарной речью на Международном конгрессе математиков .

Коллеги Нётер отпраздновали ее пятидесятилетие в 1932 году в типичном для математиков стиле. Хельмут Хассе посвятил ей статью в « Mathematische Annalen» , в которой он подтвердил ее подозрение, что некоторые аспекты некоммутативной алгебры проще, чем аспекты коммутативной алгебры , доказав некоммутативный закон взаимности . [63] Это ее безмерно обрадовало. Он также послал ей математическую загадку, которую он назвал «м μν -riddle слогов». Она решила это сразу, но загадка была утеряна. [61] [62]

В ноябре того же года Нётер выступила с пленарной речью ( großer Vortrag ) на тему «Гиперсложные системы в их отношении к коммутативной алгебре и теории чисел» на Международном конгрессе математиков в Цюрихе . На конгрессе присутствовало 800 человек, в том числе коллеги Нётер Герман Вейль , Эдмунд Ландау и Вольфганг Крулль . Присутствовали 420 официальных участников и 21 пленарное обращение. Очевидно, выдающаяся ораторская позиция Нётер была признанием важности ее вклада в математику. Конгресс 1932 года иногда называют кульминацией ее карьеры. [62] [64]

Изгнание из Геттингена Третьим рейхом [ править ]

Когда в январе 1933 года Адольф Гитлер стал немецким рейхсканцлером , активность нацистов по всей стране резко возросла. В Геттингенском университете Немецкая студенческая ассоциация возглавила атаку на «антигерманский дух», приписываемый евреям, и при поддержке частного доцента по имени Вернер Вебер , бывшего ученика Нётер. Антисемитские настроения создали атмосферу, враждебную еврейским профессорам. Сообщается, что один молодой протестующий потребовал: «Арийские студенты хотят арийскую математику, а не еврейскую математику». [65]

Одним из первых действий администрации Гитлера стал Закон о восстановлении профессиональной гражданской службы, который уволил евреев и политически подозрительных государственных служащих (включая университетских профессоров) с их рабочих мест, если они не «продемонстрировали свою лояльность Германии» во время мировой войны I. В апреле 1933 года Нётер получила уведомление от Министерства науки, искусства и народного образования Пруссии, в котором говорилось: «На основании параграфа 3 Кодекса гражданской службы от 7 апреля 1933 года я лишаю вас права преподавать. в Геттингенском университете ". [66] [67] Несколько коллег Нётер, в том числе Макс Борн и Ричард Курант , также были отозваны. [66][67]

Нётер спокойно приняла это решение, поддерживая других в это трудное время. Герман Вейль позже писал, что «Эмми Нётер - ее храбрость, ее откровенность, ее безразличие к собственной судьбе, ее примирительный дух - была посреди всей ненависти и подлости, отчаяния и печали, окружавших нас, нравственным утешением». [65] Обычно Нётер оставалась сосредоточенной на математике, собирая студентов в своей квартире, чтобы обсудить теорию поля классов . Когда одна из ее учениц появилась в форме нацистской военизированной организации Sturmabteilung (SA), она не выказала никаких признаков волнения и, как сообщается, позже даже посмеялась над этим. [66] [67]Однако это было до кровавых событий Хрустальной ночи 1938 года и их похвалы от министра пропаганды Йозефа Геббельса .

Убежище в Брин-Море и Принстоне в Америке [ править ]

Колледж Брин-Мор стал для Нётер гостеприимным домом в течение последних двух лет ее жизни.

Когда десятки недавно безработных профессоров начали искать работу за пределами Германии, их коллеги в Соединенных Штатах стремились предоставить им помощь и возможности трудоустройства. Альберт Эйнштейн и Герман Вейль были назначены Институтом перспективных исследований в Принстоне , в то время как другие работали над поиском спонсора, необходимого для легальной иммиграции . С Нётер связались представители двух учебных заведений: колледжа Брин-Мор в США и колледжа Сомервилля при Оксфордском университете в Англии. После серии переговоров с Фондом Рокфеллера, грант Брин Мор был одобрен для Нётер, и она заняла там должность, начиная с конца 1933 года. [68] [69]

В Брин-Маур Нётер познакомилась и подружилась с Анной Уиллер , которая училась в Геттингене незадолго до прибытия туда Нётер. Еще одним источником поддержки в колледже была президент Брин-Мор, Мэрион Эдвардс Парк , которая с энтузиазмом пригласила местных математиков «увидеть доктора Нётер в действии!» [70] [71] Нетер и небольшая группа студентов работали быстро через ван дер Вардена «s 1930 книги Moderne Алгебра I и части Эриха Hecke » s Теорье дер algebraischen Zahlen ( Теория алгебраических чисел ). [72]

В 1934 году Нётер начала читать лекции в Институте перспективных исследований в Принстоне по приглашению Абрахама Флекснера и Освальда Веблена . [73] Она также работала и руководила Авраамом Альбертом и Гарри Вандивером . [74] Тем не менее, она отметила о Принстонском университете, что ее не приветствовали в «мужском университете, куда не допускаются женщины». [75]

Ее пребывание в Соединенных Штатах было приятным, поскольку она была окружена отзывчивыми коллегами и была поглощена своими любимыми предметами. [76] Летом 1934 года она ненадолго вернулась в Германию, чтобы увидеть Эмиля Артина и ее брата Фрица, прежде чем он уехал в Томск. Хотя многие из ее бывших коллег были изгнаны из университетов, она смогла использовать библиотеку как «иностранный ученый». [77] [78]

Смерть [ править ]

Прах Нётер был помещен под дорожку, окружавшую монастыри библиотеки М. Кэри Томаса Брин Моура .

В апреле 1935 года врачи обнаружили опухоль в тазу Нётер . Обеспокоенные осложнениями после операции, они сначала назначили двухдневный постельный режим. Во время операции обнаружили кисту яичника «размером с большую дыню ». [79] Две меньшие опухоли в ее матке оказались доброкачественными и не были удалены, чтобы избежать затягивания операции. В течение трех дней она, казалось, выздоравливала нормально и быстро оправилась от кровообращения.на четвертом. 14 апреля она потеряла сознание, ее температура поднялась до 109 ° F (42,8 ° C), и она умерла. «[Мне] нелегко сказать, что произошло с доктором Нётер», - написал один из врачей. «Не исключено, что это была какая-то необычная и опасная инфекция, поразившая основание мозга, где предположительно располагались тепловые центры». [79]

Через несколько дней после смерти Нётер ее друзья и соратники из Брин-Мор провели небольшую поминальную службу в доме президента колледжа Парка. Герман Вейль и Рихард Брауэр приехали из Принстона и поговорили с Уилером и Таусски об их умершем коллеге. В последующие месяцы по всему миру стали появляться письменные дары: Альберт Эйнштейн [80] присоединился к ван дер Вардену, Вейлю и Павлу Александрову в их почтении. Ее тело было кремировано, а прах захоронен под дорожкой вокруг монастырей библиотеки М. Кэри Томаса в Брин-Мор. [81] [82]

Вклад в математику и физику [ править ]

Работа Нётер по абстрактной алгебре и топологии оказала влияние на математику, в то время как в физике теорема Нётер имеет последствия для теоретической физики и динамических систем . Она проявила острую склонность к абстрактному мышлению, что позволило ей подойти к проблемам математики свежо и оригинально. [20] Ее друг и коллега Герман Вейль описал ее научную деятельность в три эпохи:

Научное творчество Эмми Нётер распалось на три четко различающиеся эпохи:

(1) период относительной зависимости, 1907–1919 гг.

(2) исследования, сгруппированные вокруг общей теории идеалов 1920–1926 гг.

(3) изучение некоммутативных алгебр, их представления линейными преобразованиями и их применение к изучению коммутативных числовых полей и их арифметики.

-  Вейль 1935 г.

В первую эпоху (1907–1919) Нётер занималась в основном дифференциальными и алгебраическими инвариантами , начав с диссертации под руководством Пола Гордана . Ее математический кругозор расширился, а ее работа стала более общей и абстрактной, поскольку она познакомилась с работами Дэвида Гильберта в результате тесного взаимодействия с преемником Гордана, Эрнстом Сигизмундом Фишером . После переезда в Геттинген в 1915 году она написала свою работу по физике - две теоремы Нётер .

Во вторую эпоху (1920–1926) Нётер посвятила себя развитию теории математических колец . [83]

В третью эпоху (1927–1935) Нётер сосредоточился на некоммутативной алгебре , линейных преобразованиях и коммутативных числовых полях. [84]

Хотя результаты первой эпохи Нётер были впечатляющими и полезными, ее слава среди математиков в большей степени основана на новаторской работе, которую она проделала во второй и третьей эпохах, как отмечают Герман Вейл и Б.Л. ван дер Варден в некрологах о ней.

В эти эпохи она не просто применяла идеи и методы более ранних математиков; скорее, она создавала новые системы математических определений, которые будут использоваться будущими математиками. В частности, она разработала совершенно новую теорию идеалов в кольцах , обобщив более ранние работы Ричарда Дедекинда . Она также известна тем, что разработала условия восходящей цепи, простое условие конечности, которое дало в ее руках впечатляющие результаты. Такие условия и теория идеалов позволили Нётер обобщить многие старые результаты и рассматривать старые проблемы с новой точки зрения, например теорию исключения и алгебраические многообразия , которые изучал ее отец.

Исторический контекст [ править ]

За столетие с 1832 года до смерти Нётер в 1935 году область математики, в частности алгебра, претерпела глубокую революцию, отголоски которой ощущаются до сих пор. Математики прошлых веков работали над практическими методами решения конкретных типов уравнений, например, уравнений кубической , четвертой и пятой степени , а также над связанной проблемой построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки . Начиная с доказательства Карла Фридриха Гаусса 1832 года, что простые числа, такие как пять, могут быть разложены на гауссовские целые числа ,[85] Эварист Галуа «Введение х групп перестановок в 1832 году (хотя, изза его смерть, его работа была опубликована только в 1846 году, Лиувилль), Уильям Роуэн Гамильтон » открытие s из кватернионов в 1843 году, и Кэли «s более Современное определение групп. В 1854 году исследования обратились к определению свойств все более абстрактных систем, определяемых все более универсальными правилами. Самым важным вкладом Нётер в математику было развитие этой новой области, абстрактной алгебры . [86]

Справочная информация по абстрактной алгебре и начальной математике (концептуальная математика) [ править ]

Два основных объекта абстрактной алгебры - это группы и кольца .

Группа состоит из множества элементов и одну операцию , которая сочетает в себе первый и второй элемент и возвращает третий. Операция должна удовлетворять определенным ограничениям для определения группы: она должна быть закрытой (при применении к любой паре элементов связанного набора сгенерированный элемент также должен быть членом этого набора), она должна быть ассоциативной , должна быть быть элементом идентичности (элементом, который при объединении с другим элементом с помощью операции дает исходный элемент, например прибавление нуля к числу или умножение его на единицу), и для каждого элемента должен быть обратный элемент .

Кольцо также имеет множество элементов, но теперь имеет две операции. Первая операция должна сделать набор коммутативной группой, а вторая операция ассоциативна и дистрибутивна по отношению к первой операции. Это может быть или не быть коммутативным ; это означает, что результат применения операции к первому и второму элементам такой же, как ко второму и первому - порядок элементов не имеет значения. Если каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный (элемент x такой, что a x  =  x a  = 1), кольцо называется телом . поле определяется как коммутативное тело.

Группы часто изучаются через представления групп . В их наиболее общей форме они состоят из выбора группы, набора и действия группы на множестве, то есть операции, которая берет элемент группы и элемент набора и возвращает элемент набор. Чаще всего набор представляет собой векторное пространство , а группа представляет собой симметрии векторного пространства. Например, есть группа, которая представляет собой жесткие вращения пространства. Это тип симметрии пространства, потому что само пространство не изменяется при повороте, даже если положение объектов в нем меняется. Нётер использовала такого рода симметрии в своей работе над инвариантами в физике.

Мощный способ изучения колец - изучение их модулей . Модуль состоит из выбора кольца, другого набора, обычно отличного от базового набора кольца и называемого базовым набором модуля, операции над парами элементов базового набора модуля и операции, которая требует элемент кольца и элемент модуля и возвращает элемент модуля.

Базовый набор модуля и его работа должны образовывать группу. Модуль - это теоретико-кольцевая версия представления группы: игнорирование второй кольцевой операции и операции над парами элементов модуля определяет представление группы. Реальная полезность модулей заключается в том, что типы существующих модулей и их взаимодействия раскрывают структуру кольца способами, которые не очевидны из самого кольца. Важным частным случаем этого является алгебра. (Слово алгебра означает как предмет в рамках математики, так и объект, изучаемый в предмете алгебры.) Алгебра состоит из выбора двух колец и операции, которая берет элемент из каждого кольца и возвращает элемент второго кольца. . Эта операция превращает второе кольцо в модуль над первым. Часто первое кольцо - это поле.

Такие слова, как «элемент» и «операция комбинирования» являются очень общими и могут применяться ко многим реальным и абстрактным ситуациям. Любой набор вещей, который подчиняется всем правилам для одной (или двух) операций (операций), по определению является группой (или кольцом) и подчиняется всем теоремам о группах (или кольцах). Целые числа, а также операции сложения и умножения - лишь один из примеров. Например, элементы могут быть словами компьютерных данных , где первая операция комбинирования является исключающей, а вторая - логическим соединением.. Теоремы абстрактной алгебры сильны, потому что они общие; они управляют многими системами. Можно было представить, что мало что можно сделать об объектах, определенных с таким небольшим количеством свойств, но именно в этом и заключался дар Нётер обнаружить максимум, который может быть получен из данного набора свойств, или, наоборот, идентифицировать минимальный набор, существенные свойства. отвечает за конкретное наблюдение. В отличие от большинства математиков, она не делала абстракций, обобщая известные примеры; скорее, она работала непосредственно с абстракциями. В некрологе Нётер ее ученик ван дер Варден вспоминал, что

Максимум, которым руководствовалась Эмми Нётер на протяжении всей своей работы, можно сформулировать следующим образом: « Любые отношения между числами, функциями и операциями становятся прозрачными, общеприменимыми и полностью продуктивными только после того, как они были изолированы от своих конкретных объектов и сформулированы как универсально действующие концепции » [87]

Это начальная математика (чисто концептуальная математика), которая была характерна для Нётер. Этот стиль математики был впоследствии принят другими математиками, особенно в (тогда новой) области абстрактной алгебры.

Пример: целые числа как кольцо [ править ]

Эти целые числа образуют коммутативное кольцо, элементы которого являются целыми числами, и сочетающие операции сложения и умножения. Любая пара целых чисел может быть добавлена или умножена , что всегда приводит к другому целому числу, и первая операция, сложение, является коммутативной , то есть для любых элементов a и b в кольце a  +  b  =  b  +  a . Вторая операция, умножение, также является коммутативной, но это не обязательно верно для других колец, а это означает, что a в сочетании с b может отличаться от b в сочетании са . Примеры некоммутативных колец включают матрицы и кватернионы . Целые числа не образуют делительное кольцо, потому что вторую операцию не всегда можно инвертировать; не существует такого целого числа a , что 3 ×  a  = 1.

У целых чисел есть дополнительные свойства, которые не распространяются на все коммутативные кольца. Важным примером является фундаментальная теорема арифметики , которая гласит, что каждое положительное целое число можно однозначно разложить на простые числа . Уникальные факторизации не всегда существуют в других кольцах, но Нётер нашла теорему единственной факторизации, которая теперь называется теоремой Ласкера – Нётер , для идеалов многих колец. Большая часть работы Нётер заключалась в определении того, какие свойства действительно выполняются для всех колец, в разработке новых аналогов старых теорем о целых числах и в определении минимального набора предположений, необходимых для получения определенных свойств колец.

Первая эпоха (1908–1919): алгебраическая теория инвариантов [ править ]

Таблица 2 из диссертации Нётер [88] по теории инвариантов. В этой таблице собраны 202 из 331 инвариантов тройных биквадратичных форм. Эти формы оцениваются по двум переменным x и u . В горизонтальном направлении таблицы перечислены инварианты с увеличением оценок по x , а в вертикальном направлении - с увеличением оценок по u .

Большая часть работ Нётер в первую эпоху ее карьеры была связана с теорией инвариантов , главным образом с алгебраической теорией инвариантов . Теория инвариантов связана с выражениями, которые остаются постоянными (инвариантными) относительно группы преобразований. В качестве повседневного примера, если повернуть твердый мерил, координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) и ( x 2 , y 2 , z 2 ) его конечных точек изменяются, но его длина L определяется формулой L 2  = Δ x 2  + Δy 2  + Δ z 2 остается прежним. Инвариантная теория была активной областью исследований в дальнейшем девятнадцатом веке, предложено частично за счет Феликса Клейна «ы программы Erlangen , в соответствии с которой различные типы геометрии должны быть охарактеризованы их инварианты относительно преобразований, например, в поперечном соотношении от проективной геометрии .

Примером инварианта является дискриминант B 2  - 4  A C двоичной квадратичной формы x · A  x  +  y · B  x  +  y · C  y  , где x и y - векторы, а « · » - скалярное произведение или « внутренний продукт »для векторов. A, B и C - линейные операторы над векторами, обычно матрицами .

Дискриминант называется «инвариантным», потому что он не изменяется линейными заменами x  →  a  x  +  b  y , y  →  c  x  +  d  y с определителем a  d  -  b  c  = 1. Эти замены образуют специальную линейную группу SL 2 . [c]

Можно запросить все многочлены от A, B и C, которые не меняются под действием SL 2 ; они называются инвариантами бинарных квадратичных форм и оказываются многочленами от дискриминанта.

В более общем смысле, можно запросить инварианты однородных многочленов A 0  x r  y 0  + ... + A r  x 0  y r более высокой степени, которые будут некоторыми многочленами от коэффициентов A 0 , ..., A r , и в более общем плане можно задать аналогичный вопрос для однородных многочленов от более чем двух переменных.

Одной из основных целей теории инвариантов было решение « проблемы конечного базиса ». Сумма или произведение любых двух инвариантов инвариантна, и проблема конечного базиса спрашивала, можно ли получить все инварианты, начав с конечного списка инвариантов, называемых генераторами , а затем сложив или умножив генераторы вместе. Например, дискриминант дает конечный базис (с одним элементом) для инвариантов бинарных квадратичных форм.

Советник Нётер, Пол Гордан, был известен как «король теории инвариантов», и его главным вкладом в математику было его решение 1870 года проблемы конечного базиса для инвариантов однородных многочленов от двух переменных. [89] [90] Он доказал это, предложив конструктивный метод нахождения всех инвариантов и их генераторов, но не смог применить этот конструктивный подход для инвариантов от трех или более переменных. В 1890 году Дэвид Гильберт доказал аналогичное утверждение для инвариантов однородных многочленов от любого числа переменных. [91] [92] Кроме того, его метод работал не только для специальной линейной группы, но и для некоторых ее подгрупп, таких как специальная ортогональная группа . [93]

Первая эпоха (1908–1919): теория Галуа [ править ]

Теория Галуа касается преобразований числовых полей, которые переставляют корни уравнения. Рассмотрим полиномиальное уравнение с переменной х в степени п , в которой коэффициенты берутся из некоторого поля земли , которое может быть, например, поле действительных чисел , рациональных чисел , или целых чисел по модулю  7. Там может или не может быть выбором x , при котором этот многочлен оценивается в ноль. Такие варианты, если они существуют, называются корнями . Если многочлен x 2 + 1 и поле состоит из действительных чисел, то у многочлена нет корней, потому что любой выбор x делает многочлен больше или равным единице. Однако если поле расширено , то многочлен может получить корни, а если он достаточно расширен, то он всегда имеет количество корней, равное его степени.

Продолжая предыдущий пример, если поле увеличивается до комплексных чисел, то многочлен получает два корня, + i и - i , где i - мнимая единица , то есть i  2  = −1. В более общем смысле поле расширения, в котором многочлен может быть разложен на его корни, называется полем расщепления многочлена.

Группа Галуа многочлена - это совокупность всех преобразований поля расщепления, которые сохраняют основное поле и корни многочлена. (На математическом жаргоне эти преобразования называются автоморфизмами .) Группа Галуа x 2 + 1 состоит из двух элементов: тождественного преобразования, которое отправляет каждое комплексное число самому себе, и комплексного сопряжения , которое отправляет + i в - i . Поскольку группа Галуа не изменяет основное поле, она оставляет коэффициенты полинома неизменными, поэтому она должна оставить неизменным набор всех корней. Однако каждый корень может перейти к другому корню, поэтому преобразование определяет перестановкуиз п корней между собой. Значение группы Галуа проистекает из основной теоремы теории Галуа , которая доказывает, что поля, лежащие между основным полем и полем расщепления, находятся во взаимно однозначном соответствии с подгруппами группы Галуа.

В 1918 году Нётер опубликовала статью об обратной задаче Галуа . [94] Вместо определения группы Галуа преобразований данного поля и ее расширения, Нётер спросила, всегда ли возможно, учитывая поле и группу, найти расширение поля, которое имеет данную группу в качестве своей группы Галуа. . Она свела это к « проблеме Нётер », которая спрашивает, всегда ли фиксированное поле подгруппы G группы перестановок S n, действующее на поле k ( x 1 , ...,  x n ), является чисто трансцендентным расширением поля k. (Впервые она упомянула эту проблему в статье 1913 года [95], где приписала проблему своему коллеге Фишеру .) Она показала, что это верно для n  = 2, 3 или 4. В 1969 году Р. Г. Свон нашел контрпример. к задаче Нётер, с п  = 47 и G циклической группы порядка 47 [96] (хотя эта группа может быть реализована как группа Галуа над полем рациональных чисел другими способами). Обратная проблема Галуа остается нерешенной. [97]

Первая эпоха (1908–1919): Физика [ править ]

Основные статьи: теорема Нётер , закон сохранения (физика) и постоянная движения

Нётер была доставлена ​​в Геттинген в 1915 году Дэвидом Гильбертом и Феликсом Кляйном, которые хотели, чтобы ее знания в области теории инвариантов помогли им в понимании общей теории относительности , геометрической теории гравитации, разработанной главным образом Альбертом Эйнштейном . Гильберт заметил, что в общей теории относительности, по-видимому, нарушается закон сохранения энергии , поскольку гравитационная энергия сама может притягиваться. Нётер предоставила разрешение этого парадокса и фундаментальный инструмент современной теоретической физики с помощью первой теоремы Нётер , которую она доказала в 1915 году, но не опубликовала до 1918 года. [98]Она не только решила задачу для общей теории относительности, но также определила сохраняющиеся величины для каждой системы физических законов, обладающих некоторой непрерывной симметрией. [99] Получив ее работу, Эйнштейн написал Гильберту:

Вчера я получил от мисс Нётер очень интересную статью об инвариантах. Я впечатлен тем, что такие вещи можно понять в таком общем смысле. Старая гвардия в Геттингене должна извлечь уроки у мисс Нётер! Кажется, она знает свое дело. [100]

Например, если физическая система ведет себя одинаково, независимо от того, как она ориентирована в пространстве, физические законы, управляющие ею, являются вращательно-симметричными; исходя из этой симметрии, теорема Нётер показывает, что угловой момент системы должен сохраняться. [101] Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зазубренный астероид, падающий в космосе, сохраняет угловой момент, несмотря на его асимметрию. Скорее, симметрия физических законов, управляющих системой, отвечает за закон сохранения. Другой пример: если физический эксперимент приводит к одинаковому результату в любом месте и в любое время, то его законы симметричны относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени; по теореме Нётер эти симметрии объясняютзаконы сохранения количества движения и энергии внутри этой системы соответственно. [102]

Теорема Нётер стала фундаментальным инструментом современной теоретической физики как из-за понимания законов сохранения, так и в качестве практического инструмента вычислений. [4] Ее теорема позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины из наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, это облегчает описание физической системы на основе классов гипотетических физических законов. Для иллюстрации предположим, что обнаружено новое физическое явление. Теорема Нётер обеспечивает проверку теоретических моделей этого явления:

Если теория имеет непрерывную симметрию, то теорема Нётер гарантирует, что теория имеет сохраняющуюся величину, и для того, чтобы теория была правильной, это сохранение должно наблюдаться в экспериментах.

Вторая эпоха (1920–1926): условия восходящей и нисходящей цепочек [ править ]

В эту эпоху Нётер прославилась своим умением использовать восходящие ( Teilerkettensatz ) или нисходящие ( Vielfachenkettensatz ) цепные условия. Последовательность непустых подмножеств A 1 , A 2 , A 3 и т. Д. Множества S обычно называется возрастающей , если каждое из них является подмножеством следующего

И наоборот, последовательность подмножеств S называется убывающей, если каждое из них содержит следующее подмножество:

Цепочка становится постоянной после конечного числа шагов, если существует n такое, что для всех m  ≥  n . Набор подмножеств данного набора удовлетворяет условию возрастающей цепочки, если любая возрастающая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов. Он удовлетворяет условию нисходящей цепочки, если любая убывающая последовательность становится постоянной после конечного числа шагов.

Условия восходящей и нисходящей цепочек являются общими, что означает, что они могут применяться ко многим типам математических объектов - и на первый взгляд они могут показаться не очень эффективными. Однако Нётер показала, как использовать такие условия с максимальной пользой.

Например: как использовать условия цепочки, чтобы показать, что каждый набор подобъектов имеет максимальный / минимальный элемент или что сложный объект может быть сгенерирован меньшим числом элементов. Эти выводы часто являются решающими шагами в доказательстве.

Многие типы объектов в абстрактной алгебре могут удовлетворять условиям цепочки, и обычно, если они удовлетворяют условию возрастающей цепочки, в ее честь они называются нётеровыми . По определению, нётерово кольцо удовлетворяет условию возрастающей цепи на его левом и правом идеалах, тогда как нётерова группа определяется как группа, в которой каждая строго возрастающая цепочка подгрупп конечна. Нетерово модуль является модулем , в котором каждая строго возрастающая цепочка подмодулей становится постоянной после конечного числа шагов. Нетерово пространство является топологическим пространствомв котором каждая строго возрастающая цепочка открытых подпространств становится постоянной после конечного числа шагов; это определение делает спектр нётерова кольца нётеровым топологическим пространством.

Условие цепочки часто «наследуется» подобъектами. Например, все подпространства нётерова пространства сами нётеровы; все подгруппы и фактор-группы нётеровой группы также нётеровы; и, mutatis mutandis , то же самое верно для подмодулей и фактормодулей нётерова модуля. Все факторкольца нётерова кольца нётеровы, но это не обязательно верно для его подколец. Условие цепочки также может быть унаследовано комбинациями или расширениями нетеровского объекта. Например, конечные прямые суммы нётеровых колец нётеровы, как и кольцо формальных степенных рядов над нётеровым кольцом.

Другое применение таких цепных условий - это нётерова индукция, также известная как хорошо обоснованная индукция, которая является обобщением математической индукции . Он часто используется для сведения общих утверждений о коллекциях объектов к утверждениям о конкретных объектах в этой коллекции. Предположим, что S - частично упорядоченное множество . Один из способов доказательства утверждения об объектах S состоит в том, чтобы предположить существование контрпримера и вывести противоречие, тем самым доказав противоположность исходного утверждения. Основная посылка нётеровой индукции состоит в том, что каждое непустое подмножество Sсодержит минимальный элемент. В частности, множество всех контрпримеров содержит минимальный элемент, минимальный контрпример . Следовательно, чтобы доказать исходное утверждение, достаточно доказать что-то, казалось бы, гораздо более слабое: для любого контрпримера существует меньший контрпример.

Вторая эпоха (1920–1926): коммутативные кольца, идеалы и модули [ править ]

Статья Нётер « Идеальная теория в кольцевых областях» ( Теория идеалов в кольцевых областях , 1921), [103] является основой общей теории коммутативных колец и дает одно из первых общих определений коммутативного кольца . [104] До ее работы большинство результатов по коммутативной алгебре ограничивалось специальными примерами коммутативных колец, такими как кольца полиномов над полями или кольца целых алгебраических чисел. Нётер доказал, что в кольце, удовлетворяющем условию возрастающей цепи на идеалах , каждый идеал конечно порожден. В 1943 году французский математик Клод Шевалле ввел термин - нётеровское кольцо., чтобы описать это свойство. [104] Основным результатом статьи Нётер 1921 г. является теорема Ласкера – Нётер , которая расширяет теорему Ласкера о примарном разложении идеалов колец многочленов на все нётеровы кольца. Теорема Ласкера – Нётер может рассматриваться как обобщение основной теоремы арифметики, которая утверждает, что любое положительное целое число может быть выражено как произведение простых чисел , и что это разложение уникально.

Работа Нётер Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern ( Абстрактная структура теории идеалов в алгебраических числовых и функциональных полях , 1927) [105] охарактеризовала кольца, в которых идеалы имеют уникальную факторизацию в простые идеалы, как области Дедекинда : области целостности, которые являются нётеровыми, 0- или одномерными и интегрально замкнутыми в своих полях частных. Эта статья также содержит так называемые теоремы об изоморфизмах , которые описывают некоторые фундаментальные естественные изоморфизмы , и некоторые другие основные результаты о нётеровых и артиновых модулях .

Вторая эпоха (1920–1926): теория исключения [ править ]

В 1923–1924 годах Нётер применила свою идеальную теорию к теории исключения в формулировке, которую она приписала своему ученику Курту Хентцельту. Она показала, что фундаментальные теоремы о факторизации многочленов можно переносить напрямую. [106] [107] [108] Традиционно теория исключения занимается удалением одной или нескольких переменных из системы полиномиальных уравнений, обычно методом результирующих .

Для иллюстрации систему уравнений часто можно записать в виде M  v  =  0,   где матрица (или линейное преобразование ) M (без переменной x ), умноженная на вектор v (который имеет только ненулевые степени x ), равна к нулевому вектору, 0 . Следовательно, определитель матрицы M должен быть равен нулю, что дает новое уравнение, из которого исключена переменная x .

Вторая эпоха (1920–1926): инвариантная теория конечных групп [ править ]

Такие методы, как оригинальное неконструктивное решение Гильберта проблемы конечного базиса, не могли использоваться для получения количественной информации об инвариантах группового действия, и, более того, они не применялись ко всем групповым действиям. В своей статье 1915 года [109] Нётер нашла решение проблемы конечного базиса для конечной группы преобразований   G,   действующих в конечномерном векторном пространстве над полем нулевой характеристики. Ее решение показывает, что кольцо инвариантов порождается однородными инвариантами, степень которых меньше или равна порядку конечной группы; это называется границей Нётер . В ее статье приводятся два доказательства оценки Нётер, оба из которых также работают, когда характеристика поля взаимно проста.к | G |! ( факториал порядка | G | группы G ). Степени образующих не обязательно должны удовлетворять границе Нётер, когда характеристика поля делит число | G | , [110] но Нётер не смогла определить, верна ли эта оценка, когда характеристика поля делит | G |! но не | G | . В течение многих лет определение истинности или ложности этой границы для данного конкретного случая было открытой проблемой, называемой «пробелом Нётер». Окончательно она была решена независимо Флейшманном в 2000 году и Фогарти в 2001 году, которые оба показали, что граница остается верной. [111] [112]

В своей статье 1926 года [113] Нётер распространила теорему Гильберта на представления конечной группы над любым полем; новый случай, который не вытекает из работы Гильберта, - это когда характеристика поля делит порядок группы. Результат Нётер был позже распространен Уильямом Хабушем на все редуктивные группы путем доказательства гипотезы Мамфорда . [114] В этой статье Нётер также ввела лемму Нётер о нормализации , показывающую, что конечно порожденная область A над полем k имеет набор {  x 1 , ...,  x n  } алгебраически независимыхэлементы , такие , что является интегралом над   к  [ х 1 , ...,  х п ].

Вторая эпоха (1920–1926): вклад в топологию [ править ]

Непрерывная деформация ( гомотопия ) кофейной чашки в бублик ( тор ) и обратно

Как отмечают Павел Александров и Герман Вейль в своих некрологах, вклад Нётер в топологию иллюстрирует ее щедрость с идеями и то, как ее идеи могут трансформировать целые области математики. В топологии математики изучают свойства объектов, которые остаются неизменными даже при деформации, такие свойства, как их связность . Старая шутка гласит, что « тополог не может отличить пончик от кофейной кружки », поскольку они могут непрерывно деформироваться друг в друга.

Нётер приписывают фундаментальные идеи, которые привели к развитию алгебраической топологии из более ранней комбинаторной топологии , в частности, идеи групп гомологий . [115] Согласно рассказу Александрова, Нётер посещала лекции, прочитанные Хайнцем Хопфом и им летом 1926 и 1927 годов, где «она постоянно делала наблюдения, часто глубокие и тонкие» [116], и он продолжает это:

Когда ... она впервые познакомилась с систематическим построением комбинаторной топологии, она сразу заметила, что было бы целесообразно непосредственно изучить группы алгебраических комплексов и циклы данного многогранника и подгруппу группы циклов, состоящую из циклов, гомологичных ему. нуль; вместо обычного определения чисел Бетти она предложила сразу определить группу Бетти как дополнительную (факторную) группу группы всех циклов по подгруппе циклов, гомологичных нулю. Это наблюдение теперь кажется самоочевидным. Но в те годы (1925–1928) это была совершенно новая точка зрения. [117]

Предложение Нётер об алгебраическом изучении топологии было немедленно принято Хопфом, Александровым и другими [117] и стало частой темой обсуждения среди математиков Геттингена. [118] Noether отметила , что ее идея группы Бетти делает формулу Эйлера-Пуанкаре проще понять, и собственная работа Хопфа по этому вопросу [119] «несет на себе отпечаток этих замечаний Нётер». [120] Нётер упоминает свои собственные идеи топологии только в качестве отступления в публикации 1926 года [121], где она цитирует их как приложение теории групп . [122]

Этот алгебраический подход к топологии также независимо был разработан в Австрии . На курсе 1926–1927 годов, прочитанном в Вене , Леопольд Виеторис определил группу гомологий , разработанную Вальтером Майером , в аксиоматическое определение в 1928 году [123].

Гельмут Хассе работал с Нётер и другими, чтобы основать теорию центральных простых алгебр .

Третья эпоха (1927–1935): гиперкомплексные числа и теория представлений [ править ]

Большая часть работ по гиперкомплексным числам и представлениям групп проводилась в девятнадцатом и начале двадцатого веков, но оставалась несопоставимой. Нётер объединила эти результаты и дала первую общую теорию представлений групп и алгебр. [124]

Вкратце, Нётер объединила структурную теорию ассоциативных алгебр и теорию представлений групп в единую арифметическую теорию модулей и идеалов в кольцах, удовлетворяющих условиям возрастающей цепи . Эта единственная работа Нётер имела фундаментальное значение для развития современной алгебры. [125]

Третья эпоха (1927–1935): Некоммутативная алгебра [ править ]

Нётер также внесла свой вклад в ряд других достижений в области алгебры. Вместе с Эмилем Артином , Ричардом Брауэром и Гельмутом Хассе она основала теорию центральных простых алгебр . [126]

В докладе Нётер, Гельмут Хассе и Ричард Брауэр относится к алгебр с делением , [127] , которые являются алгебраические системы , в которых разделение возможно. Они доказали две важные теоремы: локально-глобальную теорему, утверждающую, что если конечномерная центральная алгебра с делением над числовым полем расщепляется локально всюду, то она расщепляется глобально (это тривиально), и из этого вывели их Хаупцац («основная теорема» ):

каждая конечномерная центральная алгебра с делением над полем алгебраических чисел F расщепляется над циклическим круговым расширением .

Эти теоремы позволяют классифицировать все конечномерные центральные алгебры с делением над заданным числовым полем. Последующая работа Нётер показала, как частный случай более общей теоремы, что все максимальные подполя алгебры с делением D являются полями расщепления . [128] Эта статья также содержит теорему Сколема – Нётер, которая утверждает, что любые два вложения расширения поля k в конечномерную центральную простую алгебру над k сопряжены. Теорема Брауэра – Нётер [129] дает характеристику полей расщепления центральной алгебры с делением над полем.

Оценка, признание и памятные даты [ править ]

Дополнительная информация: Список вещей, названных в честь Эмми Нётер § Другое
Кампус Эмми Нётер в университете Зигена является домом для факультетов математики и физики.

Работа Нётер по-прежнему актуальна для развития теоретической физики и математики, и она неизменно считается одним из величайших математиков двадцатого века. В своем некрологе коллега-алгебраист Б.Л. ван дер Варден говорит, что ее математическая оригинальность «абсолютна вне всякого сравнения» [130], а Герман Вейль сказал, что Нётер « своими работами изменила лицо алгебры ». [7] При жизни и даже сегодня Нётер была охарактеризована как величайшая женщина-математик в истории человечества математиками [3] [131], такими как Павел Александров , [132] Герман Вейль , [133]и Жан Дьедонне . [134]

В письме к The New York Times , Альберт Эйнштейн писал: [2]

По мнению наиболее компетентных ныне живущих математиков, Фройлен Нётер была самым значительным творческим математическим гением, созданным до сих пор с момента начала высшего образования женщин. В области алгебры, которой на протяжении веков занимались наиболее одаренные математики, она открыла методы, которые доказали огромную важность в развитии современного молодого поколения математиков.

2 января 1935 г., за несколько месяцев до ее смерти, математик Норберт Винер написал, что [135]

Мисс Нётер ... величайшая женщина-математик из когда-либо живших; и величайшая женщина-ученый из всех ныне живущих, и ученый, по крайней мере, на уровне мадам Кюри .

На выставке на Всемирной выставке 1964 года, посвященной современным математикам , Нётер была единственной женщиной, представленной среди выдающихся математиков современного мира. [136]

Нётер была отмечена в нескольких мемориалах,

  • Ассоциация женщин в математике имеет Нётер Лекцию в честь женщин в математике каждый год; в своей брошюре 2005 года, посвященной этому событию, Ассоциация характеризует Нётер как «одного из великих математиков своего времени, человека, который работал и боролся за то, что она любила и во что верила. Ее жизнь и работа остаются огромным источником вдохновения». [137]
  • В соответствии с ее преданностью своим ученикам, Университет Зигена размещает свои факультеты математики и физики в зданиях на территории кампуса Эмми Нётер . [138]
  • Немецкий исследовательский фонд ( Deutsche Forschungsgemeinschaft ) реализует программу « Эмми Нётер» , предоставляя финансирование начинающим исследователям, чтобы они быстро получили право на ведущую позицию в науке и исследованиях, возглавив независимую младшую исследовательскую группу. [139]
  • Улица в ее родном городе Эрланген названа в честь Эмми Нётер и её отца Макса Нётер.
  • Преемница средней школы, которую она посещала в Эрлангене, была переименована в школу Эмми Нётер . [134]
  • Серия высококачественных школьных мастерских и соревнований проходят в ее честь в мае каждого года начиная с 2001 года, первоначально организовано Последующий женщины МАТЕМАТИКА приват из Геттингенского университета . [140]
  • Институт теоретической физики Периметр ежегодно присуждает стипендии Эмми Нётер [141] выдающимся женщинам-физикам-теоретикам. Институт Периметра также является домом для Совета Эмми Нётер [142], группы добровольцев, состоящих из лидеров международного сообщества, корпораций и филантропов, которые вместе работают над увеличением числа женщин, занимающихся физикой и математической физикой в ​​Институте Периметра.
  • Математический институт им. Эмми Нётер по алгебре, геометрии и теории функций на факультете математики и информатики Университета Бар-Илан , Рамат-Ган, Израиль был основан в 1992 году совместно университетом, правительством Германии и Фондом Минервы с целью стимулировать исследования в вышеуказанных областях и поощрять сотрудничество с Германией. Его основные темы - алгебраическая геометрия , теория групп и теория сложных функций.. Его деятельность включает местные исследовательские проекты, конференции, краткосрочные посещения, стипендии для докторов наук и лекции Эмми Нётер (ежегодная серия выдающихся лекций). ENI является членом ERCOM: «Европейские исследовательские центры математики». [143]
  • В 2013 году Европейское физическое общество учредило Знак отличия Эмми Нётер для женщин по физике. [144] Победителями стали доктор Каталина Курчану , профессор Сибилла Гюнтер и профессор Анн Л'Юилье .

В художественной литературе Эмми Наттер, профессор физики из книги Рэнсома Стивенса «Патент Бога» , основана на Эмми Нётер. [145]

Подальше от дома,

  • Кратер Нётер на обратной стороне Луны назван в ее честь.
  • Малая планета 7001 Нётер названа в честь Эмми Нётер. [146] [147]
  • Google разместил мемориальный рисунок, созданный художницей Google Софи Диао, на домашней странице Google во многих странах 23 марта 2015 года в честь 133-й годовщины со дня рождения Эмми Нётер. [148]
  • 6 ноября 2020 года в космос был запущен названный в ее честь спутник ( ÑuSat 13 или «Эмми», COSPAR 2020-079E).

Список докторантов [ править ]

ДатаИмя студентаНазвание диссертации и перевод на английский языкУниверситетОпубликовано
1911-12-16 Фалькенберг, ГансVerzweigungen von Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen
Разветвления решений нелинейных дифференциальных уравнений §
ЭрлангенЛейпциг 1912 г.
1916-03-04 Зайдельманн, ФрицDie Gesamtheit der kubischen und biquadratischen Gleichungen mit Affekt bei trustbigem Rationalitätsbereich
Полный набор кубических и биквадратных уравнений с влиянием в произвольной области рациональности §
ЭрлангенЭрланген, 1916 г.
1925-02-25 Германн, ГретаDie Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale unter Benutzung nachgelassener Sätze von Kurt Hentzelt
Вопрос о конечном числе шагов в теории идеалов многочленов с использованием теорем позднего § Курта Хентцельта.
ГёттингенБерлин 1926 г.
1926-07-14 Грелль, ГенрихBeziehungen zwischen den Idealen verschiedener Ringe
Связь идеалов различных колец §
ГёттингенБерлин 1927 г.
1927 г.Дорете, ВильгельмÜber einem verallgemeinerten Gruppenbegriff
Об обобщенных представлениях о группах §
ГёттингенБерлин 1927 г.
умер перед защитойХёльцер, РудольфZur Theorie der Primären Ringe
К теории первичных колец §
ГёттингенБерлин 1927 г.
1929-06-12 Вебер, ВернерIdealtheoretische Deutung der Darstellbarkeit trustbiger natürlicher Zahlen durch quadratische Formen
Теоретико-идеальная интерпретация представимости произвольных натуральных чисел квадратичными формами §
ГёттингенБерлин 1930
1929-06-26 Левицкий, ЯкобÜber vollständig reduzible Ringe und Unterringe
О вполне приводимых кольцах и подкольцах §
ГёттингенБерлин 1931 г.
1930-06-18 Дойринг, МаксZur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen
К арифметической теории алгебраических функций §
ГёттингенБерлин 1932 г.
1931-07-29 Фитинг, ГансZur Theorie der Automorphismenringe Abelscher Gruppen und ihr Analogon bei nichtkommutativen Gruppen
К теории колец автоморфизмов абелевых групп и их аналогов в некоммутативных группах §
ГёттингенБерлин 1933 г.
1933-07-27 Витт, ЭрнстRiemann-Rochscher Satz und Zeta-Funktion im Hyperkomplexen
Теорема Римана-Роха и дзета-функция в гиперкомплексных числах §
ГёттингенБерлин 1934 г.
1933-12-06 Цен, ЧиунгцеAlgebren über Funktionenkörpern
Алгебры над функциональными полями §
ГёттингенГёттинген 1934 г.
1934 г.Шиллинг, ОттоÜber gewisse Beziehungen zwischen der Arithmetik hyperkomplexer Zahlsysteme und algebraischer Zahlkörper
О некоторых связях между арифметикой гиперкомплексных систем счисления и алгебраическими числовыми полями §
МарбургБрауншвейг 1935 г.
1935 г.Штауфер, РутПостроение нормального базиса в сепарабельном поле расширенийБрин МорБалтимор 1936
1935 г.Ворбек, ВернерNichtgaloissche Zerfällungskörper einfacher Systeme
Номера Галуа Расщепление поля простых систем §
Гёттинген
1936 г.Вихманн, ВольфгангAnwendungen der p-adischen Theorie im Nichtkommutativen
Приложения p -адической теории в некоммутативных алгебрах §
ГёттингенMonatshefte für Mathematik und Physik (1936) 44 , 203–24.

Одноименные математические темы [ править ]

Основная статья: Список вещей, названных в честь Эмми Нётер
  • Нётерян
  • Группа Нётер
  • Кольцо Нётериана
  • Нётерский модуль
  • Нётеровское пространство
  • Нётерова индукция
  • Схема Нётера
  • Лемма Нётер о нормализации
  • Проблема Нётер
  • Теорема Нётер
  • Вторая теорема Нётер
  • Теорема Ласкера – Нётер
  • Теорема Сколема – Нётер
  • Теорема Брилла – Нётер
  • Теорема Брауэра – Нётер
  • Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер

См. Также [ править ]

  • Хронология женщин в науке

Заметки [ править ]

  1. ^ a b Эмми - это имя Руф , второе из двух официальных имен, предназначенное для повседневного использования. Ср. например, резюме, представленное Нётер в Эрлангенский университет в 1907 году (архив Эрлангенского университета, Promotionsakt Emmy Noether (1907/08, NR 2988); воспроизведено в: Emmy Noether, Gesammelte Abhandlungen - Collected Papers, ed. N. Jacobson 1983; онлайн факсимильное сообщение на Physikerinnen.de/noetherlebenslauf.html. Архивировано 29 сентября 2007 г. на Wayback Machine ). Иногда об Эмми ошибочно сообщают как об сокращении Амалии или ошибочно называют «Эмили». например, Смолин, Ли ,"Специальная теория относительности - почему вы не можете двигаться быстрее света?" , Edge , заархивировано из оригинала 30 июля 2012 г. , извлечено 6 марта 2012 г. , Эмили Нётер, великий немецкий математик
  2. Перейти ↑ Lederman & Hill 2004 , p. 71 пишет, что она защитила докторскую диссертацию в Геттингене, но, похоже, это ошибка.
  3. ^ Нет никаких инвариантов под общей линейной группой всех обратимых линейных преобразований, потому что эти преобразования могут быть умножением на коэффициент масштабирования. Чтобы исправить это, классическая теория инвариантов также рассматривала относительные инварианты , которые были формами, инвариантными с точностью до масштабного фактора.

Ссылки [ править ]

  1. ↑ Эмили Коновер (12 июня 2018 г.). «Эмми Нётер изменила лицо физики; Нётер соединила два важных понятия в физике: законы сохранения и симметрии» . Sciencenews.org . Проверено 2 июля 2018 .
  2. ^ a b Эйнштейн, Альберт (1 мая 1935 г.), «Профессор Эйнштейн пишет в знак признательности своему товарищу-математику» , The New York Times (опубликовано 5 мая 1935 г.) , получено 13 апреля 2008 г.. Также онлайн в архиве истории математики MacTutor .
  3. ^ а б Александров 1981 , с. 100.
  4. ^ a b Нееман, Юваль , Влияние теорем Эмми Нётер на физику XXI векаin Teicher (1999) Teicher 1999 , стр. 83–101.
  5. ^ Вейль 1935
  6. ^ а б Ледерман и Хилл 2004 , стр. 73.
  7. ^ а б Дик 1981 , стр. 128
  8. ^ Чанг, Суён (2011). Академическая генеалогия математиков (иллюстрированный ред.). World Scientific. п. 21. ISBN 978-981-4282-29-1. Выдержка из п. 21 год
  9. ↑ Дик, 1981 , стр. 9–10.
  10. ↑ Дик, 1981 , стр. 10–11.
  11. Перейти ↑ Dick 1981 , pp. 25, 45.
  12. Перейти ↑ Kimberling , p. 5.
  13. Перейти ↑ Kimberling 1981 , p. 10.
  14. ↑ Дик, 1981 , стр. 11–12.
  15. Перейти ↑ Kimberling 1981 , pp. 8–10.
  16. Перейти ↑ Lederman & Hill 2004 , p. 71.
  17. ^ Мерцбы 1983 , стр. 164.
  18. ^ Б Kimberling 1981 , стр. 10-11.
  19. ↑ Дик, 1981 , стр. 13–17.
  20. ^ a b Kimberling 1981 , стр. 11–12.
  21. ↑ Дик, 1981 , стр. 18–24.
  22. ^ а б Кимберлинг 1981 , стр. 14.
  23. ^ а б Дик 1981 , стр. 32.
  24. ^ a b c Lederman & Hill 2004 , стр. 72.
  25. ↑ Дик, 1981 , стр. 24–26.
  26. ^ Нётер 1918c , стр. 235.
  27. Перейти ↑ Byers 1996 , p. 2.
  28. ^ а б Дик 1981 , стр. 188.
  29. Перейти ↑ Kimberling 1981 , pp. 14–18.
  30. ↑ Дик, 1981 , стр. 33–34.
  31. ↑ Нётер, 1983 .
  32. ^ а б Ледерман и Хилл 2004 , стр. 74.
  33. ^ а б Кимберлинг 1981 , стр. 18.
  34. ↑ Дик, 1981 , стр. 44–45.
  35. ↑ van der Waerden 1935 , p. 100.
  36. ↑ Дик, 1981 , стр. 57–58.
  37. Перейти ↑ Kimberling 1981 , p. 19.
  38. Перейти ↑ Kimberling 1981 , pp. 24–25.
  39. ↑ Дик, 1981 , стр. 61–63.
  40. ↑ Александров, 1981 , с. 100, 107.
  41. ↑ Дик, 1981 , стр. 37–49.
  42. ↑ van der Waerden 1935 , p. 98.
  43. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 51.
  44. ↑ Дик, 1981 , стр. 53–57.
  45. ↑ Дик, 1981 , стр. 46–48.
  46. ^ Taussky 1981 , стр. 80.
  47. ↑ Дик, 1981 , стр. 40–41.
  48. ^ ван дер Варден 1935 .
  49. ^ Scharlau, W. «Вклад Э. Нётер в теории алгебр» в Тейчер 1999 , с. 49.
  50. Перейти ↑ Mac Lane 1981 , p. 77.
  51. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 37.
  52. ↑ Дик, 1981 , стр. 38–41.
  53. Перейти ↑ Mac Lane 1981 , p. 71.
  54. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 76.
  55. ↑ Дик, 1981 , стр. 63–64.
  56. Перейти ↑ Kimberling 1981 , p. 26.
  57. ^ Александров 1981 , стр. 108-10.
  58. ^ a b Александров 1981 , стр. 106–09.
  59. ↑ Дик, 1981 , стр. 82–83.
  60. ^ «Эмми Амали Нётер» (биография). Великобритания: St And . Проверено 4 сентября 2008 года .
  61. ^ a b Дик 1981 , стр. 72–73.
  62. ^ a b c Кимберлинг 1981 , стр. 26–27.
  63. ^ Хассе 1933 , стр. 731.
  64. ↑ Дик, 1981 , стр. 74–75.
  65. ^ а б Кимберлинг 1981 , стр. 29.
  66. ^ a b c Дик 1981 , стр. 75–76.
  67. ^ a b c Кимберлинг 1981 , стр. 28–29.
  68. ↑ Дик, 1981 , стр. 78–79.
  69. Перейти ↑ Kimberling 1981 , pp. 30–31.
  70. Перейти ↑ Kimberling 1981 , pp. 32–33.
  71. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 80.
  72. ↑ Дик, 1981 , стр. 80–81.
  73. ^ «Эмми Нётер в Институте перспективных исследований» . StoryMaps . ArcGIS . Проверено 28 августа 2020 .
  74. ↑ Дик, 1981 , стр. 81–82.
  75. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 81.
  76. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 83.
  77. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 82.
  78. Перейти ↑ Kimberling 1981 , p. 34.
  79. ^ a b Kimberling 1981 , стр. 37–38.
  80. ↑ Эйнштейн, Альберт (4 мая 1935 г.). «Поздняя Эмми Нётер; профессор Эйнштейн пишет в знак признательности своему товарищу-математику» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 24 марта 2015 года .
  81. Перейти ↑ Kimberling 1981 , p. 39.
  82. ^ «Этот месяц в истории физики: 23 марта 1882 г .: Рождение Эмми Нётер» . Новости APS . Американское физическое общество. Март 2013 . Проверено 28 августа 2020 . (Том 22, номер 3)
  83. ^ Gilmer 1981 , стр. 131.
  84. Перейти ↑ Kimberling 1981 , pp. 10–23.
  85. Перейти ↑ Gauss, CF (1832). "Theoria резидуум biquadraticorum - комментарий secunda". Comm. Soc. Рег. Sci. Гёттинген (на латыни). 7 : 1–34.перепечатано в Верке [ Полное собрание сочинений К.Ф. Гаусса ]. Хильдесхайм: Георг Ольмс Верлаг. 1973. С. 93–148.
  86. ^ GE Noether 1987 , стр. 168.
  87. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 101.
  88. ^ Нётер 1908 .
  89. ^ Нётер 1914 , стр. 11.
  90. ^ Гордан 1870 .
  91. ^ Вейль 1944 , стр. 618-21.
  92. Перейти ↑ Hilbert 1890 , p. 531.
  93. Перейти ↑ Hilbert 1890 , p. 532.
  94. ^ Нётер 1918 .
  95. ^ Нётер 1913 .
  96. ↑ Swan, 1969 , стр. 148.
  97. ^ Malle & Matzat 1999 .
  98. ^ Нётер 1918b
  99. ↑ Линч, Питер (18 июня 2015 г.). «Прекрасная теорема Эмми Нётер» . ThatsMaths . Проверено 28 августа 2020 . Питер Линч - почетный профессор школы математики и статистики Университетского колледжа Дублина.
  100. Перейти ↑ Kimberling 1981 , p. 13
  101. Перейти ↑ Lederman & Hill 2004 , pp. 97–116.
  102. ^ Angier, Натали (26 марта 2012). «Могущественный математик, о котором вы никогда не слышали» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 28 августа 2020 .
  103. ^ Нётер 1921 .
  104. ^ а б Гилмер 1981 , стр. 133.
  105. ^ Нётер 1927 .
  106. ^ Нётер 1923 .
  107. ^ Нётер 1923b .
  108. ^ Нётер 1924 .
  109. ^ Нётер 1915 .
  110. Перейти ↑ Fleischmann 2000 , p. 24.
  111. Перейти ↑ Fleischmann 2000 , p. 25.
  112. Перейти ↑ Fogarty 2001 , p. 5.
  113. ^ Нётер 1926 .
  114. ^ Haboush 1975 .
  115. Перейти ↑ Hilton 1988 , p. 284.
  116. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 173.
  117. ^ а б Дик 1981 , стр. 174.
  118. ^ Хирцебрух, Фридрих . «Эмми Нётер и топология» в Тейхере, 1999 , стр. 57–61.
  119. ^ Хопф 1928 .
  120. ^ Dick 1981 , стр. 174-75.
  121. ^ Нётер 1926b .
  122. ^ Хирцебрух, Фридрих, Эмми Нётер и топологияin Teicher 1999 , p. 63
  123. ^ Хирцебрух, Фридрих, «Эмми Нётер и топология» в Тейчер 1999 , стр. 61-63.
  124. ^ Нётер 1929 .
  125. ↑ van der Waerden 1985 , p. 244.
  126. ^ Lam 1981 , стр. 152-53.
  127. ^ Брауэр, Хассе и Нётер 1932 .
  128. ^ Нётер 1933 .
  129. ^ Брауэр и Нётер 1927 .
  130. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 100.
  131. ^ Джеймс 2002 , стр. 321.
  132. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 154.
  133. Перейти ↑ Dick 1981 , p. 152.
  134. ^ а б Нётер 1987 , стр. 167.
  135. Перейти ↑ Kimberling 1981 , p. 35.
  136. ^ Duchin, Луна (декабрь 2004), Сексуальные Политики Genius (PDF) , Университет Чикаго, архивируются от оригинала (PDF) 18 июля 2011 года , получена 23 марта +2011 (День рождения Нётер).
  137. ^ «Введение» , Профили женщин по математике , Лекции Эмми Нётер, Ассоциация женщин по математике , 2005 г. , данные получены 13 апреля 2008 г.
  138. ↑ Emmy-Noether-Campus , DE : Universität Siegen , получено 13 апреля 2008 г.
  139. ^ "Программа Эмми Нётер" . Финансирование исследований . Deutsche Forschungsgemeinschaft . nd Проверено 25 мая, 2016.
  140. ^ Дни математики средней школы Эмми Нётер. http://www.math.ttu.edu/~enoether/
  141. ^ Emmy Noether Visiting Fellowships http://www.perimeterinstitute.ca/emmy-noether-visiting-fellowships
  142. ^ "Совет Эмми Нётер" . Институт теоретической физики «Периметр» . Проверено 6 марта 2018 .
  143. ^ Математический институт Эмми Нётер. http://u.cs.biu.ac.il/~eni/
  144. ^ "EPS Emmy Noether Distinction for Women in Physics - European Physical Society (EPS)" . www.eps.org . Проверено 14 сентября 2018 года .
  145. ↑ Stephens, Ransom, The God Patent , заархивировано из оригинала 2 августа 2014 г. , получено 26 марта 2013 г.
  146. ^ Schmadel 2003 , стр. 570.
  147. ↑ Синий, Дженнифер. Газетир планетарной номенклатуры . USGS . 25 июля 2007 г. Проверено 13 апреля 2008 г.
  148. ^ Google болваны: сто тридцать третьей Эммы Нетер День рождения 23 марта 2015.

Избранные произведения Эмми Нётер (на немецком языке) [ править ]

Основная статья: Список публикаций Эмми Нётер
  • Нётер, Эмми (1908), «Uber die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form» [О полных системах инвариантов для тройных биквадратных форм], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), DE , 1908 (134): 23 –90 и две таблицы, doi : 10.1515 / crll.1908.134.23 , S2CID  119967160 , заархивировано из оригинала 8 марта 2013 г.
  • ——— (1913), «Rationale Funktionenkörper» [Поля рациональных функций], J. Ber. D. DMV (на немецком языке ), DE, 22 : 316-19, архивируются с оригинала на 8 марта 2013
  • ——— (1915), "Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen" [Теорема конечности для инвариантов конечных групп] (PDF) , Mathematische Annalen (на немецком языке), DE, 77 : 89–92, doi : 10.1007 / BF01456821 , S2CID  121213008
  • --- (1918), "Gleichungen мит vorgeschriebener Gruppe" [Уравнение с предписанными группами], Mathematische Annalen (на немецком языке ), 78 (1-4): 221-29, DOI : 10.1007 / BF01457099 , S2CID  122353858 , заархивировано из оригинал от 3 сентября 2014 г.
  • ——— (1918b). Перевод М.А. Тавела "Проблема инвариантной вариации". Nachr. Д. Кёниг. Gesellsch. Д. Висс. (на немецком). Гёттинген. 918 (3): 235–57. arXiv : физика / 0503066 . Bibcode : 1971TTSP .... 1..186N . DOI : 10.1080 / 00411457108231446 . S2CID  119019843 .
  • ——— (1918c). « Проблема инвариантной вариации» [Инвариантная вариационная задача]. Nachr. Д. Кёниг. Gesellsch. Д. Висс. (на немецком). Гёттинген. 918 : 235–57. Архивировано из оригинала 5 июля 2008 года. Оригинальное немецкое изображение со ссылкой на английский перевод Тавела
  • ——— (1921), "Idealtheorie in Ringbereichen" [Теория идеалов в кольцевых доменах], Mathematische Annalen (на немецком языке), 83 (1): 24–66, Bibcode : 1921MatAn..83 ... 24N , doi : 10.1007 / bf01464225 , S2CID  121594471 , заархивировано из оригинала (PDF) 3 сентября 2014 г.
  • Берлин, Дэниел (11 января 2014 г.). "Идеальная теория в кольцах (перевод" Idealtheorie in Ringbereichen "Эмми Нётер)". arXiv : 1401,2577 [ math.RA ].
  • --- (1923), "Zur Theorie дер Polynomideale унд Resultanten" (PDF) , Mathematische Annalen (на немецком языке ), DE, 88 (1-2): 53-79, DOI : 10.1007 / BF01448441 , S2CID  122226025
  • --- (1923b), "Eliminationstheorie унд Allgemeine Idealtheorie" (PDF) , Mathematische Annalen (на немецком языке ), Германия, 90 (3-4): 229-61, DOI : 10.1007 / BF01455443 , S2CID  121239880
  • ——— (1924), «Eliminationstheorie und Idealtheorie» , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), DE, 33 : 116–20, архивировано с оригинала 8 марта 2013 г.
  • --- (1926), "Der Endlichkeitsatz дер Invarianten endlicher linearer Gruppen дер Charakteristik р " [Доказательство конечности инвариантов конечных линейных групп характеристики р ], Nachr. Ges. Висс (на немецком языке ), DE: 28-35, архивируются с оригинала на 8 марта 2013
  • ——— (1926b), «Ableitung der Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie» [Вывод теории элементарного делителя из теории групп], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), DE, 34 (Abt. 2): 104, архивируются с оригинала на 8 марта 2013
  • ——— (1927), "Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern" [Абстрактная структура теории идеалов в полях алгебраических чисел], Mathematische Annalen (на немецком языке), 96 (1): 26–61, doi : 10.1007 / BF01209152 , S2CID  121288299 , заархивировано из оригинала (PDF) 3 сентября 2014 г.
  • Брауэр, Ричард ; Нётер, Эмми (1927), "Über minimale Zerfällungskörper unduzibler Darstellungen" [О минимальных полях расщепления неприводимых представлений], Sitz. Бер. Д. Прейс. Акад. Д. Висс. (на немецком языке): 221–28
  • Нётер, Эмй (1929), "Hyperkomplexe Größen унд Darstellungstheorie" [гиперкомплексное Количества и теории представлений], Mathematische Анналы (на немецком языке ), 30 : 641-92, DOI : 10.1007 / BF01187794 , S2CID  120464373 , архивируется с оригинала на 29 марта 2016 г.
  • Брауэр, Ричард; Хассе, Гельмут ; Нётер, Эмми (1932), «Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren» [Доказательство основной теоремы теории алгебр], Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), DE, 167 : 399–404
  • Нётер, Эмй (1933), "Nichtkommutative Algebren" [Некоммутативная Алгебра], Mathematische Zeitschrift (на немецком языке ), 37 : 514-41, DOI : 10.1007 / BF01474591 , S2CID  186227754
  • ——— (1983), Якобсон, Натан (ред.), Гезаммельте Абхандлунген [ Сборник статей ] (на немецком языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Viii, 777, ISBN 978-3-540-11504-5, Руководство по ремонту  0703862

Дополнительные источники [ править ]

  • Александров, Павел С. (1981). «Памяти Эмми Нётер». В Брюэре, Джеймс У; Смит, Марта К. (ред.). Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе . Нью-Йорк: Марсель Деккер. С. 99–111. ISBN 978-0-8247-1550-2. OCLC  7837628 .
  • Синий, Мередит (2001). Теория Галуа и проблема Нётер (PDF) . 34-е ежегодное собрание Математической ассоциации Америки. Флоридская секция MAA. Архивировано из оригинального (PDF) 29 мая 2008 года . Проверено 9 июня 2018 .
  • Нётер, Эмми; Брюэр, Джеймс В; Смит, Марта К. (1981). Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе . ISBN 978-0-8247-1550-2. OCLC  7837628 .
  • Байерс, Нина (декабрь 1996 г.). Э. Нётер Открытие глубокой связи между симметриями и законами сохранения . Труды симпозиума по наследию Эмми Нётер. Израиль: Университет Бар-Илан . arXiv : физика / 9807044 . Bibcode : 1998 физика ... 7044B .
  • Байерс, Нина (2006), «Эмми Нётер», Байерс, Нина; Уильямс, Гэри (ред.), Из тени: вклад женщин 20-го века в физику , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-82197-1
  • Дик, Огюст (1981), Эмми Нётер: 1882–1935 , переведено Блохером, HI, Бостон: Birkhäuser, doi : 10.1007 / 978-1-4684-0535-4 , ISBN 978-3-7643-3019-4
  • Флейшман, Питер (2000), "Нётер связан в инвариантной теории конечных групп", достижения в области математики , 156 (1): 23-32, да : 10,1006 / aima.2000.1952 , MR  1800251
  • Фогартите, Джон (2001), «О Нётере связан для полиномиальных инвариантов конечной группы» , электронные исследования Объявление о Американских математическом обществе , 7 (2): 5-7, DOI : 10,1090 / S1079-6762-01-00088- 9 , MR  1826990 , получено 16 июня 2008 г.
  • Гилмер, Роберт (1981), «Теория коммутативных колец», у Брюера, Джеймса В .; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 131–43, ISBN 978-0-8247-1550-2
  • Гордан, Пол (1870), «Die simultanen Systeme binärer Formen» , Mathematische Annalen (на немецком языке), 2 (2): 227–80, doi : 10.1007 / BF01444021 , S2CID  119558943 , архивировано с оригинала 3 сентября 2014 г.
  • Haboush, WJ (1975), "Редуктивные группы геометрический восстановительные", Анналы математики , 102 (1): 67-83, DOI : 10,2307 / 1970974 , JSTOR  1970974
  • Хассе, Хельмут (1933), "Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassengruppe über einem algebraischen Zahlkörper" , Mathematische Annalen (на немецком языке), 107 : 731–60, doi : 10.1007 / BF01448916 , S2CID  128305900 от 5 марта , заархивировано с оригинала 5 марта. 2016 г.
  • Леммермейер, Франц; Рокетт, Питер, ред. (2006), Гельмут Хассе унд Эмми Нётер - Die Korrespondenz 1925-1935 гг [ Гельмут Хассе и Эмми Нётер - Их переписка 1925-1935 гг ] (PDF) , DE: Геттинген университет, DOI : 10,17875 / gup2006-49 , ISBN 978-3-938616-35-2
  • Гильберт, Дэвид (декабрь 1890 г.). "Ueber die Theorie der algebraischen Formen" . Mathematische Annalen (на немецком языке). 36 (4): 473–534. DOI : 10.1007 / BF01208503 . S2CID  179177713 . Архивировано из оригинального 3 -го сентября 2014 года.
  • Хилтон, Питер (1988). «Краткая, субъективная история гомологии и теории гомотопий в этом веке». Математический журнал . 60 (5): 282–91. DOI : 10.1080 / 0025570X.1988.11977391 . JSTOR  2689545 .
  • Хопф, Хайнц (1928). "Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке). 2 : 127–36.
  • Хафф, Кендра (2011). «Женщины в математике: исторический отчет о женском опыте и достижениях» . CMC Старшие диссертации . CMC . Проверено 28 августа 2020 .
  • Джеймс, Иоан (2002). Выдающиеся математики от Эйлера до фон Неймана . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-81777-6.
  • Кимберлинг, Кларк (1981), «Эмми Нётер и ее влияние», у Брюера, Джеймса В .; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 3–61, ISBN 978-0-8247-1550-2
  • Кимберлинг, Кларк (март 1982). "Эмми Нётер, величайшая женщина-математик" (PDF) . Учитель математики . Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики. 84 (3): 246–249.
  • Крамер, Эдна Эрнестина (1982). Природа и рост современной математики (1-й принстонский принт в мягкой обложке. С исправлениями, ред.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691023724.
  • Лам, Цит Юэн (1981), «Теория представлений», у Брюера, Джеймса В .; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 145–56, ISBN 978-0-8247-1550-2
  • Ледерман, Леон М .; Хилл, Кристофер Т. (2004), Симметрия и Прекрасная Вселенная , Амхерст, Массачусетс: Книги Прометея, ISBN 978-1-59102-242-8
  • Мак Лейн, Сондерс (1981), «Математика в Геттингенском университете, 1831–1933», у Брюера, Джеймса В .; Смит, Марта К. (ред.), Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе , Нью-Йорк: Марсель Деккер, стр. 65–78, ISBN 978-0-8247-1550-2
  • Мак-Лейн, Сондерс (1995). «Математика в Геттингене при нацистах» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . Американское математическое общество . 42 (10): 1134–38.
  • Малле, Гюнтер; Мацат, Бернд Генрих (1999), обратная теория Галуа , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62890-3, Руководство по ремонту  1711577
  • Мерцбах, Ута К. (1983), «Эмми Нётер: исторические контексты», в Шринивасане, Бхама; Салли, Джудит Д. (ред.), Эмми Нётер в Bryn Mawr: Материалы симпозиума, спонсируемого Ассоциацией женщин-математиков в честь 100-летия Эмми Нётер , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер, стр. 161–171, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5547-5_12 , ISBN 978-1-4612-5547-5
  • Noether, Gottfried E. (1987), Grinstein, LS; Кэмпбелл, П.Дж. (ред.), Женщины-математики , Нью-Йорк: Greenwood Press, ISBN 978-0-313-24849-8
  • Нётер, Макс (1914), «Пол Гордан» , Mathematische Annalen , 75 (1): 1–41, doi : 10.1007 / BF01564521 , S2CID  179178051 , заархивировано из оригинала 4 сентября 2014 г.
  • Рэдфорд, Дебора (1 апреля 2016 г.). «Об Эмми Нётер и ее алгебраических трудах» . Все студенческие диссертации . Губернаторский государственный университет . Проверено 28 августа 2020 .
  • Шмадель, Лутц Д. (2003), Словарь названий малых планет (5-е исправленное и дополненное издание), Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00238-3
  • Шен, Цинна (сентябрь 2019 г.). "Ученый-беженец из нацистской Германии: колледж Эмми Нётер и Брин Мор" . Математический интеллигент . 41 (3): 52–65. DOI : 10.1007 / s00283-018-9852-0 . S2CID  128009850 . Проверено 28 августа 2020 .
  • Свон, Ричард Дж. (1969). «Инвариантные рациональные функции и проблема Стинрода». Inventiones Mathematicae . 7 (2): 148–58. Bibcode : 1969InMat ... 7..148S . DOI : 10.1007 / BF01389798 . S2CID  121951942 .
  • Таусский, Ольга (1981). «Мои личные воспоминания об Эмми Нётер». В Брюэр, Джеймс У .; Смит, Марта К. (ред.). Эмми Нётер: дань уважения ее жизни и работе . Нью-Йорк: Марсель Деккер. С. 79–92. ISBN 978-0-8247-1550-2.
  • Тейчер, М. , изд. (1999). Наследие Эмми Нётер . Труды Израильской математической конференции. Университет Бар-Илан , Американское математическое общество , Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-851045-1. OCLC  223099225 .
  • Палатка, MBW (2008), Эмми Нётер: Мать современной алгебры , CRC Press
  • van der Waerden, BL (1935), «Nachruf auf Emmy Noether» [некролог Эмми Нётер], Mathematische Annalen (на немецком языке), 111 : 469–74, doi : 10.1007 / BF01472233 , S2CID  179178055 , заархивировано с оригинала 3 Сентябрь 2014 г.. Перепечатано в Dick 1981
  • ——— (1985), История алгебры: от аль-Хваризми до Эмми Нётер , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-13610-3
  • Вейл, Герман (1935), «Эмми Нётер», Scripta Mathematica , 3 (3): 201–20Перепечатано как приложение у Дика (1981) .
  • Вейль, Герман (1944), "Давид Гильберт и его математические работы", Бюллетень Американского математического общества , 50 (9): 612-54, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1944-08178-0 , MR  0011274
  • Ю, Вон Сан (2018). «Мать-основательница математики: Эмми Нётер» . Старшие диссертации . Колледж Клермонта Маккенны.

Внешние ссылки [ править ]

Ресурсы библиотеки об
Эмми Нётер
  • Ресурсы в вашей библиотеке
  • Ресурсы в других библиотеках
Эмми Нётер
  • Интернет-книги
  • Ресурсы в вашей библиотеке
  • Ресурсы в других библиотеках
Личные документы
  • Noether Lebensläufe (на немецком языке), DE : Physikerinnen, заархивировано из оригинала 29 сентября 2007 г. , извлечено 20 октября 2006 г.. Заявление Нётер о зачислении в Университет Эрлангена и три биографические данные , два из которых написаны от руки, с транскрипциями. Первая из них написана собственным почерком Эмми Нётер.
  • «Письмо Эмми Нётер доктору Марион Эдвардс Парк, президенту колледжа Брин-Мор» . TriArte . Колледж Брин-Мор. Письмо Эмми Нётер Мэрион Эдвардс Парк
Фотографии
  • «Амали Эмми Нётер» . TriArte . Колледж Брин-Мор. Фотография Эмми Нётер
  • «Нётер», Обервольфах (коллекция фотографий), Германия: MFO
Академические биографии
  • Байерс, Нина , «Эмми Нётер», Вклад женщин 20 века в физику , Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе, архив с оригинала 12 февраля 2008 г.
  • Кимберлинг, Кларк , Эмми Нётер, наставники и коллеги , Эвансвилл, архив с оригинала 22 февраля 2007 г.
  • Эмми Нётер на проекте « Математическая генеалогия»
  • О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Эмми Нётер" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  • "Эмми Нётер", биографии женщин-математиков , колледж Агнес Скотт.
  • «Специальный выпуск о женщинах по математике» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . Американское математическое общество . 38 (7): 701–773. Сентябрь 1991 г.
  • Междисциплинарная конференция 2019 года по случаю 100-летия абилитации Эмми Нётер, организованная de: Exzellenzcluster MATH + ; Центральный представитель женщин, de: Freie Universität Berlin и de: Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte (на немецком языке)
  • Хаффман, Синтия (27 июля 2018 г.). «Деятельность: Эмми Нётер и модульная арифметика» . Открытые образовательные ресурсы - Математика . Питтсбургский государственный университет .
Газетные статьи
  • Энджер, Натали (26 марта 2012 г.), «Могущественный математик, о котором вы никогда не слышали» , The New York Times
  • Филлипс, Ли (май 2015 г.). «Женщина-математик, которая изменила курс физики, но не смогла устроиться на работу» . Ars Technica . Калифорния: Condé Nast.
Аудио обсуждения
  • Брэгг, Мелвин , изд. (24 января 2019 г.). «Эмми Нётер» . В наше время . Лондон: BBC . Архивировано 15 октября 2019 года. С: Колва Рони-Дугал , профессора чистой математики в Университете Сент-Эндрюс; Дэвид Берман, профессор теоретической физики Лондонского университета королевы Марии; Элизабет Мэнсфилд , профессор математики Кентского университета.