Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В математике , абелева группа , которая также называется коммутативной группой , представляет собой группу , в которой результат применения групповой операции двух элементов группы не зависит от порядка , в котором они записаны. То есть групповая операция коммутативна . Если сложить как операцию, целые и действительные числа образуют абелевы группы, и понятие абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь математика начала 19 века Нильса Хенрика Абеля . [1]
Концепция абелевой группы лежит в основе многих фундаментальных алгебраических структур , таких как поля , кольца , векторные пространства и алгебры . Теория абелевых групп обычно проще, чем их неабелевы аналоги, а конечные абелевы группы очень хорошо изучены и полностью классифицированы .
Алгебраические структуры |
---|
Определение [ править ]
Групповые структуры | |||||
---|---|---|---|---|---|
Тотальность α | Ассоциативность | Личность | Обратимость | Коммутативность | |
Полугрупоидный | Ненужный | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Малая категория | Ненужный | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Ненужный |
Группоид | Ненужный | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Ненужный |
Магма | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Квазигруппа | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Необходимый | Ненужный |
Единичная магма | Необходимый | Ненужный | Необходимый | Ненужный | Ненужный |
Петля | Необходимый | Ненужный | Необходимый | Необходимый | Ненужный |
Полугруппа | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Ненужный | Ненужный |
Обратная полугруппа | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Необходимый | Ненужный |
Моноид | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Ненужный |
Коммутативный моноид | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Ненужный | Необходимый |
Группа | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Ненужный |
Абелева группа | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Необходимый | Необходимый |
^ α Замыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной тотальности, хотя и определяется по-другому. |
Абелева группа представляет собой набор , вместе с операцией , которая сочетает в себе любые два элемента и из , чтобы сформировать еще один элемент обозначается . Этот символ является общим заполнителем для конкретной данной операции. Чтобы квалифицироваться как абелева группа, множество и операция должны удовлетворять пяти требованиям, известным как аксиомы абелевой группы :
- Закрытие
- Для всех , в , результат операции тоже в .
- Ассоциативность
- Для всех , и в , уравнение выполняется.
- Элемент идентичности
- Существует элемент в , такой, что для всех элементов в , уравнение выполняется.
- Обратный элемент
- Для каждого в существует элемент в таким образом, что , где есть единичный элемент.
- Коммутативность
- Для всех , в , .
Группа, в которой групповая операция не коммутативна, называется «неабелевой группой» или «некоммутативной группой». [2] : 11
Факты [ править ]
Обозначение [ править ]
Существует два основных правила обозначений абелевых групп - аддитивные и мультипликативные.
соглашение | Операция | Личность | Полномочия | Обратный |
---|---|---|---|---|
Добавление | 0 | |||
Умножение | или же | 1 |
Как правило, мультипликативная запись - это обычная запись для групп, а аддитивная запись - обычная запись для модулей и колец . Аддитивная нотация также может использоваться, чтобы подчеркнуть, что конкретная группа является абелевой, когда рассматриваются как абелевы, так и неабелевы группы, некоторыми заметными исключениями являются почти кольца и частично упорядоченные группы , где операция записывается аддитивно, даже когда неабелева . [3] : 28–29
Таблица умножения [ править ]
Чтобы проверить, что конечная группа абелева, таблица (матрица), известная как таблица Кэли, может быть построена аналогично таблице умножения . Если группа под операцией , -й запись этой таблицы содержит продукт .
Группа абелева тогда и только тогда, когда эта таблица симметрична относительно главной диагонали. Это верно, поскольку группа абелева тогда и только тогда, когда для всех , то есть тогда и только тогда, когда запись в таблице равна записи для всех , т. Е. Таблица симметрична относительно главной диагонали.
Примеры [ править ]
- Для целых чисел и операций добавления , обозначаемые , операция + сочетает в себе любые два целых числе , чтобы сформировать третье целое число, сложение ассоциативно, ноль является аддитивной идентичностью , каждое целое число имеет аддитивную инверсию , и операция сложения коммутативна , так как для любого два целых числа и .
- Каждая циклическая группа абелева, потому что если , находятся в , то . Таким образом, целых чисел , образуют абелеву группу по сложению, как это делают целые числа по модулю , . n {\displaystyle n}
- Каждое кольцо является абелевой группой относительно операции сложения. В коммутативном кольце обратимые элементы или единицы образуют абелеву мультипликативную группу . В частности, действительные числа являются абелевой группой относительно сложения, а ненулевые действительные числа являются абелевой группой относительно умножения.
- Каждая подгруппа абелевой группы нормальна , поэтому каждая подгруппа порождает фактор-группу . Подгруппы, фактор-группы и прямые суммы абелевых групп снова абелевы. Конечные простые абелевы группы - это в точности циклические группы простого порядка . [4]
- Концепции абелевой группы и - модуля совпадают. Более конкретно, каждый -модуль является абелевой группой со своей операцией сложения, и каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел уникальным образом.
В общем случае матрицы , даже обратимые матрицы, не образуют абелеву группу при умножении, потому что умножение матриц обычно не коммутативно. Однако некоторые группы матриц являются абелевыми группами при матричном умножении - одним из примеров является группа матриц вращения .
Исторические заметки [ править ]
Камилла Джордан назвала абелевы группы в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , потому что Абель обнаружил, что коммутативность группы многочлена означает, что корни многочлена могут быть вычислены с помощью радикалов . [5] : 144–145
Свойства [ править ]
Если - натуральное число и является элементом абелевой группы, записанной аддитивно, то может быть определено как ( слагаемые) и . Таким образом, становится модулем над кольцом целых чисел. Фактически, модули над можно отождествить с абелевыми группами.
Теоремы об абелевых группах (т.е. модулях над областью главных идеалов ) часто можно обобщить до теорем о модулях над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечно порожденных абелевых групп, которая является специализацией структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов . В случае конечно порожденных абелевых групп, эта теорема гарантирует , что абелевые расколы группы в качестве прямой суммы в виде группы кручения и свободная абелевой группы . Первый можно записать как прямую сумму конечного числа групп вида дляпростое, а последнее - прямая сумма конечного числа копий .
Если существуют два групповых гомоморфизма между абелевыми группами, то их сумма , определяемая как , снова является гомоморфизмом. (Это неверно, если это неабелева группа.) Таким образом, множество всех гомоморфизмов групп из в сам по себе является абелевой группой.
Несколько сродни размерности в векторных пространствах , каждая абелева группа имеет ранг . Он определяется как максимальная мощность набора линейно независимых (над целыми числами) элементов группы. [6] : 49–50 Конечные абелевы группы и группы кручения имеют ранг нуль, и каждая абелева группа ранга нуль является группой кручения. Целые числа и рациональные числа имеют ранг один, как и любая ненулевая аддитивная подгруппа рациональных чисел. С другой стороны, мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел имеет бесконечный ранг, так как это свободная абелева группа с множествомпростые числа как базис (это следует из основной арифметической теоремы ).
Центр группы является множество элементов, коммутирующих с каждым элементом . Группа абелева тогда и только тогда, когда она равна своему центру . Центр группы всегда является характеристической абелевой подгруппой в . Если фактор-группа группы по ее центру циклическая, то абелева. [7]
Конечные абелевы группы [ править ]
Циклические группы целых чисел по модулю n {\displaystyle n} , были одними из первых примеров групп. Оказывается, произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп степенного порядка простых чисел, и эти порядки определены однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть непосредственно описана в терминах этих инвариантов. Теория была впервые развита в статье 1879 года Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера, а затем была упрощена и обобщена на конечно порожденные модули над областью главных идеалов, составив важную главу линейной алгебры .
Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе и, следовательно, абелева. Любая группа, порядок которой является квадратом простого числа, также абелева. [8] На самом деле для каждого простого числа существует (с точностью до изоморфизма) ровно две группы порядка , а именно и .
Классификация [ править ]
Основная теорема конечных абелевых групп утверждает , что любая конечная абелева группа может быть представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп простого порядка -Power; она также известна как базисная теорема для конечных абелевых групп . Более того, группы автоморфизмов циклических групп являются примерами абелевых групп. [9] Это обобщение основной теоремы о конечно порожденных абелевых группах , причем конечные группы являются частным случаем, когда G имеет нулевой ранг ; это, в свою очередь, допускает многочисленные дальнейшие обобщения.
Эта классификация была доказана Леопольдом Кронекером в 1870 году, хотя она не была сформулирована в современных теоретико-групповых терминах до более позднего времени, и ей предшествовала аналогичная классификация квадратичных форм Карла Фридриха Гаусса в 1801 году; подробности см. в истории .
Циклическая группа порядка изоморфна прямой сумме и тогда и только тогда , когда и являются взаимно простыми . Отсюда следует, что любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме вида
любым из следующих канонических способов:
- числа являются степенями (не обязательно различных) простых чисел,
- или делит , что делит , и так далее до .
Например, могут быть выражены в виде прямой суммы двух циклических подгрупп порядка 3 и 5: . То же самое можно сказать о любой абелевой группе порядка 15, что приводит к замечательному выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны .
В качестве другого примера каждая абелева группа порядка 8 изоморфна либо (целым числам от 0 до 7 при сложении по модулю 8), (нечетным целым числам от 1 до 15 при умножении по модулю 16) или .
См. Также список малых групп для конечных абелевых групп порядка 30 или меньше.
Автоморфизмы [ править ]
Можно применить основную теорему для подсчета (а иногда и определения) автоморфизмов данной конечной абелевой группы . Для этого используется тот факт, что если распадается как прямая сумма подгрупп взаимно простого порядка, то .
Учитывая это, основная теорема показывает, что для вычисления группы автоморфизмов достаточно отдельно вычислить группы автоморфизмов силовских -подгрупп (то есть все прямые суммы циклических подгрупп, каждая из которых имеет степень степени ). Зафиксируем простое число и предположим, что показатели циклических множителей силовской -подгруппы расположены в порядке возрастания:
для некоторых . Нужно найти автоморфизмы
Один частный случай - это когда , так что в силовской -подгруппе есть только один циклический коэффициент простой мощности . В этом случае можно использовать теорию автоморфизмов конечной циклической группы . Другой частный случай - это когда произвольно, но для . Здесь считается, что он имеет вид
поэтому элементы этой подгруппы можно рассматривать как составляющие векторное пространство размерности над конечным полем элементов . Следовательно, автоморфизмы этой подгруппы задаются обратимыми линейными преобразованиями, так что
где - соответствующая полная линейная группа . Легко показать, что это порядок
В наиболее общем случае, когда и произвольны, группу автоморфизмов определить сложнее. Однако известно, что если определить
и
то имеет место, в частности , и
Можно проверить, что это дает заказы в предыдущих примерах как особые случаи (см. Hillar, C., & Rhea, D.).
Конечно порожденные абелевы группы [ править ]
Абелева группа конечно порождено , если оно содержит конечное множество элементов (называемые генераторы ) таких , что каждый элемент группы является линейной комбинацией с целыми коэффициентами элементов G .
Пусть L - свободная абелева группа с базисом.Существует единственный гомоморфизм групп такой, что
Этот гомоморфизм сюръективен , а его ядро конечно порождено (поскольку целые числа образуют нётерово кольцо ). Рассмотрим матрицу M с целыми элементами, в которой элементы j- го столбца являются коэффициентами j- го генератора ядра. Затем абелева группа изоморфна коядру линейной карты , определенный М . Наоборот, каждая целочисленная матрица определяет конечно порожденную абелеву группу.
Отсюда следует, что изучение конечно порожденных абелевых групп полностью эквивалентно изучению целочисленных матриц. В частности, изменение порождающего набора A эквивалентно умножению M слева на унимодулярную матрицу (то есть обратимую целочисленную матрицу, обратная которой также является целочисленной матрицей). Изменение набора порождающих ядра матрицы M эквивалентно умножению M справа на унимодулярную матрицу.
Смит нормальная форма из М является матрицей
где U и V унимодулярны, а S - матрица такая, что все недиагональные элементы равны нулю, ненулевые диагональные элементы являются первыми и являются делителем для i > j . Существование и форма нормали Смита доказывают, что конечно порожденная абелева группа A является прямой суммой
где r - количество нулевых строк в нижней части r (а также ранг группы). Это основная теорема конечно порожденных абелевых групп .
Существование алгоритмов для нормальной формы Смита показывает, что основная теорема о конечно порожденных абелевых группах является не только теоремой об абстрактном существовании, но обеспечивает способ вычисления выражения конечно порожденных абелевых групп в виде прямых сумм.
Бесконечные абелевы группы [ править ]
Простейшая бесконечная абелева группа - это бесконечная циклическая группа . Любая конечно порожденная абелева группа изоморфна прямой сумме копий и конечной абелевой группы, которая , в свою очередь, разлагается в прямую сумму конечного числа циклических групп из простых энергетических порядков. Даже при том , что разложение не является уникальным, число , называется рангом из , и простых сил , дающие порядки конечных циклических слагаемых однозначно.
Напротив, классификация общих бесконечно порожденных абелевых групп далека от завершения. Делимые группы , т. Е. Абелевы группы , в которых уравнение допускает решение для любого натурального числа и любого элемента из , составляют один важный класс бесконечных абелевых групп, которые можно полностью охарактеризовать. Каждая делимая группа изоморфна прямой сумму с слагаемыми изоморфным и прюферовыми группами для различных простых чисел , а мощность множества слагаемых каждого типа определяется однозначно. [10] Более того, если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то допускает прямое дополнение: подгруппа из таких , что . Таким образом, делимые группы являются инъективными модулями в категории абелевых групп , и, наоборот, каждая инъективная абелева группа делима ( критерий Бэра ). Абелева группа без ненулевых делимых подгрупп называется приведенной .
Два важных специальные классы бесконечных абелевых групп с диаметрально противоположных свойств являются торсионные группы и группы без кручения , примерами которых являются группами (периодические) и (кручения).
Торсионные группы [ править ]
Абелева группа называется периодической или торсионной , если каждый элемент имеет конечный порядок . Прямая сумма конечных циклических групп периодична. Хотя в целом обратное утверждение неверно, известны некоторые частные случаи. Первая и вторая теоремы Прюфера утверждают, что если - периодическая группа, и она либо имеет ограниченный показатель , т. Е. Для некоторого натурального числа , либо счетна и -высоты элементов конечны для каждого , то изоморфна группе прямая сумма конечных циклических групп. [11] Мощность множества прямых слагаемых, изоморфных p {\displaystyle p} в таком разложении является инвариантом . [12] : 6 Эти теоремы позже были включены в критерий Куликова . В другом направлении Хельмут Ульм нашел распространение второй теоремы Прюфера на счетные абелевы -группы с элементами бесконечной высоты: эти группы полностью классифицируются с помощью их инвариантов Ульма .
Группы без кручения и смешанные [ править ]
Абелева группа называется без кручения, если каждый ненулевой элемент имеет бесконечный порядок. Несколько классов абелевых групп без кручения широко изучены:
- Свободные абелевы группы , т. Е. Произвольные прямые суммы
- Которсионные и алгебраически компактные группы без кручения, такие как -адические целые числа p {\displaystyle p}
- Стройные группы
Абелева группа, не являющаяся ни периодической, ни без кручения, называется смешанной . Если - абелева группа и является ее подгруппой кручения , то фактор-группа не имеет кручения. Однако, в целом подгруппа кручения не является прямым слагаемым , так это не изоморфны . Таким образом, теория смешанных групп включает больше, чем просто объединение результатов о периодических группах и группах без кручения. Аддитивная группа целых чисел представляет собой -модуль без кручения . [13] : 206
Инварианты и классификация [ править ]
Один из самых основных инвариантов бесконечной абелевой группы - это ее ранг : мощность максимального линейно независимого подмножества . Абелевы группы ранга 0 - это в точности периодические группы, тогда как абелевы группы без кручения ранга 1 обязательно являются подгруппами и могут быть полностью описаны. В более общем смысле абелева группа без кручения конечного ранга является подгруппой в . С другой стороны, группа целых -адических чисел представляет собой абелеву группу без кручения бесконечного -ранга, а группы с разными являются неизоморфными, так что этот инвариант даже не полностью отражает свойства некоторых знакомых групп. p {\displaystyle p}
Все описанные выше классификационные теоремы для конечно порожденных, делимых, счетно-периодических абелевых групп без кручения и ранга 1 были получены до 1950 года и составляют основу классификации более общих бесконечных абелевых групп. Важными техническими инструментами, используемыми при классификации бесконечных абелевых групп, являются чистые и базовые подгруппы. Введение различных инвариантов абелевых групп без кручения было одним из путей дальнейшего прогресса. См. Книги Ирвинга Каплански , Ласло Фукса , Филиппа Гриффита и Дэвида Арнольда , а также материалы конференций по теории абелевых групп, опубликованные в Lecture Notes in Mathematics. для более свежих результатов.
Аддитивные группы колец [ править ]
Аддитивная группа кольца является абелевой группой, но не все абелевы группы являются аддитивными группами колец (с нетривиальным умножением). Некоторые важные темы в этой области исследования:
- Тензорное произведение
- Результаты Корнера о счетных группах без кручения
- Работа Шелаха по снятию ограничений на количество элементов.
Отношение к другим математическим темам [ править ]
Многие большие абелевы группы обладают естественной топологией , которая превращает их в топологические группы .
Совокупность всех абелевых групп вместе с гомоморфизмами между ними образует категорию , прототип абелевой категории .
Ванда Шмелев ( 1955 ) доказала, что теория абелевых групп первого порядка, в отличие от ее неабелевых аналогов, разрешима. Большинство алгебраических структур, кроме булевых , неразрешимы .
Есть еще много направлений текущих исследований:
- Среди абелевых групп без кручения конечного ранга хорошо изучены только конечно порожденный случай и случай ранга 1 ;
- В теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга остается много нерешенных проблем;
- В то время как счетные абелевы группы кручения хорошо понятны с помощью простых представлений и инвариантов Ульма, случай счетных смешанных групп гораздо менее зрел.
- Известно, что многие мягкие расширения теории абелевых групп первого порядка неразрешимы.
- Конечные абелевы группы остаются темой исследований в вычислительной теории групп .
Более того, абелевы группы бесконечного порядка приводят, что довольно удивительно, к глубоким вопросам о теории множеств, которая обычно считается лежащей в основе всей математики. Возьмем проблему Уайтхеда : все ли группы Уайтхеда бесконечного порядка также являются свободными абелевыми группами ? В 1970-х годах Сахарон Шелах доказал, что проблема Уайтхеда:
- Неразрешимая в ZFC ( аксиомах Цермело – Френкеля ) обычная аксиоматическая теория множеств, из которой может быть выведена почти вся современная математика. Проблема Уайтхеда также является первым вопросом в обычной математике, который оказался неразрешимым в ZFC;
- Неразрешимо, даже если ZFC дополнить гипотезой обобщенного континуума в качестве аксиомы;
- Положительно ответил, если ZFC дополнен аксиомой конструктивности (см. Утверждения, истинные в L ).
Примечание о типографике [ править ]
Среди математических прилагательных , полученных от собственного имени в виде математике , слово «абелева» редко в том , что он часто пишется со строчной а , а не прописной А , отсутствие капитализации является молчаливое признание не только от степени к имя Абеля было официально закреплено, но также и о том, насколько повсеместно в современной математике представлены концепции, введенные им. [14]
См. Также [ править ]
- Коммутаторная подгруппа - наименьшая нормальная подгруппа, по которой фактор коммутативен.
- Абелианизация - Факторизация группы ее коммутаторной подгруппой
- Группа диэдра порядка 6 - Некоммутативная группа с 6 элементами, наименьшая неабелева группа
- Элементарная абелева группа - коммутативная группа, в которой все ненулевые элементы имеют одинаковый порядок
- Двойственность Понтрягина - двойственность для локально компактных абелевых групп
Примечания [ править ]
- ^ Якобсон (2009) стр. 41 год
- ^ Рамик, Дж., Метод парных сравнений: теория и применение в принятии решений ( Чам : Springer Nature Switzerland , 2020), стр. 11 .
- ^ Ауслендер, М. , & Buchsbaum, Д. , группы, кольцо, модули ( Минеол, NY : Dover Publications , 1974), стр 28-29. .
- Перейти ↑ Rose 2012, p. 32 .
- Перейти ↑ Cox, DA , Galois Theory ( Hoboken : John Wiley & Sons , 2004), стр. 144–145 .
- ^ Диксон, М.Р., Курдаченко, Л.А., и Субботин, И.Ю., Линейные группы: акцент на бесконечномерности ( Милтон-Парк , Абингдон-он-Темз и Оксфордшир : Тейлор и Фрэнсис , 2020), стр. 49–50 .
- Перейти ↑ Rose 2012, p. 48 .
- Перейти ↑ Rose 2012, p. 79 .
- ^ Курцвейл, H. , & Штельмахер, Б. , Теория конечных групп: Введение (НьюЙорк, Берлин, Heidelberg: Springer Verlag , 2004), стр 43-54. .
- ^ Например,.
- ^ Предположение о счетности во второй теореме Прюфера не может быть удалено: подгруппа кручения прямого произведения циклических группдля всех натуральныхне является прямой суммой циклических групп.
- ^ Вера, CC, Кольца и вещи и прекрасный массив ассоциативной алгебры двадцатого века ( Провиденс : Американское математическое общество , 2004), стр. 6 .
- ^ Лал Р., Алгебра 2: линейная алгебра, теория Галуа, теория представлений, расширения групп и множитель Шура (Берлин, Гейдельберг: Springer, 2017), стр. 206 .
- ^ "Присуждена премия Абеля: Нобелевская премия по математике" . Архивировано из оригинального 31 декабря 2012 года . Проверено 3 июля +2016 .
Ссылки [ править ]
- Кокс, Дэвид (2004). Теория Галуа . Wiley-Interscience . ISBN 9781118031339. Руководство по ремонту 2119052 .
- Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. 36-я . Академическая пресса . Руководство по ремонту 0255673 .
- Фукс, Ласло (1973). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. 36-II. Академическая пресса . Руководство по ремонту 0349869 .
- Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечных абелевых групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-30870-7.
- Герштейн, И. Н. (1975). Темы по алгебре (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-02371-X.
- Хиллар, Кристофер; Рея, Даррен (2007). «Автоморфизмы конечных абелевых групп». Американский математический ежемесячник . 114 (10): 917–923. arXiv : math / 0605185 . Bibcode : 2006math ...... 5185H . DOI : 10.1080 / 00029890.2007.11920485 . JSTOR 27642365 . S2CID 1038507 .
- Джейкобсон, Натан (2009). Основы алгебры I (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
- Роуз, Джон С. (2012). Курс теории групп . Dover Publications . ISBN 978-0-486-68194-8. Полное и неизменное переиздание работы, впервые опубликованной издательством Cambridge University Press, Кембридж, Англия, в 1978 году.
- Шмелев, Ванда (1955). «Элементарные свойства абелевых групп» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 41 (2): 203–271. DOI : 10,4064 / фм-41-2-203-271 . Руководство по ремонту 0072131 . Zbl 0248.02049 .
Внешние ссылки [ править ]
- «Абелева группа» . Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].