Группа Quaternion

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В теории групп , то группа кватернионов Q ₈ (иногда просто обозначается Q) является неабелева группа из порядка восьми, изоморфно восьми элементов подмножества из кватернионов относительно умножения. Дается групповой презентацией${\ Displaystyle \ {1, я, j, k, -1, -i, -j, -k \}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8} = \ langle {\ bar {e}}, i, j, k \ mid {\ bar {e}} ^ {2} = e, \; i ^ {2 } = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = {\ bar {e}} \ rangle,}$

где e - единичный элемент, а e коммутирует с другими элементами группы.

Еще одна презентация Q 8 - это

${\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8} = \ langle a, b \ mid a ^ {4} = e, a ^ {2} = b ^ {2}, ba = a ^ {- 1} b \ рангл.}$

По сравнению с двугранной группой [ править ]

Группа кватернионов Q ₈ имеет тот же порядок, что и группа диэдра D 4 , но другая структура, как показано их графиками Кэли и циклами:

На диаграммах для D ₄ элементы группы помечены своим действием на букву F в определяющем представлении R ² . То же самое нельзя сделать для Q ₈ , поскольку у него нет точного представления в R ² или R ³ . D ₄ может быть реализован как подмножество разделенных кватернионов таким же образом, как Q ₈ можно рассматривать как подмножество кватернионов.

Стол Кэли [ править ]

Таблица Кэли ( таблица умножения) для Q ₈ имеет следующий вид: ^[1]

Свойства [ править ]

Обратите внимание, что i , j и k все имеют порядок четыре в Q _8, и любые два из них генерируют всю группу. Другое представление Q ₈ ^[2], основанное всего на двух элементах, позволяющих пропустить эту избыточность:

${\ displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {4} = 1, x ^ {2} = y ^ {2}, y ^ {- 1} xy = x ^ {- 1} \ rangle.}$

Можно взять, например , и .${\displaystyle i=x,j=y}$${\displaystyle k=xy}$

Группа кватернионов обладает необычным свойством гамильтониана : Q ₈ неабелево, но каждая подгруппа является нормальной . ^[3] Каждая гамильтонова группа содержит копию Q ₈ . ^[4]

Группа кватернионов Q ₈ и группа диэдра D ₄ являются двумя наименьшими примерами нильпотентной неабелевой группы.

Центр и коммутант из Q ₈ является подгруппой . Внутренний автоморфизм группы из Q ₈ задается группой по модулю ее центр, то есть фактор - группа Q ₈ / {е, е }, которая изоморфна к Клейна-четыре группы В. полная группа автоморфизмов из Q ₈ является изоморфной , чтобы S ₄ , симметрическая группа из четырех букв (см. Матричные представления ниже) и группа внешних автоморфизмов Q${\displaystyle \{e,{\bar {e}}\}}$₈ , таким образом, является S ₄ / V, который изоморфен S ₃ .

Группа кватернионов Q ₈ имеет пять классов сопряженности, {e}, { e }, {i, i }, {j, j }, {k, k }, и, следовательно, пять неприводимых представлений над комплексными числами с размерностью 1, 1,1,1,2:

Тривиальное представление

Знаковые представления с i, j, k-ядром : Q ₈ имеет три максимальные нормальные подгруппы: циклические подгруппы, порожденные i, j и k соответственно. Для каждой максимальной нормальной подгруппы N , получаем одномерное представление факторинг через 2-элемента фактор - группы G / N . Представление отправляет элементы N в 1, а элементы вне N в -1.

Двумерное представление : описывается ниже в матричных представлениях .

Таблица символов Q ₈ оказывается такой же, как и в D ₄ :

Так как неприводимые характеры в строках выше , имеют реальные значения, это дает разложение реальной групповой алгебры из в минимальные двусторонние идеалы : , где идемпотенты соответствуют неприводимым: , так что${\displaystyle \chi _{\rho }}$${\displaystyle G=Q_{8}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} [Q_{8}]\ =\ \bigoplus _{\rho }(e_{\rho })}$ ${\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [Q_{8}]}$${\displaystyle \textstyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g}$

${\displaystyle e_{\text{triv}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})}$

${\displaystyle e_{i{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})}$

${\displaystyle e_{j{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})}$

${\displaystyle e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})}$

${\displaystyle e_{2}={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})}$.

Каждый из этих неприводимых идеалов изоморфен реальной центральной простой алгебре , а первые четыре - вещественному полю . Последний идеал изоморфен перекос поля из кватернионов по переписке:${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (e_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\longleftrightarrow 1,\ \ {\frac {1}{2}}(i-{\bar {i}})\longleftrightarrow i,\ \ {\frac {1}{2}}(j-{\bar {j}})\longleftrightarrow j,\ \ {\frac {1}{2}}(k-{\bar {k}})\longleftrightarrow k.}$

Кроме того, у проекционного гомоморфизма, заданного с помощью, есть идеал ядра, порожденный идемпотентом:${\displaystyle \mathbb {R} [Q_{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H} }$${\displaystyle r\mapsto re_{2}}$

${\displaystyle e_{2}^{\perp }\ =\ \textstyle e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}\ =\ {\frac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),}$

так что кватернионы также могут быть получены как фактор-кольцо .${\displaystyle \mathbb {R} [Q_{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }$

Таким образом, комплексная групповая алгебра , где - алгебра бикватернионов .${\displaystyle \mathbb {C} [Q_{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\!\mathbb {C} \cong \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$

Матричные представления [ править ]

Описанное выше двумерное неприводимое комплексное представление дает кватернионную группу Q ₈ как подгруппу общей линейной группы . Группа кватернионов - это мультипликативная подгруппа алгебры кватернионов , которая имеет регулярное представление посредством умножения слева на себя, рассматриваемое как комплексное векторное пространство с базисом , так что это соответствует C- линейному отображению . Результирующее представление дается:${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=\mathbb {C} 1+\mathbb {C} j}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {H} \to \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \{1,j\}}$${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$${\displaystyle \rho _{z}:a{+}jb\mapsto z\cdot (a{+}jb)}$${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} ),\ g\mapsto \rho _{g},}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Поскольку все вышеуказанные матрицы имеют единичный определитель, это представление Q ₈ в специальной линейной группе SL ₂ ( C ). ^[5]

Вариант дает представление в виде унитарных матриц (таблица справа). Позвольте соответствовать линейному отображению , так что определяется как:${\displaystyle g\in Q_{8}}$${\displaystyle \rho _{g}:a{+}bj\mapsto (a{+}bj)\cdot jg^{-1}j^{-1}}$${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SU} _{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&-i\\-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Также существует важное действие Q ₈ на двумерное векторное пространство над конечным полем F ₃ = {0,1, −1} (таблица справа). Модульное представление дается${\displaystyle \rho :\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {SL} (2,3)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

Это представление может быть получено из поля расширений F ₉ = F ₃ [ k ] = F ₃ 1 + F ₃ k , где k ² = −1 и мультипликативная группа ( F ₉ ) ^× имеет порождающие ± ( k +1), ± ( k -1) порядка 8. Двумерное F ₃ -векторное пространство F ₉ допускает линейные отображения для z в F ₉ , а также автоморфизм Фробениуса${\displaystyle \mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)}$ ${\displaystyle \phi (a+bk)=(a+bk)^{3}}$удовлетворение и . Тогда приведенные выше матрицы представления являются , , , и .${\displaystyle \phi ^{2}=\mu _{1}}$${\displaystyle \phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi }$${\displaystyle \rho ({\bar {e}})=\mu _{-1}}$${\displaystyle \rho (i)=\mu _{k+1}\phi }$${\displaystyle \rho (j)=\mu _{k-1}\phi }$${\displaystyle \rho (k)=\mu _{k}}$

Приведенное выше представление реализует Q ₈ как нормальную подгруппу в GL (2, 3) . Таким образом, для каждой матрицы у нас есть групповой автоморфизм, определяемый с помощью . Фактически, они дают полную группу автоморфизмов как: ${\displaystyle m\in \mathrm {GL} (2,3)}$${\displaystyle \psi _{m}:Q_{8}\to Q_{8}}$${\displaystyle \psi _{m}(g)=mgm^{-1}}$${\displaystyle \psi _{I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{Q_{8}}}$

${\displaystyle \mathrm {Aut} (Q_{8})\cong \mathrm {PGL} (2,3)=\mathrm {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}}$,

Это изоморфно симметрической группе S _4, поскольку линейные отображения переставляют четыре одномерных подпространства , т. Е. Четыре точки проективного пространства .${\displaystyle m:\mathbb {F} _{3}^{2}\to \mathbb {F} _{3}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} _{3}}^{1}=\mathrm {PG} (1,3)}$

Кроме того, это представление переставляет восемь ненулевых векторов ( F ₃ ) ² , давая вложение Q ₈ в симметрическую группу S ₈ в дополнение к вложениям, задаваемым регулярными представлениями.

Группа Галуа [ править ]

Как показал Ричард Дин в 1981 году, группу кватернионов можно представить как группу Галуа Gal (T / Q ), где Q - поле рациональных чисел, а T - поле расщепления над Q полинома

${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$.

В разработке используется фундаментальная теорема теории Галуа для определения четырех промежуточных полей между Q и T и их группами Галуа, а также две теоремы о циклическом расширении степени четыре над полем. ^[6]

Обобщенная группа кватернионов [ править ]

Обобщенная группа кватернионов Q _{4 п} порядка 4 п определяется представление ^[2]

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }$

для целого п ≥ 2 , с обычной группой кватернионов , заданного п = 2. ^[7] Косетер называет Q _{4 н} о бициклической группе , особый случай двоичной многогранной группы и связанный с многогранной группой и группой диэдра . Обобщенная группа кватернионов может быть реализована как подгруппа, порожденная${\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }$ ${\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle }$ ${\displaystyle (p,q,r)}$ ${\displaystyle (2,2,n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

где . ^[2] Он также может быть реализован как подгруппа единичных кватернионов, порожденная ^[8] и .${\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}}$ ${\displaystyle x=e^{i\pi /n}}$${\displaystyle y=j}$

Обобщенные группы кватернионов обладают тем свойством, что каждая абелева подгруппа является циклической. ^[9] Можно показать, что конечная p -группа с этим свойством (каждая абелева подгруппа циклическая) является либо циклической, либо обобщенной группой кватернионов, как определено выше. ^[10] Другая характеристика состоит в том, что конечная p -группа, в которой существует единственная подгруппа порядка p, является либо циклической, либо 2-группой, изоморфной обобщенной группе кватернионов. ^[11] В частности, для конечного поля F с нечетной характеристикой 2-силовская подгруппа группы SL ₂ ( F) неабелева и имеет только одну подгруппу порядка 2, поэтому эта 2-силовская подгруппа должна быть обобщенной кватернионной группой ( Gorenstein 1980 , p. 42). Пусть p ^r будет размером F , где p простое число, размер 2-силовской подгруппы SL ₂ ( F ) равен 2 ⁿ , где n = ord ₂ ( p ² - 1) + ord ₂ ( r ) .

Теорема Брауэра – Судзуки показывает, что группы, силовские 2-подгруппы которых являются обобщенным кватернионом, не могут быть простыми.

Другая терминология резервирует название «обобщенная группа кватернионов» для дициклической группы порядка степени двойки ^[12], которая допускает представление

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

Смотрите также

• 16 ячеек
• Бинарная тетраэдрическая группа
• Алгебра Клиффорда
• Дициклическая группа
• Интегральный кватернион Гурвица
• Список малых групп

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл, ISBN 978-0-13-004763-2
• Браун, Кеннет С. (1982), Когомологии групп (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90688-1
• Картан, Анри ; Эйленберг, Самуэль (1999), гомологическая алгебра , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04991-5
• Кокстер , HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
• Дин, Ричард А. (1981) "Рациональный многочлен, группа которого - кватернионы", American Mathematical Monthly 88: 42–5.
• Горенштейн, Д. (1980), Конечные группы , Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR  0569209
• Джонсон, Дэвид Л. (1980), Темы теории групповых представлений , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-23108-4, Руководство по ремонту  0695161
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94285-8
• PR Girard (1984) «Группа кватернионов и современная физика», European Journal of Physics 5: 25–32.
• Холл, Маршалл (1999), Теория групп (2-е изд.), Книжный магазин AMS, ISBN 0-8218-1967-4
• Курош, Александр Г. (1979), Теория групп , Книжный магазин AMS, ISBN 0-8284-0107-1

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Группа кватернионов» . MathWorld .
• Группы кватернионов в GroupNames
• Группа Quaternion на GroupProps
• Конрад, Кит. «Обобщенные кватернионы»