Нильпотентная группа

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , в частности теории групп , А нильпотентная группа G представляет собой группу , которая имеет верхний центральный ряд , который заканчивается с G . Эквивалентно, его центральный ряд имеет конечную длину или его нижний центральный ряд заканчивается на {1}.

Интуитивно нильпотентная группа - это группа, которая «почти абелева ». Эта идея мотивирована тем фактом, что нильпотентные группы разрешимы , а для конечных нильпотентных групп два элемента, имеющие относительно простые порядки, должны коммутировать. Верно также, что конечные нильпотентные группы сверхразрешимы . Эта концепция была создана в 1930-х годах русским математиком Сергеем Черниковым . ^[1]

Нильпотентные группы возникают в теории Галуа , а также в классификации групп. Они также заметно фигурируют в классификации групп Ли .

Аналогичные термины используются для алгебр Ли (с использованием скобки Ли ), включая нильпотентный , нижний центральный ряд и верхний центральный ряд .

Определение [ править ]

В определении используется идея центрального ряда для группы. Ниже приведены эквивалентные определения для нильпотентной группы G :

• G имеет центральный ряд конечной длины. То есть ряд нормальных подгрупп

${\ Displaystyle \ {1 \} = G_ {0} \ треугольникleft G_ {1} \ треугольникleft \ точки \ треугольникleft G_ {n} = G}$

где , или эквивалентно .${\ Displaystyle G_ {я + 1} / G_ {я} \ leq Z (G / G_ {я})}$${\ Displaystyle [G, G_ {я + 1}] \ leq G_ {я}}$

• G имеет нижний центральный ряд, оканчивающийся в тривиальной подгруппе после конечного числа шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

${\ Displaystyle G = G_ {0} \ triangleright G_ {1} \ triangleright \ dots \ triangleright G_ {п} = \ {1 \}}$

где .${\ Displaystyle G_ {я + 1} = [G_ {я}, G]}$

• G имеет верхний центральный ряд, оканчивающийся во всей группе за конечное число шагов. То есть ряд нормальных подгрупп

${\ displaystyle \ {1 \} = Z_ {0} \ треугольникleft Z_ {1} \ треугольникleft \ точки \ треугольникleft Z_ {n} = G}$

где и - подгруппа такая, что .${\ Displaystyle Z_ {1} = Z (G)}$${\ Displaystyle Z_ {я + 1}}$${\ Displaystyle Z_ {я + 1} / Z_ {я} = Z (G / Z_ {я})}$

Для нильпотентной группы наименьшее n такое, что G имеет центральный ряд длины n , называется классом нильпотентности группы G ; и G называется нильпотентной класса n . (По определению, длина равна n, если в серии есть разные подгруппы, включая тривиальную подгруппу и всю группу.)${\ displaystyle n + 1}$

Эквивалентно, класс нильпотентности G равен длине нижнего центрального ряда или верхнего центрального ряда. Если группа имеет класс нильпотентности не более n , то ее иногда называют ниль- n группой .

Из любой из приведенных выше форм определения нильпотентности немедленно следует, что тривиальная группа является единственной группой класса нильпотентности  0 , а группы класса нильпотентности  1 являются в точности нетривиальными абелевыми группами. ^{[2] [3]}

Примеры [ править ]

• Как отмечалось выше, каждая абелева группа нильпотентна. ^{[2] [4]}
• В качестве небольшого неабелевого примера рассмотрим группу кватернионов Q ₈ , которая является наименьшей неабелевой p- группой. Он имеет центр {1, −1} порядка 2, а его верхний центральный ряд равен {1}, {1, −1}, Q ₈ ; поэтому он нильпотентен класса 2.
• Прямое произведение двух нильпотентных групп нильпотентно. ^[5]
• На самом деле все конечные p -группы нильпотентны ( доказательство ). Максимальный класс группы порядка p ⁿ - это n (например, любая группа порядка 2 нильпотентна класса 1). 2-группа максимального класса являются обобщенными группы кватернионов , то двугранные группы , и полудиэдральной группа .
• Более того, каждая конечная нильпотентная группа является прямым произведением p -групп. ^[6]
• Мультипликативная группа верхних унитреугольных матриц размера n x n над любым полем F является нильпотентной группой класса нильпотентности n - 1. В частности, взяв n = 3, получается группа Гейзенберга H , пример неабелевой ^[7] бесконечной нильпотентной группа. ^[8] Он имеет класс нильпотентности 2 с центральной серией 1, Z ( H ), H .
• Мультипликативная группа обратимых верхнетреугольных матриц размера n x n над полем F , вообще говоря, не нильпотентна, но разрешима .
• Любая неабелева группа G такая , что G / Z ( G ) абелева имеет класс нильпотентности 2, с центральными серии {1}, Z ( G ), G .

Объяснение термина [ править ]

Нильпотентные группы , так называемый , потому что «присоединенное действие» любой элемент нильпотентное , а это означает , что для нильпотентной группы степени нильпотентности и элемента , функция , определенной (где это коммутатор из и ) нильпотентно в том смысле , что й итерация функции тривиальна: для всех в .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} \ двоеточие G \ to G}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} (x): = [g, x]}$${\ Displaystyle [г, х] = г ^ {- 1} х ^ {- 1} гх}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{g}\right)^{n}(x)=e}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$

Это не является определяющей характеристика нильпотентных групп: группы , для которых нильпотентно степени (в указанном выше смысле) называется - Engel группа , ^[9] , и не должно быть нильпотентными в целом. Доказано, что они нильпотентны, если они имеют конечный порядок , и предполагается, что они нильпотентны, пока они конечно порождены .${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Абелева группа - это в точности такая, для которой присоединенное действие не просто нильпотентно, а тривиально (1-энгелева группа).

Свойства [ править ]

Поскольку каждая последующая фактор-группа Z _{i +1} / Z _i в верхнем центральном ряду абелева, а ряд конечен, каждая нильпотентная группа является разрешимой группой с относительно простой структурой.

Каждая подгруппа нильпотентной группы класса n нильпотентна класса не выше n ; ^[10] кроме того, если f является гомоморфизмом нильпотентной группы класса n , то образ f нильпотентен ^[10] класса не выше n .

Следующие утверждения эквивалентны для конечных групп ^[11], раскрывающие некоторые полезные свойства нильпотентности:

• (а) G - нильпотентная группа.
• (б) Если Н является собственной подгруппой группы G , то Н является собственной нормальной подгруппой из N _G ( H ) (в нормализатор из Н в G ). Это называется свойством нормализатора и может быть выражено просто как «рост нормализаторов».
• (c) Каждая силовская подгруппа группы G нормальна.
• (г) G - прямое произведение своих силовских подгрупп .
• (e) Если d делит порядок группы G , то G имеет нормальную подгруппу порядка d .

Доказательство: (a) → (b): индукцией по | G |, Если G абелева, то для любого H , N _G ( H ) = G . Если нет, то, если Z ( G ) не содержится в H , то ч _Z Н _Z ^-1 ч ^-1 = Н ' Н' ч ^-1 = Н , так что Н · Z ( G ) нормализаторами H . Если Z ( G ) содержится в H , то H/ Z ( G ) содержится в G / Z ( G ). Отметим, что G / Z ( G ) - нильпотентная группа. Таким образом, в G / Z ( G ) существует подгруппа, нормализующая H / Z ( G ), и H / Z ( G ) является ее собственной подгруппой. Поэтому, откатиться эту подгруппу в подгруппы в G и нормализует Н . (Это доказательство является тем же аргументом, что и для p-группы - единственный факт, который нам нужен, это то, что если G нильпотентна, то и G / Z ( G ) - тоже - поэтому детали опускаются.)

(b) → (c): пусть p ₁ , p ₂ , ..., p _s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P _i в Syl _{p i} ( G ), 1≤ i ≤ s . Пусть P = P _i для некоторого i, и пусть N = N _G ( P ). Так как Р является нормальной подгруппой группы N , Р характерно в N . Поскольку P char N иN - нормальная подгруппа в N _G ( N ), мы получаем, что P - нормальная подгруппа в N _G ( N ). Это означает , что N _G ( N ) является подгруппой N и , следовательно , N _G ( N ) = N . Следовательно, согласно (b) мы должны иметь N = G , что дает (c).

(c) → (d): Пусть p ₁ , p ₂ , ..., p _s - различные простые числа, делящие его порядок, и пусть P _i в Syl _{p i} ( G ), 1≤ i ≤ s . Для любого t , 1 ≤ t ≤ s, индуктивно показываем, что P ₁ P ₂ … P _t изоморфен P ₁ × P ₂ ×… × P _t . Сначала обратите внимание, что каждый P _i является нормальным вG так P ₁ P ₂ ... P _т является подгруппой G . Пусть H - произведение P ₁ P ₂ … P _t-1 и K = P _t , так что по индукции H изоморфен P ₁ × P ₂ ×… × P _t-1 . В частности, | H | = | П ₁ | · | П ₂ | ·… · | П _т-1 |. Поскольку | K | = | п_t |, порядки H и K взаимно просты. Из теоремы Лагранжа следует, что пересечение H и K равно 1. По определению P ₁ P ₂ … P _t = HK , следовательно, HK изоморфна H × K, что равно P ₁ × P ₂ ×… × P _t . На этом индукция завершена. Теперь возьмем t = s, чтобы получить (d).

(d) → (e): Обратите внимание, что P-группа порядка p ^k имеет нормальную подгруппу порядка p ^m для всех 1 ≤ m ≤ k . Поскольку G является прямым произведением своих силовских подгрупп и нормальность сохраняется при прямом произведении групп, G имеет нормальную подгруппу порядка d для любого делителя d группы | G |,

(e) → (a): Для любого простого p, делящего | G |, силовская p -подгруппа нормальна. Таким образом, мы можем применить (c) (поскольку мы уже доказали (c) → (e)).

Утверждение (d) можно распространить на бесконечные группы: если G - нильпотентная группа, то каждая силовская подгруппа G _p группы G нормальна, и прямое произведение этих силовских подгрупп является подгруппой всех элементов конечного порядка в G (см. торсионная подгруппа ).

Многие свойства нильпотентных групп разделяют гиперцентральные группы .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бехтелл, Гомер (1971). Теория групп . Эддисон-Уэсли .
• Фон Хезелер, Фридрих (2002). Автоматические последовательности . Выставки Де Грюйтера по математике. 36 . Берлин: Вальтер де Грюйтер . ISBN 3-11-015629-6.
• Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
• Айзекс, И. Мартин (2008). Теория конечных групп . Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4344-3.
• Палмер, Теодор В. (1994). Банаховы алгебры и общая теория * -алгебр . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36638-0.
• Штаммбах, Урс (1973). Гомологии в теории групп . Конспект лекций по математике. 359 . Springer-Verlag. рассмотрение
• Супруненко Д.А. (1976). Матричные группы . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1341-2.
• Табачникова Ольга; Смит, Джефф (2000). Разделы теории групп . Серия «Математика бакалавриата Springer». Springer. ISBN 1-85233-235-2.
• Цассенхаус, Ганс (1999). Теория групп . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 0-486-40922-8.