Полупрямой продукт

Основные понятия

Топологические группы и группы Ли

Соленоид
Круг

Общая линейная GL ( n )

Специальная линейная SL ( n )

Ортогональный O ( n )

Евклидова E ( n )

Специальная ортогональная SO ( n )

Унитарная U ( n )

Специальная унитарная СУ ( п )

Симплектический Sp ( n )

G 2
П 4
E 6
E 7
E 8

Лоренц
Пуанкаре
Конформный

Диффеоморфизм
Петля

Бесконечномерная группа Ли

O (∞)
SU (∞)
Sp (∞)

В математике , особенно в теории групп , понятие полупрямого продукта является обобщением прямого продукта . Есть два тесно связанных понятия полупрямого продукта:

внутреннее Полупрямое продукт представляет собой конкретный способ , в котором группа может состоять из двух подгрупп , одна из которых является нормальной подгруппой .
наружное Полупрямое продукт представляет собой способ построить новую группу из двух заданных групп с помощью декартово произведения в виде набора и конкретная операцию умножения.

Как и в случае с прямыми продуктами, существует естественная эквивалентность между внутренними и внешними полупрямыми продуктами, и оба обычно называются просто полупрямыми продуктами .

Для конечных групп , то теорема Шуры-Цассенхауз дает достаточное условие для существования разложения в качестве полупрямого продукта (также известного как расширение расщепления ).

Внутренние полупрямые определения продукта [ править ]

Для группы $G$ с единичным элементом $e$ , подгруппы $H$ и нормальной подгруппы $N ◁ G$ следующие утверждения эквивалентны:

$G$ - это произведение подгрупп , $G = NH$ , и эти подгруппы имеют тривиальное пересечение: $N \cap H = {e}$ .
Для каждого $g \in G$ существуют единственные $n \in N$ и $h \in H$ такие, что $g = nh$ .
Для каждого $g \in G$ существуют единственные $h \in H$ и $n \in N$ такие, что $g = hn$ .
Состав $л \circ я$ естественного вложения $I : H \to G$ с естественной проекции $П : G \to G / N$ является изоморфизмом между $Н$ и фактор - группы $G / N$ .
Там существует гомоморфизм $G \to H$ , тождественный на $H$ и чье ядро представляет $Н$ . Другими словами, есть точная последовательность

{\ Displaystyle 1 \ к N \ к G \ к H \ к 1}

групп (также известное как групповое расширение by ).

{\ displaystyle N}

{\ displaystyle H}

Если какой - либо из этих утверждений (и , следовательно , все из них имеют, по их эквивалентности), мы говорим , $G$ является полупрямым произведением из $N$ и $H$ , письменность

{\ displaystyle G = N \ rtimes H}

или же

{\ displaystyle G = H \ ltimes N,}

или что $G$ разбивается на $N$ ; один также говорит , что $G$ является полупрямым произведением $Н$ , действующее на $N$ , или даже полупрямым произведением $H$ и $N$ . Чтобы избежать двусмысленности, рекомендуется указать, какая подгруппа является нормальной.

Внутренние и внешние полупрямые продукты [ править ]

Рассмотрим сначала внутреннее полупрямое произведение. В этом случае для группы рассмотрим ее нормальную подгруппу $N$ и подгруппу $H$ (не обязательно нормальную). Предположим, что выполнены условия из приведенного выше списка. Пусть $Аи ($ $Н$ $)$ обозначим группу всех автоморфизмов из $N$ , который представляет собой группу относительно композиции. Построить групповой гомоморфизм $φ$ $:$ $H$ $\to Aut ($ $N$ $),$ определенный сопряжением $φ$ $($ $h$ $) ($ $n$ $) =$ $hnh$ $-1$ для всех $h$ из $H$ и $n$ ${\ displaystyle G}$ в $N$ . Выражение $φ (h)$ часто для краткости записывается как $φ h$ . Таким образом , мы можем построить группу с групповой операцией определяется как для $п$ $1$ $,$ $п$ $2$ в $N$ и $ч$ $1$ $,$ $ч$ $2$ в $H$ . Подгруппы $N$ и $H$ определяют $G с$ точностью до изоморфизма, как мы покажем позже. Таким образом, мы можем построить группу $G$ из ее подгрупп. Такая конструкция называется ${\ Displaystyle G '= (N, H)}$ ${\ displaystyle (n_ {1}, h_ {1}) \ cdot (n_ {2}, h_ {2}) = (n_ {1} \ varphi (h_ {1}) (n_ {2}), \, h_ {1} h_ {2}) = (n_ {1} \ varphi _ {h_ {1}} (n_ {2}), \, h_ {1} h_ {2})}$ внутреннее полупрямое произведение (также известное как внутреннее полупрямое произведение ^[1] ).

Рассмотрим теперь внешнее полупрямое произведение. Принимая во внимание любые две группы $N$ и $H$ , и гомоморфизм групп $ф : Н \to Aut (N)$ , мы можем построить новую группу $N ⋊ ф H$ , называемый наружный Полупрямое продукт из $N$ и $H$ по отношению к $ф$ , определяется следующим образом : ^{[ 2]}

, Лежащая в основе множество является декартово произведение $N \times Н$ .
Групповая операция определяется гомоморфизмом $φ$ : ${\ displaystyle \ bullet}$
${\begin{aligned}\bullet :(N\rtimes _{\varphi }H)\times (N\rtimes _{\varphi }H)&\to N\rtimes _{\varphi }H\\(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})&=(n_{1}\varphi (h_{1})(n_{2}),\,h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})\end{aligned}}$
для $п 1, п 2$ в $N$ и $ч 1, ч 2$ в $H$ .

Это определяет группу, в которой единичным элементом является $(e N, e H),$ а обратным элементу $(n, h)$ является $(φ h -1 (n -1), h -1)$ . Пары $(n, e H)$ образуют нормальную подгруппу, изоморфную $N$ , а пары $(e N, h)$ образуют подгруппу, изоморфную $H$ . Полная группа является полупрямым произведением этих двух подгрупп в указанном ранее смысле.

С другой стороны , предположим , что нам дана группа $G$ с нормальной подгруппы $N$ и подгруппы $H$ , таким образом, что каждый элемент $г$ из $G$ может быть записана единственным образом в виде $г = NH$ , где $п$ лежит в $N$ и $H$ лежит в $H$ . Пусть $φ : H \to Aut (N)$ - гомоморфизм (обозначается $φ (h) = φ h$ ), задаваемый формулой

\varphi _{h}(n)=hnh^{-1}

для всех $п \in N, ч \in H$ .

Тогда $G$ изоморфна полупрямому произведению $N ⋊ ф H$ . Изоморфизм $λ : G \to N ⋊ φ H$ корректно определяется формулой $λ (a) = λ (nh) = (n, h) в$ силу единственности разложения $a = nh$ .

В $G$ мы имеем

(n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}^{-1}h_{1})h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})

Таким образом, при $a = n 1 h 1$ и $b = n 2 h 2$ получаем

{\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}

что доказывает, что $λ$ - гомоморфизм. Поскольку $λ$ , очевидно, эпиморфизм и мономорфизм, то это действительно изоморфизм. Это также объясняет определение правила умножения в $N ⋊ ф Н$ .

Прямое произведение - это частный случай полупрямого произведения. Чтобы убедиться в этом, пусть $φ$ будет тривиальный гомоморфизм (то есть, посылая каждый элемент $H$ в тождественный автоморфизм $N$ ) , то $N ⋊ ф Н$ является прямым произведением $N \times Н$ .

Версия леммы о расщеплении для групп утверждает, что группа $G$ изоморфна полупрямому произведению двух групп $N$ и $H$ тогда и только тогда, когда существует короткая точная последовательность

1\longrightarrow N\,{\overset {\beta }{\longrightarrow }}\,G\,{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}\,H\longrightarrow 1

и группа гомоморфизм & $gamma : Н \to G$ таким образом, что $& alpha; \circ & gamma = идентификатор Н$ , то тождественное отображение на $H$ . В этом случае $φ : H \to Aut (N)$ задается формулой $φ (h) = φ h$ , где

\varphi _{h}(n)=\beta ^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).

Примеры [ править ]

Группа диэдра [ править ]

Группа диэдра $D 2 n$ с $2 n$ элементами изоморфна полупрямому произведению циклических групп $C n$ и $C 2$ . ^[3] Здесь неединичный элемент $C 2$ действует на $C n$ , инвертируя элементы; это автоморфизм , так как $С п$ является абелевой . Презентации для этой группы:

\langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}\rangle .

Циклические группы [ править ]

В более общем смысле, полупрямое произведение любых двух циклических групп $C m$ с образующей $a$ и $C n$ с образующей $b$ задается одним дополнительным соотношением $aba -1 = b k$ , где $k$ и $n$ взаимно просты ; то есть презентация: ^[3]

\langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k}\rangle .

Если $r$ и $m$ взаимно просты, $a r$ является генератором $C m$ и $a r ba -r = b k r$ , отсюда представление:

\langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k^{r}}\rangle

дает группу, изоморфную предыдущей.

Голоморф группы [ править ]

Одним из канонических примеров группы, выраженной как полупрямое произведение, является голоморф группы. Это определяется как

$\operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)$

где есть группа автоморфизмов группы и структура карта происходит от правильного действия на . С точки зрения умножения элементов это дает структуру группы ${\text{Aut}}(G)$ $G$ $\phi$ ${\text{Aut}}(G)$ $G$

$(g,\alpha )(h,\beta )=(g(\phi (\alpha )\cdot h),\alpha \beta ).$

Фундаментальная группа бутылки Клейна [ править ]

Фундаментальная группа из бутылки Клейна может быть представлена в виде

\langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle .

и поэтому является полупрямое произведение группы целых чисел, $ℤ$ , с $ℤ$ . Соответствующий гомоморфизм $φ : ℤ \to Aut (ℤ)$ задается формулой $φ (h) (n) = (-1) h n$ .

Верхние треугольные матрицы [ править ]

Группа верхних треугольных матриц ^[^{разъяснение необходимости}^] с ненулевым определителем , то есть с ненулевыми элементами на диагонали , имеет разложение в полупрямое произведение ^[4] , где есть подгруппа матриц только с «на диагонали , которая называется верхней унитреугольной группой матриц и является подгруппой диагональных матриц . Групповое действие on индуцируется умножением матриц. Если мы установим $\mathbb {T} _{n}$ $\mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}$ $\mathbb {U} _{n}$ $1$ $\mathbb {D} _{n}$
$\mathbb {D} _{n}$ $\mathbb {U} _{n}$

$A={\begin{bmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$ и $B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

то их произведение матриц является

AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.

Это дает индуцированное групповое действие $m:\mathbb {D} _{n}\times \mathbb {U} _{n}\to \mathbb {U} _{n}$

m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.

Матрица в может быть представлена матрицами в и . Следовательно . $\mathbb {T} _{n}$ $\mathbb {U} _{n}$ $\mathbb {D} _{n}$ $\mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}$

Группа изометрий на плоскости [ править ]

Евклидова группа всех жестких движений ( изометрий ) плоскости (карты $F : ℝ 2 \to ℝ 2$ таким образом, что евклидово расстояние между $х$ и $у$ равна расстоянию между $F (х)$ и $F (у)$ для всех $х$ и $у$ в $ℝ 2$ ) изоморфна полупрямое произведение абелевой группы $ℝ 2$ (который описывает переводы) и группы $O (2)$ из ортогонального $2 \times 2$ матрицы (которые описывают вращения и отражения, сохраняющие исходную точку фиксированной). Применение смещения, а затем поворота или отражения имеет тот же эффект, что и применение сначала поворота или отражения, а затем смещения с помощью повернутого или отраженного вектора смещения (т. Е. Применение конъюгата исходного смещения). Это показывает, что группа трансляций является нормальной подгруппой евклидовой группы, что евклидова группа является полупрямым произведением группы трансляций и $O (2)$ и что соответствующий гомоморфизм $φ : O (2) \to Aut (ℝ 2)$ задается умножением матриц : $φ (h) (n) = hn$ .

Ортогональная группа O (n) [ править ]

Ортогональная группа $О (п)$ все ортогонального реального $п \times п$ матриц (интуитивно множества всех вращений и отражений $п$ - мерного пространства , которые держат происхождение фиксированного) изоморфен полупрямым произведение группы $SO (п)$ ( в составе всех ортогональных матриц с определителем $1$ , интуитивно это вращения $n-$ мерного пространства) и $C 2$ . Если представить $C 2$ как мультипликативную группу матриц ${I, R}$ , где $R$ является отражением $n-$ мерного пространства, в котором начало координат сохраняется (т.е. ортогональная матрица с определителем $-1,$ представляющая инволюцию ), тогда $φ : C 2 \to Aut (SO (n))$ задается формулой $φ (H) (N) = HNH -1$ для всех H в $C 2$ и $N$ в $SO (n)$ . В нетривиальном случае ( $H$ - не тождество) это означает, что $φ (H)$ сопряжение операций отражением (в трехмерном пространстве ось вращения и направление вращения заменяются их «зеркальным отображением»).

Полулинейные преобразования [ править ]

Группа полулинейных преобразований на векторном пространстве $V$ над полем $𝕂$ , часто обозначаемая $ΓL (V)$ , изоморфна полупрямому произведению линейной группы $GL (V)$ ( нормальной подгруппы в $ΓL (V)$ ) и автоморфизма группа из $𝕂$ .

Кристаллографические группы [ править ]

В кристаллографии пространственная группа кристалла расщепляется как полупрямое произведение точечной группы и группы трансляции тогда и только тогда, когда пространственная группа симморфна . Несимморфные пространственные группы имеют точечные группы, которые даже не входят в подмножество пространственной группы, что во многом усложняет их анализ. ^[5]

Не примеры [ править ]

Есть много групп, которые не могут быть выражены как полупрямое произведение групп, но содержат нетривиальную нормальную подгруппу. Конечно, каждая простая группа не может быть выражена как полупрямое произведение, но есть и несколько общих контрпримеров. Заметим, что хотя не всякая группа может быть выражена как расщепленное расширение by , оказывается, что такая группа может быть вложена в сплетение по универсальной теореме вложения . $G$ $H$ $A$ $A\wr H$

Z ₄[ править ]

Циклическая группа не является простой группой, поскольку она имеет подгруппу порядка 2, а именно является подгруппой, а их фактор равен , поэтому существует расширение $\mathbb {Z} _{4}$ $\{0,2\}\cong \mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Z} _{2}$

$0\to \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

Если добавочный номер был разделен , то группа в $G$

$0\to \mathbb {Z} _{2}\to G\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

был бы изоморфен . $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$

Q ₈[ править ]

Группа из восьми кватернионов, где и , является еще одним примером группы ^[6], которая имеет нетривиальные подгруппы, но все еще не расщеплена. Например, подгруппа, порожденная, изоморфна и нормальна. Он также имеет подгруппу порядка, генерируемую . Это будет означать, что в $\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ $ijk=-1$ $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1$ $i$ $\mathbb {Z} _{4}$ $2$ $-1$ $Q_{8}$

$0\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0$

чего не может быть. Это можно показать, вычислив первую группу когомологий группы с коэффициентами в , так что и отметив, что две группы в этих расширениях - это и группа диэдра . Но поскольку ни одна из этих групп не изоморфна , группа кватернионов не расщепляется. Это отсутствие изоморфизмов можно проверить, отметив, что тривиальное расширение абелево, в то время как неабелева, и отметив, что единственными нормальными подгруппами являются и , но есть три подгруппы, изоморфные . $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Z} _{4}$ $H^{1}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2$ $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}$ $D_{8}$ $Q_{8}$ $Q_{8}$ $\mathbb {Z} _{2}$ $\mathbb {Z} _{4}$ $Q_{8}$ $\mathbb {Z} _{4}$

Свойства [ править ]

Если $G$ является полупрямым произведением нормальной подгруппы $N$ и подгруппы $H$ , и оба $Н$ и $Н$ являются конечными, то порядок из $G$ равен произведению порядков $N$ и $H$ . Это следует из того факта , что $G$ имеет тот же порядок, что и внешний полупрямое произведение $N$ и $H$ , чье основное множество является декартово произведение $N \times Н$ .

Отношение к прямым продуктам [ править ]

Предположим , что $G$ является полупрямым произведением нормальной подгруппы $N$ и подгруппы $H$ . Если $Н$ также нормально в $G$ , или , что эквивалентно, если существует гомоморфизм $G \to N$ , тождественный на $N$ с ядром $H$ , то $G$ является прямым произведением из $N$ и $H$ .

Прямое произведение двух групп $N$ и $H$ можно рассматривать как полупрямое произведение $N$ и $H$ по отношению к $ф (ч) = Id N$ для всех $ч$ в $H$ .

Обратите внимание , что в прямом произведении, порядок факторов , не важно, так как $N \times H$ изоморфна $H \times N$ . Это не относится к полупрямым продуктам, поскольку эти два фактора играют разные роли.

Более того, результат (собственного) полупрямого произведения с помощью нетривиального гомоморфизма никогда не является абелевой группой , даже если фактор-группы абелевы.

Неуникальность полупрямых продуктов (и другие примеры) [ править ]

В отличие от случая с прямым произведением , полупрямое произведение двух групп, как правило, не является уникальным; если $G$ и $G '$ , две группы , которые оба содержат изоморфные копии $N$ в качестве нормальной подгруппы и $H$ в качестве подгруппы, и оба полупрямое произведение $N$ и $H$ , то это не следует , что $G$ и $G'$ , являются изоморфными , поскольку полупрямое продукт также зависит от выбора действия $H$ на $N$ .

Например, есть четыре неизоморфные группы порядка 16, которые являются полупрямыми произведениями $C 8$ и $C 2$ ; в этом случае $C 8$ обязательно является нормальной подгруппой, потому что она имеет индекс 2. Одно из этих четырех полупрямых произведений является прямым произведением, а три других - неабелевыми группами:

диэдральная группа порядка 16
quasidihedral группа порядка 16
группа Ивасава порядка 16

Если данная группа является полупрямым продуктом, то нет гарантии, что это разложение уникально. Например, существует группа порядка 24 (единственная, содержащая шесть элементов порядка 4 и шесть элементов порядка 6), которую можно выразить как полупрямое произведение следующими способами: $(D 8 ⋉ C 3) ≅ (C 2 ⋉ Q 12 ) ≅ (С 2 ⋉ D 12) ≅ (D 6 ⋉ V )$ . ^[7]

Существование [ править ]

В общем, не существует известной характеристики (т. Е. Необходимого и достаточного условия) существования полупрямых произведений в группах. Однако известны некоторые достаточные условия, гарантирующие существование в определенных случаях. Для конечных групп теорема Шура – Цассенхауза гарантирует существование полупрямого произведения, когда порядок нормальной подгруппы взаимно прост с порядком фактор-группы .

Например, из теоремы Шура – Цассенхауза следует существование полупрямого произведения среди групп порядка 6; существует два таких произведения, одно из которых является прямым произведением, а другое - группой диэдра. Напротив, теорема Шура – Цассенхауза ничего не говорит о группах порядка 4 или, например, о группах порядка 8.

Обобщения [ править ]

В рамках теории групп построение полупрямых произведений может быть продвинуто намного дальше. Продукт Заппа-Сеп групп является обобщением , что в своей внутренней версии, не предполагает , что либо подгруппа нормальна.

В теории колец есть также конструкция - скрещенное произведение колец . Оно естественным образом строится из группового кольца для полупрямого произведения групп. Теоретико-кольцевой подход можно обобщить на полупрямую сумму алгебр Ли .

Для геометрии также существует скрещенное произведение для групповых действий в топологическом пространстве ; к сожалению, она, вообще говоря, некоммутативна, даже если группа абелева. В этом контексте полупрямое произведение - это пространство орбит действия группы. Последний подход отстаивал Ален Конн как замену подходам, основанным на традиционных топологических методах; cf некоммутативная геометрия .

В теории категорий есть также далеко идущие обобщения . Они показывают, как создавать расслоенные категории из индексированных категорий . Это абстрактная форма построения внешнего полупрямого продукта.

Группоиды [ править ]

Другое обобщение - для группоидов. Это происходит в топологии, потому что, если группа $G$ действует в пространстве $X,$ она также действует на фундаментальном группоиде $π 1 (X)$ этого пространства. Полупрямое произведение $π 1 (Х) ⋊ G$ тогда отношение к нахождению фундаментального группоида в пространстве орбит $X / G$ . Для получения полной информации см. Главу 11 книги, на которую имеется ссылка ниже, а также некоторые подробности в полупрямом продукте ^[8] в ncatlab .

Абелевы категории [ править ]

Нетривиальные полупрямые произведения не возникают в абелевых категориях , таких как категория модулей . В этом случае лемма о расщеплении показывает, что каждое полупрямое произведение является прямым произведением. Таким образом, существование полупрямых продуктов отражает неспособность категории быть абелевой.

Обозначение [ править ]

Обычно полупрямое произведение группы $H$ , действующей на группу $N$ (в большинстве случаев путем конъюгации как подгруппы общей группы) обозначаются $N ⋊ H$ или $H ⋉ N$ . Однако некоторые источники ^{[ какие? ]} может использовать этот символ с противоположным значением. В случае , если действие $φ : H \to Aut (N)$ должны быть четкими, один пишет $N ⋊ ф H$ . Один из способов мышления о $N ⋊ H$ символа в виде комбинации символов для нормальной подгруппы ( $◁$ ) и символ продукта ( $\times$ ). Барри Саймон в своей книге по теории представлений групп ^[9] использует необычные обозначения для полупрямого произведения. $N\circledS _{\varphi }H$

Unicode перечисляет четыре варианта: ^[10]

	Ценить	MathML	Описание Unicode
⋉	U + 22C9	ltimes	ЛЕВЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ ФАКТОР ПОЛУПРЯМОЙ ПРОДУКТ
⋊	U + 22CA	время	ПРАВИЛЬНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ ФАКТОР ПОЛУПрямый продукт
⋋	U + 22CB	lтри	ЛЕВЫЙ ПОЛУПРАВИЛЬНЫЙ ПРОДУКТ
⋌	U + 22CC	rthree	ПРАВИЛЬНЫЙ ПОЛУПРАВИЛЬНЫЙ ПРОДУКТ

Здесь Unicode-описание символа rtimes говорит о «правильном нормальном множителе», в отличие от его обычного значения в математической практике.

В LaTeX команды \ rtimes и \ ltimes создают соответствующие символы.

См. Также [ править ]

Аффинная алгебра Ли
Конструкция Гротендика , категориальная конструкция, обобщающая полупрямое произведение
Голоморф
Полупрямая сумма алгебры Ли
Подпрямой продукт
Венок
Заппа – Сеп продукт

Примечания [ править ]

^ DS Dummit и RM Фут (1991), Абстрактная алгебра , Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 142.
^ Робинсон, Дерек Джон Скотт (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер. С. 75–76. ISBN 9783110175448.
^ а б Мак-Лейн, Сондерс ; Биркофф, Гарретт (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. С. 414–415. ISBN 0-8218-1646-2.
^ Милн. Алгебраические группы (PDF) . стр. 45, полупрямые изделия.
^ Томпсон, Ник. «Неприводимые зоны Бриллюэна и ленточные структуры» . bandgap.io . Проверено 13 декабря 2017 года .
^ "абстрактная алгебра - Может ли всякая непростая группа $ G $ быть записана как полупрямое произведение?" . Обмен математическими стеками . Проверено 29 октября 2020 .
Перейти ↑ HE Rose (2009). Курс конечных групп . Springer Science & Business Media. п. 183. ISBN. 978-1-84882-889-6. Обратите внимание, что Роуз использует условные обозначения, противоположные принятым на этой странице (стр. 152).
^ Ncatlab.org
^ Б. Саймон (1996). Представления конечных и компактных групп . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 6. ISBN 0-8218-0453-7.
^ См. Unicode.org

Ссылки [ править ]

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален
Поиск источников: «Продукт Semidirect» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июнь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Р. Браун, Топология и группоиды, Booksurge 2006. ISBN 1-4196-2722-8

[1] DS Dummit и RM Фут (1991), Абстрактная алгебра , Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 142.

[2] Робинсон, Дерек Джон Скотт (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер. С. 75–76. ISBN 9783110175448.

[mac-lane-3] а б Мак-Лейн, Сондерс ; Биркофф, Гарретт (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. С. 414–415. ISBN 0-8218-1646-2.

[4] Милн. Алгебраические группы (PDF) . стр. 45, полупрямые изделия.

[5] Томпсон, Ник. «Неприводимые зоны Бриллюэна и ленточные структуры» . bandgap.io . Проверено 13 декабря 2017 года .

[6] "абстрактная алгебра - Может ли всякая непростая группа $ G $ быть записана как полупрямое произведение?" . Обмен математическими стеками . Проверено 29 октября 2020 .

[Rose2009-7] Перейти ↑ HE Rose (2009). Курс конечных групп . Springer Science & Business Media. п. 183. ISBN. 978-1-84882-889-6. Обратите внимание, что Роуз использует условные обозначения, противоположные принятым на этой странице (стр. 152).

[8] Ncatlab.org

[Simon1996-9] Б. Саймон (1996). Представления конечных и компактных групп . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 6. ISBN 0-8218-0453-7.

[10] См. Unicode.org