Группа диэдра

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Основные понятия

Конечные группы

Группа Фробениуса

Множитель Шура

Симметричная группа S _n

Клейн четыре группы V
Группа диэдра D _n
Группа кватернионов Q
Дициклическая группа Dic _n

Топологические группы и группы Ли

Соленоид
Круг

Общая линейная GL ( n )

Специальная линейная SL ( n )

Ортогональный O ( n )

Евклидова E ( n )

Специальная ортогональная SO ( n )

Унитарная U ( n )

Специальная унитарная СУ ( п )

Симплектический Sp ( n )

G 2
П 4
E 6
E 7
E 8

Лоренц
Пуанкаре
Конформный

Диффеоморфизм
Петля

Бесконечномерная группа Ли

O (∞)
SU (∞)
Sp (∞)

Группа симметрии из снежинки является D ₆ , диэдр симметрия, так же , как для обычного шестиугольника .

В математике , A группа диэдра является группа из симметрии одного правильного многоугольника , ^[1]^[2] , который включает в себя повороты и отражения . Группы диэдра являются одними из самых простых примеров конечных групп , и они играют важную роль в теории групп , геометрии и химии .

Обозначения для группы диэдра различаются в геометрии и абстрактной алгебре . В геометрии , $D п$ или $DIH п$ относится к симметрии п-угольника , группа порядка $2 п$ . В абстрактной алгебре , $D 2 н$ относится к этой же группе диэдра. ^[3] В этой статье используется геометрическое соглашение.

Определение [ править ]

Элементы [ править ]

Шесть осей отражения правильного шестиугольника

Правильный многоугольник с сторонами имеют различные симметрии: вращательные симметрии и отражение симметрию . Обычно берем здесь. Соответствующие вращения и отражения составляют группу диэдра . Если нечетное, каждая ось симметрии соединяет середину одной стороны с противоположной вершиной. Если чётно, то есть оси симметрии, соединяющие середины противоположных сторон, и оси симметрии, соединяющие противоположные вершины. В любом случае есть оси симметрии и элементы в группе симметрии. ^[4] ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle п \ geq 3}$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} _ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n / 2}$ ${\ displaystyle n / 2}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2n}$ Отражение по одной оси симметрии с последующим отражением по другой оси симметрии приводит к повороту на удвоенный угол между осями. ^[5]

На следующем рисунке показано влияние шестнадцати элементов на знак остановки : ${\ displaystyle \ mathrm {D} _ {8}}$

Первая строка показывает эффект восьми вращений, а вторая строка показывает эффект восьми отражений, в каждом случае воздействуя на знак остановки с ориентацией, показанной вверху слева.

Структура группы [ править ]

Как и любой другой геометрический объект, композиция двух симметрий правильного многоугольника снова является симметрией этого объекта. С помощью композиции симметрий для создания другой в качестве бинарной операции это придает симметриям многоугольника алгебраическую структуру конечной группы . ^[6]

Линии отражения, обозначенные S ₀ , S ₁ и S _2, остаются фиксированными в пространстве (на странице) и сами по себе не перемещаются, когда на треугольнике выполняется операция симметрии (поворот или отражение) (это имеет значение при создании композиций симметрий). ).

Композиция этих двух отражений представляет собой вращение.

Следующая таблица Кэли показывает эффект композиции в группе D 3 (симметрии равностороннего треугольника ). r ₀ обозначает идентичность; r ₁ и r ₂ обозначают вращение против часовой стрелки на 120 ° и 240 ° соответственно, а s ₀ , s ₁ и s ₂ обозначают отражения от трех линий, показанных на соседнем рисунке.

	г ₀	r ₁	r ₂	s ₀	с ₁	с ₂
г ₀	г ₀	r ₁	r ₂	s ₀	с ₁	с ₂
r ₁	r ₁	r ₂	г ₀	с ₁	с ₂	s ₀
r ₂	r ₂	г ₀	r ₁	с ₂	s ₀	с ₁
s ₀	s ₀	с ₂	с ₁	г ₀	r ₂	r ₁
с ₁	с ₁	s ₀	с ₂	r ₁	г ₀	r ₂
с ₂	с ₂	с ₁	s ₀	r ₂	r ₁	г ₀

Например, s ₂ s ₁ = r ₁ , потому что отражение s _1, за которым следует отражение s _2, приводит к повороту на 120 °. Порядок элементов, обозначающих композицию, - справа налево, что отражает соглашение о том, что элемент действует на выражение справа от него. Операция композиции не коммутативна . ^[6]

В общем, группа D _n имеет элементы r ₀ , ..., r _{n −1} и s ₀ , ..., s _{n −1} , состав которых определяется следующими формулами:

{\ displaystyle \ mathrm {r} _ {i} \, \ mathrm {r} _ {j} = \ mathrm {r} _ {i + j}, \ quad \ mathrm {r} _ {i} \, \ mathrm {s} _ {j} = \ mathrm {s} _ {i + j}, \ quad \ mathrm {s} _ {i} \, \ mathrm {r} _ {j} = \ mathrm {s} _ {ij}, \ quad \ mathrm {s} _ {i} \, \ mathrm {s} _ {j} = \ mathrm {r} _ {ij}.}

Во всех случаях сложение и вычитание индексов должны выполняться с использованием модульной арифметики с модулем n .

Матричное представление [ править ]

Симметрии этого пятиугольника являются линейными преобразованиями плоскости как векторного пространства.

Если мы центрирование правильного многоугольника в нуле, то элементы двугранных групп выступают в качестве линейных преобразований в плоскости . Это позволяет нам представлять элементы D _{n в} виде матриц , причем композиция представляет собой матричное умножение . Это пример (2-мерного) представления группы .

Например, элементы группы D 4 могут быть представлены следующими восемью матрицами:

{\begin{matrix}\mathrm {r} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {r} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right),\\[1em]\mathrm {s} _{0}=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}\right),&\mathrm {s} _{3}=\left({\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]-1&0\end{smallmatrix}}\right).\end{matrix}}

В общем случае матрицы для элементов D _n имеют следующий вид:

{\begin{aligned}\mathrm {r} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&-\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{and}}\\\mathrm {s} _{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

r _k - матрица вращения , выражающая вращение против часовой стрелки на угол 2 πk / n . s _k - отражение поперек линии, которая составляет угол πk / n с осью x .

Другие определения [ править ]

Дальнейшие эквивалентные определения $D n$ :

Группа автоморфизмов из графика , состоящая только из цикла с п вершинами (если п ≥ 3).
Группа с презентацией
${\begin{aligned}\mathrm {D} _{n}&=\left\langle \mathrm {r} ,\mathrm {s} \mid \operatorname {ord} (\mathrm {r} )=n,\operatorname {ord} (\mathrm {s} )=2,\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\right\rangle \\&=\left\langle \mathrm {r,s} \mid \mathrm {r} ^{n}=\mathrm {s} ^{2}=(\mathrm {sr} )^{2}=1\right\rangle .\end{aligned}}$
Из второго представления следует, что $D n$ принадлежит классу групп Кокстера .
Полупрямое произведение из циклических групп $Z п$ и $Z 2$ , с $Z 2$ , действующая на $Z п$ путем инверсии (таким образом, $D п$ всегда имеет нормальную подгруппу изоморфна группе $Z п$ ). Z _n ⋊ _φ Z ₂ изоморфен $D n,$ если $φ (0)$ - тождество, а $φ (1)$ - инверсия.

Малые двугранные группы [ править ]

Примеры подгрупп из гексагональной диэдральной симметрии

$D 1$ является изоморфно к $Z 2$ , в циклической группе порядка 2.

$D 2$ является изоморфно к $K 4$ , в Klein четыре группы .

$D 1$ и $D 2$ являются исключительными в том, что:

$D 1$ и $D 2$ - единственные абелевы диэдральные группы. В противном случае $D n$ неабелева.
$Г п$ является подгруппой из симметрической группы $S п$ для $п \geq 3$ . Поскольку $2 n > n!$ для $n = 1$ или $n = 2$ для этих значений $D n$ слишком велико, чтобы быть подгруппой.
Группа внутренних автоморфизмов $D 2$ тривиальна, тогда как для других четных значений $n$ это $D n / Z 2$ .

В цикле графика диэдральных групп состоит из п -элементного цикла и п циклов 2-элементов. Темная вершина в циклических графах различных групп диэдра ниже представляет собой единичный элемент, а другие вершины - другие элементы группы. Цикл состоит из последовательных степеней любого из элементов, связанных с элементом идентичности .

Графики цикла
D ₁ = Z 2	D ₂ = Z ₂² = К 4	D ₃	D ₄	D ₅


D ₆ = D ₃ × Z ₂	Д ₇	D ₈	D ₉	D ₁₀ = D ₅ × Z ₂

D 3 = S ₃	D 4

Группа диэдра как группа симметрии в 2D и группа вращения в 3D [ править ]

Примером абстрактной группы $D n$ и распространенным способом ее визуализации является группа изометрий евклидовой плоскости, которая сохраняет фиксированное начало координат. Эти группы образуют одну из двух серий дискретных точечных групп в двух измерениях . $D n$ состоит из $n$ поворотов на $360 ° / n$ относительно начала координат и отражений через $n$ линий через начало координат, составляющих углы, кратные $180 ° / n$ друг другу. Это группа симметрии из правильного многоугольника с $п$ сторон (для $n \geq 3$ ; это распространяется на случаи $n = 1$ и $n = 2,$ где у нас есть плоскость со смещением точки соответственно от «центра» «1-угольника» и «2-угольника» или отрезка линии).

$Д п$ будет генерироваться посредством вращения $г$ о порядка $п$ и отражение $˙s$ порядка 2 таким образом, что

\mathrm {srs} =\mathrm {r} ^{-1}\,

В геометрическом плане: в зеркале вращение выглядит как обратное вращение.

В терминах комплексных чисел : умножение на и комплексное сопряжение . $e^{2\pi i \over n}$

В матричной форме, задав

\mathrm {r} _{1}={\begin{bmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\[4pt]\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {s} _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

и определяя и для, мы можем записать правила продукта для D _n как $\mathrm {r} _{j}=\mathrm {r} _{1}^{j}$ $\mathrm {s} _{j}=\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{0}$ $j\in \{1,\ldots ,n-1\}$

{\begin{aligned}\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {r} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {r} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {s} _{(j+k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {r} _{k}&=\mathrm {s} _{(j-k){\text{ mod }}n}\\\mathrm {s} _{j}\,\mathrm {s} _{k}&=\mathrm {r} _{(j-k){\text{ mod }}n}\end{aligned}}

(Сравните координатные вращения и отражения .)

Группа диэдра D ₂ создается поворотом r на 180 градусов и отражением s поперек оси x . Затем элементы D ₂ могут быть представлены как {e, r, s, rs}, где e - это тождественное или нулевое преобразование, а rs - это отражение по оси y .

Четыре элемента D ₂ (ось x здесь вертикальна)

D ₂ является изоморфной к четверной группе Клейна .

Для п > 2 операции вращения и отражения в общем случае не коммутируют и D _п не абелева ; например, в D 4 поворот на 90 градусов с последующим отражением дает результат, отличный от отражения, за которым следует поворот на 90 градусов.

D ₄ неабелева (ось абсцисс здесь вертикальна).

Таким образом, помимо их очевидного применения к проблемам симметрии на плоскости, эти группы являются одними из простейших примеров неабелевых групп и, как таковые, часто возникают как простые контрпримеры к теоремам, которые ограничиваются абелевыми группами.

В $2 л$ элементы $D п$ можно записать в виде $е$ , $г$ , $г 2$ , ..., $г п -1$ , $ю$ , $RS$ , $R 2 с$ , ..., $г п -1 с$ . Первые $n$ перечисленных элементов являются вращениями, а остальные $n$ элементов - отражениями от оси (все они имеют порядок 2). Произведение двух вращений или двух отражений есть вращение; продукт вращения и отражения - это отражение.

До сих пор мы рассматривали $D п$ быть подгруппа из $O (2)$ , то есть группа вращений (о происхождении) и отражения ( по всей оси через начало координат) плоскости. Однако обозначение $D п$ также используется для подгруппы SO (3) , который также абстрактного типа группы $D п$ : собственно группа симметрии из правильного многоугольника встраивается в трехмерном пространстве (если п ≥ 3). Такую фигуру можно рассматривать как вырожденное правильное твердое тело, грань которого пересчитана дважды. Поэтому его еще называют диэдром (греч. Твердое тело с двумя гранями), что и объясняет названиегруппа диэдра (по аналогии с тетраэдрической , октаэдрической и икосаэдрической группой , имея в виду соответствующие группы симметрии правильного тетраэдра , октаэдра и икосаэдра соответственно).

Примеры двумерной двугранной симметрии [ править ]

2D D ₆ симметрия - Красная звезда Давида
2D D ₁₆ симметрия - Императорская печать Японии, представляющая восьмикратную хризантему с шестнадцатью лепестками .
2D D ₂₄ симметрия - Ашока Чакра , изображенная на Государственном флаге Республики Индия .

Свойства [ править ]

Свойства групп диэдра $D n$ с $n \geq 3$ зависят от того, является ли $n$ четным или нечетным. Например, центр из $D п$ состоит только из тождества , если п нечетно, но если п даже в центре состоит из двух элементов, а именно : идентичность и элемент г ^{п / 2} (с D _п как подгруппа группы O (2 ), это инверсия ; поскольку это скалярное умножение на −1, ясно, что оно коммутирует с любым линейным преобразованием).

В случае двумерных изометрий это соответствует добавлению инверсии, давая повороты и зеркала между существующими.

Для п дважды нечетное число, абстрактной группы $Г п$ изоморфна прямому произведению из $D п / 2$ и $Z 2$ . Обычно, если m делит n , то $D n$ имеет n / m подгрупп типа $D m$ и одну подгруппу ℤ _m . Следовательно, общее количество подгрупп в $D n$ ( n ≥ 1) равно d ( n ) + σ ( n ), где d( n ) - количество положительных делителей числа n, а σ ( n ) - сумма положительных делителей числа n . См. Список малых групп для случаев n ≤ 8.

Группа диэдра порядка 8 (D ₄ ) является наименьшим примером группы, не являющейся T-группой . Любая из двух четырехгрупповых подгрупп Клейна (нормальных в D ₄ ) имеет в качестве нормальной подгруппы подгруппы порядка 2, порожденные отражением (переворотом) в D ₄ , но эти подгруппы не являются нормальными в D ₄ .

Классы сопряженности отражений [ править ]

Все отражения сопряжены друг другу, если n нечетно, но они попадают в два класса сопряженности, если n четно. Если мы подумаем об изометриях правильного n -угольника: для нечетных n есть вращения в группе между каждой парой зеркал, в то время как для четных n только половина зеркал может быть достигнута из одного этими вращениями. Геометрически в нечетном многоугольнике каждая ось симметрии проходит через вершину и сторону, а в четном многоугольнике есть два набора осей, каждый из которых соответствует классу сопряженности: те, которые проходят через две вершины, и те, которые проходят через две стороны. .

Алгебраически, это является экземпляром конъюгат Силова теоремы (для п нечетно): для п нечетного, каждое отражение, вместе с идентичностью, образуют подгруппу порядка 2, который представляет собой силовская 2-подгруппа ( 2 = 2 ¹ является максимальная степень 2, делящая 2 n = 2 [2 k + 1] ), в то время как при четном n эти подгруппы порядка 2 не являются силовскими подгруппами, поскольку 4 (более высокая степень 2) делит порядок группы.

Для n даже вместо этого существует внешний автоморфизм, меняющий местами два типа отражений (собственно, класс внешних автоморфизмов, которые все сопряжены внутренним автоморфизмом).

Группа автоморфизмов [ править ]

Группа автоморфизмов из $D п$ изоморфна голоморфом из ℤ / п ℤ, т.е. к Hol (ℤ / п ℤ) = { ах + Ь | ( a , n ) = 1} и имеет порядок nϕ ( n ), где ϕ - функция Эйлера , число k в 1,…, n - 1 взаимно просто с n .

Его можно понять в терминах генераторов отражения и элементарного вращения (вращение на k (2 π / n ) для k, взаимно простого с n ); какие автоморфизмы являются внутренними и внешними, зависит от четности n .

При нечетном n группа диэдра бесцентровая, поэтому любой элемент определяет нетривиальный внутренний автоморфизм; при четном n поворот на 180 ° (отражение через начало координат) является нетривиальным элементом центра.
Таким образом, при нечетном n группа внутренних автоморфизмов имеет порядок 2 n , а при четном n (кроме n = 2 ) группа внутренних автоморфизмов имеет порядок n .
При нечетном n все отражения сопряжены; для четного n они делятся на два класса (те, которые проходят через две вершины, а те, через две грани), связанных внешним автоморфизмом, который может быть представлен поворотом на π / n (половина минимального вращения).
Вращения - нормальная подгруппа; сопряжение отражением меняет знак (направление) вращения, но в остальном оставляет их неизменными. Таким образом, автоморфизмы, умножающие углы на k (взаимно просты с n ), являются внешними, если k = ± 1 .

Примеры групп автоморфизмов [ править ]

$D 9$ имеет 18 внутренних автоморфизмов . Как и группа 2D изометрии D ₉ , группа имеет зеркала с интервалом 20 °. 18 внутренних автоморфизмов обеспечивают вращение зеркал кратно 20 ° и отражения. Как группа изометрий, это все автоморфизмы. В качестве абстрактной группы существует еще 36 внешних автоморфизмов ; например, умножение углов поворота на 2.

$D 10$ имеет 10 внутренних автоморфизмов. Как и группа 2D изометрии D ₁₀ , группа имеет зеркала с интервалом 18 °. 10 внутренних автоморфизмов обеспечивают вращение зеркал на 36 ° и отражения. В качестве группы изометрий есть еще 10 автоморфизмов; они сопряжены изометриями вне группы, поворачивая зеркала на 18 ° относительно внутренних автоморфизмов. В качестве абстрактной группы, помимо этих 10 внутренних и 10 внешних автоморфизмов, есть еще 20 внешних автоморфизмов; например, умножение оборотов на 3.

Сравните значения 6 и 4 для функции Эйлера , мультипликативной группы целых чисел по модулю n для n = 9 и 10, соответственно. Это утроит и удвоит количество автоморфизмов по сравнению с двумя автоморфизмами как изометриями (сохраняя порядок поворотов таким же или меняя порядок на противоположный).

Единственные значения n, для которых φ ( n ) = 2, равны 3, 4 и 6, и, следовательно, есть только три группы диэдра, которые изоморфны своим собственным группам автоморфизмов, а именно $D 3$ (порядок 6), $D 4$ ( порядок 8) и $D 6$ (порядок 12). ^[7]^[8]^[9]

Группа внутренних автоморфизмов [ править ]

Группа внутренних автоморфизмов $D n$ изоморфна: ^[10]

$D n,$ если n нечетное;
$D n / Z 2,$ если $n$ четное (для $n = 2$ , $D 2 / Z 2 = 1$ ).

Обобщения [ править ]

Есть несколько важных обобщений групп диэдра:

Бесконечная группа диэдра является бесконечной группой с алгебраической структурой , похожей на конечные двугранные группы. Его можно рассматривать как группу симметрий целых чисел .
Ортогональная группа O (2), то есть группа симметрии окружности , также имеет свойство , аналогичные свойства двугранных групп.
Семейство обобщенных диэдральных групп включает оба приведенных выше примера, а также многие другие группы.
В quasidihedral групп являются семейством конечных групп с аналогичными свойствами для двугранных групп.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме диэдральных групп .

Координатные вращения и отражения
Индекс цикла диэдральной группы
Дициклическая группа
Диэдральная группа порядка 6
Диэдральная группа порядка 8
Группы диэдральной симметрии в 3D
Двугранная симметрия в трех измерениях

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Группа диэдра» . MathWorld .
^ Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.
^ «Диэдральные группы: обозначения» . Проект математических изображений . Архивировано из оригинала на 2016-03-20 . Проверено 11 июня 2016 .
^ Кэмерон, Питер Джефсон (1998), Введение в алгебру , Oxford University Press, стр. 95, ISBN 9780198501954
^ Тот, Габор (2006), Проблески алгебры и геометрии , Тексты для студентов по математике (2-е изд.), Springer, стр. 98, ISBN 9780387224558
^ a b Ловетт, Стивен (2015), Абстрактная алгебра: структуры и приложения , CRC Press, стр. 71, ISBN 9781482248913
^ Хамфрис, Джон Ф. (1996). Курс теории групп . Издательство Оксфордского университета. п. 195. ISBN 9780198534594.
^ Педерсен, Джон. «Группы малого порядка» . Кафедра математики Университета Южной Флориды.
^ Соммер-Симпсон, Яша (2 ноября 2013 г.). "Группы автоморфизмов полупрямых произведений циклических групп" (pdf) . п. 13. Следствие 7.3. Aut (D _n ) = D _n тогда и только тогда, когда φ ( n ) = 2
↑ Миллер, Джорджия (сентябрь 1942 г.). «Автоморфизмы групп диэдра» . Proc Natl Acad Sci USA . 28 : 368–71. DOI : 10.1073 / pnas.28.9.368 . PMC 1078492 . PMID 16588559 .

Внешние ссылки [ править ]

Двугранная группа n порядка 2n. Автор: Шон Дудзик, Wolfram Demonstrations Project .
Диэдральная группа в Groupprops
Вайсштейн, Эрик В. «Диэдральная группа» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Диэдральная группа D3» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Диэдральная группа D4» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. «Диэдральная группа D5» . MathWorld .
Дэвис, Деклан. «Диэдральная группа D6» . MathWorld .
Диэдральные группы на GroupNames

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Группа диэдра» . MathWorld .

[2] Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-43334-9.

[mathimages-3] «Диэдральные группы: обозначения» . Проект математических изображений . Архивировано из оригинала на 2016-03-20 . Проверено 11 июня 2016 .

[4] Кэмерон, Питер Джефсон (1998), Введение в алгебру , Oxford University Press, стр. 95, ISBN 9780198501954

[5] Тот, Габор (2006), Проблески алгебры и геометрии , Тексты для студентов по математике (2-е изд.), Springer, стр. 98, ISBN 9780387224558

[lovett-6] Ловетт, Стивен (2015), Абстрактная алгебра: структуры и приложения , CRC Press, стр. 71, ISBN 9781482248913

[7] Хамфрис, Джон Ф. (1996). Курс теории групп . Издательство Оксфордского университета. п. 195. ISBN 9780198534594.

[8] Педерсен, Джон. «Группы малого порядка» . Кафедра математики Университета Южной Флориды.

[9] Соммер-Симпсон, Яша (2 ноября 2013 г.). "Группы автоморфизмов полупрямых произведений циклических групп" (pdf) . п. 13. Следствие 7.3. Aut (D _n ) = D _n тогда и только тогда, когда φ ( n ) = 2

[10] Миллер, Джорджия (сентябрь 1942 г.). «Автоморфизмы групп диэдра» . Proc Natl Acad Sci USA . 28 : 368–71. DOI : 10.1073 / pnas.28.9.368 . PMC 1078492 . PMID 16588559 .