Прямое произведение групп

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальная ортогональная SO ( n ) Унитарная U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , в частности , в теории групп , то прямое произведение представляет собой операцию , которая принимает два группы G и H и формирует новую группу, обычно обозначаемое G × H . Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения из множеств и является одним из нескольких важных понятий прямого произведения в области математики.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначают . Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно основной теореме о конечных абелевых группах , каждая конечная абелева группа может быть выражена как прямая сумма циклических групп .${\ Displaystyle G \ oplus H}$

Определение [ править ]

Для групп G (с операцией * ) и H (с операцией ∆ ) прямое произведение G × H определяется следующим образом:

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы. Конкретно:

Ассоциативность

Бинарная операция на G × H является ассоциативной .

Личность

Прямое произведение имеет единичный элемент , а именно : (1 _G , 1 _Н ) , где - _G представляет собой единичный элемент G и 1 _Н является единичным элементом  H .

Перевернутые

Обратный элемент ( г , ч ) из G × H является парой ( г ^-1 , ч ^-1 ) , где г ^-1 является обратным г в G , и ч ^-1 является обратной ч в  Н .

Примеры [ править ]

• Пусть R - группа действительных чисел при сложении . Тогда прямое произведение R × R - это группа всех двухкомпонентных векторов ( x , y ) относительно операции сложения векторов :

( x ₁ , y ₁ ) + ( x ₂ , y ₂ ) = ( x ₁ + x ₂ , y ₁ + y ₂ ) .

• Пусть R ⁺ - группа положительных действительных чисел при умножении. Тогда прямое произведение R ⁺ × R ⁺ - это группа всех векторов в первом квадранте относительно операции покомпонентного умножения

( x ₁ , y ₁ ) × ( x ₂ , y ₂ ) = ( x ₁ × x ₂ ,  y ₁ × y ₂ ) .

• Пусть G и H - циклические группы по два элемента в каждой:

Тогда прямое произведение G × H является изоморфно к четверной группе Клейна :

${\ displaystyle G \ times H}$

*	(1,1)	(а, 1)	(1, б)	(а, б)
(1,1)	(1,1)	(а, 1)	(1, б)	(а, б)
(а, 1)	(а, 1)	(1,1)	(а, б)	(1, б)
(1, б)	(1, б)	(а, б)	(1,1)	(а, 1)
(а, б)	(а, б)	(1, б)	(а, 1)	(1,1)

Элементарные свойства [ править ]

Алгебраическая структура [ править ]

Пусть G и H являются группами, пусть P = G × H , и рассмотрим следующие два подмножества из  P :

G ′ = {( g , 1): g ∈ G }    и    H ′ = {(1, h ): h ∈ H } .

Оба из них на самом деле подгрупп из Р , первых из которых изоморфных G , а второй изоморфна H . Если мы отождествим их с G и H , соответственно, то мы можем думать о прямом произведении P как содержащем исходные группы G и H как подгруппы.

Эти подгруппы в P обладают следующими тремя важными свойствами: (Повторяю еще раз, что мы отождествляем G ′ и H ′ с G и H соответственно.)

1. Пересечения G ∩ H является тривиальным .
2. Каждый элемент Р может быть выражена однозначно как произведение элемента G и элемента  Н .
3. Каждый элемент G коммутирует с любым элементом Н .

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения P . То есть, если Р является любой группой , имеющей подгруппы G и H , которые удовлетворяют свойства выше, то Р обязательно изоморфна прямому произведению G и H . В этой ситуации, Р иногда называют внутренним прямое произведение своих подгрупп G и H .

В некоторых случаях третье свойство выше заменяется следующим:

3 ′. Оба G и Н являются нормальными в P .

Это свойство эквивалентно свойству 3, так как элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, факт , который можно вывести, рассматривая коммутатор [ г , ч ] любого г в G , ч в H .

Примеры [ править ]

Презентации [ править ]

Алгебраическая структура G × H может быть использован , чтобы дать представление для прямого произведения с точки зрения презентации G и H . В частности, предположим, что

${\ Displaystyle G = \ langle S_ {G} \ mid R_ {G} \ rangle \ \}$ и ${\ Displaystyle \ \ H = \ langle S_ {H} \ mid R_ {H} \ rangle,}$

где и - (непересекающиеся) порождающие множества, а и - определяющие отношения. потом${\ displaystyle S_ {G}}$${\ displaystyle S_ {H}}$${\ displaystyle R_ {G}}$${\ displaystyle R_ {H}}$

${\ displaystyle G \ times H = \ langle S_ {G} \ cup S_ {H} \ mid R_ {G} \ cup R_ {H} \ cup R_ {P} \ rangle}$

где - набор отношений, определяющих, что каждый элемент коммутируется с каждым элементом .${\ displaystyle R_ {P}}$${\ displaystyle S_ {G}}$${\ displaystyle S_ {H}}$

Например, если

${\ Displaystyle G = \ langle a \ mid a ^ {3} = 1 \ rangle \ \}$ и ${\ Displaystyle \ \ H = \ langle b \ mid b ^ {5} = 1 \ rangle}$

тогда

${\displaystyle G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .}$

Нормальная структура [ править ]

Как уже упоминалось выше, подгруппы G и H являются нормальными в G × H . В частности, определим функции π _G : G × H → G и π _H : G × H → H следующим образом:

π _G ( g , h ) = g     и     π _H ( g , h ) = h .

Тогда π _G и π _H - гомоморфизмы , известные как гомоморфизмы проекций , ядра которых суть H и G соответственно.

Отсюда следует , что G × H является продолжением из G по H (или наоборот). В случае , когда G × H является конечной группой , то отсюда следует , что композиционные факторы из G × H являются именно объединением композиции факторов G и состав факторов Н .

Другие свойства [ править ]

Универсальная собственность [ править ]

Прямое произведение G × H можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Пусть π _G : G × H → G и π _H : G × H → H - гомоморфизмы проекций. Тогда для любой группы P и любых гомоморфизмов ƒ _G : P → G и ƒ _H : P → H существует единственный гомоморфизм ƒ: P → G× H делает следующую диаграмму коммутирующей :

В частности, гомоморфизм ƒ задается формулой

ƒ ( p ) =  ( ƒ _G ( p ), ƒ _H ( p ) ) .

Это частный случай универсального свойства продуктов в теории категорий .

Подгруппы [ править ]

Если является подгруппой группы G и B является подгруппой H , то прямое произведение × B является подгруппой G × H . Например, изоморфная копия G в G × H является произведением G × {1} , где {1} является тривиальной подгруппой H .

Если и B являются нормальными, то × B является нормальной подгруппой группы G × H . Более того, частное прямых произведений изоморфно прямому произведению частных:

( G × H ) / ( A × B ) ≅ ( G / A ) × ( H / B ) .

Обратите внимание , что это не так , в общем , что каждая подгруппа группы G × H является произведением подгруппы G с подгруппой H . Например, если G - любая нетривиальная группа, то произведение G × G имеет диагональную подгруппу

Δ = {( g , g ): g ∈ G }

который не является прямым произведением двух подгрупп G .

Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса . Другие подгруппы включают волокнистые продукты из G и H .

Сопряжение и централизаторы [ править ]

Два элемента ( г ₁ , ч ₁ ) и ( г ₂ , ч ₂ ) являются сопряженными в G × H тогда и только тогда , когда г ₁ и г ₂ сопряжены в G и H ₁ и Н ₂ сопряжены в Н . Отсюда следует, что каждый класс сопряженности в G × H является просто декартовым произведением класса сопряженности в G и класса сопряженности вH .

В том же направлении, если ( г , ч ) ∈ G × H , то централизатор из ( г , ч ) представляет собой просто произведение централизаторами г и ч :

C _{G × H} ( g , h )  =  C _G ( g ) × C _H ( h ) .

Аналогичным образом , центр из G × H является произведением центров G и H :

Z ( G × H )  =  Z ( G ) × Z ( H ) .

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых продуктов сами разлагаются как прямые продукты.

Автоморфизмы и эндоморфизмы [ править ]

Если α - автоморфизм группы G, а β - автоморфизм группы H , то функция произведения α × β : G × H → G × H, определенная формулой

( α × β ) ( g , h ) = ( α ( g ), β ( h ) )

есть автоморфизм G × H . Отсюда следует, что Aut ( G × H ) имеет подгруппу, изоморфную прямому произведению Aut ( G ) × Aut ( H ) .

Вообще говоря, неверно, что каждый автоморфизм группы G × H имеет указанный выше вид. (То есть Aut ( G ) × Aut ( H ) часто является собственной подгруппой Aut ( G × H ) .) Например, если G - любая группа, то существует автоморфизм σ группы G × G, который меняет местами две группы. факторы, т.е.

σ ( g ₁ , g ₂ ) = ( g ₂ , g ₁ ) .

В качестве другого примера группа автоморфизмов Z × Z - это GL (2, Z ) , группа всех матриц 2 × 2 с целыми элементами и определителем , ± 1 . Эта группа автоморфизмов бесконечна, но только конечное число автоморфизмов имеет вид, указанный выше.

В общем, каждый эндоморфизм из G × H может быть записана в виде 2 × 2 матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

где α - эндоморфизм G , δ - эндоморфизм H , а β : H → G и γ : G → H - гомоморфизмы. Такая матрица должна обладать свойством , что каждый элемент в изображении из & alpha ; коммутирует с каждым элементом в образе р , и каждый элемент в образе гаммы коммутирует с каждым элементом в образе б .

Когда G и H являются неразложимыми бесцентровыми группами, тогда группа автоморфизмов относительно проста: Aut ( G ) × Aut ( H ), если G и H не изоморфны, и Aut ( G ) wr 2, если G ≅ H , wr обозначает сплетение . Это часть теоремы Крулля – Шмидта , и в целом она верна для конечных прямых произведений.

Обобщения [ править ]

Конечные прямые продукты [ править ]

Возможно прямое произведение сразу более чем двух групп. Для конечной последовательности групп G ₁ , ..., G _n прямое произведение

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}}$

определяется следующим образом:

Он имеет многие из тех же свойств, что и прямое произведение двух групп, и может быть охарактеризован алгебраически аналогичным образом.

Бесконечные прямые продукты [ править ]

Также можно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп G ₁ , G ₂ ,… это можно определить так же, как конечное прямое произведение из приведенного выше, с элементами бесконечного прямого произведения, являющимися бесконечными наборами.

В более общем смысле, для индексированного семейства групп {  G _i  } _{i ∈ I} прямое произведение ∏ _{i ∈ I} G _i определяется следующим образом:

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение Π _{я ∈ I} G _я не порождается элементами изоморфных подгрупп {  G _я  } _{я ∈ I} . Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма , которая состоит из всех элементов, которые имеют только конечное число неединичных компонентов.

Другие продукты [ править ]

Полупрямые продукты [ править ]

Напомним, что группа P с подгруппами G и H изоморфна прямому произведению групп G и H, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Пересечения G ∩ H является тривиальным .
2. Каждый элемент Р может быть выражена однозначно как произведение элемента G и элемента  Н .
3. Оба G и Н являются нормальными в P .

Полупрямое произведение из G и H получается путем расслабления третьего условия, так что только один из двух подгрупп G , Н требуется , чтобы быть нормальными. Полученный продукт по-прежнему состоит из упорядоченных пар ( g , h ) , но с немного более сложным правилом умножения.

Также можно полностью ослабить третье условие, требуя, чтобы ни одна из двух подгрупп не была нормальной. В этом случае группа Р называется в качестве продукта Заппа-Сеп из G и H .

Бесплатные продукты [ править ]

Бесплатный продукт от G и H , обычно обозначается G * H , аналогично прямому произведению, за исключением того, что подгруппы G и H из G * H не требуется коммутируют. То есть, если

G =〈S _G | R _G〉     и     H =〈S _H | R _H〉 ,

являются представлениями для G и H , то

G ∗ H =〈S _G ∪ S _H | R _G ∪ R _H〉 .

В отличие от прямого продукта, элементы бесплатного продукта не могут быть представлены упорядоченными парами. Фактически, свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Бесплатный продукт на самом деле является сопутствующим продуктом в категории групп .

Подпрямые продукты [ править ]

Если G и Н представляет собой группа, A подпрямого произведением из G и H является любой подгруппой G × H , которая отображает сюръективно на G и H при проекции гомоморфизмов. По лемме Гурса каждое подпрямое произведение является расслоенным.

Волокнистые продукты [ править ]

Пусть G , H и Q - группы, и пусть φ : G → Q и χ : H → Q - гомоморфизмы. Волокнистый продукт из G и H над Q , также известный как откат , является следующей подгруппой G × H :

G × _Q H  =  { ( g , h ) ∈ G × H  : φ (g) = χ (h) } .

Если φ : G → Q и χ : H → Q - эпиморфизмы , то это подпрямое произведение.

Ссылки [ править ]

• Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 978-0-89871-510-1
• Херштейн, Израиль Натан (1996), Абстрактная алгебра (3-е изд.), Верхняя Седл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR  1375019.
• Herstein, Israel Nathan (1975), Topics in algebra (2-е изд.), Lexington, Mass: Xerox College Publishing, MR  0356988.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Ланг, Серж (2005), бакалавр алгебры (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
• Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6.