В теории групп , то сплетение представляет собой особое сочетание двух групп на основе полупрямого продукта . Он образуется действием одной группы на множество копий другой группы, что в некоторой степени аналогично возведению в степень . Сплетения используются при классификации групп перестановок, а также обеспечивают способ построения интересных примеров групп.
Указанные две группы и Н (иногда называют нижнюю и верхней [1] ), существует два варианта: сплетение неограниченного сплетение Wr Н и ограниченное сплетение WR H . Общая форма, обозначаемая A Wr Ω H или A wr Ω H соответственно, использует множество Ω с H- действием ; если не указано иное, обычно Ω = H (a регулярное сплетение ), хотя иногда подразумевается другое Ω . Эти две вариации совпадают, когда все A , H и Ω конечны. Любой вариант также обозначается как(с \ wr для символа латекса) или A ≀ H ( Unicode U + 2240).
Это понятие обобщается на полугруппы и является центральной конструкцией структурной теории Крона – Родса конечных полугрупп.
Определение
Пусть A и H - группы, а Ω - множество, на котором действует H (слева). Пусть K - прямое произведение
копий A ω : = A, индексированных множеством Ω. Элементы K можно рассматривать как произвольные последовательности ( a ω ) элементов A, индексированных Ω, с покомпонентным умножением. Тогда действие H на Ω естественным образом продолжается до действия H на группе K посредством
Затем неограниченное сплетение Wr Ω Н от А по H является полупрямым произведением К ⋊ Н . Подгруппа K группы A Wr Ω H называется базой сплетения.
Ограниченное сплетение WR Ом H построен таким же образом , как неограниченное сплетение за исключением того, что один использует прямую сумму
в качестве основы для венка. В этом случае элементы K представляют собой последовательность ( omega ; ) элементов в A индексируется Омом из которых все , кроме конечного числа а ω является единичным элементом из A .
В наиболее частом случае берется Ω: = H , где H естественным образом действует на себя левым умножением. В этом случае неограниченное и ограниченное сплетение можно обозначить как A Wr H и A wr H соответственно. Это называется обычным сплетением.
Обозначения и соглашения
Структура сплетения A посредством H зависит от H -множества Ω, а в случае бесконечности Ω также зависит от того, используется ли ограниченное или неограниченное сплетение. Однако в литературе используемые обозначения могут быть несовершенными, и нужно обращать внимание на обстоятельства.
- В литературе ≀ Ом Н может стоять в течение неограниченного сплетении Wr Ом H или ограниченного сплетения A Wr Ом H .
- Точно так же, ≀ Н может стоять в течение неограниченного регулярного сплетении Wr H или ограниченное регулярное сплетение Wr H .
- В литературе H -set Ω может быть опущен в обозначениях , даже если П ≠ H .
- В частном случае, когда H = S n является симметрической группой степени n, в литературе принято считать, что Ω = {1, ..., n } (с естественным действием S n ), а затем опускать Ω из обозначение. То есть A ≀ S n обычно обозначает A ≀ {1, ..., n } S n вместо обычного сплетения A ≀ S n S n . В первом случае базовая группа - это произведение n копий A , во втором - произведение n ! копии A .
Характеристики
Соглашение неограниченного и ограниченного сплетения на конечном Ω
Поскольку конечное прямое произведение совпадает с конечной прямой суммой групп, отсюда следует, что неограниченное сплетение A Wr Ω H и ограниченное сплетение A wr Ω H согласованы, если H -множество Ω конечно. В частности, это верно, когда Ω = H конечно.
Подгруппа
Сог Ω H всегда подгруппа в A Wr Ом H .
Мощность
Если A , H и Ω конечны, то
- | A ≀ Ω H | = | А | | Ω | | H |. [2]
Универсальная теорема вложения
Универсальная теорема вложение : Если G является продолжением из А по H , то существует подгруппу неограниченного сплетения ≀ Н , изоморфная G . [3] Это также известно как теорема вложения Краснера – Калужнина . Теорема Крона – Родса включает то, что в основном является полугрупповым эквивалентом этого. [4]
Канонические действия венков
Если группа A действует на множестве Λ, то есть два канонических способа построения множеств из Ω и Λ, на которых может действовать A Wr Ω H (а значит, и A wr Ω H ).
- Действие импримитивного сплетения на Λ × Ω.
- Если (( a ω ), h ) ∈ A Wr Ω H и ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , то
- Если (( a ω ), h ) ∈ A Wr Ω H и ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , то
- Действие примитивного сплетения на Λ Ω .
- Элемент в Λ Ω - это последовательность ( λ ω ), индексированная H -множеством Ω. Для элемента (( a ω ), h ) ∈ A Wr Ω H его действие на ( λ ω ) ∈ Λ Ω задается формулой
- Элемент в Λ Ω - это последовательность ( λ ω ), индексированная H -множеством Ω. Для элемента (( a ω ), h ) ∈ A Wr Ω H его действие на ( λ ω ) ∈ Λ Ω задается формулой
Примеры
- Группа Фонарщиков - это ограниченное сплетение ℤ 2 ≀ℤ.
- ℤ m ≀ S n ( Обобщенная симметрическая группа ).
- Базой этого сплетения является n- кратное прямое произведение
- ℤ м п = ℤ м × ... × ℤ м
- копий m, где действие φ: S n → Aut (ℤ m n ) симметрической группы S n степени n задается формулой
- φ ( σ ) (α 1 , ..., α n ): = ( α σ (1) , ..., α σ ( n ) ). [5]
- S 2 ≀ S n ( группа гипероктаэдра ).
- Действие S n на {1, ..., n } такое же, как и выше. Так как симметрическая группа S 2 степени 2 изоморфно к ℤ 2 гипероктаэдральной группа представляет собой частный случай обобщенной симметрической группы. [6]
- Наименьшее нетривиальное сплетение - это ℤ 2 ≀ℤ 2 , что является двумерным случаем указанной выше гипероктаэдрической группы. Это группа симметрии квадрата, также называемая Dih 4 , диэдральная группа порядка 8.
- Пусть р будет простым и пусть п ≥1. Пусть Р быть Силова р -подгруппой симметрической группы S р н . Тогда P является изоморфным итерированным регулярным сплетением W п = ℤ р ≀ ℤ р ≀ ... ≀ℤ р о п копий ℤ р . Здесь W 1 : = ℤ p и W k : = W k −1 ≀ℤ p для всех k ≥ 2. [7] [8] Например, силовская 2-подгруппа в S 4 - это указанная выше ℤ 2 ≀ℤ 2 группа.
- Группа кубика Рубика - это подгруппа индекса 12 в произведении сплетений, (ℤ 3 ≀ S 8 ) × (ℤ 2 ≀ S 12 ), множители, соответствующие симметриям 8 углов и 12 ребер.
- Группа преобразований с сохранением достоверности судоку (VPT) содержит двойное сплетение ( S 3 ≀ S 3 ) ≀ S 2 , где факторы представляют собой перестановку строк / столбцов в пределах 3-строчной или 3-колоночной полосы или стека ( S 3 ), перестановка самих полос / стопок ( S 3 ) и транспозиция, которая меняет местами ленты и стопки ( S 2 ). Здесь индексные множества Ω - это набор лент (соответственно стеки) (| Ω | = 3) и набор {band, stacks} (| Ω | = 2). Соответственно, | S 3 ≀ S 3 | = | S 3 | 3 | S 3 | = (3!) 4 и | ( S 3 ≀ S 3 ) ≀ S 2 | = | S 3 ≀ S 3 | 2 | S 2 | = (3!) 8 × 2.
- Сплетения естественным образом возникают в группе симметрий полных корневых деревьев и их графов . Например, повторное (итерация) Сплетение S 2 ≀ S 2 ≀ ... ≀ S 2 является группой автоморфизмов полного двоичного дерева .
Рекомендации
- ^ Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугальд; Möller, Rögnvaldur G .; Нойман, Питер М. (1998), «Сплетения» , Заметки о бесконечных группах перестановок , Лекционные заметки по математике, Берлин, Гейдельберг: Springer, стр. 67–76, doi : 10.1007 / bfb0092558 , ISBN 978-3-540-49813-1, получено 2021-05-12
- ^ Джозеф Дж. Ротман, Введение в теорию групп, стр. 172 (1995)
- ^ М. Краснер и Л. Калужнин, "Завершенный продукт групп перестановок и проблем расширения групп III", Acta Sci. Математика. Сегед, 14, стр. 69–82 (1951)
- ^ JDP Meldrum (1995). Сплетения групп и полугрупп . Лонгман [Великобритания] / Уайли [США]. п. ix. ISBN 978-0-582-02693-3.
- ^ JW Davies и AO Morris, "Множитель Шура обобщенной симметричной группы", J. London Math. Soc (2), 8, (1974), стр. 615–620
- ^ П. Грачик, Г. Летак и Х. Массам, "Группа гипероктаэдра, представления симметричных групп и моменты реального распределения Уишарта", J. Теорет. Вероятно. 18 (2005), нет. 1, 1–42.
- ^ Джозеф Дж. Ротман, Введение в теорию групп, стр. 176 (1995)
- ^ Л. Калужнина «La структура дез-р де Groupes Силова де Groupes symétriques Finis», Анналов Научных де l'Эколь Нормаль. Troisième Série 65, стр. 239–276 (1948).
Внешние ссылки
- Сплетение в энциклопедии математики .
- Некоторые применения конструкции сплетения . Архивировано 21 февраля 2014 года в Wayback Machine.