Возведение в степень

Графики y = b ^x для различных оснований b :  база 10 ,   база  е ,   база 2 ,   основание 1/2. Каждая кривая проходит через точку (0, 1), потому что любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. При x = 1 значение y равно основанию, поскольку любое число, возведенное в степень 1, является самим числом.

Арифметические операции v т е

Дополнение (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, + \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend (в широком смысле)}} \, + \, {\ text {addend (в широком смысле)}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {addend (в строгом смысле)}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Вычитание (-) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, - \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuend}} \, - \ , {\ text {subtrahend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {разница}}}$ Умножение (×) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{factor}}\,\times \,{\text{factor}}\\\scriptstyle {\text{multiplier}}\,\times \,{\text{multiplicand}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{product}}}$ Деление (÷) ${\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{dividend}}}{\scriptstyle {\text{divisor}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{numerator}}}{\scriptstyle {\text{denominator}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,}$ ${\displaystyle {\begin{matrix}\scriptstyle {\text{fraction}}\\\scriptstyle {\text{quotient}}\\\scriptstyle {\text{ratio}}\end{matrix}}}$ Возведение в степень ${\displaystyle \scriptstyle {\text{base}}^{\text{exponent}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{power}}}$ корень n- й степени (√) ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{degree}}]{\scriptstyle {\text{radicand}}}}\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{root}}}$ Логарифм (журнал) ${\displaystyle \scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{anti-logarithm}})\,=\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\text{logarithm}}}$

Возведение в степень - это математическая операция , записанная как b ⁿ , включающая два числа, основание b и показатель степени или степень n , и произносится как « b в степени n ». ^{[1] [2]} Когда n является положительным целым числом , возведение в степень соответствует многократному умножению основания: то есть b ⁿ является произведением умножения на n оснований: ^[2]

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n\,{\textrm {times}}}.}$

Показатель степени обычно отображается в виде верхнего индекса справа от основания. В этом случае b ⁿ называется " b в степени n ", " b в степени n ", ^[1] " n- й степенью b ", " b в степени n ", ^{[ 3]} или, вкратце, «от b до n- го».

Один имеет b ¹ = b , и для любых положительных целых чисел m и n , один имеет b ⁿ ⋅ b ^m = b ^{n + m} . Чтобы распространить это свойство на неположительные целые показатели степени, b ⁰ определяется как 1 , а b ^{- n} (с n положительным целым числом и b не равным нулю) определяется как1/б ^н. В частности, b ⁻¹ равно1/б, То обратная из б .

Определение возведения в степень может быть расширено, чтобы разрешить любой действительный или комплексный показатель степени. Возведение в степень с помощью целочисленных показателей также может быть определено для широкого спектра алгебраических структур, включая матрицы .

Возведение в степень широко используется во многих областях, включая экономику , биологию , химию , физику и информатику , с такими приложениями, как сложный процент , рост населения , кинетика химических реакций , волновое поведение и криптография с открытым ключом .

История обозначений [ править ]

Термин сила ( латинский : потенция, потестас, Dignitas ) является неправильным переводом ^{[4] [5]} из древнегреческой δύναμις ( Дюнамис , здесь: «усиление» ^[4] ) используется греческим математик Евклидом для квадрата линии , ^[6] вслед за Гиппократом Хиосским . ^[7] Архимед открыл и доказал закон экспонент, 10 ^a ⋅ 10 ^b = 10 ^{a + b} , необходимый для управления степенями 10 .^{[8] [ необходим лучший источник ]} В 9 веке персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми использовал термины مَال ( мал , «имущество», «собственность») для квадрата - мусульмане, «как и большинство математиков тех и раньше считали квадрат числа как изображение площади, особенно земли, следовательно, собственности » ^[9] - и كَعْبَة ( kaʿbah ,« куб ») для куба , который более поздние исламские математики представили в математической нотации как буквы mīm (м) и kāf(k) соответственно, к 15 веку, как видно из работы Абу аль-Хасана ибн Али аль-Каласади . ^[10]

В конце 16 века Йост Бюрджи использовал римские цифры для обозначения показателей. ^[11]

Николя Шюке использовал форму экспоненциальной записи в 15 веке, которая позже была использована Хенриком Грамматеусом и Майклом Стифелем в 16 веке. Слово « экспонент» было придумано в 1544 году Майклом Стифелем. ^{[12] [13]} Сэмюэл Джик ввел термин индексы в 1696 году. ^[6] В 16 веке Роберт Рекорд использовал термины квадрат, куб, зензизензик ( четвертая степень ), сурсолид (пятая), зензикуб (шестая), вторая сурсолид. (седьмой) и зензизензизензик (восьмой). ^[9] Биквадрат также используется для обозначения четвертой степени.

В начале 17 века первая форма нашей современной экспоненциальной записи была введена Рене Декартом в его тексте под названием La Géométrie ; там обозначения введены в Книге I. ^[14]

Некоторые математики (например, Исаак Ньютон ) использовали экспоненты только для степеней больше двух, предпочитая представлять квадраты как повторяющееся умножение. Таким образом, они будут записывать многочлены , например, как ax + bxx + cx ³ + d .

Другой исторический синоним, инволюция , сейчас встречается редко ^[15], и его не следует путать с его более распространенным значением .

В 1748 году Леонард Эйлер писал:

«Рассмотрим экспоненты или степени, в которых сам показатель является переменной. Ясно, что величины такого рода не являются алгебраическими функциями , поскольку в них показатели должны быть постоянными». ^[16]

Этим введением трансцендентных функций Эйлер заложил основу для современного введения натурального логарифма как функции, обратной к естественной экспоненциальной функции , f ( x ) = e ^x .

Терминология [ править ]

Выражение Ь ² = Ь ⋅ Ь называется « квадрат из Ь » или « б квадрат», потому что площадь квадрата со стороной длиной б является б ² .

Аналогично, выражение Ь ³ = б ⋅ б ⋅ б называется « куб из Ь » или « б кубе», так как объем куба со стороной длиной б является б ³ .

Когда это положительное целое число , показатель степени указывает, сколько копий основания умножается. Например, 3 ⁵ = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243 . База 3 появляется 5 раз при умножении, потому что показатель степени равен 5 . Здесь 243 - это 5-я степень числа 3 , или 3 в 5-й степени .

Слово «поднятый» обычно опускается, а иногда и «мощность», поэтому слово 3 ⁵ можно просто читать «от 3 до 5» или «от 3 до 5». Таким образом, возведение в степень б ^п может быть выражена как « б к мощности п », « б к п - й степени», « б к н е», или наиболее кратко , как « б к п ».

Целочисленные показатели [ править ]

Операция возведения в степень с целыми показателями может быть определена непосредственно из элементарных арифметических операций .

Положительные показатели [ править ]

Степени с положительными целыми показателями могут быть определены базовым случаем ^[17]

${\displaystyle b^{1}=b}$

и рекуррентное соотношение

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

Ассоциативность размножения следует , что при любых положительных чисел т и п ,

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}.}$

Нулевой показатель [ править ]

Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1 : ^{[18] [2]}

${\displaystyle b^{0}=1.}$

Одна интерпретация такой силы - пустой продукт .

Случай 0 ⁰ более сложен, и выбор того, назначать ли ему значение и какое значение назначать, может зависеть от контекста. Для получения дополнительной информации см. Ноль в степени нуля .

Отрицательные показатели [ править ]

Для любого целого n и ненулевого b выполняется следующее тождество :

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}.}$^[2]

Возведение 0 в отрицательную экспоненту не определено, но в некоторых случаях это может интерпретироваться как бесконечность ( ∞ ).

Приведенная выше идентичность может быть получена посредством определения, направленного на расширение диапазона показателей до отрицательных целых чисел.

Для ненулевого b и положительного n рекуррентное соотношение выше может быть переписано как

${\displaystyle b^{n}={\frac {b^{n+1}}{b}},\quad n\geq 1.}$

Определив это отношение как справедливое для всех целых n и ненулевых b , следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{0}&={\frac {b^{1}}{b}}=1,\\[3pt]b^{-1}&={\frac {b^{0}}{b}}={\frac {1}{b}},\end{aligned}}}$

и в более общем случае для любого ненулевого b и любого неотрицательного целого n ,

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}.}$

Затем легко показать, что это верно для любого целого числа n .

Личности и свойства [ править ]

Следующие тождества выполняются для всех целочисленных показателей при условии, что основание не равно нулю: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

В отличие от сложения и умножения:

Полномочия суммы [ править ]

Степени суммы обычно можно вычислить из степеней слагаемых по биномиальной формуле

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}a^{i}b^{n-i}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}a^{i}b^{n-i}.}$

Однако эта формула верна только в том случае, если слагаемые коммутируют (т.е. ab = ba ), что подразумевается, если они принадлежат структуре, которая является коммутативной . В противном случае, если a и b , скажем, квадратные матрицы одного размера, эту формулу использовать нельзя. Отсюда следует, что в компьютерной алгебре многие алгоритмы, включающие целочисленные показатели, должны быть изменены, когда основы возведения в степень не коммутируются. Некоторые системы компьютерной алгебры общего назначения используют другую нотацию (иногда ^^ вместо ^) для возведения в степень с некоммутирующими базами, которое затем называется некоммутативным возведением в степень .

Комбинаторная интерпретация [ править ]

Для неотрицательных целых чисел n и m значение n ^m - это количество функций от набора из m элементов до набора из n элементов (см. Кардинальное возведение в степень ). Такие функции могут быть представлены как m - кортежи из n -элементного набора (или как m -буквенные слова из n- буквенного алфавита). Некоторые примеры конкретных значений m и n приведены в следующей таблице:

п м	П м можно м -наборов элементов из множества {1, ..., п }
${\displaystyle 0^{5}=0}$	никто
${\displaystyle 1^{4}=1}$	${\displaystyle (1,1,1,1)}$
${\displaystyle 2^{3}=8}$	${\displaystyle (1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}$
${\displaystyle 3^{2}=9}$	${\displaystyle (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}$
${\displaystyle 4^{1}=4}$	${\displaystyle (1),(2),(3),(4)}$
${\displaystyle 5^{0}=1}$	${\displaystyle ()}$

Конкретные базы [ править ]

Степень десяти [ править ]

В системе счисления с основанием десять ( десятичной ) целые степени 10 записываются как цифра 1, за которой или перед ней стоит число нулей, определяемое знаком и величиной показателя степени. Например,10 ³ =1000 и10 ⁻⁴ =0,0001 .

Возведение в степень с основанием 10 используется в научных обозначениях для обозначения больших или малых чисел. Например,299 792 458  м / с ( скорость света в вакууме в метрах в секунду ) можно записать как2,997 924 58 × 10 ⁸  м / с , а затем аппроксимировать , как2.998 × 10 ⁸  м / с .

Префиксы SI, основанные на степени 10 , также используются для описания малых или больших количеств. Например, приставка кило означает10 ³ =1000 , значит, километр1000 м .

Полномочия трех [ править ]

Степень двойки [ править ]

Первые отрицательные степени 2 , как правило , используются, и имеют специальные названия, например: половина и четверть .

Полномочия 2 появляются в теории множеств , так как множество с п элементов имеет набор мощности , множество всех его подмножеств , которая имеет 2 ^п членов.

Целые силы 2 играют важную роль в информатике . Положительные целые степени 2 ^п дают число возможных значений для п - бит целое двоичное число ; например, байт может принимать 2 ⁸ = 256 различных значений. Система двоичного числа выражает любое число в виде суммы по степеням 2 , и обозначает его как последовательность 0 и 1 , разделенных двоичной точки , где 1 указывает на мощность 2что появляется в сумме; показатель степени определяется положением этой единицы : неотрицательные показатели представляют собой ранг 1 слева от точки (начиная с 0 ), а отрицательные показатели определяются рангом справа от точки.

Полномочия одного [ править ]

Все степени единицы равны: 1 ⁿ = 1 .

Степень нуля [ править ]

Если показатель степени n положительный ( n > 0 ), n- я степень нуля равна нулю: 0 ⁿ = 0 .

Если показатель степени п является отрицательным ( п <0 ), то п й степени нуль 0 ^п не определено, потому что она должна быть равна с - п > 0 , и это было бы в соответствии с выше.${\displaystyle 1/0^{-n}}$${\displaystyle 1/0}$

Выражение 0 ⁰ либо определяется как 1, либо остается неопределенным ( см. Ноль в степени нуля ).

Полномочия отрицательного [ править ]

Если n - четное целое число, то (−1) ⁿ = 1 .

Если n - нечетное целое число, то (−1) ⁿ = −1 .

По этой причине степени -1 полезны для выражения чередующихся последовательностей . Аналогичное обсуждение степеней комплексного числа i см. В § Степени комплексных чисел .

Большие экспоненты [ править ]

Предел последовательности степеней числа больше одного расходится; другими словами, последовательность неограниченно растет:

b ⁿ → ∞ при n → ∞ при b > 1

Это можно прочитать как « b в степени n стремится к + ∞, поскольку n стремится к бесконечности, когда b больше единицы».

Степени числа с абсолютным значением меньше единицы стремятся к нулю:

b ⁿ → 0 при n → ∞, когда | б | <1

Любая сила одного всегда одна:

b ⁿ = 1 для всех n, если b = 1

Степени –1 чередуются между 1 и –1, когда n чередуется между четным и нечетным, и, таким образом, не имеют тенденции к какому-либо пределу с ростом n .

Если b <–1 , b ⁿ , чередуется между большими и большими положительными и отрицательными числами, поскольку n чередуется между четным и нечетным, и, таким образом, не стремится к какому-либо пределу с ростом n .

Если экспоненциальное число изменяется, стремясь к 1, поскольку показатель стремится к бесконечности, то предел не обязательно является одним из указанных выше. Особенно важным случаем является

(1 + 1 / n ) ⁿ → e при n → ∞

См. § Экспоненциальная функция ниже.

Другие ограничения, в частности те, которые имеют выражения неопределенной формы , описаны в § Пределы полномочий ниже.

Силовые функции [ править ]

Силовые функции для ${\displaystyle n=1,3,5}$

Силовые функции для ${\displaystyle n=2,4,6}$

Действительные функции вида , где , иногда называют степенными функциями. ^{[ необходимая цитата ]} Когда является целым числом и , существуют два основных семейства: для четных и нечетных. В общем случае , когда четное будет стремиться к положительной бесконечности с увеличением , а также к положительной бесконечности с уменьшением . Все графики из семейства четных степенных функций имеют общую форму , сглаживающуюся посередине при увеличении. ^[23] Функции с такой симметрией ( ) называются${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle c\neq 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=cx^{2}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$даже функции .

При нечетном «s Асимптотического поведения реверс от позитива к отрицательному . Ибо , также будет стремиться к положительной бесконечности с увеличением , но к отрицательной бесконечности с уменьшением . Все графики из семейства нечетных степенных функций имеют общую форму , более сглаживающуюся в середине по мере увеличения и теряющую там всю плоскостность на прямой для . Функции с такой симметрией ( ) называются нечетными функциями .${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle f(x)=cx^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=cx^{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$

Для в каждом случае справедливо противоположное асимптотическое поведение. ^[23]${\displaystyle c<0}$

Список целочисленных степеней [ править ]

Рациональные показатели [ править ]

Этот раздел читается как учебник и может потребовать очистки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, чтобы сделать ее нейтральной по тону и соответствовать стандартам качества Википедии . ( Февраль 2020 г. )

П - й корень из числа Ь это число х такое , что х ^п = б .

Если b - положительное действительное число, а n - положительное целое число, то существует ровно одно положительное вещественное решение x ⁿ = b . Это решение называется главным корнем n- й степени числа b . Обозначается ⁿ √ b , где √   - радикальный символ ; в качестве альтернативы главный корень n- й степени числа b может быть записан как b ^{1 / n} . Например: 9 ^1/2 = √ 9 = 3 и 8^1/3 = ³ √ 8 = 2 .

Тот факт, что решает, следует из того, что${\displaystyle x=b^{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle x^{n}=b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}&=\left(b^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\underbrace {b^{\frac {1}{n}}\times b^{\frac {1}{n}}\times \cdots \times b^{\frac {1}{n}}} _{n\,{\textrm {times}}}\\&=b^{\underbrace {\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)} _{n\,{\textrm {times}}}}=b^{\frac {n}{n}}=b^{1}=b.\end{aligned}}}$

Если b равно 0, уравнение x ⁿ = b имеет одно решение, а именно x = 0 .

Если п есть еще и б положительна, то х ^п = Ь имеет два действительных решений, которые являются положительными и отрицательными п - й корни Ь , то есть, б ^{1 / п} > 0 и - ( б ^{1 / п} ) <0 .

Если n четно, а b отрицательно, уравнение не имеет решения в действительных числах.

Если n нечетно, то x ⁿ = b имеет ровно одно действительное решение, которое положительно, если b положительно ( b ^{1 / n} > 0 ), и отрицательно, если b отрицательно ( b ^{1 / n} <0 ).

Преобразуя положительное действительное число b в рациональную экспоненту u / v , где u - целое число, а v - положительное целое число, и учитывая только главные корни, получаем

${\displaystyle b^{\frac {u}{v}}=\left(b^{u}\right)^{\frac {1}{v}}={\sqrt[{v}]{b^{u}}}=\left(b^{\frac {1}{v}}\right)^{u}=\left({\sqrt[{v}]{b}}\right)^{u}.}$

Преобразование отрицательного действительного числа b в рациональную степень u / v , где u / v находится в младших членах, дает положительный реальный результат, если u четно, и, следовательно, v нечетно, потому что тогда b ^u положительно; и дает отрицательный реальный результат, если u и v оба нечетные, потому что тогда b ^u отрицательно. Случай четного v (и, следовательно, нечетного u ) не может рассматриваться таким образом внутри вещественных чисел, поскольку не существует действительного числа x такого, что x ^{2 k} = −1, значение b ^{u / v} в этом случае должно использовать мнимую единицу i , как более подробно описано в разделе § Степени комплексных чисел .

Таким образом, мы имеем (−27) ^1/3 = −3 и (−27) ^2/3 = 9 . Число 4 имеет две степени 3/2, а именно 8 и −8; Однако, в соответствии с соглашением обозначение 4 ^3/2 использует главный корень , и результаты 8. Для применения в V -го корня у / V -й мощность также называемая V / ¯u его корня, а для четного v термин главный корень означает также положительный результат.

Эту двусмысленность знака необходимо учитывать при применении идентификаторов власти. Например:

${\displaystyle -27=(-27)^{\left(\left({\frac {2}{3}}\right)\left({\frac {3}{2}}\right)\right)}=\left((-27)^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}=9^{\frac {3}{2}}=27}$

явно не так. Проблема начинается уже в первом равенстве, когда вводятся стандартные обозначения для изначально неоднозначной ситуации - требуется четный корень - и просто ошибочно полагается только на одну, традиционную или основную интерпретацию. Та же проблема возникает и с неправильно введенной заменой нотации, которая по своей сути обеспечивает положительный результат:

${\displaystyle \left((-27)^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}={\sqrt {\left({\sqrt[{3}]{(-27)^{2}}}\right)^{3}}}={\sqrt {(-27)^{2}}}\neq -27}$

вместо

${\displaystyle \left((-27)^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}=-{\sqrt {\left({\sqrt[{3}]{(-27)^{2}}}\right)^{3}}}=-{\sqrt {(-27)^{2}}}=-27.}$

Как правило, для комплексных чисел возникают проблемы того же типа, что и описанные в разделе § Несоблюдение степенных и логарифмических тождеств .

Реальные показатели [ править ]

Возведение в степень действительных степеней положительных действительных чисел может быть определено либо расширением рациональных степеней до действительных чисел по непрерывности, либо, чаще, как указано в § Полномочия через логарифмы ниже. Результатом всегда является положительное действительное число, и тождества и свойства, показанные выше для целочисленных показателей, верны и для положительных вещественных оснований с нецелочисленными показателями.

С другой стороны, возведение в степень до действительной степени отрицательного действительного числа гораздо труднее определить последовательно, поскольку оно может быть нереальным и иметь несколько значений (см. § Действительные показатели с отрицательным основанием ). Можно выбрать одно из этих значений, называемое основным значением , но нет выбора основного значения, для которого идентичность, например

${\displaystyle \left(b^{r}\right)^{s}=b^{r\cdot s}}$

правда; см. § Несостоятельность тождеств мощности и логарифма . Следовательно, возведение в степень с базисом, не являющимся положительным действительным числом, обычно рассматривается как многозначная функция .

Пределы рациональных показателей [ править ]

Поскольку экспоненциальная функция непрерывна, мы находим для сходящихся последовательностей ( x _n ). Это показано здесь для x _n  = ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }e^{x_{n}}=e^{\lim _{n\to \infty }x_{n}}}$1/п.

Поскольку любое иррациональное число может быть выражено как предел последовательности рациональных чисел, возведение в степень положительного действительного числа b с произвольным вещественным показателем x может быть определено путем непрерывности с правилом ^[24]

${\displaystyle b^{x}=\lim _{r(\in \mathbb {Q} )\to x}b^{r}\quad (b\in \mathbb {R} ^{+},\,x\in \mathbb {R} ),}$

где предел, когда r приближается к x , берется только по рациональным значениям r . Этот предел существует только для положительного b . Используется ( ε ,  δ ) -определение предела ; это включает в себя демонстрацию того, что для любой желаемой точности результата b ^x можно выбрать достаточно малый интервал вокруг x, чтобы все рациональные степени в интервале находились в пределах желаемой точности.

Например, если x = π , можно использовать непостоянное десятичное представление π = 3,14159… (на основе строгой монотонности рациональной степени) для получения интервалов, ограниченных рациональными степенями

${\displaystyle \left[b^{3},b^{4}\right]}$, , , , , ,${\displaystyle \left[b^{3.1},b^{3.2}\right]}$${\displaystyle \left[b^{3.14},b^{3.15}\right]}$${\displaystyle \left[b^{3.141},b^{3.142}\right]}$${\displaystyle \left[b^{3.1415},b^{3.1416}\right]}$${\displaystyle \left[b^{3.14159},b^{3.14160}\right]}$${\displaystyle \ldots }$

Ограниченные интервалы сходятся к единственному действительному числу, обозначаемому . Этот метод можно использовать для получения степени положительного действительного числа b для любого иррационального показателя степени. Таким образом, функция f _b ( x ) = b ^x определена для любого действительного числа x .${\displaystyle b^{\pi }}$

Экспоненциальная функция [ править ]

Важная математическая константа e , которую иногда называют числом Эйлера , приблизительно равна 2,718 и является основанием натурального логарифма . Хотя возведение в степень е можно, в принципе, рассматривать так же, как возведение в степень любого другого действительного числа, такие экспоненты обладают особенно элегантными и полезными свойствами. Среди прочего, эти свойства позволяют естественным образом обобщать экспоненты от e на другие типы показателей, такие как комплексные числа или даже матрицы, при этом совпадая со знакомым значением возведения в степень с рациональными показателями.

Как следствие, обозначение e ^x обычно обозначает обобщенное определение возведения в степень , называемое экспоненциальной функцией , exp ( x ), которое может быть определено многими эквивалентными способами , например, как

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Среди других свойств exp удовлетворяет экспоненциальному тождеству

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).}$

Экспоненциальная функция определена для всех целых, дробных, вещественных и комплексных значений x . Фактически, матричная экспонента хорошо определена для квадратных матриц (и в этом случае это экспоненциальное тождество выполняется только при коммутации x и y ) и полезна для решения систем линейных дифференциальных уравнений .

Поскольку exp (1) равно e , а exp ( x ) удовлетворяет этому экспоненциальному тождеству, немедленно следует, что exp ( x ) совпадает с определением повторного умножения e ^x для целого x , а также следует, что рациональные степени обозначают (положительные) корни, как обычно, поэтому exp ( x ) совпадает с определениями e ^x из предыдущего раздела для всех действительных x по непрерывности.

Полномочия через логарифмы [ править ]

Когда e ^x определяется как экспоненциальная функция, b ^x может быть определен для других положительных действительных чисел b через e ^x . В частности, натуральный логарифм ln ( x ) является обратным к экспоненциальной функции e ^x . Он определен для b > 0 и удовлетворяет

${\displaystyle b=e^{\ln b}.}$

Если b ^x должен сохранить правила логарифма и экспоненты, то нужно иметь

${\displaystyle b^{x}=\left(e^{\ln b}\right)^{x}=e^{x\cdot \ln b}}$

для каждого действительного числа x .

Это может быть использовано как альтернативное определение степени b ^x действительного числа и согласуется с определением, данным выше, с использованием рациональных показателей и непрерывности. Определение возведения в степень с использованием логарифмов чаще встречается в контексте комплексных чисел, как обсуждается ниже.

Реальные показатели с отрицательной базой [ править ]

Степени положительного действительного числа всегда являются положительными действительными числами. Однако решение x ²  = 4 может быть либо 2, либо −2. Главное значение 4 ^1/2 равно 2, но −2 также является допустимым квадратным корнем. Если определение возведения в степень действительных чисел будет расширено, чтобы разрешить отрицательные результаты, то результат больше не будет корректным.

Ни метод логарифмирования, ни метод рациональной экспоненты нельзя использовать для определения b ^r как действительного числа для отрицательного действительного числа b и произвольного действительного числа r . В самом деле, e ^r положительно для любого действительного числа r , поэтому ln ( b ) не определяется как действительное число для b ≤ 0 .

Метод рациональной экспоненты нельзя использовать для отрицательных значений b, поскольку он основан на непрерывности . Функция f ( r ) = b ^r имеет уникальное непрерывное продолжение ^[24] с рациональных чисел на действительные числа для каждого b > 0 . Но когда b <0 , функция f не является даже непрерывной на множестве рациональных чисел r, для которых она определена.

Например, рассмотрим b = −1 . П - й корень из -1 -1 для каждого нечетного натурального числа п . Итак, если n - нечетное положительное целое число, (−1) ^{( m / n )} = −1, если m нечетное, и (−1) ^{( m / n )} = 1, если m четное. Таким образом, множество рациональных чисел q, для которых (−1) ^q = 1 , плотно в рациональных числах, как и множество q, для которых (−1) ^q= -1 . Это означает, что функция (−1) ^q не является непрерывной ни при каком рациональном числе q, где она определена.

С другой стороны, произвольные комплексные степени отрицательных чисел Ь могут быть определены путем выбора сложного логарифма от б .

Иррациональные показатели [ править ]

Если b - положительное вещественное алгебраическое число , а x - рациональное число, выше было показано, что b ^x - алгебраическое число. Это остается верным, даже если принять любое алгебраическое число в качестве b , с той лишь разницей, что b ^x может принимать несколько значений (конечное число, см. Ниже), которые все являются алгебраическими. Gelfond-Schneider теорема дает некоторую информацию о характере Ъ ^х , когда х является иррациональным (то есть, не рационально ). Говорится:

Если b - алгебраическое число, отличное от 0 и 1, а x - иррациональное алгебраическое число, то все значения b ^x (их бесконечно много) трансцендентны (то есть не алгебраичны).

Комплексные показатели с положительной действительной базой [ править ]

Если b - положительное действительное число, а z - любое комплексное число , степень b ^z определяется как

${\displaystyle b^{z}=e^{(z\ln b)},}$

где x = ln ( b ) - единственное действительное решение уравнения e ^x = b , а комплексная степень e определяется экспоненциальной функцией , которая является единственной функцией комплексной переменной , равной ее производной и принимающей значение 1 для x = 0 .

Поскольку, как правило, b ^z не является действительным числом, выражение, такое как ( b ^z ) ^w , не определяется предыдущим определением. Его следует интерпретировать через правила для степеней комплексных чисел , и, если z не является действительным или w является целым числом, обычно не равно b ^zw , как можно было бы ожидать.

Существуют различные определения экспоненциальной функции, но они совместимы с комплексными числами и удовлетворяют свойству экспоненты. Для любых комплексных чисел z и w экспоненциальная функция удовлетворяет . В частности, для любого комплексного числа${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}}$${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy},}$

Второй член имеет значение, заданное формулой Эйлера${\displaystyle e^{iy}}$

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y.}$

Эта формула связывает проблемы тригонометрии и алгебры.

Следовательно, для любого комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy,}$

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}$

Из-за пифагорейское тригонометрическое тождество , то абсолютное значение из является 1 . Следовательно, действительный множитель - это абсолютное значение, а мнимая часть показателя степени определяет аргумент (угол) комплексного числа .${\displaystyle \cos y+i\sin y}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{z}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle e^{z}}$

Определение серии [ править ]

Показательная функция, равная своей производной и удовлетворяющая ее ряду Тейлора, должна быть${\displaystyle e^{0}=1,}$

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots .}$

Этот бесконечный ряд , который часто принимают за определение экспоненты e ^z для произвольных комплексных показателей, абсолютно сходится для всех комплексных чисел z.

Когда z чисто мнимое , то есть z = iy для действительного числа y , приведенный выше ряд становится

${\displaystyle e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!}}+{\frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots ,}$

который (поскольку он абсолютно сходится) может быть переупорядочен как

${\displaystyle e^{iy}=\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).}$

Действительная и мнимая части этого выражения являются разложениями Тейлора косинуса и синуса соответственно с центром в нуле, что подразумевает формулу Эйлера:

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y.}$

Определение предела [ править ]

Эта анимация показывает путем многократных умножений в комплексной плоскости для значений n (обозначенных на рисунке как N ), увеличивающихся от 1 до 100 , как приближается к -1 . Значения для k = 0 ... n являются вершинами многоугольного пути, крайний левый конец которого соответствует фактическому k. Можно видеть, что по мере увеличения k приближается к пределу −1 , иллюстрируя тождество Эйлера :${\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}$${\displaystyle (1+i\pi /n)^{k},}$${\displaystyle (1+i\pi /k)^{k}}$${\displaystyle (1+i\pi /k)^{k}}$${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$

Другая характеристика показательной функции есть как предел в , так п стремится к бесконечности. Если рассматривать n- ю степень в этом определении как повторное умножение в полярной форме , его можно использовать для визуальной иллюстрации формулы Эйлера. Любое комплексное число может быть представлено в полярной форме как , где r - абсолютное значение, а θ - его аргумент. Произведение двух комплексных чисел и есть .${\displaystyle e^{z}}$${\displaystyle (1+z/n)^{n}}$${\displaystyle (r,\theta )}$${\displaystyle (r_{1},\theta _{1})}$${\displaystyle (r_{2},\theta _{2})}$${\displaystyle (r_{1}r_{2},\theta _{1}+\theta _{2})}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник в комплексной плоскости , которая имеет , и в качестве вершин. Для больших значений n треугольник представляет собой почти круговой сектор с радиусом 1 и небольшим центральным углом, равным радианам . Тогда 1 + можно аппроксимировать числом в полярной форме . Таким образом, в пределе, когда n приближается к бесконечности, приближается к точке на единичной окружности , угол которой относительно положительной действительной оси равен x радиан. В Декартовы координаты этой точки , так${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1+ix/n}$${\displaystyle x/n}$ ${\displaystyle ix/n}$${\displaystyle (1,x/n)}$${\displaystyle (1+ix/n)^{n}}$${\displaystyle (1,x/n)^{n}=(1^{n},nx/n)=(1,x)}$${\displaystyle (\cos x,\sin x)}$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$; это снова формула Эйлера, допускающая те же связи с тригонометрическими функциями, что и при определении ряда.

Периодичность [ править ]

Решениями уравнения являются целые числа, кратные :${\displaystyle e^{z}=1}$${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \left\{z:e^{z}=1\right\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}$

Таким образом, если является комплексным числом, таким что , то каждое, которое также удовлетворяет, может быть получено из , т. Е. Путем добавления произвольного целого числа, кратного к :${\displaystyle v}$${\displaystyle e^{v}=w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle e^{z}=w}$${\displaystyle e^{z}=e^{v}\cdot 1=e^{v+i2k\pi }}$${\displaystyle 2\pi i}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \left\{z:e^{z}=w\right\}=\{v+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}$

То есть комплексная экспоненциальная функция для любого целого k является периодической функцией с периодом .${\displaystyle e^{z}=\exp(z)=\exp(z+2k\pi i)}$${\displaystyle 2\pi i}$

Примеры [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{i}&=e^{i\ln(2)}=\cos {\big (}\ln(2){\big )}+i\sin {\big (}\ln(2){\big )}\approx 0.76924+0.63896i,\\e^{i}&=\cos(1)+i\sin(1)\approx 0.54030+0.84147i,\\\left(e^{2\pi }\right)^{i}&=e^{i\ln(e^{2\pi })}=e^{i(2\pi )}=\cos(2\pi )+i\sin(2\pi )=1.\end{aligned}}}$

Степени комплексных чисел [ править ]

Целочисленные степени ненулевых комплексных чисел определяются повторным умножением или делением, как указано выше. Если i - мнимая единица, а n - целое число, тогда i ⁿ равно 1, i , −1 или - i , в зависимости от того, сравнимо ли целое число n с 0, 1, 2 или 3 по модулю 4. Из-за этого , полномочия I полезны для экспрессии последовательностей из периода 4 .

Комплексные степени положительных вещественных чисел определяются через e ^x, как в разделе Комплексные показатели с положительными действительными основаниями выше. Это непрерывные функции.

Попытка распространить эти функции на общий случай нецелочисленных степеней комплексных чисел, не являющихся положительными действительными числами, приводит к трудностям. Либо мы определяем разрывные функции, либо многозначные функции . Ни один из этих вариантов не является полностью удовлетворительным.

Рациональная степень комплексного числа должна быть решением алгебраического уравнения. Следовательно, он всегда имеет конечное число возможных значений. Например, w = z ^1/2 должно быть решением уравнения w ² = z . Но если w - решение, то тоже - w , потому что (−1) ² = 1 . Уникальное, но несколько произвольное решение, называемое главным значением, может быть выбрано с использованием общего правила, которое также применимо к нерациональным степеням.

Комплексные степени и логарифмы более естественно воспринимать как однозначные функции на римановой поверхности . Однозначные версии определяются путем выбора листа. Значение имеет разрыв вдоль сечения ветви . Выбор одного из многих решений в качестве главного значения оставляет нам функции, которые не являются непрерывными, и обычные правила манипулирования полномочиями могут сбить нас с пути.

Любая нерациональная степень комплексного числа имеет бесконечное количество возможных значений из-за многозначной природы комплексного логарифма . Главное значение - это одно значение, выбранное из них правилом, которое, среди других свойств, гарантирует, что степени комплексных чисел с положительной действительной частью и нулевой мнимой частью дают то же значение, что и правило, определенное выше для соответствующего действительного основания.

Возведение действительного числа в степень в комплексной степени формально отличается от операции для соответствующего комплексного числа. Однако в общем случае положительного действительного числа главное значение то же самое.

Степени отрицательных действительных чисел не всегда определены и не являются непрерывными даже там, где они определены. Фактически, они определены только тогда, когда показатель степени является рациональным числом со знаменателем, являющимся нечетным целым числом. При работе с комплексными числами вместо этого обычно используется операция комплексного числа.

Сложные показатели со сложными основаниями [ править ]

Для комплексных чисел w и z с w 0 обозначение w ^z неоднозначно в том же смысле, что и log  w .

Чтобы получить значение w ^z , сначала выберите логарифм w ; назовите это журналом ш . Таким выбором может быть основное значение Log w (значение по умолчанию, если не указано иное), или, возможно, значение, заданное какой-либо другой ветвью журнала  w, фиксированной заранее. Затем, используя комплексную экспоненциальную функцию, определяют

${\displaystyle w^{z}=e^{z\log w}}$

потому что это согласуется с предыдущим определением в случае, когда w - положительное действительное число и используется (реальное) главное значение log w .

Если z - целое число , то значение w ^z не зависит от выбора log w и согласуется с более ранним определением возведения в степень с целочисленной экспонентой .

Если z - рациональное число m / n в младших членах с z > 0 , то счетное бесконечное число вариантов log w дает только n различных значений для w ^z ; эти значения представляют собой n комплексных решений s уравнения s ⁿ = w ^m .

Если z - иррациональное число , то счетное бесконечное число вариантов log w приводит к бесконечному множеству различных значений для w ^z .

Вычисление комплексных мощностей облегчается путем преобразования основания w в полярную форму , как подробно описано ниже .

Подобная конструкция используется в кватернионах .

Сложные корни единства [ править ]

Комплексное число w такое, что w ⁿ = 1 для натурального числа n, является корнем n- й степени из единицы . Геометрически корни n- й степени из единицы лежат на единичной окружности комплексной плоскости в вершинах правильного n -угольника с одной вершиной на вещественном числе 1.

Если w ⁿ = 1, но w ^k ≠ 1 для всех натуральных чисел k таких, что 0 < k < n , то w называется примитивным корнем n- й степени из единицы . Отрицательная единица -1 - единственный примитивный квадратный корень из единицы. Мнимая единицей я являюсь одним из двух примитивных 4 -х корней из единицы; другой - я .

Число е^{2 πi/п}является примитивным корнем n- й степени из единицы с наименьшим положительным аргументом . (Это иногда называют основнымы п - й корень из единицы , хотя эта терминология не является универсальной и не следует путать с главным значением из ^п √ 1 , которая является 1. ^{[25] [26] [27]} )

Другие корни n- й степени из единицы задаются формулой

${\displaystyle \left(e^{{\frac {2}{n}}\pi i}\right)^{k}=e^{{\frac {2}{n}}\pi ik}}$

для 2 ≤ k ≤ n .

Корни произвольных комплексных чисел [ править ]

Хотя существует бесконечно много возможных значений для общего комплексного логарифма, существует только конечное число значений для мощности w ^q в важном частном случае, когда q = 1 / n и n является положительным целым числом. Эти п - й корни из ш ; они являются решениями уравнения z ⁿ = w . Как и в случае с действительными корнями, второй корень также называется квадратным корнем, а третий корень также называется кубическим корнем.

В математике принято определять w ^{1 / n} как главное значение корня, который обычно является корнем n- й степени, аргумент которого имеет наименьшее абсолютное значение . Когда w - положительное действительное число, это согласуется с обычным соглашением об определении w ^{1 / n} как уникального положительного действительного корня n- й степени. С другой стороны, когда w - отрицательное действительное число, а n - нечетное целое число, уникальный действительный корень n- й степени не является одним из двух корней n- й степени, аргумент которых имеет наименьшее абсолютное значение. В этом случае значениеw ^{1 / n} может зависеть от контекста, и может потребоваться некоторая осторожность, чтобы избежать ошибок.

Набор корней n- й степени комплексного числа w получается умножением главного значения w ^{1 / n} на каждый из корней n- й степени из единицы. Например, корни четвертой степени из 16 равны 2, −2, 2 i и −2 i , поскольку главное значение корня четвертой степени из 16 равно 2, а корни четвертой степени из единицы равны 1, −1, i и - я .

Мощность вычислительного комплекса [ править ]

Часто проще вычислить сложные степени, записав число, которое нужно возвести в степень в полярной форме . Каждое комплексное число z можно записать в полярной форме

${\displaystyle z=re^{i\theta }=e^{\ln(r)+i\theta },}$

где R представляет собой неотрицательное действительное число и θ (действительный) аргумент из г . Полярная форма имеет простую геометрическую интерпретацию: если комплексное число u + iv рассматривается как представляющее точку ( u , v ) в комплексной плоскости с использованием декартовых координат , то ( r , θ ) является той же точкой в полярных координатах . То есть r - это «радиус» r ² = u ² + v² и θ - это «угол» θ = atan2 ( v , u ) . Полярный угол θ неоднозначен, поскольку любое целое число, кратное 2π, может быть добавлено к θ без изменения местоположения точки. Каждый выбор θ обычно дает различное возможное значение мощности. Ветвь разрез может быть использован для выбора значения конкретного. Главное значение (наиболее распространенное сечение ветки) соответствует θ, выбранному в интервале (−π, π]. Для комплексных чисел с положительной действительной частью и нулевой мнимой частью использование главного значения дает тот же результат, что и использование соответствующего действительного числа.

Чтобы вычислить комплексную мощность w ^z , запишите w в полярной форме:

${\displaystyle w=re^{i\theta }.}$

потом

${\displaystyle \log(w)=\ln(r)+i\theta ,}$

и поэтому

${\displaystyle w^{z}=e^{z\log(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}.}$

Если z разлагается как c + di , то формулу для w ^z можно записать более явно как

${\displaystyle (r^{c}e^{-d\theta })e^{i(d\ln(r)+c\theta )}=(r^{c}e^{-d\theta }){\big [}\cos {\big (}d\ln(r)+c\theta {\big )}+i\sin {\big (}d\ln(r)+c\theta {\big )}{\big ]}.}$

Эта окончательная формула позволяет легко вычислить комплексные степени из разложения основания в полярную форму и показателя степени в декартову форму. Здесь он показан как в полярной форме, так и в декартовой форме (через тождество Эйлера).

В следующих примерах используется главное значение, отрезок ветви, из-за которого θ находится в интервале (−π, π] . Чтобы вычислить i ⁱ , запишите i в полярной и декартовой формах:

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=1\cdot e^{{\frac {1}{2}}i\pi },\\i&=0+1i.\end{aligned}}}$

Тогда формула выше, с r = 1 , θ =π/2, c = 0 и d = 1 , дает

${\displaystyle i^{i}=\left(1^{0}e^{-{\frac {1}{2}}\pi }\right)e^{i\left[1\cdot \ln(1)+0\cdot {\frac {1}{2}}\pi \right]}=e^{-{\frac {1}{2}}\pi }\approx 0.2079.}$

Точно так же, чтобы найти (−2) ^{3 + 4 i} , вычислите полярную форму −2:

${\displaystyle -2=2e^{i\pi }}$

и используйте приведенную выше формулу для вычисления

${\displaystyle (-2)^{3+4i}=(2^{3}e^{-4\pi })e^{i[4\ln(2)+3\pi ]}\approx (2.602-1.006i)\cdot 10^{-5}.}$

Величина комплексной мощности зависит от используемой ветви. Например, если полярная форма i = 1 e ^{5 πi / 2} используется для вычисления i ⁱ , мощность оказывается равной e ^{−5 π / 2} ; главное значение i ⁱ , вычисленное выше, равно e ^{−π / 2} . Набор всех возможных значений для i ⁱ дается ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=1\cdot e^{{\frac {1}{2}}i\pi +i2\pi k}\mid k\in \mathbb {Z} ,\\i^{i}&=e^{i\left({\frac {1}{2}}i\pi +i2\pi k\right)}\\&=e^{-\left({\frac {1}{2}}\pi +2\pi k\right)}.\end{aligned}}}$

Таким образом, существует бесконечное множество значений, которые являются возможными кандидатами на значение i ⁱ , по одному для каждого целого числа k . Все они имеют нулевую мнимую часть, поэтому можно сказать, что i ⁱ имеет бесконечное количество допустимых реальных значений.

Несостоятельность тождества мощности и логарифма [ править ]

Некоторые тождества для степеней и логарифмов для положительных действительных чисел не работают для комплексных чисел, независимо от того, как сложные степени и комплексные логарифмы определены как однозначные функции . Например:

Обобщения [ править ]

Моноиды [ править ]

Возведение в степень с целыми показателями можно определить в любом мультипликативном моноиде . ^[30] Моноид - это алгебраическая структура, состоящая из множества X вместе с правилом композиции («умножения»), удовлетворяющим ассоциативному закону и мультипликативному тождеству , обозначенному 1. Возведение в степень индуктивно определяется как

• ${\displaystyle x^{0}=1}$для всех ,${\displaystyle x\in X}$
• ${\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x}$для всех и неотрицательных целых n ,${\displaystyle x\in X}$
• Если п является отрицательным числом, то определяется только ^[31] , если имеет обратный в X .${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle x}$

Моноиды включают в себя множество структур, важных для математики, включая группы и кольца (при умножении), с более конкретными примерами последних - матричные кольца и поля .

Матрицы и линейные операторы [ править ]

Если A - квадратная матрица, то произведение A на себя n раз называется степенью матрицы . Также определяется как единичная матрица ^[32], и если A обратима, то .${\displaystyle A^{0}}$${\displaystyle A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}}$

Матричные мощности часто появляются в контексте дискретных динамических систем , где матрица A выражает переход от вектора состояния x некоторой системы к следующему состоянию Ax системы. ^[33] Это стандартная интерпретация , например, цепи Маркова . Затем это состояние системы после двух временных шагов и так далее: это состояние системы после n временных шагов. Мощность матрицы - это матрица перехода между текущим состоянием и состоянием в момент времени n.${\displaystyle A^{2}x}$${\displaystyle A^{n}x}$${\displaystyle A^{n}}$шаги в будущее. Таким образом, вычисление степеней матрицы эквивалентно решению эволюции динамической системы. Во многих случаях мощности матрицы целесообразно вычислять с использованием собственных значений и собственных векторов .

Помимо матриц, можно возложить в степень и более общие линейные операторы . Примером может служить производный оператор исчисления, который является линейным оператором, действующим на функции, чтобы дать новую функцию . П ая степень оператора дифференцирования является п -й производной:${\displaystyle d/dx}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle (d/dx)f(x)=f'(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x).}$

Эти примеры предназначены для дискретных показателей линейных операторов, но во многих случаях также желательно определять степени таких операторов с непрерывными показателями. Это отправная точка математической теории полугрупп . ^[34] Подобно тому, как вычисление степеней матриц с дискретными показателями решает дискретные динамические системы, так же вычисление степеней матриц с непрерывными показателями решает системы с непрерывной динамикой. Примеры включают подходы к решению уравнения теплопроводности , уравнения Шредингера , волнового уравнения и других уравнений в частных производных, включая временную эволюцию. Частный случай возведения в степень оператора производной нецелой степени называетсядробная производная, которая вместе с дробным интегралом является одной из основных операций дробного исчисления .

Конечные поля [ править ]

Поля является алгебраической структурой , в которой умножение, сложение, вычитание, и деление все хорошо определены и удовлетворяют их знакомые свойства. Например, действительные числа образуют поле, как и комплексные числа и рациональные числа. В отличие от этих знакомых примеров полей, которые представляют собой бесконечные множества , некоторые поля содержат только конечное число элементов. Самый простой пример - это поле с двумя элементами, сложение которого определяется как и , и умножение и .${\displaystyle F_{2}=\{0,1\}}$${\displaystyle 0+1=1+0=1}$${\displaystyle 0+0=1+1=0}$${\displaystyle 0\cdot 0=1\cdot 0=0\cdot 1=0}$${\displaystyle 1\cdot 1=1}$

Возведение в степень в конечных полях имеет приложения в криптографии с открытым ключом . Например, при обмене ключами Диффи – Хеллмана используется тот факт, что возведение в степень вычислительно недорого в конечных полях, тогда как дискретный логарифм (обратный возведению в степень) требует больших вычислительных затрат.

Любое конечное поле F обладает тем свойством, что существует единственное простое число p такое, что для всех x из F ; то есть, x, сложенный с собой p раз, равен нулю. Например, в простое число p = 2 обладает этим свойством. Это простое число называется характеристикой поля. Предположим, что F - поле характеристики p , и рассмотрим функцию, которая возводит каждый элемент F в степень p . Это называется автоморфизмом Фробениуса группы${\displaystyle px=0}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle f(x)=x^{p}}$F . Это автоморфизм поля из- за идентичности мечты первокурсника . Автоморфизм Фробениуса важен в теории чисел, потому что он порождает группу Галуа поля F над своим простым подполем.${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$

В абстрактной алгебре [ править ]

Возведение в степень для целочисленных показателей может быть определено для довольно общих структур абстрактной алгебры .

Пусть X - множество с ассоциативно-степенной двоичной операцией, записанной мультипликативно. Тогда x ⁿ определяется для любого элемента x из X и любого ненулевого натурального числа n как произведение n копий x , которое рекурсивно определяется формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{1}&=x,\\x^{n}&=x^{n-1}x\quad {\text{for }}n>1.\end{aligned}}}$

У одного есть следующие свойства

${\displaystyle {\begin{aligned}(x^{i}x^{j})x^{k}&=x^{i}(x^{j}x^{k}),&&{\text{(power-associative property)}}\\x^{m+n}&=x^{m}x^{n},\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}.\end{aligned}}}$

Если операция имеет двусторонний элемент идентичности 1, то x ⁰ определяется как равное 1 для любого x : ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x1&=1x=x,&&{\text{(two-sided identity)}}\\x^{0}&=1.\end{aligned}}}$

Если операция также имеет двусторонние инверсии и ассоциативна, то магма представляет собой группу . Обратное к x можно обозначить через x ⁻¹ и следует всем обычным правилам для показателей:

${\displaystyle {\begin{aligned}xx^{-1}&=x^{-1}x=1,&&{\text{(two-sided inverse)}}\\(xy)z&=x(yz),&&{\text{(associative)}}\\x^{-n}&=(x^{-1})^{n},\\x^{m-n}&=x^{m}x^{-n}.\end{aligned}}}$

Если операция умножения коммутативна (как, например, в абелевых группах ), то имеет место следующее:

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}.}$

Если бинарная операция написана аддитивно, как это часто бывает для абелевых групп , то «возведение в степень - это повторное умножение» может быть интерпретировано как « умножение - это повторное сложение ». Таким образом, каждый из приведенных выше законов возведения в степень имеет аналог среди законов умножения.

Когда в наборе определено несколько ассоциативно-ассоциативных двоичных операций, любая из которых может повторяться, обычно указывается, какая операция повторяется, помещая ее символ в верхний индекс. Таким образом, x ^{∗ n} - это x ∗ ... ∗ x , а x ^{# n} - это x # ... # x , какими бы ни были операции ∗ и #.

Для обозначения сопряжения также используется надстрочный индекс, особенно в теории групп . То есть g ^h = h ⁻¹ gh , где g и h - элементы некоторой группы . Хотя спряжение подчиняется некоторым из тех же законов, что и возведение в степень, оно ни в каком смысле не является примером повторного умножения. Quandle является алгебраической структурой , в которой эти законы сопряжения играют центральную роль.

Сеты [ править ]

Если п представляет собой натуральное число, а произвольное множество, то выражение ^п часто используется для обозначения множества упорядоченных п -наборов элементов A . Это эквивалентно тому, что A ⁿ обозначает набор функций из набора {0, 1, 2, ..., n  - 1} в набор A ; п -кратного ( ₀ , ₁ , ₂ , ..., а _{п -1} ) представляет собой функцию , которая посылает I ка _я .

Для бесконечного кардинального числа х и множество А , обозначения ^κ также используются для обозначения множества всех функций из набора размеров х к А . Иногда его пишут ^κ A, чтобы отличить его от кардинального возведения в степень, определенного ниже.

Эта обобщенная экспонента также может быть определена для операций над множествами или для множеств с дополнительной структурой . Например, в линейной алгебре , то имеет смысл индексировать прямые суммы из векторных пространств над произвольными наборами индексов. То есть мы можем говорить о

${\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i},}$

где каждое V _i - векторное пространство.

Затем, если V _i = V для каждого i , результирующая прямая сумма может быть записана в экспоненциальной записи как V ^{⊕ N} или просто V ^N с пониманием того, что прямая сумма используется по умолчанию. Мы снова можем заменить набор N на количество n, чтобы получить V ⁿ , хотя без выбора конкретного стандартного набора с мощностью n это определено только с точностью до изоморфизма . Принимая V , чтобы быть полем R из действительных чисел(рассматриваемое как векторное пространство над собой) и n как некоторое натуральное число , мы получаем векторное пространство, которое чаще всего изучается в линейной алгебре, вещественное векторное пространство R ⁿ .

Если основанием операции возведения в степень является набор, операция возведения в степень - это декартово произведение, если не указано иное. Поскольку несколько Декартовы произведений производить п - кортеж , который может быть представлен с помощью функции на множестве соответствующей мощности, S ^N становится просто множеством всех функций от N до S в этом случае:

${\displaystyle S^{N}\equiv \{f\colon N\to S\}.}$

Это соответствует возведению в степень кардинальных чисел в том смысле, что | S ^N | = | S | ^{| N |} , где | X | -мощность X . Когда "2" определяется как {0, 1 }, мы имеем | 2 ^X | = 2 ^{| X |} , где 2 ^X , обычно обозначаемое P ( X ), является набором степеней X ; каждое подмножество Y в X однозначно соответствует функции на Xпринимает значение 1 при х ∈ Y и 0 для х ∉ Y .

В теории категорий [ править ]

В декартовой замкнутой категории , то показательная операция может быть использована для повышения произвольного объекта к власти другого объекта. Это обобщает декартово произведение в категории множеств. Если 0 является начальным объектом в декартовой закрытой категории, то экспоненциальный объект 0 ⁰ изоморфен любому конечному объекту 1.

Кардинальных и порядковых чисел [ править ]

В теории множеств есть экспоненциальные операции для кардинальных и порядковых чисел .

Если κ и λ - кардинальные числа, выражение κ ^λ представляет мощность множества функций от любого набора мощности λ до любого набора мощности κ . ^[35] Если κ и λ конечны, это согласуется с обычной арифметической экспоненциальной операцией. Например, набор из 3-х элементов из 2-элементного набора имеет мощность 8 = 2 ³ . В кардинальной арифметике κ ⁰ всегда равно 1 (даже если κ бесконечный кардинал или ноль).

Возведение в степень кардинальных чисел отличается от возведения в степень порядковых чисел, которое определяется предельным процессом, включающим трансфинитную индукцию .

Повторное возведение в степень [ править ]

Подобно тому, как возведение в степень натуральных чисел мотивируется повторным умножением, можно определить операцию, основанную на повторном возведении в степень; эту операцию иногда называют гипер-4 или тетрацией . Повторение тетрации приводит к другой операции и так далее, концепции, называемой гипероперацией . Эта последовательность операций выражается функцией Аккермана и нотацией Кнута, направленной вверх . Так же, как возведение в степень растет быстрее, чем умножение, которое растет быстрее, чем сложение, так и тетрация растет быстрее, чем возведение в степень. Вычисленные в (3, 3) , функции сложения, умножения, возведения в степень и тетрации дают 6, 9, 27 и7 625 597 484 987 ( = 3 ²⁷ = 3 ^{3 3} = ³ 3 ) соответственно.

Пределы полномочий [ править ]

Ноль в степени нуля дает ряд примеров пределов неопределенной формы 0 ⁰ . Пределы в этих примерах существуют, но имеют разные значения, показывая, что функция двух переменных x ^y не имеет предела в точке (0, 0) . Можно подумать, в каких точках эта функция имеет предел.

Точнее, рассмотрим функцию f ( x , y ) = x ^y, определенную на D = {( x , y ) ∈ R ²  : x > 0}. Тогда D можно рассматривать как подмножество R ² (то есть множество всех пар ( x , y ) с x , y, принадлежащих расширенной прямой вещественных чисел R = [−∞, + ∞] , наделенных произведением топология), который будет содержать точки, в которых функция f имеет предел.

В самом деле, е имеет предел во всех точках накопления в D , за исключением (0, 0) , (+ ∞, 0) , (1, + ∞) и (1, -∞) . ^[36] Соответственно, это позволяет определять степени x ^y по непрерывности всякий раз, когда 0 ≤ x ≤ + ∞ , −∞ ≤ y ≤ + ∞ , за исключением 0 ⁰ , (+ ∞) ⁰ , 1 ^{+ ∞} и 1 ^−∞ , которые остаются неопределенными формами.

При таком определении по непрерывности получаем:

• x ^{+ ∞} = + ∞ и x ^−∞ = 0 , когда 1 < x ≤ + ∞ .
• x ^{+ ∞} = 0 и x ^−∞ = + ∞ , когда 0 ≤ x <1 .
• 0 ^y = 0 и (+ ∞) ^y = + ∞ , когда 0 < y ≤ + ∞ .
• 0 ^y = + ∞ и (+ ∞) ^y = 0 , когда −∞ ≤ y <0 .