Вычитание

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Вычитание»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

« 5 - 2 = 3» (устно «пять минус два равно трем»)

Табличка у магазина в Бордо с вычетом рекламы 20% от цены второго купленного парфюма.

Вычитание - это арифметическая операция , представляющая операцию удаления объектов из коллекции. Результат вычитания называется разницей . Вычитание обозначается знаком минус , - . Так , например, в соседнем изображении, есть 5 - 2 яблок означает 5 яблок с 2 отнято, в результате чего в общей сложности 3 яблок. Следовательно, разница 5 и 2 равна 3, то есть 5 - 2 = 3 . Хотя в основном вычитание связано с натуральными числами в арифметике , вычитание также может представлять собой удаление или уменьшение физических и абстрактных величин с использованием различных типов объектов, включая отрицательные числа., дроби , иррациональные числа , векторы , десятичные дроби, функции и матрицы. ^{[1] [2]}

Вычитание следует нескольким важным схемам. Он антикоммутативен , что означает, что изменение порядка меняет знак ответа. Он также не ассоциативен , что означает, что при вычитании более двух чисел порядок, в котором выполняется вычитание, имеет значение. Поскольку 0 - это аддитивная идентичность , ее вычитание не меняет числа. Вычитание также подчиняется предсказуемым правилам относительно связанных операций, таких как сложение и умножение . Все эти правила можно доказать , начиная с вычитания целых чисел и обобщая до действительных чисел и далее. Общийбинарные операции , следующие этим шаблонам, изучаются в абстрактной алгебре .

Вычитание натуральных чисел - одна из простейших числовых задач. Маленьким детям доступно вычитание очень маленьких чисел. В начальной школе , например, студенты учат вычитать числа в десятичной системе, начиная с однозначными цифрами и постепенно решать более сложные проблемы.

В продвинутой алгебре и компьютерной алгебре выражение, включающее вычитание, такое как A - B , обычно рассматривается как сокращенное обозначение для сложения A + (- B ) . Таким образом, - Б содержит два члена, а именно : A и - B . Это позволяет упростить использование ассоциативности и коммутативности .

Обозначения и терминология [ править ]

Вычитание обычно записывается со знаком минус «-» между членами; ^[3] то есть в инфиксной записи . Результат обозначается знаком равенства . Например,

${\ displaystyle 2-1 = 1}$ (произносится как «два минус один равно одному»)

${\ displaystyle 4-2 = 2}$ (произносится как «четыре минус два равно два»)

${\ displaystyle 6-3 = 3}$ (произносится как «шесть минус три равно трем»)

${\ displaystyle 4-6 = -2}$ (произносится как «четыре минус шесть равняется двум отрицательным»)

Также существуют ситуации, когда вычитание «понимается», даже если символ не появляется:

• Столбец из двух чисел, нижнее число которого выделено красным, обычно указывает на то, что меньшее число в столбце должно быть вычтено, а разница, указанная ниже, под линией. Это наиболее распространено в бухгалтерском учете.

Формально вычитаемое число называется вычитаемым , ^{[4] [5],} а число, из которого оно вычитается, является уменьшаемым . ^{[4] [5]} Результат - разница . ^{[4] [5] [2] [6]}

Вся эта терминология происходит от латыни . « Вычитание » является английским слово происходит от латинского глагола subtrahere , который , в свою очередь , представляет собой соединение из подразделов «из - под» и trahere « чтобы вытащить». Таким образом, вычитать - значит рисовать снизу или убирать . ^[7] Использование герундивного суффикса -nd приводит к «вычитать», «вещь, которую нужно вычесть». ^[а] Аналогичным образом, от minuere «уменьшать или уменьшать» получается «minuend», что означает « вещь, которую нужно уменьшить ".

Целых и действительных чисел [ править ]

Целые числа [ править ]

Представьте себе отрезок линии из длины Ь с левым концом меченого и правый конец меченого гр . Начиная с точки a , нужно сделать b шагов вправо, чтобы добраться до точки c . Это движение вправо математически моделируется сложением :

а + Ь = с .

От c нужно b шагов влево, чтобы вернуться к a . Это движение влево моделируется вычитанием:

в - б = а .

Теперь сегмент линии с номерами 1 , 2 и 3 . Из позиции 3 не нужно делать никаких шагов влево, чтобы оставаться в позиции 3, поэтому 3-0 = 3 . Чтобы перейти в позицию 1, нужно сделать 2 шага влево, поэтому 3–2 = 1 . Этот рисунок неадекватен для описания того, что произойдет после перехода на 3 шага влево от позиции 3. Чтобы представить такую ​​операцию, линию необходимо удлинить.

Чтобы вычесть произвольные натуральные числа , нужно начать со строки, содержащей каждое натуральное число (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Из 3 требуется 3 шага влево, чтобы добраться до 0, поэтому 3–3 = 0 . Но 3–4 по-прежнему недействительны, так как снова покидает линию. Натуральные числа не подходят для вычитания.

Решение состоит в том, чтобы рассмотреть целочисленную строку (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Таким образом, чтобы добраться до −1, нужно сделать 4 шага влево от 3:

3-4 = -1 .

Натуральные числа [ править ]

Вычитание натуральных чисел не закрывается : разность не является натуральным числом, если минус не больше или не равен вычитаемому. Например, 26 нельзя вычесть из 11, чтобы получить натуральное число. В таком случае используется один из двух подходов:

1. Сделайте вывод, что 26 нельзя вычесть из 11; вычитание становится частичной функцией .
2. Дайте ответ в виде целого числа, представляющего отрицательное число , поэтому результат вычитания 26 из 11 будет -15.

Реальные числа [ править ]

Вычитание действительных чисел определяется как сложение чисел со знаком. В частности, число вычитается путем добавления его аддитивного обратного , как в случае 3 - π = 3 + (−π) . Это помогает сохранить «простой» круг действительных чисел, избегая введения «новых» операторов, таких как вычитание. Обычно на кольце определены только две операции; в случае целых чисел это сложение и умножение. В кольце уже есть концепция аддитивных инверсий, но в нем нет понятия отдельной операции вычитания, поэтому использование сложения со знаком в качестве вычитания позволяет применить аксиомы кольца к вычитанию - без необходимости что-либо доказывать.

Свойства [ править ]

Антикоммутативность [ править ]

Вычитание является антикоммутативным , что означает, что, если кто-то перевернет члены разницы слева направо, результат будет отрицательным по сравнению с исходным результатом. Символически, если a и b - любые два числа, то

а - б = - ( б - а) .

Неассоциативность [ править ]

Вычитание не ассоциативно , что возникает, когда кто-то пытается определить повторное вычитание. В общем, выражение

" а - б - в "

может быть определен как означающий ( a - b ) - c или a - ( b - c ), но эти две возможности приводят к разным ответам. Чтобы решить эту проблему, необходимо установить порядок действий , при котором разные порядки дают разные результаты.

Предшественник [ править ]

В контексте целых чисел вычитание единицы также играет особую роль: для любого целого числа a целое число ( a - 1) является наибольшим целым числом, меньшим, чем a , также известным как предшественник a .

Единицы измерения [ править ]

При вычитании двух чисел с такими единицами измерения, как килограммы или фунты , они должны иметь одну и ту же единицу. В большинстве случаев разница будет в той же единице, что и исходные числа.

Проценты [ править ]

Изменения в процентах могут быть представлены по крайней мере в двух формах, процентное изменение и процентный пункт изменения. Изменение в процентах представляет собой относительное изменение между двумя величинами в процентах, а изменение в процентных пунктах - это просто число, полученное путем вычитания двух процентов. ^{[8] [9] [10]}

В качестве примера предположим, что 30% виджетов, изготовленных на заводе, неисправны. Спустя полгода неисправны 20% виджетов. Процентное изменение20% - 30%/30% = -1/3= -33+1/3%, а изменение в процентных пунктах составляет -10 процентных пунктов.

В вычислениях [ править ]

Метод комплементов является методом , используемым для вычитания одного числа из другого , используя только добавления положительных чисел. Этот метод обычно использовался в механических калькуляторах и до сих пор используется в современных компьютерах .

Чтобы вычесть двоичное число y (вычитаемое) из другого числа x (уменьшаемое), дополнение единиц y добавляется к x, а единица прибавляется к сумме. После этого первая цифра результата "1" отбрасывается.

Метод дополнений особенно полезен в двоичной системе счисления (основание 2), поскольку дополнение единиц очень легко получить инвертированием каждого бита (изменением «0» на «1» и наоборот). И добавление 1 для получения двух дополнений может быть выполнено путем имитации переноса в младший бит. Например:

 01100100 (x, равно 100 в десятичной системе)- 00010110 (y, равно 22 в десятичной системе)

становится суммой:

 01100100 (х)+ 11101001 (дополнение y до единицы)+ 1 (чтобы получить дополнение до двух)—————————— 101001110

Если отбросить начальную «1», получим ответ: 01001110 (равно 78 в десятичной системе).

Обучение вычитанию в школах [ править ]

Методы, используемые для обучения вычитанию в начальной школе, различаются от страны к стране, и внутри страны разные методы применяются в разное время. В том, что известно в Соединенных Штатах как традиционная математика , в конце 1-го года (или в течение 2-го года) студентов обучают определенному процессу для использования с многозначными целыми числами, и он расширяется либо на четвертом, либо на пятый класс, чтобы включить десятичные представления дробных чисел.

В Америке [ править ]

В настоящее время почти во всех американских школах преподается метод вычитания с использованием заимствования или перегруппировки (алгоритм разложения) и система маркировки, называемая костылями. ^{[11] [12]} Хотя метод заимствования был известен и ранее публиковался в учебниках, использование костылей в американских школах распространилось после того, как Уильям А. Браунелл опубликовал исследование, в котором утверждалось, что костыли полезны для учащихся, использующих этот метод. ^[13] Эта система быстро прижилась, вытеснив другие методы вычитания, использовавшиеся в то время в Америке.

В Европе [ править ]

Некоторые европейские школы используют метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод сложения. В этом методе нет заимствования. Есть также костыли (маркировка для улучшения памяти), которые различаются в зависимости от страны. ^{[14] [15]}

Сравнение двух основных методов [ править ]

Оба эти метода разделяют вычитание как процесс вычитания одной цифры по разряду. Начиная с наименьшей значащей цифры, вычитание вычитания:

s _j s _{j −1} ... s ₁

от minuend

м _к м _{к −1} ... м ₁ ,

где каждый s _i и m _i является цифрой, выполняется запись m ₁ - s ₁ , m ₂ - s ₂ и так далее, пока s _i не превышает m _i . В противном случае m _i увеличивается на 10, а другая цифра изменяется, чтобы скорректировать это увеличение. Американский метод исправляет, пытаясь уменьшить уменьшенную цифру m _{i +1.}на единицу (или продолжая заимствование влево до тех пор, пока не будет отличная от нуля цифра, из которой можно заимствовать). Европейский метод исправляет, увеличивая вычитаемую цифру s _{i +1} на единицу.

Пример: 704-512.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {carry}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {Minuend}}\\\longleftarrow \;{\rm {Subtrahend}}\\\longleftarrow {\rm {Rest\;or\;Difference}}\\\end{array}}}$

Уменьшаемое - 704, вычитаемое - 512. Уменьшаемые цифры: m ₃ = 7 , m ₂ = 0 и m ₁ = 4 . Вычитаемые цифры: s ₃ = 5 , s ₂ = 1 и s ₁ = 2.. Начиная с места, 4 не меньше 2, поэтому разница 2 записывается на место результата. В разряде десятков 0 меньше 1, поэтому 0 увеличивается на 10, а разница с 1, то есть 9, записывается в разряде десятков. Американский метод исправляет увеличение десяти, уменьшая цифру в разряде сотен уменьшаемого числа на единицу. То есть 7 вычеркивается и заменяется на 6. Затем вычитание продолжается в разряде сотен, где 6 не меньше 5, поэтому разница записывается в разряде сотен результата. Готово, результат - 192.

Австрийский метод не уменьшает 7 до 6. Скорее он увеличивает вычитаемую сотню на единицу. Рядом с этой цифрой или под ней делается небольшая отметка (в зависимости от школы). Затем вычитание продолжается, спрашивая, какое число при увеличении на 1, и 5 прибавляется к нему, дает 7. Ответ - 1, и записывается в разряде сотен результата.

Есть еще одна тонкость: в американском методе ученик всегда использует мысленную таблицу вычитания. Австрийский метод часто побуждает ученика мысленно использовать таблицу сложения в обратном порядке. В приведенном выше примере, вместо того, чтобы прибавлять 1 к 5, получать 6 и вычитать это из 7, ученика просят подумать, какое число при увеличении на 1 и добавлении 5 дает 7.

Вычитание вручную [ править ]

Австрийский метод [ править ]

Пример:

• 1 + ... = 3

• Разница написана под чертой.

• 9 + ... = 5
  Требуемая сумма (5) слишком мала.

• Итак, мы прибавляем к нему 10 и ставим 1 под следующим более высоким знаком вычитаемого числа.

• 9 + ... = 15
  Теперь мы можем найти разницу, как и раньше.

• (4 + 1) + ... = 7

• Разница написана под чертой.

• Полная разница.

Вычитание слева направо [ править ]

Пример:

• 7 - 4 = 3
  Этот результат только карандашом.

• Поскольку следующая цифра уменьшаемого числа меньше, чем вычитаемое, мы вычитаем единицу из нашего числа, начерченного карандашом, и мысленно прибавляем десять к следующему.

• 15 - 9 = 6

• Поскольку следующая цифра в уменьшаемом не меньше, чем вычитаемое, мы сохраняем это число.

• 3 - 1 = 2

Американский метод [ править ]

В этом методе каждая цифра вычитаемого вычитается из цифры над ней, начиная справа налево. Если верхнее число слишком мало, чтобы вычесть из него нижнее число, мы добавляем к нему 10; эта 10 «заимствована» из верхней цифры слева, из которой мы вычитаем 1. Затем мы переходим к вычитанию следующей цифры и заимствованию по мере необходимости, пока не будет вычтена каждая цифра. Пример:

• 3 - 1 = ...

• Пишем разницу под чертой.

• 5 - 9 = ...
  Minuend (5) слишком мал!

• Итак, прибавляем к нему 10. 10 "заимствовано" из цифры слева, которая уменьшается на 1.

• 15 - 9 = ...
  Теперь вычитание работает, и мы пишем разницу под чертой.

• 6-4 = ...

• Пишем разницу под чертой.

• Полная разница.

Сначала торгуйте [ править ]

Вариант американского метода, при котором все заимствования производятся до вычитания. ^[16]

Пример:

• 1 - 3 = невозможно.
  Мы добавляем 10 к 1. Поскольку 10 «заимствовано» у ближайших 5, 5 понижается на 1.

• 4 - 9 = невозможно.
  Итак, действуем как в шаге 1.

• Работаем справа налево:
  11 - 3 = 8

• 14 - 9 = 5

• 6 - 4 = 2

Частичные различия [ править ]

Метод частичных разностей отличается от других методов вертикального вычитания, потому что не происходит заимствования или переноса. Вместо них ставятся знаки плюс или минус в зависимости от того, меньше или больше уменьшаемое, чем вычитаемое. Сумма частичных разностей и есть общая разница. ^[17]

Пример:

• Меньшее число вычитается из большего:
  700 - 400 = 300
  Поскольку уменьшаемое значение больше, чем вычитаемое, эта разница имеет знак плюс.

• Меньшее число вычитается из большего:
  90 - 50 = 40
  Поскольку вычитаемое меньше, чем вычитаемое, эта разница имеет знак минус.

• Меньшее число вычитается из большего:
  3 - 1 = 2.
  Поскольку уменьшаемое число больше, чем вычитаемое, эта разница имеет знак плюс.

• +300 - 40 + 2 = 262

Невертикальные методы [ править ]

Подсчет [ править ]

Вместо того, чтобы находить разность цифр за цифрой, можно подсчитать числа между вычитаемым и уменьшаемым. ^[18]

Пример: 1234 - 567 = можно найти, выполнив следующие действия:

• 567 + 3 = 570
• 570 + 30 = 600
• 600 + 400 = 1000
• 1000 + 234 = 1234

Сложите значение каждого шага, чтобы получить общую разницу: 3 + 30 + 400 + 234 = 667 .

Прерывание вычитания [ править ]

Другой метод, который полезен для ментальной арифметики, - это разделение вычитания на небольшие шаги. ^[19]

Пример: 1234 - 567 = можно решить следующим образом:

• Одна тысяча двести тридцать четыре - 500 = 734
• 734 - 60 = 674
• 674 - 7 = 667

То же изменение [ править ]

Тот же метод изменения использует тот факт, что добавление или вычитание одного и того же числа из уменьшаемого и вычитаемого не меняет ответ. Просто добавляем сумму, необходимую для получения нулей при вычитании. ^[20]

Пример:

«1234 - 567 =» можно решить следующим образом:

• 1234 - 567 = 1237 - 570 = 1267 - 600 = 667

См. Также [ править ]

• Декремент
• Элементарная арифметика
• Метод дополнений
• Отрицательное число
• Знаки плюс и минус

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Браунелл, Вашингтон (1939). Обучение как реорганизация: экспериментальное исследование по арифметике для третьего класса, Duke University Press.
• Вычитание в Соединенных Штатах: историческая перспектива, Сьюзан Росс, Мэри Пратт-Коттер, преподаватель математики , Vol. 8, No. 1 (оригинальная публикация) и Vol. 10, № 1 (перепечатка) PDF

Внешние ссылки [ править ]

Поищите вычитание в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме вычитания .

• «Вычитание» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Рабочие листы для печати: рабочие листы вычитания , однозначное вычитание , двухзначное вычитание , четырехзначное вычитание и другие рабочие листы вычитания
• Игра на вычитание на пороге
• Вычитание на японских счетах, выбранных из Abacus: Mystery of the Bead