Иррациональный номер

Число √ 2 иррационально.

В математике все иррациональные числа - это действительные числа, которые не являются рациональными числами . То есть иррациональные числа не могут быть выражены как отношение двух целых чисел . Когда отношение длин двух сегментов линии является иррациональным числом, сегменты линии также описываются как несоизмеримые , что означает, что у них нет общей «меры», то есть нет длины («меры»), нет независимо от того, насколько коротким, это можно использовать для выражения длин обоих из двух данных сегментов как целых кратных самой себе.

Среди иррациональных чисел - отношение π длины окружности к ее диаметру, число Эйлера e , золотое сечение φ и квадратный корень из двух . ^{[1] [2] [3]} На самом деле все квадратные корни из натуральных чисел , кроме полных квадратов , иррациональны.

Как и все действительные числа, иррациональные числа могут быть выражены в позиционной системе счисления , особенно в виде десятичного числа. В случае иррациональных чисел десятичное разложение не заканчивается и не заканчивается повторяющейся последовательностью . Например, десятичное представление числа π начинается с 3,14159, но никакое конечное число цифр не может точно представлять π и не повторяется. И наоборот, завершающее или повторяющееся десятичное раскрытие должно быть рациональным числом. Это доказуемые свойства рациональных чисел и позиционных систем счисления, которые не используются в качестве определений в математике.

Иррациональные числа также могут быть выражены в виде непрерывных дробей и многими другими способами.

Как следствие доказательства Кантора, что действительные числа несчетны, а рациональные числа - счетны, следует, что почти все действительные числа иррациональны. ^[4]

История [ править ]

Набор действительных чисел (R), который включает рациональные числа (Q), которые включают целые числа (Z), которые включают натуральные числа (N). Действительные числа также включают иррациональные числа (R \ Q).

Древняя Греция [ править ]

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается пифагорейцу (возможно, Гиппасу из Метапонта ) ^[5], который, вероятно, обнаружил их, определяя стороны пентаграммы . ^[6] Тогдашний метод Пифагора должен был утверждать, что должна быть некоторая достаточно маленькая, неделимая единица, которая могла бы равномерно вписаться в одну из этих длин, а также в другую. Однако Гиппас в V веке до нашей эры смог сделать вывод, что на самом деле не существовало общей единицы измерения, и что утверждение о таком существовании на самом деле было противоречием. Он сделал это, показав , что если гипотенуза из равнобедренного треугольникадействительно соизмерима с ногой, то одна из этих длин, измеренная в этой единице измерения, должна быть как нечетной, так и четной, что невозможно. Его рассуждения таковы:

• Начните с равнобедренного прямоугольного треугольника со сторонами целых чисел a , b и c . Отношение гипотенузы к катету представлено как c : b .
• Предположим, что a , b и c выражены в наименьших возможных значениях ( т.е. у них нет общих факторов).
• По теореме Пифагора : c ² = a ² + b ² = b ² + b ² = 2 b ² . (Так как треугольник равнобедренный, a = b ).
• Поскольку c ² = 2 b ² , c ² делится на 2 и, следовательно, четно.
• Поскольку c ² четно, c должно быть четным.
• Поскольку c четно, деление c на 2 дает целое число. Пусть y будет этим целым числом ( c = 2 y ).
• Возводя обе части с = 2 Y выходы с ² = (2 у ) ² , или с ² = 4 у ² .
• Подставляя 4 у ² для C ² в первом уравнении ( с ² = 2 б ² ) дает нам 4 у ² = 2 б ² .
• Деление на 2 дает 2 y ² = b ² .
• Поскольку y - целое число, а 2 y ² = b ² , b ² делится на 2 и, следовательно, даже.
• Поскольку b ² четно, b должно быть четным.
• Мы только что показали, что и b, и c должны быть четными. Следовательно, у них есть общий множитель 2. Однако это противоречит предположению, что у них нет общих множителей. Это противоречие доказывает, что c и b не могут быть одновременно целыми числами, и, следовательно, существование числа, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. ^[7]

Греческие математики назвали это соотношение несоизмеримых величин alogos , или невыразимым. Гиппаса, однако, не хвалили за его усилия: согласно одной легенде, он сделал свое открытие, находясь в море, и впоследствии был выброшен за борт своими товарищами-пифагорейцами, «… за то, что создал элемент во вселенной, который отрицал… доктрину о том, что все явления во Вселенной можно свести к целым числам и их отношениям ». ^[8] Другая легенда гласит, что Гиппас был просто изгнан за это откровение. Какими бы ни были последствия для самого Гиппаса, его открытие представляло собой очень серьезную проблему для пифагорейской математики, поскольку оно разрушило предположение о неразрывности числа и геометрии - основу их теории.

Открытие несоизмеримых соотношений указывало на еще одну проблему, с которой столкнулись греки: отношение дискретного к непрерывному. Это было обнаружено Зеноном Элейским , который подверг сомнению концепцию, согласно которой количества дискретны и состоят из конечного числа единиц заданного размера. Согласно прежним греческим концепциям, они обязательно должны быть такими, поскольку «целые числа представляют собой отдельные объекты, а соизмеримое соотношение представляет собой отношение между двумя наборами дискретных объектов» ^[9], но Зенон обнаружил, что на самом деле «[количества] в целом не являются дискретные наборы единиц; вот почему появляются отношения несоизмеримых [величин]… Другими словами, [количества] непрерывны ». ^[9]Это означает, что вопреки популярной концепции времени не может быть неделимой, наименьшей единицы измерения для любой величины. Фактически, эти количественные деления обязательно должны быть бесконечными . Например, рассмотрим отрезок прямой: этот отрезок можно разделить пополам, половину - пополам, половину - пополам и так далее. Этот процесс может продолжаться бесконечно, потому что всегда остается разделить другую половину. Чем чаще сегмент делится вдвое, тем ближе единица измерения к нулю, но никогда не достигает точного нуля. Именно это и пытался доказать Зенон. Он попытался доказать это, сформулировав четыре парадокса., который продемонстрировал противоречия, присущие математической мысли того времени. Хотя парадоксы Зенона точно продемонстрировали недостатки современных математических концепций, они не рассматривались как доказательство альтернативы. В представлении греков опровержение обоснованности одной точки зрения не обязательно доказывало обоснованность другой, и поэтому требовалось дальнейшее исследование.

Следующий шаг был сделан Евдоксом Книдским , который формализовал новую теорию пропорции, которая учитывала соизмеримые, а также несоизмеримые величины. Центральным в его идее было различие между величиной и числом. Величина «... не была числом, а обозначала такие объекты, как отрезки линий, углы, площади, объемы и время, которые могли изменяться, как мы бы сказали, непрерывно. Величины были противопоставлены числам, которые прыгали от одного значения к другому, от 4 до 5. " ^[10]Числа состоят из некоторой наименьшей, неделимой единицы, тогда как величины бесконечно уменьшаются. Поскольку никакие количественные значения не были присвоены величине, Евдокс смог учесть как соизмеримые, так и несоизмеримые отношения, определяя соотношение по величине и пропорции как равенство между двумя отношениями. Убрав количественные значения (числа) из уравнения, он избежал ловушки, связанной с необходимостью выражать иррациональное число в виде числа. «Теория Евдокса позволила греческим математикам добиться огромного прогресса в геометрии, обеспечив необходимое логическое основание для несоизмеримых соотношений». ^[11] Эта несоизмеримость рассматривается в «Элементах» Евклида, книга X, предложение 9.

В результате различия между числом и величиной геометрия стала единственным методом, который мог учитывать несоизмеримые отношения. Поскольку предыдущие числовые основы все еще были несовместимы с концепцией несоизмеримости, греческий акцент сместился с таких числовых концепций, как алгебра, и сосредоточился почти исключительно на геометрии. Фактически, во многих случаях алгебраические концепции были переформулированы в геометрические термины. Это может объяснить , почему мы до сих пор мыслим х ² и х ³ , как х квадрат и х куба вместо й до второй степени и хв третью степень. Также решающее значение для работы Зенона с несоизмеримыми величинами было фундаментальное внимание к дедуктивным рассуждениям, которое явилось результатом фундаментального разрушения ранней греческой математики. Осознание того, что некоторые основные концепции существующей теории расходятся с реальностью, потребовало полного и тщательного исследования аксиом и предположений, лежащих в основе этой теории. Исходя из этой необходимости, Евдокс разработал свой метод исчерпания , своего рода reductio ad absurdum, который «... установил дедуктивную организацию на основе явных аксиом ...», а также «... подкрепил ранее принятое решение полагаться. о дедуктивных рассуждениях для доказательства ». ^[12] Этот метод исчерпания является первым шагом в создании исчисления.

Теодор из Кирены доказал иррациональность использования целых чисел до 17, но остановился на этом, вероятно, потому что алгебра, которую он использовал, не могла быть применена к квадратному корню из 17. ^[13]

Только после того, как Евдокс разработал теорию пропорции, которая учитывала иррациональные, а также рациональные соотношения, была создана прочная математическая основа иррациональных чисел. ^[14]

Индия [ править ]

Геометрические и математические проблемы, связанные с иррациональными числами, такими как квадратные корни, были решены очень рано в ведический период в Индии. Ссылки на такие вычисления есть в Самхитах , Брахманах и Шульба Сутрах (800 г. до н.э. или ранее). (См. Bag, Indian Journal of History of Science, 25 (1-4), 1990).

Предполагается, что концепция иррациональности была неявно принята индийскими математиками с 7 века до нашей эры, когда Манава (ок. 750 - 690 до н.э.) считал, что квадратные корни таких чисел, как 2 и 61, нельзя точно определить. ^[15] Однако историк Карл Бенджамин Бойер пишет, что «такие утверждения недостаточно обоснованы и вряд ли будут правдой». ^[16]

Также предполагается, что Арьябхата (V век нашей эры) при вычислении значения числа пи до 5 значащих цифр использовал слово асанна (приближение), чтобы обозначить, что это не только приближение, но и то, что значение несоизмеримо (или иррационально). .

Позже в своих трактатах индийские математики писали об арифметике сурдов, включая сложение, вычитание, умножение, рационализацию, а также разделение и извлечение квадратных корней. ^[17]

Математики, такие как Брахмагупта (в 628 году нашей эры) и Бхаскара I (в 629 году нашей эры), внесли свой вклад в эту область, как и другие математики, которые последовали за ней. В 12 веке Бхаскара II оценил некоторые из этих формул и критиковал их, выявляя их ограничения.

В течение 14-16 веков Мадхава из Сангамаграмы и керальская школа астрономии и математики открыли бесконечный ряд для нескольких иррациональных чисел, таких как π, и некоторых иррациональных значений тригонометрических функций . Джйешхадева представил доказательства этой бесконечной серии в Юктибхане . ^[18]

Средние века [ править ]

В средние века , развитие алгебры на мусульманских математиков позволили иррациональные числа , которые будут рассматриваться в качестве алгебраических объектов . ^[19] Ближневосточные математики также объединили понятия « число » и « величина » в более общую идею действительных чисел , критиковали идею соотношений Евклида , разработали теорию составных отношений и расширили понятие числа до отношений непрерывных чисел. величина. ^[20] В своем комментарии к книге 10 элементов , то персидский математик Аль-Махани(ум. 874/884) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные и кубические иррациональные. Он дал определения рациональных и иррациональных величин, которые он рассматривал как иррациональные числа. Он свободно разбирался с ними, но объясняет их геометрическими терминами следующим образом: ^[21]

«Это будет рациональным (величина), когда мы, например, скажем 10, 12, 3%, 6% и т. Д., Потому что его значение произносится и выражается количественно. То, что нерационально, является иррациональным, и его невозможно произнести и представляют его значение количественно. Например: корни чисел, таких как 10, 15, 20, которые не являются квадратами, стороны чисел, не являющиеся кубиками, и т. д. "

В отличие от евклидова концепции величин как линий, Аль-Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни - иррациональными величинами. Он также представил арифметический подход к концепции иррациональности, поскольку приписывает иррациональным величинам следующее: ^[21]

«их суммы или различия, или результаты их прибавления к рациональной величине, или результаты вычитания такой величины из иррациональной, или рациональной величины из нее».

Египетский математик Абу Камиль Shuja ибн Аслам (с 850 -. 930) был первым , чтобы принять иррациональные числа как решения квадратных уравнений или как коэффициенты в качестве уравнения , часто в виде квадратных корней, кубических корней и четвертых корней . ^[22] В 10 веке иракский математик Аль-Хашими предоставил общие доказательства (а не геометрические демонстрации) иррациональных чисел, поскольку он рассматривал умножение, деление и другие арифметические функции. ^[23] Иранский математик Абу Джафар аль-Хазин(900–971) дает определение рациональных и иррациональных величин, утверждая, что если определенная величина : ^[24]

"содержится в определенной заданной величине один или несколько раз, тогда эта (данная) величина соответствует рациональному числу ... Каждый раз, когда эта (последняя) величина составляет половину, треть или четверть данной величины (единицы) или, по сравнению с (единицей), составляет три, пять или три пятых, это рациональная величина. И, в общем, каждая величина, которая соответствует этой величине ( то есть единице), поскольку одно число к другому, является рациональным. Если, однако, величина не может быть представлена ​​как кратное, часть (1 / n ) или части ( m / n ) данной величины, это иррационально, то есть не может быть выражено кроме корней ".

Многие из этих концепций были в конечном итоге приняты европейскими математиками через некоторое время после латинских переводов XII века . Аль-Хассар , марокканский математик из Феса, специализирующийся на исламской юриспруденции наследования в XII веке, впервые упоминает об использовании дробной черты, где числители и знаменатели разделены горизонтальной чертой. В своем обсуждении он пишет: «... например, если вам говорят написать три пятых и одну треть пятого, напишите так, ». ^[25] Это же дробное представление появляется вскоре после этого в работе Леонардо Фибоначчи в 13 веке. ^[26]${\ displaystyle {\ frac {3 \ quad 1} {5 \ quad 3}}}$

Современный период [ править ]

В 17 веке мнимые числа стали мощным инструментом в руках Авраама де Муавра и особенно Леонарда Эйлера . Завершение теории комплексных чисел в XIX веке повлекло за собой дифференциацию иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные числа , доказательство существования трансцендентных чисел и возрождение научных исследований теории иррациональных чисел, которые в значительной степени игнорировались со времен Евклида . В 1872 году были опубликованы теории Карла Вейерштрасса (его ученик Эрнст Коссак), Эдуарда Гейне ( Crelle's Journal , 74), Георга Кантора.(Аннален, 5) и Ричард Дедекинд . В 1869 году Мере взял ту же отправную точку, что и Гейне, но теория обычно относится к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле в 1880 году ^[27], а метод Дедекинда получил дополнительную известность благодаря более поздним авторам. работа (1888 г.) и одобрение Пола Таннери (1894 г.). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, в то время как Дедекинд основывает свои теории на идее разреза (Шнитта) в системе всех рациональных чисел , разделяя их на две группы, обладающие определенными характеристическими свойствами. Этот предмет получил более поздние работы от Вейерштрасса,Леопольд Кронекер (Crelle, 101) и Шарль Мере .

Непрерывные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (благодаря Катальди, 1613 г.), привлекли внимание Эйлера, а в начале XIX века получили известность благодаря трудам Жозефа-Луи Лагранжа . Дирихле также внес свой вклад в общую теорию, как и многие участники, внесшие вклад в приложения этого предмета.

Иоганн Генрих Ламберт доказал (1761), что π не может быть рациональным и что e ⁿ иррационально, если n рационально (если n  = 0). ^[28] Хотя доказательство Ламберта часто называют неполным, современные оценки подтверждают его как удовлетворительное, и на самом деле для своего времени оно необычайно строгое. Адриан-Мари Лежандр (1794 г.) после введения функции Бесселя – Клиффорда представил доказательство, показывающее, что π ² иррационально, откуда немедленно следует, что π также иррационально. Существование трансцендентных чисел было впервые установлено Лиувиллем (1844, 1851). Позже Георг Кантор(1873) доказал их существование другим методом , который показал, что каждый интервал вещественных чисел содержит трансцендентные числа. Эрмит (1873) первым доказал е трансцендентное, и Фердинанд фон Линдеман (1882), исходя из выводов Эрмита, показал то же самое для я. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885 г.), еще дальше - Дэвидом Гильбертом (1893 г.) и, наконец, стало элементарным благодаря Адольфу Гурвицу ^{[ необходима цитата ]} и Полю Гордану . ^[29]

Примеры [ править ]

Квадратные корни [ править ]

Квадратный корень из 2 был первый номер доказанного иррациональный, и что статья содержит ряд доказательств. Золотое сечение является еще одним известным квадратичным иррациональным числом. Квадратные корни всех натуральных чисел, которые не являются полными квадратами , иррациональны, и доказательство можно найти в квадратичных иррациональных числах .

Общие корни [ править ]

Приведенное выше доказательство для квадратного корня из двух можно обобщить, используя основную теорему арифметики . Это утверждает, что каждое целое число имеет уникальную факторизацию на простые числа. Используя его, мы можем показать, что если рациональное число не является целым числом, то его целая степень не может быть целым числом, так как в младших членах в знаменателе должно быть простое число, которое не делится на числитель независимо от степени, в которую каждое число возводится в . Поэтому, если целое не является точной K - ю степень другого числа, то , что первое число в к - й корень является иррациональным.

Логарифмы [ править ]

Возможно, числа, которые легче всего доказать иррациональными, - это определенные логарифмы . Вот доказательство от противного, что log ₂  3 иррационально (log ₂  3 ≈ 1,58> 0).

Предположим, что log ₂  3 рационально. Для некоторых натуральных чисел m и n имеем

${\ displaystyle \ log _ {2} 3 = {\ frac {m} {n}}.}$

Следует, что

${\displaystyle 2^{m/n}=3}$

${\displaystyle (2^{m/n})^{n}=3^{n}}$

${\displaystyle 2^{m}=3^{n}.}$

Однако число 2, возведенное в любую степень положительного целого числа, должно быть четным (потому что оно делится на 2), а число 3, возведенное в любую степень положительного целого числа, должно быть нечетным (поскольку ни один из его простых делителей не будет равен 2). Ясно, что целое число не может быть одновременно четным и нечетным: приходим к противоречию. Единственное предположение, которое мы сделали, заключалось в том, что log ₂  3 рационально (и поэтому выражается как частное целых чисел m / n с n  0). Противоречие означает, что это предположение должно быть ложным, т.е. log ₂  3 иррационально и никогда не может быть выражено как частное целых чисел m / n с n  0.

 Аналогичным образом можно рассматривать такие случаи, как log ₁₀ 2.

Типы [ править ]

• Теоретико-числовое различие: трансцендентный / алгебраический
• нормальный / ненормальный (ненормальный)

Трансцендентный / алгебраический [ править ]

Почти все иррациональные числа трансцендентны, и все реальные трансцендентные числа иррациональны (есть также комплексные трансцендентные числа): в статье о трансцендентных числах приводится несколько примеров. Таким образом, e ^r и π ^r иррациональны для всех ненулевых рациональных  r , и, например, e ^π  тоже иррационально.  

Иррациональные числа также могут быть найдены в пределах счетного множества действительных алгебраических чисел ( по существу , определяются как реальные корни из многочленов с целыми коэффициентами), то есть, в качестве действительных решений полиномиальных уравнений

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0\;,}$

где коэффициенты - целые числа и . Любой рациональный корень этого многочлена уравнения должны иметь вид г / с , где г является делителем из в ₀ , и ев является делителем в _п . Если действительный корень многочлена не входит в число этих конечных возможностей, это должно быть иррациональное алгебраическое число. Примерное доказательство существования таких алгебраических иррациональных чисел состоит в том, чтобы показать, что x ₀  = (2 ^1/2  + 1) ^1/3${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{n}\neq 0}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle p}$является иррациональным корнем многочлена с целыми коэффициентами: он удовлетворяет ( x ³  - 1) ² = 2 и, следовательно, x ⁶  - 2 x ³  - 1 = 0, и этот последний многочлен не имеет рациональных корней (единственными кандидатами для проверки являются ± 1, и  x ₀ , будучи больше 1, не является ни одним из них), поэтому  x ₀ - иррациональное алгебраическое число.

Поскольку алгебраические числа образуют подполе действительных чисел, многие иррациональные действительные числа могут быть построены путем комбинирования трансцендентных и алгебраических чисел. Например, 3 π  + 2, π  +  √ 2 и e √ 3 иррациональны (и даже трансцендентны).

Десятичные разложения [ править ]

Десятичное разложение иррационального числа никогда не повторяется и не заканчивается (последнее эквивалентно повторяющимся нулям), в отличие от любого рационального числа. То же самое верно для двоичных , восьмеричных или шестнадцатеричных расширений и в целом для расширений во всех позиционных обозначениях с естественным основанием.

Чтобы показать это, предположим, что мы делим целые числа n на m (где m ненулевое). Когда деление в столбик применяется к делению n на m , возможны только m остатков. Если 0 появляется как остаток, десятичное раскрытие завершается. Если 0 никогда не встречается, то алгоритм может выполнить не более m - 1 шагов без использования остатка более одного раза. После этого должен повториться остаток, а затем повторяется десятичное разложение.

И наоборот, предположим, что мы сталкиваемся с повторяющимся десятичным числом , мы можем доказать, что это дробь двух целых чисел. Например, рассмотрим:

${\displaystyle A=0.7\,162\,162\,162\,\ldots }$

Здесь повторяется 162, а длина повторения равна 3. Сначала мы умножаем на соответствующую степень 10, чтобы переместить десятичную запятую вправо так, чтобы она находилась прямо перед повторением. В этом примере мы умножим на 10, чтобы получить:

${\displaystyle 10A=7.162\,162\,162\,\ldots }$

Теперь мы умножаем это уравнение на 10 ^r, где r - длина повтора. Это приводит к перемещению десятичной точки перед «следующим» повторением. В нашем примере умножим на 10 ³ :

${\displaystyle 10,000A=7\,162.162\,162\,\ldots }$

Результат двух умножений дает два различных выражения с точно такой же «десятичной части», то есть, конец хвоста 10000 A соответствует хвостовой конец 10 А точно. Здесь и 10 000 A, и 10 A имеют 0,162 162 162 ... после десятичной точки.

Следовательно, когда мы вычитаем уравнение 10 А из уравнения 10000 А , хвостовая часть 10 А отменяет хвостовую часть 10 000 А, оставляя нас с:

${\displaystyle 9990A=7155.}$

потом

${\displaystyle A={\frac {7155}{9990}}}$

представляет собой отношение целых чисел и, следовательно, рациональное число.

Иррациональные силы [ править ]

Дов Джарден дал простое неконструктивное доказательство того, что существуют два иррациональных числа a и b , такие что a ^b рационально: ^[30]

Рассмотрим √ 2 ^{√ 2} ; если это рационально, то возьмем a = b = √ 2 . В противном случае возьмем a иррациональное число √ 2 ^{√ 2} и b = √ 2 . Тогда a ^b = ( √ 2 ^{√ 2} ) ^{√ 2} = √ 2 ^{√ 2 · √ 2} = √ 2 ² = 2, что является рациональным.

Хотя приведенные выше рассуждения не решает , между этими двумя случаями, то теорема Gelfond-Schneider показывает , что √ 2 ^{√ 2} есть трансцендентное , следовательно , нерационально. Эта теорема утверждает, что если a и b являются алгебраическими числами , а a не равно 0 или 1, а b не является рациональным числом, то любое значение a ^b является трансцендентным числом (может быть более одного значения, если используется возведение в степень комплексного числа ).

Пример, обеспечивающий простое конструктивное доказательство, - ^[31]

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)^{\log _{\sqrt {2}}3}=3.}$

База левой части иррациональна, а правая часть рациональна, поэтому нужно доказать, что показатель в левой части ,, иррационален. Это потому, что по формуле, связывающей логарифмы с разными основаниями,${\displaystyle \log _{\sqrt {2}}3}$

${\displaystyle \log _{\sqrt {2}}3={\frac {\log _{2}3}{\log _{2}{\sqrt {2}}}}={\frac {\log _{2}3}{1/2}}=2\log _{2}3}$

что мы можем предположить, ради установления противоречия , равно отношению m / n натуральных чисел. Тогда, следовательно, следовательно, следовательно , что является противоречивой парой простых факторизаций и, следовательно, нарушает основную теорему арифметики (единственная простая факторизация).${\displaystyle \log _{2}3=m/2n}$${\displaystyle 2^{\log _{2}3}=2^{m/2n}}$${\displaystyle 3=2^{m/2n}}$${\displaystyle 3^{2n}=2^{m}}$

Более сильный результат состоит в следующем: ^[32] Каждый рациональное число в интервале можно записать либо как в ^а в течение некоторого иррационального числа а или п ^п для некоторого натурального числа п . Аналогично, ^[32] каждое положительное рациональное число может быть записано либо как для некоторого иррационального числа a, либо как для некоторого натурального числа n .${\displaystyle ((1/e)^{1/e},\infty )}$${\displaystyle a^{a^{a}}}$${\displaystyle n^{n^{n}}}$

Открытые вопросы [ править ]

Неизвестно, является ли (или ) иррациональным. На самом деле не существует пары ненулевых целых чисел, для которой известно, является ли она иррациональной. Кроме того, не известно , если множество является алгебраически независимы над .${\displaystyle \pi +e}$${\displaystyle \pi -e}$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle m\pi +ne}$${\displaystyle \{\pi ,e\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Не известно , если постоянная каталана или постоянная Эйлера-Mascheroni иррациональны. ^{[33] [34] [35]} Неизвестно, является ли одна из тетраций или рациональна для некоторого целого числа ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \pi e,\ \pi /e,\ 2^{e},\ \pi ^{e},\ \pi ^{\sqrt {2}},\ \ln \pi ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle ^{n}\pi }$${\displaystyle ^{n}e}$${\displaystyle n>1.}$

Набор всех иррациональных [ править ]

Поскольку действительные числа образуют неисчислимое множество, из которых рациональные числа являются счетным подмножеством, дополнительный набор иррациональных чисел неисчислим.

При обычной ( евклидовой ) функции расстояния d ( x ,  y ) = | x  -  y |, действительные числа являются метрическим пространством, а значит, и топологическим пространством . Ограничение функции евклидова расстояния придает иррациональным числам структуру метрического пространства. Поскольку подпространство иррациональных чисел не замкнуто, индуцированная метрика не является полной . Однако, будучи G-дельта-множеством, т. Е. Счетным пересечением открытых подмножеств, в полном метрическом пространстве пространство иррациональных чисел полностью метризуемо.: то есть существует метрика на иррациональных числах, порождающая ту же топологию, что и ограничение евклидовой метрики, но относительно которой иррациональные числа полны. Это можно увидеть, не зная вышеупомянутого факта о G-дельта-множествах: расширение непрерывной дроби иррационального числа определяет гомеоморфизм из пространства иррациональных чисел в пространство всех последовательностей натуральных чисел, которое, как легко видеть, полностью метризуемо.

Более того, множество всех иррациональных чисел является несвязным метризуемым пространством. Фактически, иррациональные числа, снабженные топологией подпространства, имеют базис из закрытых множеств, поэтому пространство нульмерно.

См. Также [ править ]

• Число Брьюно
• Вычислимое число
• Диофантово приближение
• Доказательство того, что е иррационально
• Доказательство иррациональности π
• Корень квадратный из 3
• Корень квадратный из 5
• Тригонометрическое число

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Адриан-Мари Лежандр , Éléments de Géometrie , Note IV, (1802), Париж
• Рольф Валлиссер, «О доказательстве Ламбертом иррациональности числа π», в « Алгебраической теории чисел и диофантовом анализе» , Франц Хальтер-Кох и Роберт Ф. Тичи, (2000), Вальтер де Грюйер

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме иррациональных чисел .

• Парадоксы Зенона и несоизмеримость (nd). Проверено 1 апреля 2008 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Иррациональное число» . MathWorld .