Повторяющаяся десятичная дробь

Повторение десятичной или повторяющихся десятичной является десятичное представление ряда , чьи цифры являются периодические (повторяя свои значения через равные промежутки времени) , и бесконечно повторяется часть не равна нулю . Можно показать, что число рационально тогда и только тогда, когда его десятичное представление повторяется или заканчивается (т.е. все, кроме конечного числа цифр, равны нулю). Например, десятичное представление1/3становится периодическим сразу после десятичной точки , повторяя одну цифру "3" навсегда, то есть 0,333 .... Более сложный пример:3227/555, десятичная дробь которой становится периодической на второй цифре, следующей за десятичной точкой, а затем повторяет последовательность «144» бесконечно, т.е. 5,8144144144 .... В настоящее время не существует единой общепринятой системы обозначений или формулировки для повторения десятичных знаков.

Бесконечно повторяющаяся последовательность цифр называется рефрен или reptend . Если повторяющееся число равно нулю, это десятичное представление называется завершающим десятичным числом, а не повторяющимся десятичным числом, поскольку нули могут быть опущены, а десятичное число заканчивается перед этими нулями. ^[1] Каждое оконечные десятичное представление может быть записано в виде десятичной дроби , дроби, знаменатель которой является сила 10 (например , 1,585 =1585/1000); это также может быть записано как отношение формыk/2 ^п 5 ^м(например, 1,585 =317/2 ³ 5 ²). Однако каждое число с завершающим десятичным представлением также тривиально имеет второе, альтернативное представление как повторяющееся десятичное число, повторяющееся число которого равно цифре 9 . Это достигается уменьшением последней (самой правой) ненулевой цифры на единицу и добавлением повторяющейся цифры 9. 1.000 ... = 0,999 ... и 1,585000 ... = 1,584999 ... два примера этого. (Этот тип повторяющейся десятичной дроби может быть получен путем длинного деления, если используется модифицированная форма обычного алгоритма деления . ^[2] )

Любое число, которое нельзя выразить как отношение двух целых чисел , называется иррациональным . Их десятичное представление не заканчивается и не повторяется бесконечно, но продолжается бесконечно без регулярного повторения. Примеры таких иррациональных чисел - квадратный корень из 2 и π .

Фон [ править ]

Обозначение [ править ]

Существует несколько условных обозначений для представления повторяющихся десятичных знаков. Ни один из них не принят повсеместно.

• В США , Канаде , Индии , Франции , Германии , Швейцарии , Чехии и Словакии принято проводить горизонтальную линию ( винкулум ) над повторителем. (См. Примеры в таблице ниже, столбец Vinculum.)
• В Соединенном Королевстве , Новой Зеландии , Австралии , Южной Корее и материковом Китае принято размещать точки над крайними цифрами повтора. (См. Примеры в таблице ниже, столбец Точки.)
• В некоторых странах Европы , Вьетнаме и России повторяется в скобках . (См. Примеры в таблице ниже, в круглых скобках столбца.) Это может вызвать путаницу с обозначением стандартной неопределенности .
• В Испании и некоторых странах Латинской Америки обозначение дуги над репендом также используется как альтернатива обозначению винкулума и точек. (См. Примеры в таблице ниже, столбец Arc.)
• Неформально повторяющиеся десятичные дроби часто представлены многоточием (три точки, 0,333 ...), особенно когда предыдущие условные обозначения впервые изучаются в школе. Это обозначение вносит неопределенность в отношении того, какие цифры следует повторять и даже есть ли повторение вообще, поскольку такие эллипсы также используются для иррациональных чисел ; π , например, можно представить как 3,14159 ....

Примеры

Дробная часть	Винкулум	Точки	Скобки	Дуга	Многоточие
1/9	0. 1	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}}}$	0. (1)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {1}}}$	0,111 ...
1/3 знак равно 3/9	0. 3	${\ displaystyle 0. {\ dot {3}}}$	0. (3)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {3}}}$	0,333 ...
2/3 знак равно 6/9	0. 6	${\ displaystyle 0. {\ dot {6}}}$	0. (6)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {6}}}$	0,666 ...
9/11 знак равно 81 год/99	0. 81	${\ displaystyle 0. {\ dot {8}} {\ dot {1}}}$	0. (81)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {81}}}$	0,8181 ...
7/12 знак равно 525/900	0,58 3	${\ displaystyle 0.58 {\ dot {3}}}$	0,58 (3)	${\ displaystyle 0,58 {\ overset {\ frown} {3}}}$	0,58 333 ...
1/7 знак равно 142857/999999	0. 142857	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	0. (142857)	[3]	0,142857 142857 ...
1/81 год знак равно 12345679/999999999	0. 012345679	${\ displaystyle 0. {\ dot {0}} 1234567 {\ dot {9}}}$	0. (012345679)	[3]	0,012345679 012345679 ...
22/7 знак равно 3142854/999999	3. 142857	${\ displaystyle 3. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	3. (142857)	[3]	3,142857 142857 ...

В английском языке есть несколько способов прочитать вслух повторяющиеся десятичные дроби. Например, 1,2 34 может читаться как «одна запятая два, повторение трех четырех», «одна запятая два, повторяющихся три четыре», «одна запятая два, повторяющихся три четыре», «одна запятая два, повторение трех четырех» или «одна запятая два в бесконечность три четыре".

Десятичная дробь и последовательность повторения [ править ]

Чтобы преобразовать рациональное число, представленное в виде дроби, в десятичную форму, можно использовать деление в столбик . Например, рассмотрим рациональное число5/74:

  0,0 675 74) 5,00000 4,44 560 518 420 370 500

и т.д. Обратите внимание, что на каждом шаге у нас есть остаток; последовательные остатки, показанные выше, равны 56, 42, 50. Когда мы получаем 50 в качестве остатка и опускаем «0», мы обнаруживаем, что делим 500 на 74, что является той же проблемой, с которой мы начали. Следовательно, повторяется десятичная дробь: 0,0675 675 675 ....

Каждое рациональное число является либо завершающим, либо повторяющимся десятичным числом [ править ]

Для любого данного дивизора может встречаться только конечное число различных остатков. В приведенном выше примере 74 возможных остатка равны 0, 1, 2, ..., 73. Если в любой точке деления остаток равен 0, раскрытие завершается в этой точке. Тогда длина повтора, также называемая «периодом», определяется равной 0.

Если 0 никогда не встречается в качестве остатка, то процесс деления продолжается вечно, и в конечном итоге должен возникнуть остаток, который имел место раньше. Следующий шаг в делении даст ту же новую цифру в частном и такой же новый остаток, как и в предыдущий раз, остаток был таким же. Следовательно, следующее деление повторит те же результаты. Повторяющаяся последовательность цифр называется «повторять», она имеет определенную длину больше 0, также называемую «периодом». ^[4]

Каждое повторяющееся или завершающееся десятичное число является рациональным числом [ править ]

Каждое повторяющееся десятичное число удовлетворяет линейному уравнению с целыми коэффициентами, а его единственным решением является рациональное число. Чтобы проиллюстрировать последний пункт, число α = 5,8144144144 ... выше удовлетворяет уравнению 10000 α - 10 α = 58144,144144 ... - 58,144144 ... = 58086 , решение которого α =58086/9990 знак равно 3227/555. Процесс того, как найти эти целочисленные коэффициенты, описан ниже .

Таблица значений [ править ]

Таким образом, L - длина повтора.

Повторяющиеся длины 1/п, n = 1, 2, 3, ..., являются:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (последовательность A051626 в OEIS ).

Повторение 1/п, n = 1, 2, 3, ..., являются:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (последовательность A036275 в OEIS ).

Повторяющиеся длины 1/п, p = 2, 3, 5, ... ( n- е простое число), являются:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (последовательность A002371 в OEIS ).

Наименьшие простые числа p, для которых1/пимеет длину повтора n , n = 1, 2, 3, ..., являются:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (последовательность A007138 в OEIS ).

Наименьшие простые числа p, для которыхk/пимеет n различных циклов ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., являются:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (последовательность A054471 в OEIS ).

Дроби с простыми знаменателями [ править ]

Фракция в условиях низких с простым знаменателе, кроме 2 или 5 (то есть взаимно простой до 10) всегда производит повторяющуюся десятичную. Длина повтора (период повторяющегося десятичного сегмента)1/правен порядку 10 по модулю p . Если 10 - примитивный корень по модулю p , длина повторения равна p  - 1; в противном случае длина повторяющегося продолжения множится в p  - 1. Этот результат можно вывести из малой теоремы Ферма , которая утверждает, что 10 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ) .

Повторение по основанию 10 обратной величины любого простого числа больше 5 делится на 9. ^[5]

Если повторяющаяся длина 1/песли простое число p равно p  - 1, то повторяющееся число, выраженное целым числом, называется циклическим числом .

Циклические числа [ править ]

Примеры фракций, принадлежащих к этой группе:

• 1/7= 0. 142857 , 6 повторяющихся цифр
• 1/17= 0. 0588235294117647 , 16 повторяющихся цифр
• 1/19= 0. 052631578947368421 , 18 повторяющихся цифр
• 1/23= 0. 0434782608695652173913 , 22 повторяющиеся цифры
• 1/29= 0. 0344827586206896551724137931 , 28 повторяющихся цифр
• 1/47= 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 повторяющихся цифр
• 1/59= 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 повторяющихся цифр
• 1/61= 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 повторяющихся цифр
• 1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 повторяющихся цифр

Список может включать дроби. 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193и т. д. (последовательность A001913 в OEIS ).

Каждое собственное кратное циклического числа (то есть кратное, имеющее одинаковое количество цифр) является вращением:

• 1/7 = 1 × 0,142857 ... = 0,142857 ...
• 2/7 = 2 × 0,142857 ... = 0,285714 ...
• 3/7 = 3 × 0,142857 ... = 0,428571 ...
• 4/7 = 4 × 0,142857 ... = 0,571428 ...
• 5/7 = 5 × 0,142857 ... = 0,714285 ...
• 6/7 = 6 × 0,142857 ... = 0,857142 ...

Причина циклического поведения очевидна из арифметического упражнения на деление чисел в столбик. 1/7: последовательные остатки представляют собой циклическую последовательность {1, 3, 2, 6, 4, 5} . См. Также статью 142 857, чтобы узнать больше о свойствах этого циклического числа.

Таким образом, циклическая дробь имеет повторяющуюся десятичную дробь четной длины, которая делится на две последовательности в форме дополнения до девяти . Например1/7 начинается "142", за ним следует "857", а 6/7(по очереди) начинается с "857", за которым следует его девятка, дополняющая "142".

Собственный простой является простым р , который заканчивается в цифре 1 , в основании 10 и чьи взаимные в базе 10 имеет рефрен с длиной р  - 1. В таких простых чисел, каждая из цифр 0, 1, ..., 9 появляется в повторяющихся последовательность такое же количество раз, как и каждая другая цифра (а именно,п  - 1/10раз). Это: ^{[6] : 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861, ... (последовательность A073761 в OEIS ).

Простое число является правильным тогда и только тогда, когда оно является полным повторением простого числа и конгруэнтно 1 по модулю 10.

Если простое число p одновременно является простым числом с полным повторением и безопасным простым числом , то1/псоздаст поток из p  - 1 псевдослучайных цифр . Эти простые числа

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, ... (последовательность A000353 в OEIS ).

Другие значения, обратные простым числам [ править ]

Вот некоторые значения, обратные простым числам, которые не порождают циклические числа:

• 1/3= 0. 3 , который имеет период (длину повтора), равный 1.
• 1/11= 0. 09 , который имеет период 2.
• 1/13= 0,076923 с периодом 6.
• 1/31 год= 0. 032258064516129 с периодом 15.
• 1/37= 0,027 с периодом 3.
• 1/41 год= 0,02439 с периодом 5.
• 1/43 год= 0. 023255813953488372093 с периодом 21.
• 1/53= 0. 0188679245283 с периодом 13.
• 1/67= 0. 014925373134328358208955223880597 , что имеет период 33.

(последовательность A006559 в OEIS )

Причина в том, что 3 - делитель 9, 11 - делитель 99, 41 - делитель 99999 и т. Д. Чтобы найти период 1/п, мы можем проверить, делит ли простое число p некоторое число 999 ... 999, в котором количество цифр делит p  - 1. Поскольку период никогда не превышает p  - 1, мы можем получить это, вычислив10 ^{п −1} - 1/п. Например, для 11 получаем

${\ displaystyle {\ frac {10 ^ {11-1} -1} {11}} = 909090909}$

а затем путем осмотра найдите Repetend 09 и период 2.

Эти значения, обратные простым числам, могут быть связаны с несколькими последовательностями повторяющихся десятичных знаков. Например, кратные1/13можно разделить на два набора с разными повторами. Первый набор:

• 1/13 = 0,076923 ...
• 10/13 = 0,769230 ...
• 9/13 = 0,692307 ...
• 12/13 = 0,923076 ...
• 3/13 = 0,230769 ...
• 4/13 = 0,307692 ...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перегруппировку 076923. Второй набор:

• 2/13 = 0,153846 ...
• 7/13 = 0,538461 ...
• 5/13 = 0,384615 ...
• 11/13 = 0,846153 ...
• 6/13 = 0,461538 ...
• 8/13 = 0,615384 ...,

где повторение каждой дроби представляет собой циклическую перегруппировку 153846.

В общем, набор собственных кратных обратных чисел простого p состоит из n подмножеств, каждое с повторяющейся длиной  k , где nk  =  p  - 1.

Правило Totient [ править ]

Для произвольного целого числа n длина L ( n ) десятичного повторения1/пделит φ ( n ), где φ - общая функция . Длина равна φ ( n ) тогда и только тогда, когда 10 является первообразным корнем по модулю n . ^[7]

В частности, отсюда следует, что L ( p ) = p - 1 тогда и только тогда, когда p - простое число, а 10 - первообразный корень по модулю p . Тогда десятичные разложенияп/пдля n = 1, 2, ..., p  - 1 все имеют период p  - 1 и отличаются только циклической перестановкой. Такие числа p называются полными повторяющимися простыми числами .

Обратные значения составных целых чисел взаимно просты с 10 [ править ]

Если p - простое число, отличное от 2 или 5, десятичное представление дроби1/п ² повторяет:

1/49= 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

Период (длина повтора) L (49) должен быть множителем λ (49) = 42, где λ ( n ) известна как функция Кармайкла . Это следует из теоремы Кармайкла, которая гласит, что если n - натуральное число, то λ ( n ) - наименьшее целое число m такое, что

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

для любого целого числа a , взаимно простого с n .

Период 1/п ²обычно pT _p , где T _p - период1/п. Есть три известных простых числа, для которых это неверно, а для тех, что период1/п ² совпадает с периодом 1/ппотому что p ² делит 10 ^{p −1} −1. Эти три простых числа - 3, 487 и 56598313 (последовательность A045616 в OEIS ). ^[8]

Точно так же период 1/p ^kобычно p ^{k –1} T _p

Если p и q - простые числа, отличные от 2 или 5, десятичное представление дроби1/pqповторяется. Примером является1/119:

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = НОК ( λ (7), λ (17)) = НОК (6, 16) = 48,

где LCM обозначает наименьшее общее кратное .

Период Т из1/pqмножитель λ ( pq ), в данном случае он равен 48:

1/119= 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

Период Т из1/pq- это НОК ( T _p ,  T _q ), где T _p - период1/па T _q - период1/q.

Если p , q , r и т. Д. - простые числа, отличные от 2 или 5, а k , l , m и т. Д. - положительные целые числа, то

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{l}r^{m}\cdots }}}$

это повторяющееся десятичное число с периодом

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{l}},T_{r^{m}},\ldots )}$

где T _{p ^k} , T _{q ^l} , T _{r ^m} , ... - соответственно период повторяющихся десятичных знаков.1/p ^k, 1/q ^l, 1/г ^м, ... как определено выше.

Обратные значения целых чисел не взаимно просты с 10 [ править ]

Целое число, которое не является взаимно простым с 10, но имеет простой множитель, отличный от 2 или 5, имеет обратную величину, которая в конечном итоге является периодической, но с неповторяющейся последовательностью цифр, которая предшествует повторяющейся части. Взаимное выражение может быть выражено как:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}5^{b}p^{k}q^{l}\cdots }}\,,}$

где a и b не равны нулю.

Эта доля также может быть выражена как:

${\displaystyle {\frac {5^{a-b}}{10^{a}p^{k}q^{l}\cdots }}\,,}$

если a > b , или как

${\displaystyle {\frac {2^{b-a}}{10^{b}p^{k}q^{l}\cdots }}\,,}$

если b > a , или как

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{l}\cdots }}\,,}$

если a = b .

Десятичная дробь имеет:

• Начальная переходный процесс Макса ( ,  б ) цифр после запятой. Некоторые или все цифры переходного процесса могут быть нулями.
• Последующее повторение, такое же, как и для дроби 1/p ^k q ^l ⋯.

Например 1/28 год= 0,03 571428 :

• a = 2, b = 0, а остальные множители p ^k q ^l ⋯ = 7
• есть 2 начальные неповторяющиеся цифры, 03; и
• 6 повторяющихся цифр, 571428, столько же, сколько 1/7 имеет.

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби [ править ]

Учитывая повторяющуюся десятичную дробь, можно вычислить дробь, которая его произвела. Например:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=0.333333\ldots \\10x&=3.333333\ldots \quad &{\text{(multiplying each side of the above line by 10)}}\\9x&=3&{\text{(subtracting the 1st line from the 2nd)}}\\x&={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}&{\text{(reducing to lowest terms)}}\\\end{alignedat}}}$

Другой пример:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=\ \ \ \ 0.836363636\ldots \\10x&=\ \ \ \ 8.36363636\ldots \quad &{\text{(multiplying by a power of 10 to move decimal to start of repetition)}}\\1000x&=836.36363636\ldots &{\text{(multiplying by a power of 100 to move decimal to end of first repeating decimal)}}\\990x&=828&{\text{(subtracting to clear decimals)}}\\x&={\frac {828}{990}}={\frac {18\times 46}{18\times 55}}={\frac {46}{55}}.\end{alignedat}}}$

Ярлык [ править ]

Описанная ниже процедура может применяться, в частности, если повторение имеет n цифр, все из которых равны 0, кроме последней, равной 1. Например, для n  = 7:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&={\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

Таким образом, эта повторяющаяся десятичная дробь соответствует дроби 1/10 ^п  - 1, где знаменатель - это число, записанное в виде n цифр 9. Зная это, обычную повторяющуюся десятичную дробь можно выразить в виде дроби, не решая уравнения. Например, можно рассуждать:

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\frac {73}{10}}+{\frac {9\times 2}{9\times 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[12pt]&={\frac {11\times 73+10\times 2}{10\times 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

Можно получить общую формулу, выражающую повторяющуюся десятичную дробь с n- значным периодом (длина повторения ), начинающуюся сразу после десятичной точки:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\\x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

Более явно, можно получить следующие случаи:

Если повторение десятичного находится в диапазоне от 0 до 1, и повторяющегося блока п сегментного табло длиной, первое происходит сразу после десятичной точки, то дробь (не обязательно уменьшается) будет целое число , представленным п -значного блока , деленный на один представлен n цифрами 9. Например,

• 0,444444 ... = 4/9 поскольку повторяющийся блок равен 4 (блок из 1 цифры),
• 0,565656 ... = 56/99 поскольку повторяющийся блок равен 56 (блок из 2 цифр),
• 0,012012 ... = 12/999поскольку повторяющийся блок равен 012 (блок из 3 цифр); это далее сводится к4/333.
• 0,999999 ... = 9/9 = 1, так как повторяющийся блок равен 9 (также однозначный блок)

Если повторение десятичное, как указаны выше, за исключением того, что есть к (дополнительный) цифр от 0 между десятичной точкой и повторяющимся п -значного блоком, то можно просто добавить к цифрам 0 после того , как п знаки 9 знаменателя (и, как ранее дробь может быть впоследствии упрощена). Например,

• 0,000444 ... = 4/9000 поскольку повторяющийся блок равен 4 и этому блоку предшествуют 3 нуля,
• 0,005656 ... = 56/9900 поскольку повторяющийся блок равен 56 и ему предшествуют 2 нуля,
• 0,00012012 ... = 12/99900 знак равно 1/8325 поскольку повторяющийся блок равен 012, и ему предшествуют 2 нуля.

Любое повторяющееся десятичное число, отличное от формы, описанной выше, может быть записано как сумма завершающего десятичного числа и повторяющегося десятичного числа одного из двух вышеуказанных типов (на самом деле достаточно первого типа, но для этого может потребоваться, чтобы завершающее десятичное число было отрицательным). Например,

• 1,23444 ... = 1,23 + 0,00444 ... = 123/100 + 4/900 знак равно 1107/900 + 4/900 знак равно 1111/900
  • или альтернативно 1,23444 ... = 0,79 + 0,44444 ... = 79/100 + 4/9 знак равно 711/900 + 400/900 знак равно 1111/900
• 0,3789789 ... = 0,3 + 0,0789789 ... = 3/10 + 789/9990 знак равно 2997/9990 + 789/9990 знак равно 3786/9990 знак равно 631/1665
  • или альтернативно 0,3789789 ... = -0,6 + 0,9789789 ... = -6/10 + 978/999 = -5994/9990 + 9780/9990 знак равно 3786/9990 знак равно 631/1665

Еще более быстрый способ - полностью игнорировать десятичную точку и делать это так

• 1,23444 ... = 1234–123/900 знак равно 1111/900 (в знаменателе одна 9 и два нуля, потому что одна цифра повторяется, а после десятичной точки есть две неповторяющиеся цифры)
• 0,3789789 ... = 3789 - 3/9990 знак равно 3786/9990 (в знаменателе три девятки и один 0, потому что три цифры повторяются, а после десятичной точки стоит одна неповторяющаяся цифра)

Отсюда следует, что любую повторяющуюся десятичную дробь с периодом n и k цифр после десятичной точки, которые не принадлежат повторяющейся части, можно записать как (не обязательно уменьшенную) дробь, знаменатель которой равен (10 ⁿ  - 1) 10 ^k .

И наоборот, период повторяющейся десятичной дроби c/dбудет (не больше) наименьшим числом n такое, что 10 ⁿ  - 1 делится на d .

Например, дробь 2/7имеет d = 7, а наименьшее k , делающее 10 ^k  - 1 делимым на 7, равно k = 6, потому что 999999 = 7 × 142857. Период дроби2/7 поэтому 6.

Повторение десятичных знаков как бесконечный ряд [ править ]

Повторяющаяся десятичная дробь также может быть выражена как бесконечный ряд . То есть повторяющуюся десятичную дробь можно рассматривать как сумму бесконечного числа рациональных чисел. Возьмем простейший пример:

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

Вышеупомянутый ряд представляет собой геометрический ряд с первым членом как1/10 и общий фактор 1/10. Поскольку абсолютное значение общего множителя меньше 1, мы можем сказать, что геометрический ряд сходится, и найти точное значение в виде дроби, используя следующую формулу, где a - первый член ряда, а r - это Общий делитель.

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

По аналогии,

${\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+{\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px]\implies &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6}}}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}$

Умножение и циклическая перестановка [ править ]

Циклическое поведение повторения десятичных знаков при умножении также приводит к построению целых чисел, которые циклически переставляются при умножении на определенные числа. Например, 102564 × 4 = 410256 . 102564 - это повторение4/39 и 410256 повторитель 16/39.

Другие свойства длин повторов [ править ]

Различные свойства длин повторений (периодов) даны Митчеллом ^[9] и Диксоном. ^[10]

• Период 1/kдля целого k всегда ≤  k  - 1.

• Если p простое, период1/пделится на p  - 1.

• Если k составное, период1/kстрого меньше k  - 1.

• Период c/k, для c, взаимно простого с k , равняется периоду1/k.

• Если k  = 2 ^a 5 ^b n, где n  > 1 и n не делится на 2 или 5, то длина переходного процесса1/kравно max ( a ,  b ), а период равен r , где r - наименьшее целое число, такое что 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .

• Если p , p ′ , p ″ , ... различные простые числа, то период1/p p ′ p ″ ⋯ равняется наименьшему общему кратному периодов 1/п, 1/п', 1/п", ....

• Если k и k ′ не имеют общих простых множителей, кроме 2 или 5, то период1/kk ′ равно наименьшему общему кратному периодов 1/k и 1/k ′.

• Для простого p , если

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}}}\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

для какого-то м , но

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+1}}}\right),}$

то при c  ≥ 0 имеем

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right).}$

• Если p - собственное простое число, оканчивающееся на 1, то есть если повторение1/пявляется циклическим числом длины p  - 1 и p = 10 h  + 1 для некоторого h , то каждая цифра 0, 1, ..., 9 появляется в повторении ровно h = п  - 1/10 раз.

О некоторых других свойствах повторяющихся элементов см. Также. ^[11]

Расширение на другие базы [ править ]

Различные функции повторяющихся десятичных знаков распространяются на представление чисел во всех других целочисленных базах, а не только в основе 10:

• Любое действительное число может быть представлено как целая часть, за которой следует точка счисления (обобщение десятичной точки в недесятичных системах), за которой следует конечное или бесконечное количество цифр .
• Если основание является целым числом, завершающая последовательность, очевидно, представляет собой рациональное число.
• У рационального числа есть завершающая последовательность, если все простые множители знаменателя полностью сокращенной дробной формы также являются множителями основания. Эти цифры составляют плотное множество в Q и R .
• Если позиционная система счисления стандартная, то есть имеет основание

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \setminus \{-1,0,1\}}$

в сочетании с последовательным набором цифр

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}}$

с r  : = | б | , d _r  : = d ₁ + r - 1 и 0 ∈ D , то завершающая последовательность, очевидно, эквивалентна той же последовательности с непрекращающейся повторяющейся частью, состоящей из цифры 0. Если основание положительное, то существует порядок гомоморфизм из лексикографического порядка из правосторонней бесконечных строк над алфавитом D в некоторый замкнутый интервал реала, который отображает строку 0. ₁ A ₂ ..._n d _b и0. A ₁ A ₂ ... ( A _n +1) d ₁ с A _i ∈ D и A _n ≠ d _b с одним и тем же действительным числом - и других повторяющихся изображений нет. В десятичной системе, например, 0.9 = 1.0 = 1; вуравновешенной тройнойсистеме 0.1 = 1.T = 1/2.

• Рациональное число имеет бесконечно повторяющуюся последовательность конечной длины l , если знаменатель сокращенной дроби содержит простой множитель, не являющийся множителем основания. Если q - максимальный множитель приведенного знаменателя, который взаимно прост с основанием, l - наименьший показатель такой, что q делит b ^l - 1 . Это мультипликативный порядок ord _q ( b ) класса вычетов b mod q, который является делителем функции Кармайкла λ ( q ), которая, в свою очередь, меньше, чемq . Повторяющейся последовательности предшествует переходный процесс конечной длины, если сокращенная дробь также делит простой множитель с основанием. Повторяющаяся последовательность

${\displaystyle (0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{l}}})_{b}}$

представляет собой дробь

${\displaystyle {\frac {\left({A_{1}A_{2}\ldots A_{l}}\right)_{b}}{b^{l}-1}}}$.

• У иррационального числа есть представление бесконечной длины, которое ни в какой точке не является бесконечно повторяющейся последовательностью конечной длины.

Например, в двенадцатеричной ,1/2 = 0,6, 1/3 = 0,4, 1/4 = 0,3 и 1/6 = 0,2 все завершаются; 1/5= 0. 2497 повторений с длиной периода 4, в отличие от эквивалентного десятичного разложения 0,2;1/7= 0. 186 ᘔ 35 имеет период 6 в двенадцатеричной системе счисления, как и в десятичной системе счисления.

Если b - целое число с основанием, а k - целое число,

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(b-k)^{1}}{b^{2}}}+{\frac {(b-k)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(b-k)^{3}}{b^{4}}}+{\frac {(b-k)^{4}}{b^{5}}}+\cdots +{\frac {(b-k)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots }$

Например 1/7 в двенадцатеричном формате:

1/7 знак равно1/10 + 5/10 ² + 21 год/10 ³ + ᘔ 5/10 ⁴ + 441/10 ⁵ + 1985 г./10 ⁶+ ...) _{основание 12}

что составляет 0,16 35 (основание 12). 10 (основание 12) равно 12 (основание 10), 10 ² (основание 12) равно 144 (основание 10), 21 (основание 12) равно 25 (основание 10), ᘔ 5 (основание 12) равно 125 (основание 10),. ..

Алгоритм для положительных оснований [ править ]

Для рационального 0 <п/q<1 (и с основанием b ∈ N _{> 1} ) существует следующий алгоритм, производящий повторение вместе с его длиной:

function  b_adic ( b , p , q )  // b ≥ 2; 0 <p <q  static  digits  =  "0123 ..." ;  // до цифры со значением b – 1 begin  s  =  "" ;  // строка цифр  pos  =  0 ;  // все места находятся справа от точки счисления,  пока  не  определено ( происходит [ p ])  действительно  происходит [ p ]  =  pos ;  // позиция места с остатком p  bp =  b * p ; z = этаж ( б.п. / кв. ) ; // индекс z цифры в пределах: 0 ≤ z ≤ b-1 p = b * p - z * q ; // 0 ≤ p <q, если p = 0, то L = 0 ; возврат ( ы ) ; конец, если s = s . подстрока ( цифры , z , 1 ) ;                          // добавляем символ цифры  pos  + =  1 ;  конец,  пока  L  =  pos  -  происходит [ p ] ;  // длина повторения (будучи <q)  // помечаем цифры повторения винкулумом:  для  i  от  происходит [ p ]  до  pos - 1  do  substring ( s ,  i ,  1 )  =  overline ( substring ( s ,  я ,  1)) ;  конец  для  возвращения  ( ов ) ; конечная  функция

В первой строке, выделенной желтым цветом, вычисляется цифра z .

В следующей строке вычисляется новый остаток p ' от деления по модулю знаменателя q . Как следствие функции пола floor мы имеем

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

таким образом

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

и

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

Поскольку все эти остатки p являются неотрицательными целыми числами меньше q , их может быть только конечное число, а значит, они должны повторяться в whileцикле. Такое повторение обнаруживается ассоциативным массивом occurs . Новая цифра z образуется в желтой линии, где p - единственная непостоянная величина. Длина L повторения равна количеству остатков (см. Также раздел Каждое рациональное число является либо завершающим, либо повторяющимся десятичным числом ).

Приложения к криптографии [ править ]

Повторяющиеся десятичные дроби (также называемые десятичными последовательностями) нашли применение в криптографии и кодировании с исправлением ошибок. ^[12] В этих приложениях обычно используются повторяющиеся десятичные дроби с основанием 2, что приводит к двоичным последовательностям. Двоичная последовательность максимальной длины для1/п(когда 2 - примитивный корень из p ) определяется по формуле: ^[13]

${\displaystyle a(i)=2^{i}~{\bmod {p}}~{\bmod {2}}}$

Эти последовательности периода p  - 1 имеют функцию автокорреляции, которая имеет отрицательный пик -1 для сдвигап  - 1/2. Случайность этих последовательностей была проверена жесткими тестами . ^[14]

См. Также [ править ]

• Десятичное представление
• Полный репенд прайм
• Теорема Миди
• Паразитарное число
• Конечный ноль
• Уникальный прайм

Ссылки и примечания [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Повторяющаяся десятичная дробь» . MathWorld .
• Онлайн калькулятор дробей с подробным решением