Периодическая функция

Периодическая функция является функцией , которая повторяет свои значения через регулярные промежутки времени, например, тригонометрические функции , которые повторяются с интервалом 2я радиан . Периодические функции используются в науке для описания колебаний , волн и других явлений, которые проявляют периодичность . Любая непериодическая функция называется апериодической .

Иллюстрация периодической функции с периодом

{\ displaystyle P.}

Определение [ править ]

Функция $f$ называется периодической, если для некоторой ненулевой константы $P верно$ , что

{\ Displaystyle е (х + п) = е (х)}

для всех значений $x$ в домене. Ненулевая константа $P,$ для которой это так, называется периодом функции. Если существует наименьшая положительная ^[1] константа $P$ с этим свойством, она называется основным периодом (также примитивным периодом , основным периодом или простым периодом ). Часто «» период функции используется для обозначения ее основного периода. . Функция с периодом $P$ будет повторяться на интервалах длины $P$ , и эти интервалы иногда также называют периодами функции.

Геометрически периодическая функция может быть определена как функция, график демонстрирует трансляционной симметрии , т.е. функция $F$ является периодическим с периодом $Р$ , если график $F$ является инвариантным при переводе в $х$ -направлении на расстояние $Р$ . Это определение периодичности можно распространить на другие геометрические формы и узоры, а также на более высокие измерения, такие как периодические мозаики плоскости. Последовательность также можно рассматривать как функцию , определенную на натуральных числах , так и для периодической последовательности эти понятия определены соответственно.

Примеры [ править ]

График синусоидальной функции, показывающий два полных периода

Примеры реальных чисел [ править ]

Синусоидальная функция является периодической с периодом , так ${\ displaystyle 2 \ pi}$

{\ Displaystyle \ грех (х + 2 \ пи) = \ грех х}

для всех значений . Эта функция повторяется на интервалах длины (см. График справа). ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$

Когда переменная - время, можно увидеть повседневные примеры ; например, стрелки часов или фазы луны показывают периодическое поведение. Периодическое движение - это движение, при котором положение (я) системы выражается как периодические функции, все с одинаковым периодом.

Для функции от действительных чисел или от целых чисел это означает, что весь граф может быть сформирован из копий одной конкретной части, повторяющихся через равные промежутки времени.

Простым примером периодической функции является функция, которая дает « дробную часть » своего аргумента. Его период равен 1. В частности, ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle f (0,5) = f (1,5) = f (2,5) = \ cdots = 0,5}

График функции - это пилообразная волна . ${\ displaystyle f}$

Сюжет и ; обе функции периодичны с периодом 2π.

{\ Displaystyle е (х) = \ грех (х)}

{\ Displaystyle г (х) = \ соз (х)}

Тригонометрические функции синус и косинус являются общими периодическими функциями с периодом 2л (см рисунок справа). Предмет ряда Фурье исследует идею о том, что «произвольная» периодическая функция является суммой тригонометрических функций с совпадающими периодами.

Согласно приведенному выше определению, некоторые экзотические функции, например, функция Дирихле , также являются периодическими; в случае функции Дирихле любое ненулевое рациональное число является периодом.

Примеры комплексных чисел [ править ]

Используя комплексные переменные, мы получаем функцию общего периода:

{\ displaystyle e ^ {ikx} = \ cos kx + i \, \ sin kx.}

Поскольку обе функции косинуса и синуса являются периодическими с периодом 2π, комплексная экспонента состоит из косинусных и синусоидальных волн. Это означает, что формула Эйлера (см. Выше) обладает таким свойством, что если L - период функции, то

{\ displaystyle L = {\ frac {2 \ pi} {k}}.}

Сложные функции могут быть периодическими вдоль одной линии или оси в комплексной плоскости, но не на другой. Например, периодичен по мнимой оси, но не по действительной оси. ${\ displaystyle e ^ {z}}$

Двойные периодические функции [ править ]

Функция, областью определения которой являются комплексные числа, может иметь два несоизмеримых периода, не будучи постоянной. В эллиптических функциях такие функции. («Несоизмеримые» в этом контексте означает, что они не могут быть кратными друг другу.)

Свойства [ править ]

Периодические функции могут принимать значения много раз. Более конкретно, если функция является периодическим с периодом , то для всех в области и всех положительных целых чисел , ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle n}$

{\ Displaystyle f (x + nP) = f (x)}

Если - функция с периодом , то , где - ненулевое действительное число, такое, что находится в пределах области , является периодическим с периодом . Например, имеет период, следовательно, будет иметь период . ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ Displaystyle f (топор)}$ $a$ $ax$ $f$ ${\textstyle {\frac {P}{|a|}}}$ $f(x)=\sin(x)$ $2\pi$ $\sin(5x)$ ${\textstyle {\frac {2\pi }{5}}}$

Некоторые периодические функции можно описать рядами Фурье . Например, для L 2 функций , теорема Карлесон утверждает , что у них есть точечно ( лебегова ) почти всюду сходится ряд Фурье . Ряды Фурье можно использовать только для периодических функций или для функций на ограниченном (компактном) интервале. Если - периодическая функция с периодом, которую можно описать рядом Фурье, коэффициенты ряда можно описать интегралом по интервалу длины . $f$ $P$ $P$

Обобщения [ править ]

Антипериодические функции [ править ]

Одно общее подмножество периодических функций - это антипериодические функции . Это функция f такая, что f ( x + P ) = - f ( x ) для всех x . (Таким образом, P -антипериодическая функция является 2P -периодической функцией.) Например, синусоидальная и косинусная функции являются π-антипериодическими и 2π-периодическими. Хотя P- антипериодическая функция является 2 P- периодической функцией, обратное не обязательно верно.

Блоховские периодические функции [ править ]

Дальнейшее обобщение появляется в контексте теорем Блоха и теории Флоке , которые управляют решением различных периодических дифференциальных уравнений. В этом контексте решение (в одном измерении) обычно является функцией формы:

f(x+P)=e^{ikP}f(x)

где k - действительное или комплексное число ( волновой вектор Блоха или показатель Флоке ). В этом контексте функции такого вида иногда называют блоховско-периодическими . Периодическая функция является частным случаем к = 0, а антипериодическая функция является частным случаем к = π / Р .

Факторные пробелы как домен [ править ]

При обработке сигналов вы сталкиваетесь с проблемой, что ряды Фурье представляют периодические функции и что ряды Фурье удовлетворяют теоремам свертки (т. Е. Свертка ряда Фурье соответствует умножению представленной периодической функции и наоборот), но периодические функции не могут быть свёрнуты с обычным определением, поскольку задействованные интегралы расходятся. Возможный выход - определить периодическую функцию в ограниченной, но периодической области. С этой целью вы можете использовать понятие факторного пространства :

{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }=\{x+\mathbb {Z} :x\in \mathbb {R} \}=\{\{y:y\in \mathbb {R} \land y-x\in \mathbb {Z} \}:x\in \mathbb {R} \}

.

То есть, каждый элемент представляет собой класс эквивалентности из действительных чисел , которые разделяют ту же дробную часть . Таким образом, функция like является представлением 1-периодической функции. ${\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ $f:{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }\to \mathbb {R}$

Расчетный период [ править ]

Рассмотрим реальную форму сигнала , состоящую из наложенных друг на друга частот, выраженное в наборе в качестве коэффициентов к основной частоте, F: F = ¹ / _е  [F ₁ F ₂ F ₃ ... F _N ] , где все ненулевые элементы ≥1 и , по крайней мере , один из элементов набора равен 1. Чтобы найти период T, сначала найдите наименьший общий знаменатель всех элементов набора. Период можно найти как Т = ^LCD / _F . Учтите , что для простой синусоиды, Т = ¹ / _ф . Поэтому ЖК-дисплей можно рассматривать как множитель периодичности.

Для получения набора , представляющего все ноты Западной мажорной гаммы: [1 ⁹ / ₈⁵ / ₄⁴ / ₃³ / ₂⁵ / ₃¹⁵ / ₈ ] ЖК - дисплей 24 , следовательно , Т = ²⁴ / _F .
Для получения набора , представляющего все ноты основной триады: [1 ⁵ / ₄³ / ₂ ] ЖК - дисплей 4 , следовательно , Т = ⁴ / _F .
Для получения набора , представляющего все ноты незначительной триады: [1 ⁶ / ₅³ / ₂ ] ЖК - дисплей 10 , следовательно , Т = ¹⁰ / _F .

Если не существует наименьшего общего знаменателя, например, если один из вышеуказанных элементов был иррациональным, тогда волна не была бы периодической. ^[2]

См. Также [ править ]

Непрерывная волна
Список периодических функций
Периодическая последовательность
Почти периодическая функция
Амплитуда
Определенный шаг
Двоякопериодическая функция
Частота
Колебание
Квазипериодическая функция
Длина волны
Периодическое суммирование
Сезонность
Светская вариация

Ссылки [ править ]

^ Для некоторых функций, подобно функции постоянной или функции Дирихле (The индикаторной функции из рациональных чисел ), наименьший положительный период не может существовать (на нижней грани всех положительных периодов $Р$ равна нулю).
^ https://www.ece.rice.edu/~srs1/files/Lec6.pdf

Экеланд, Ивар (1990). "Один". Методы выпуклости в гамильтоновой механике . Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)]. 19 . Берлин: Springer-Verlag. С. x + 247. ISBN 3-540-50613-6. Руководство по ремонту 1051888 .

Внешние ссылки [ править ]

"Периодическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Периодические функции в MathWorld

[1] Для некоторых функций, подобно функции постоянной или функции Дирихле (The индикаторной функции из рациональных чисел ), наименьший положительный период не может существовать (на нижней грани всех положительных периодов $Р$ равна нулю).

[2] ttps://www.ece.rice.edu/~srs1/files/Lec6.pdf

[1]