Это хорошая статья. Для получения дополнительной информации нажмите здесь.
Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
"Tessellate" перенаправляется сюда. Чтобы узнать о песне Alt-J, см. Tessellate (песня) . Для техники компьютерной графики см. Тесселяция (компьютерная графика) .

Терракотовая плитка Zellige в Марракеше , формирующая от края до края, обычную и другие мозаики
Настенная скульптура в Леувардене, посвященная художественной мозаике М.С. Эшера

Мозаика или мозаика плоской поверхности - это покрытие плоскости одной или несколькими геометрическими фигурами , называемыми плитками, без перекрытий и промежутков. В математике мозаику можно обобщить на более высокие измерения и различные геометрические формы.

Периодическая мозаика имеет повторяющийся узор. Некоторые особые виды включают правильные мозаики с правильными многоугольными плитками одинаковой формы и полурегулярные мозаики с правильными плитками более чем одной формы и с одинаковым расположением всех углов. Узоры, образованные периодическими плитками, можно разделить на 17 групп обоев . Мозаика, в которой отсутствует повторяющийся узор, называется «непериодической». Апериодические плиточный использует небольшой набор мозаичных форм , которые не могут образовывать повторяющийся узор. В геометрии более высоких измерений заполнение пространства или соты также называют мозаикой пространства .

Настоящая физическая мозаика - это мозаика из таких материалов, как цементированные керамические квадраты или шестиугольники. Такие плитки могут быть декоративными узорами или могут иметь такие функции, как создание прочного и водостойкого покрытия для пола или стен. Исторически сложились так , мозаики использовались в Древнем Риме и в исламском искусстве , например, в декоративной геометрической плитке из Альгамбра дворца. В двадцатом веке в работах М.К. Эшера часто использовались мозаики как в обычной евклидовой геометрии, так и в гиперболической геометрии., для художественного эффекта. Тесселяция иногда используется для декоративного эффекта в квилтинге . В природе мозаики образуют класс закономерностей , например, в массивах гексагональных ячеек, встречающихся в сотах .

История [ править ]

Храмовая мозаика из древнего шумерского города Урук IV (3400–3100 гг. До н.э.), демонстрирующая мозаичный узор из цветных плиток.

Паркеты были использованы шумерами (около 4000 г. до н.э.) в здании настенных украшений , образованных узорами глины плитки. [1]

Декоративные мозаики тайлинги из небольших квадратов блоки , называемые мозаикой были широко использованы в классической древности , [2] , иногда отображающие геометрические узоры. [3] [4]

В 1619 году Иоганн Кеплер провел раннее задокументированное исследование мозаики. Он писал о регулярных и полурегулярных мозаиках в своей Harmonices Mundi ; Возможно, он был первым, кто исследовал и объяснил шестиугольную структуру сот и снежинок . [5] [6] [7]

Римская геометрическая мозаика

Примерно двести лет спустя, в 1891 году, русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что каждое периодическое замощение плоскости имеет одну из семнадцати различных групп изометрий. [8] [9] Работа Федорова положила начало неофициальному началу математического исследования мозаики. Среди других выдающихся авторов - Алексей Шубников и Николай Белов (1964), [10], а также Генрих Хееш и Отто Кинцле (1963). [11]

Этимология [ править ]

На латыни тесселла - это небольшой кубический кусок глины , камня или стекла, который используется для изготовления мозаики. [12] Слово «тесселла» означает «маленький квадрат» (от tessera , квадрат, которое, в свою очередь, происходит от греческого слова τέσσερα, означающего четыре ). Это соответствует повседневному термину « плитка» , который обозначает мозаику, часто сделанную из глазурованной глины.

Обзор [ править ]

Rhombitrihexagonal плитка : кафельный пол в археологическом музее Севильи , Испания, используя квадрат, треугольник и шестигранные prototiles

Двухмерная мозаика, также называемая плоской мозаикой, - это тема в геометрии, которая изучает, как фигуры, известные как плитки , могут быть расположены так, чтобы заполнять плоскость без каких-либо промежутков в соответствии с заданным набором правил. Эти правила можно варьировать. Общие из них заключаются в том, что между плитками не должно быть промежутков, и что ни один угол одной плитки не может лежать по краю другой. [13] Мозаика, созданная из кирпичной кладки , не подчиняется этому правилу. Среди тех , которые делают, А регулярно тесселяция имеет как идентичные [а] регулярные плитки и одинаковые углы регулярные или вершины, имеющие один и тот же угол между смежными краями для каждой плитки. [14]Есть только три формы, которые могут образовывать такие правильные мозаики: равносторонний треугольник , квадрат и правильный шестиугольник . Любую из этих трех форм можно дублировать бесконечно, чтобы заполнить плоскость без зазоров. [6]

Многие другие типы тесселяции возможны при других ограничениях. Например, существует восемь типов полурегулярной тесселяции, состоящей из нескольких видов правильных многоугольников, но имеющих одинаковое расположение многоугольников на каждом углу. [15] Неправильная мозаика также может быть сделана из других форм, таких как пятиугольники , полимино и, фактически, почти любой геометрической формы. Художник М.С. Эшер известен тем, что создает мозаику из мозаичных плиток неправильной формы в форме животных и других природных объектов. [16]Если выбрать подходящие контрастные цвета для плитки разной формы, образуются яркие узоры, которые можно использовать для украшения физических поверхностей, таких как церковные полы. [17]

Сложные и красочные мозаики глазурованной плитки в стиле зеллидж в Альгамбре в Испании, которые привлекли внимание М.С. Эшера

Более формально тесселяция или мозаика - это покрытие евклидовой плоскости счетным числом замкнутых наборов, называемых плитками , так что плитки пересекаются только на своих границах . Эти плитки могут быть многоугольниками или любой другой формы. [b] Многие мозаики формируются из конечного числа прототипов, в которых все мозаики в мозаике конгруэнтны данным прототипам. Если геометрическую фигуру можно использовать в качестве прототипа для создания мозаики, говорят, что эта форма мозаична или мозаична для плоскости . Критерий Conwayявляется достаточным, но не необходимым набором правил для принятия решения о том, покрывает ли заданная форма плоскость периодически без отражений: некоторые плитки не удовлетворяют критерию, но все же покрывают плоскость. [19] Не найдено общего правила для определения того, может ли данная форма мозаить плоскость или нет, что означает, что существует много нерешенных проблем, касающихся мозаики. [18]

Математически мозаику можно расширить на пространства, отличные от евклидовой плоскости. [6] Швейцарский геометр Шлефл впервые это Определяя polyschemes , которые математики в настоящее время вызовов многогранников . Это аналоги многоугольников и многогранников в пространствах с большим количеством измерений. Далее он определил обозначение символа Шлефли, чтобы упростить описание многогранников. Например, символ Шлефли для равностороннего треугольника - {3}, а для квадрата - {4}. [20]Обозначения Шлефли позволяют описывать мозаики компактно. Например, мозаика из правильных шестиугольников имеет три шестигранных многоугольника в каждой вершине, поэтому его символ Шлефли равен {6,3}. [21]

Существуют и другие методы описания многоугольных мозаик. Когда тесселяция сделана из правильных многоугольников, наиболее распространенным обозначением является конфигурация вершины , которая представляет собой просто список количества сторон многоугольников вокруг вершины. Квадратная мозаика имеет конфигурацию вершин 4.4.4.4 или 4 4 . Замощение правильных шестиугольников отмечено 6.6.6 или 6 3 . [18]

По математике [ править ]

Введение в мозаику [ править ]

Дополнительная информация: евклидовы мозаики выпуклыми правильными многоугольниками , равномерная мозаика и список евклидовых однородных мозаик

При обсуждении мозаик математики используют некоторые технические термины. Ребро является пересечением между двумя приграничными плиткой; часто это прямая линия. Вершина является точкой пересечения трех или более приграничных плиток. Используя эти термины, изогональный или вершинно-транзитивный тайлинг - это тайлинг, в котором все точки вершины идентичны; то есть расположение многоугольников вокруг каждой вершины одинаково. [18] фундаментальная область представляет собой форму , такие как прямоугольник , который повторяется для формирования тесселяции. [22] Например, обычная мозаика плоскости с квадратами имеет встречу четырех квадратов в каждой вершине.. [18]

Стороны многоугольников не обязательно совпадают с краями плиток. Мозаика от края до края - это любая многоугольная мозаика, в которой смежные плитки имеют только одну полную сторону, т. Е. Ни одна плитка не имеет частичной стороны или более одной стороны с любой другой плиткой. При мозаике от края до края стороны многоугольников и края плиток совпадают. Привычная облицовка «кирпичной стеной» не идет от края до края, потому что длинная сторона каждого прямоугольного кирпича делится с двумя соседними кирпичами. [18]

Нормальное разбиение является тесселяцией , для которых каждая плитка топологический эквивалентна диском , пересечение любых два плиток является одной связным множеством или пустое множества , и все плитки равномерно ограничены . Это означает, что один ограничивающий радиус и один вписывающий радиус можно использовать для всех плиток во всей плитке; условие не допускает патологически длинные или тонкие плитки. [23]

Пятнадцатая выпуклая моноэдральная пятиугольная мозаика , открытая в 2015 году.

Monohedral плиточные является тесселяция , в котором все плитки конгруэнтны ; у него есть только один прототип. Особенно интересным типом моноэдральной мозаики является спиральная моноэдральная мозаика. Первая спиральная моноэдральная мозаика была открыта Хайнцем Водербергом в 1936 году; плиточное Voderberg имеет единичную плитку , которая является невыпуклой девятиугольник . [1] Hirschhorn черепицы , опубликованная Michael D. Hirschhorn и DC Хант в 1985 году, является пятиугольником черепицы с использованием нерегулярных пятиугольников: правильные пятиугольники не может плитка евклидовой плоскости в качестве внутреннего угла правильного пятиугольника,3 π/5, не является делителем 2 π . [24] [25] [26]

Изоэдральная мозаика - это особая разновидность моноэдральной мозаики, в которой все плитки принадлежат одному и тому же классу транзитивности, то есть все плитки являются преобразованиями одного и того же прототипа в группе симметрии мозаики. [23] Если прототип допускает разбиение, но такое разбиение не является изоэдральным, то прототип называется анизоэдрическим и образует анизоэдрические мозаики .

Обычная мозаика - это высокосимметричная мозаика от края до края, состоящая из правильных многоугольников одной формы. Есть только три правильных мозаики: состоящие из равносторонних треугольников , квадратов или правильных шестиугольников . Все три мозаики изогональны и моноэдральны. [27]

Пифагора плиточные

А пол-регулярный (или архимедов) тесселяция использует более чем один тип правильного многоугольника в изогональных устройствях. Есть восемь полурегулярных мозаик (или девять, если зеркально отраженная пара мозаик считается за два). [28] Их можно описать конфигурацией вершин ; например, полурегулярная мозаика из квадратов и правильных восьмиугольников имеет конфигурацию вершин 4.8 2 (каждая вершина имеет один квадрат и два восьмиугольника). [29] Возможны многие мозаики евклидовой плоскости без стыков, включая семейство пифагоровых мозаик, в которых используются квадраты двух (параметризованных) размеров, причем каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера. [30] AnТесселяция краев - это тесселяция, при которой каждая плитка может отражаться от края, чтобы занять положение соседней плитки, например, в массиве равносторонних или равнобедренных треугольников. [31]

Группы обоев [ править ]

Основная статья: Группа обоев
В этом мозаичном моноэдральном уличном тротуаре вместо многоугольников используются изогнутые формы. Относится к группе обоев p3.

Покрытия с трансляционной симметрией в двух независимых направлениях можно разделить на группы обоев , из которых 17 существует. [32] Утверждалось, что все семнадцать из этих групп представлены во дворце Альгамбра в Гранаде , Испания . Хотя это оспаривается, [33] разнообразие и изысканность мозаик Альгамбры удивили современных исследователей. [34] Из трех обычных плиток два находятся в группе обоев p6m, а одно - в группе p4m . Двумерные мозаики с трансляционной симметрией только в одном направлении можно разделить на семь групп фризов, описывающих возможныефризовые узоры . [35] Нотация орбифолда может использоваться для описания групп обоев евклидовой плоскости. [36]

Апериодические мозаики [ править ]

Основные статьи: Апериодические плитки и Список апериодических наборов плиток
Пенроуза , с несколькими симметрий , но без каких - либо периодических повторений

Плитки Пенроуза , в которых используются два разных четырехугольных прототипа, являются наиболее известным примером плиток, которые принудительно создают непериодические узоры. Они принадлежат к общему классу апериодических мозаик, в которых используются тайлы, которые не могут периодически мозаироваться. Рекурсивный процесс по заместительной черепице представляет собой метод генерирования апериодических разбиений. Один из классов, который может быть создан таким образом, - это плитки репликации ; эти плитки обладают удивительными самовоспроизводящимися свойствами. [37] Вертушки непериодические, с использованием конструкции повторяющихся плиток; плитки появляются в бесконечном множестве ориентаций. [38]Можно подумать, что непериодический узор будет полностью лишен симметрии, но это не так. Апериодические мозаики, хотя и не обладают трансляционной симметрией , имеют симметрии других типов, благодаря бесконечному повторению любого ограниченного участка мозаики и в определенных конечных группах поворотов или отражений этих участков. [39] Правило подстановки, которое можно использовать, например, для генерации некоторых паттернов Пенроуза с использованием сборок плиток, называемых ромбами, иллюстрирует симметрию масштабирования. [40] Фибоначчи слово может быть использовано для создания апериодической черепицы, а также для изучения квазикристаллов , которые являются структурами с апериодическими порядка. [41]

Набор из 13 плиток Ванга, которые покрывают плоскость лишь апериодически.

Плитки Ванга - это квадраты, окрашенные по каждому краю и размещенные таким образом, чтобы примыкающие края соседних плиток имели одинаковый цвет; поэтому их иногда называют домино Ванга . Подходящий набор домино Ванга может выложить плитку на плоскости, но только апериодически. Это известно, потому что любую машину Тьюринга можно представить как набор домино Ванга, которые покрывают плоскость мозаикой тогда и только тогда, когда машина Тьюринга не останавливается. Поскольку проблема остановки неразрешима, неразрешима и проблема определения, может ли набор домино Ванга замостить плоскость. [42] [43] [44] [45] [46]

Случайная мозаика Труше

Плитки Truchet - это квадратные плитки, украшенные узорами, поэтому они не имеют симметрии вращения ; в 1704 году Себастьен Труше использовал квадратную плитку, разделенную на два треугольника контрастных цветов. Они могут размещать мозаику на плоскости периодически или случайным образом. [47] [48]

Мозаика и цвет [ править ]

Дополнительная информация: Теорема четырех цветов
Если цвета этой мозаики должны образовывать узор, повторяя этот прямоугольник в качестве основной области , требуется как минимум семь цветов; в более общем случае необходимо как минимум четыре цвета .

Иногда цвет плитки понимается как часть плитки; в других случаях позже могут быть применены произвольные цвета. При обсуждении мозаики, которая отображается в цветах, во избежание двусмысленности необходимо указать, являются ли цвета частью мозаики или просто частью ее иллюстрации. Это влияет на то, будут ли плитки одинаковой формы, но разных цветов считаться идентичными, что, в свою очередь, влияет на вопросы симметрии. Теорема о четырех цветах утверждает, что для каждой мозаики нормальной евклидовой плоскости, с набором из четырех доступных цветов каждая плитка может быть окрашена в один цвет, так что плитки одинакового цвета не пересекаются на кривой положительной длины. Раскраска, гарантированная теоремой о четырех цветах, обычно не соблюдает симметрию мозаики. Чтобы получить нужную окраску, необходимо рассматривать цвета как часть мозаики. Здесь может потребоваться целых семь цветов, как на картинке справа. [49]

Тесселяция с многоугольниками [ править ]

Вороного плиточный , в которой клетка всегда выпуклые многоугольники.

Наряду с различными мозаиками правильными многоугольниками изучались также мозаики другими многоугольниками.

Любой треугольник или четырехугольник (даже невыпуклый ) можно использовать в качестве прототипа для формирования моноэдральной мозаики, часто более чем одним способом. Копии произвольного четырехугольника могут образовывать мозаику с трансляционной симметрией и 2-кратной вращательной симметрией с центрами в серединах всех сторон. Для асимметричного четырехугольника эта плитка принадлежит группе обоев p2 . В качестве основной области мы имеем четырехугольник. Аналогично, мы можем построить параллелограммс минимальным набором векторов трансляции, начиная с центра вращения. Мы можем разделить это на одну диагональ и взять половину (треугольник) в качестве фундаментальной области. Такой треугольник имеет такую ​​же площадь, что и четырехугольник, и может быть построен из него путем вырезания и склейки. [50]

Если разрешена только одна форма плитки, существует мозаика с выпуклыми N -угольниками для N, равного 3, 4, 5 и 6. Для N = 5 см. Пятиугольная мозаика , для N = 6 см. Гексагональная мозаика , для N = 7 см. Гептагональную мозаику и для N = 8 см. восьмиугольную мозаику .

О том, как замощить плоскость полимино , см. Полимино § Использование полимино .

Плитки Вороного [ править ]

Мостики Вороного или Дирихле - это мозаики, в которых каждая плитка определяется как набор точек, ближайших к одной из точек в дискретном наборе определяющих точек. (Подумайте о географических регионах , где каждый регион определяются как все точки ближайших к данному городу или почтовому отделению.) [51] [52] Вороная ячейка для каждого определяющего точки выпуклого многоугольника. Триангуляции Делона является тесселяцией , что является двойственным графом из тесселяции Вороной. Триангуляции Делоне полезны при численном моделировании отчасти потому, что среди всех возможных триангуляций определяющих точек триангуляции Делоне максимизируют минимум углов, образованных краями. [53]Мостики Вороного со случайно расположенными точками могут использоваться для построения случайных мозаик плоскости. [54]

Тесселяции в высших измерениях [ править ]

Основная статья: Соты (геометрия)
Тесселяция трехмерного пространства: ромбический додекаэдр - одно из тел, которые можно сложить, чтобы точно заполнить пространство .

Тесселяцию можно расширить до трех измерений. Определенные многогранники могут быть сложены в виде правильного кристаллического узора для заполнения (или мозаики) трехмерного пространства, включая куб (единственный платоновский многогранник, способный это сделать), ромбический додекаэдр , усеченный октаэдр , а также треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы. , среди прочего. [55] Любой многогранник, который соответствует этому критерию, называется плезиоэдром и может иметь от 4 до 38 граней. [56] Природные ромбические додекаэдры найдены в кристаллах с андрадит(разновидность граната ) и флюорита . [57] [58]

Иллюстрация бипризмы Шмитта-Конвея, также называемой плиткой Шмитта-Конвея-Данцера

Тесселяции в трех или более измерениях называются сотами . В трех измерениях есть только одна правильная сотовая структура с восемью кубами в каждой вершине многогранника. Точно так же в трех измерениях есть только одна квазирегулярная [c] сотовая структура, которая имеет восемь тетраэдров и шесть октаэдров в каждой вершине многогранника. Однако есть много возможных полуправильных сот в трех измерениях. [59] Равномерные многогранники можно построить с помощью конструкции Витхоффа . [60]

Бипризма Schmitt-Конвей выпуклый многогранник со свойством черепицы пространства только апериодическим. [61]

Schwarz треугольник представляет собой сферический треугольник , который может быть использован для плитки в сфере . [62]

Тесселяции в неевклидовой геометрии [ править ]

Ромбитригептагональная мозаика в гиперболической плоскости в проекции модели диска Пуанкаре
Регулярные {3,5,3} икосаэдрические соты , одна из четырех правильных компактных сот в гиперболическом трехмерном пространстве.

Возможно мозаичное отображение в неевклидовой геометрии, например в гиперболической геометрии . Равномерная черепица в гиперболической плоскости (который может быть регулярным, квазирегулярными или полурегулярны) является заполнением от края до края гиперболической плоскости, с правильными многоугольниками , как лица ; они вершинно-транзитивны ( транзитивны по своим вершинам ) и изогональны (существует изометрия, отображающая любую вершину на любую другую). [63] [64]

Равномерная соты в пространстве гиперболического является однородной тесселяцией из однородных полиэдрических клеток . В 3-мерном пространстве гиперболическога имеется девять группы Кокстера семейства компактных выпуклых однородных сот , сгенерированные , как построение визофф и представлено перестановками из колец этих диаграмм кокстеровских для каждой семьи. [65]

В искусстве [ править ]

Дополнительная информация: математика и искусство
Римская мозаика на полу из камня, плитки и стекла с виллы недалеко от Антиохии в римской Сирии. 2 век нашей эры

В архитектуре мозаика использовалась для создания декоративных мотивов с древних времен. Мозаичные плитки часто имели геометрические узоры. [4] Более поздние цивилизации также использовали более крупные плитки, простые или индивидуально декорированные. Одними из самых декоративных были мавританские настенные плитки исламской архитектуры с использованием плитки Girih и Zellige в таких зданиях, как Альгамбра [66] и Ла Мескита . [67]

Тесселяции часто появлялись в графике М.С. Эшера ; он был вдохновлен мавританским использованием симметрии в таких местах, как Альгамбра, когда он посетил Испанию в 1936 году. [68] Эшер сделал четыре рисунка мозаики « Предел круга », в которых используется гиперболическая геометрия. [69] [70] Для своей гравюры на дереве «Предел круга IV» (1960) Эшер подготовил карандаш и тушь, демонстрируя необходимую геометрию. [71] Эшер объяснил, что «Ни один компонент всей серии, который бесконечно издалека поднимается, как ракеты, перпендикулярно от предела и, наконец, теряется в нем, никогда не достигает границы». [72]

Одеяло с обычным рисунком тесселяции

Тесселированные рисунки часто появляются на тканях, вшитых или напечатанных тканях. Шаблоны тесселяции использовались для создания взаимосвязанных мотивов патчей в квилтах . [73] [74]

Тесселяция также является основным жанром в оригами (складывание бумаги), где складки используются для соединения молекул, таких как скрученные складки, повторяющимся образом. [75]

В производстве [ править ]

Тесселяция используется в обрабатывающей промышленности для уменьшения потерь материала (потерь урожая), например листового металла, при вырезании фигур для таких объектов, как двери автомобилей или банки для напитков . [76]

Тесселяция проявляется в mudcrack -как растрескиванию из тонких пленок [77] [78] - со степенью самоорганизации существа , наблюдаемые с помощью микро и нанотехнологии . [79]

В природе [ править ]

Основная статья: Узоры в природе § Тесселяции
Сота является естественной мозаичной структурой.

Сота представляет собой хорошо известный пример тесселяции в природе с ее шестиугольными ячейками. [80]

Тесселляционный узор в цветке Colchicum

В ботанике термин «мозаика» описывает клетчатый узор, например, на лепестке цветка, коре дерева или фрукте. Цветки, включая рябчик [81] и некоторые виды Colchicum, имеют характерную мозаичную форму. [82]

Многие узоры в природе образуются из-за трещин на листах материалов. Эти модели могут быть описаны Гилберта мозаик , [83] , также известный как случайные трещины сетей. [84] Тесселяция Гилберта представляет собой математическую модель образования грязевых трещин , игольчатых кристаллов и подобных структур. Модель, названная в честь Эдгара Гилберта , позволяет трещинам образовываться, начиная с произвольно разбросанных по плоскости; каждая трещина распространяется в двух противоположных направлениях вдоль линии, проходящей через точку зарождения, ее наклон выбирается случайным образом, создавая мозаику неправильных выпуклых многоугольников. [85] Базальтовые лавовые потокичасто демонстрируют столбчатое соединение в результате сил сжатия, вызывающих трещины при охлаждении лавы. Развивающиеся обширные сети трещин часто образуют шестиугольные столбы лавы. Одним из примеров такого массива колонн является Дорога гигантов в Северной Ирландии. [86] Тротуарная плитка , характерный пример которой находится на перешейке Иглхок на полуострове Тасман в Тасмании , представляет собой редкое осадочное горное образование, в котором скала раскололась на прямоугольные блоки. [87]

В пенах встречаются и другие естественные узоры ; они упакованы согласно законам Плато , которые требуют минимума поверхностей . Такие пены представляют проблему в том, как максимально плотно упаковать ячейки: в 1887 году лорд Кельвин предложил набивку, в которой использовалось только одно твердое тело - усеченные кубическими сотами с очень слегка изогнутыми поверхностями. В 1993 году Денис Вир и Роберт Фелан предложили структуру Вира-Фелана , которая использует меньшую площадь поверхности для разделения ячеек равного объема, чем пена Кельвина. [88]

В головоломках и развлекательной математике [ править ]

Традиционная головоломка для вскрытия танграма
Основные статьи: мозаика и развлекательная математика

Тесселяция породила множество типов мозаичных головоломок , от традиционных головоломок (с неправильными кусочками дерева или картона) [89] и танграма [90] до более современных головоломок, которые часто имеют математическую основу. Например, полиалмазы и полимино - это фигуры правильных треугольников и квадратов, которые часто используются в мозаичных головоломках. [91] [92] Такие авторы, как Генри Дудени и Мартин Гарднер , много использовали тесселяцию в развлекательной математике . Например, Дьюдени изобрел шарнирное рассечение , [93]в то время как Гарднер писал о репликационной плитке , форме, которую можно разрезать на меньшие копии той же формы. [94] [95] Вдохновленная статьями Гарднера в Scientific American , математик-любитель Марджори Райс нашла четыре новых мозаики с пятиугольниками. [96] [97] Возведение квадрата в квадрат - это задача разбить целочисленный квадрат (тот, у которого стороны имеют целую длину), используя только другие целые квадраты. [98] [99] Расширение возводит плоскость в квадрат, покрывая ее квадратами, все размеры которых являются натуральными числами без повторений; Джеймс и Фредерик Хенле доказали, что это возможно. [100]

Примеры [ править ]

  • Треугольная мозаика , одна из трех правильных мозаик плоскости.

  • Плоскостная шестиугольная мозаика , полуправильная мозаика плоскости

  • Пятиугольная мозаика Цветочка , двойственная полурегулярной мозаике и одна из 15 моноэдральных пятиугольников .

  • Voderberg плиточные , спираль, monohedral черепица изготовлена из enneagons .

  • Чередование восьмиугольной или трехугольной мозаики - это равномерная мозаика гиперболической плоскости .

  • Топологическая квадратная мозаика, изоэдрально искаженная в форме I.

См. Также [ править ]

  • Дискретная глобальная сетка
  • Разделение пространства
  • Соты (геометрия)

Сноски [ править ]

  1. ^ Математический термин для обозначения идентичных форм - «конгруэнтный» - в математике «идентичный» означает, что это одна и та же плитка.
  2. ^ Обычно требуется, чтобы плитки были гомеоморфны (топологически эквивалентны) замкнутому диску , что означает исключение причудливых форм с отверстиями, свисающими сегментами линий или бесконечными областями. [18]
  3. ^ В этом контексте квазирегулярность означает, что клетки являются правильными (твердыми телами), а фигуры вершин - полуправильными.

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики . Стерлинг . п. 372. ISBN. 9781402757969.
  2. ^ Dunbabin, Katherine MD (2006). Мозаики греческого и римского мира . Издательство Кембриджского университета. п. 280.
  3. ^ "Геометрическая мозаика Брантингема" . Городской совет Халла. 2008 . Дата обращения 26 мая 2015 .
  4. ^ а б Филд, Роберт (1988). Геометрические узоры из римских мозаик . Тарквин. ISBN 978-0-906-21263-9.
  5. ^ Кеплер, Иоганнес (1619). Harmonices Mundi [ Гармония миров ].
  6. ^ a b c Gullberg 1997 , стр. 395.
  7. ^ Стюарт 2001 , стр. 13.
  8. ^ Джиджев, Христо; Потконяк, Миодраг (2012). «Проблемы динамического покрытия в сенсорных сетях» (PDF) . Лос-Аламосская национальная лаборатория . п. 2 . Проверено 6 апреля 2013 года .
  9. ↑ Федоров, Ю. (1891). «Симметрия на плоскости». Записки Императорского Сант-Петербургского Минералогического Общества . 2 с. 28 : 245–291.
  10. ↑ Шубников Алексей Васильевич; Белов, Николай Васильевич (1964). Цветная симметрия . Макмиллан .
  11. ^ Heesch, H .; Кинцле, О. (1963). Flächenschluss: System der Formen lückenlos aneinanderschliessender Flächteile (на немецком языке). Springer .
  12. ^ "Тесселяция" . Merriam-Webster Интернет . Дата обращения 26 мая 2015 .
  13. ^ Conway, R .; Burgiel, H .; Гудман-Штраус, Г. (2008). Симметрии вещей . Питерс.
  14. Перейти ↑ Coxeter 1973 .
  15. ^ Канди и Роллетт (1961). Математические модели (2-е изд.). Оксфорд. С. 61–62.
  16. Перейти ↑ Escher 1974 , pp. 11–12, 15–16.
  17. ^ "Базилика Сан-Марко" . Раздел: мозаичный пол . Базилика Сан-Марко . Проверено 26 апреля 2013 года .
  18. ^ Б с д е е Грюнбаума & Шепарда 1987 , с. 59.
  19. ^ Schattschneider, Дорис (сентябрь 1980). «Будет ли плитка? Попробуйте критерий Конвея!». Математический журнал . Vol. 53 нет. 4. С. 224–233. DOI : 10.2307 / 2689617 . JSTOR 2689617 . 
  20. ^ Косетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Метуэн . стр. 14, 69, 149. ISBN 9780486614809.
  21. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Тесселяция» . MathWorld .
  22. ^ Эммер, Микеле; Шатчнайдер, Дорис (8 мая 2007 г.). Наследие М.С. Эшера: празднование столетия . Берлин Гейдельберг: Springer. п. 325. ISBN 978-3-540-28849-7.
  23. ^ a b Хорн, Клэр Э. (2000). Геометрическая симметрия в узорах и мозаиках . Издательство Вудхед. С. 172, 175. ISBN 9781855734920.
  24. ^ Датч, Стивен (29 июля 1999). «Некоторые специальные радиальные и спиральные мозаики» . Университет Висконсина . Проверено 6 апреля 2013 года .
  25. ^ Hirschhorn, MD; Хант, округ Колумбия (1985). «Равносторонние выпуклые пятиугольники, покрывающие плоскость» . Журнал комбинаторной теории, Серия А . 39 (1): 1–18. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (85) 90078-0 .
  26. Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Pentagon Tiling . MathWorld .
  27. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Регулярные мозаики» . MathWorld .
  28. ^ Стюарт 2001 , стр. 75.
  29. ^ NRICH (Maths Project) (1997–2012). «Мозаика Шлефли» . Кембриджский университет . Проверено 26 апреля 2013 года .
  30. ^ Уэллс, Дэвид (1991). "тесселяция двух квадратов". Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвинов. С.  260–261 . ISBN 978-0-14-011813-1.
  31. ^ Кирби, Мэтью; Умбле, Рональд (2011). "Пазлы с краями и складывания штампов". Математический журнал . 84 (4): 283–89. DOI : 10.4169 / math.mag.84.4.283 .
  32. Перейти ↑ Armstrong, MA (1988). Группы и симметрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-96675-3.
  33. ^ Грюнбаум, Бранко (июнь – июль 2006 г.). «Какие группы симметрии присутствуют в Альгамбре?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (6): 670–673.
  34. ^ Лу, Питер Дж .; Стейнхардт (23 февраля 2007 г.). «Десятиугольные и квазикристаллические мозаики в средневековой исламской архитектуре». Наука . 315 (5815): 1106–10. Bibcode : 2007Sci ... 315.1106L . DOI : 10.1126 / science.1135491 . PMID 17322056 . 
  35. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Frieze Group" . MathWorld .
  36. ^ Хьюсон, Дэниел Х. (1991). «Двумерная мутация симметрии». CiteSeer. CiteSeerX 10.1.1.30.8536 .  Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
  37. Перейти ↑ Gardner 1989 , pp. 1–18.
  38. Перейти ↑ Radin, C. (май 1994). "Вертушка плоскости". Анналы математики . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . DOI : 10.2307 / 2118575 . JSTOR 2118575 .  
  39. ^ Остин, Дэвид. «Плитки Пенроуза говорят через мили» . Американское математическое общество . Дата обращения 29 мая 2015 .
  40. ^ Харрисс, EO «Апериодическая мозаика» (PDF) . Лондонский университет и EPSRC . Дата обращения 29 мая 2015 .
  41. ^ Дхарма-вардана, MWC; MacDonald, AH; Локвуд, диджей; Baribeau, J.-M .; Хоутон, округ Колумбия (1987). «Рамановское рассеяние в сверхрешетках Фибоначчи». Письма с физическим обзором . 58 (17): 1761–1765. Bibcode : 1987PhRvL..58.1761D . DOI : 10.1103 / physrevlett.58.1761 . PMID 10034529 . 
  42. ^ Ван, Хао (1961). «Доказательство теорем распознаванием образов - II». Технический журнал Bell System . 40 (1): 1–41. DOI : 10.1002 / j.1538-7305.1961.tb03975.x .
  43. ↑ Ван, Хао (ноябрь 1965 г.). «Игры, логика и компьютеры». Scientific American . С. 98–106.
  44. ^ Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Воспоминания Американского математического общества . 66 (66): 72. DOI : 10.1090 / memo / 0066 .
  45. ^ Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность мозаик на плоскости». Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–209. Bibcode : 1971InMat..12..177R . DOI : 10.1007 / bf01418780 . Руководство по ремонту 0297572 . 
  46. ^ Culik, Карел, II (1996). «Апериодический набор из 13 плиток Ванга». Дискретная математика . 160 (1–3): 245–251. DOI : 10.1016 / S0012-365X (96) 00118-5 . Руководство по ремонту 1417576 . 
  47. ^ Браун, Кэмерон (2008). «Кривые и поверхности Трюше». Компьютеры и графика . 32 (2): 268–281. DOI : 10.1016 / j.cag.2007.10.001 .
  48. ^ Смит, Сирил Стэнли (1987). «Мозаичные шаблоны Себастьяна Труше и топология структурной иерархии». Леонардо . 20 (4): 373–385. DOI : 10.2307 / 1578535 . JSTOR 1578535 . 
  49. ^ "Четырехцветная проблема" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  50. ^ Джонс, Оуэн (1910) [1856]. Грамматика орнамента (фолио ред.). Бернард Куорич .
  51. ^ Aurenhammer, Franz (1991). «Диаграммы Вороного - обзор фундаментальной геометрической структуры данных». ACM Computing Surveys . 23 (3): 345–405. DOI : 10.1145 / 116873.116880 .
  52. ^ Окабе, Atsuyuki; Сапоги, Барри; Сугихара, Кокичи; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственная мозаика - концепции и приложения диаграмм Вороного (2-е изд.). Джон Вили. ISBN 978-0-471-98635-5.
  53. ^ Джордж, Пол Луи; Боручаки, Хоуман (1998). Триангуляция Делоне и построение сетки: приложение к конечным элементам . Гермес . С. 34–35. ISBN 978-2-86601-692-0.
  54. ^ Моллер, Джеспер (1994). Лекции о случайных мозаиках Вороного . Springer. ISBN 978-1-4612-2652-9.
  55. Перейти ↑ Grünbaum, Branko (1994). «Равномерные мозаики 3-пространства». Геомбинаторика . 4 (2): 49–56.
  56. Перейти ↑ Engel, Peter (1981). "Uber Wirkungsbereichsteilungen von kubischer Symmetrie". Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie . 154 (3–4): 199–215. Bibcode : 1981ZK .... 154..199E . DOI : 10.1524 / zkri.1981.154.3-4.199 . Руководство по ремонту 0598811 . .
  57. ^ Олдершо, Кэлли (2003). Firefly Гид по драгоценным камням . Книги Светлячка. п. 107 . ISBN 978-1-55297-814-6.
  58. ^ Киркалди, JF (1968). Минералы и горные породы в цвете (2-е изд.). Блэндфорд. С. 138–139.
  59. ^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Шерк, Ф. Артур; Канадское математическое общество (1995). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter . Джон Вили и сыновья. п. 3 и пасс. ISBN 978-0-471-01003-6.
  60. Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Wythoff Construction . MathWorld .
  61. ^ Сенешаль, Марджори (26 сентября 1996). Квазикристаллы и геометрия . CUP Архив. п. 209 . ISBN 978-0-521-57541-6.
  62. ^ Шварц, HA (1873). "Ueber diejenigen Fälle in wellchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt" . Журнал für die reine und angewandte Mathematik . 1873 (75): 292–335. DOI : 10,1515 / crll.1873.75.292 . ISSN 0075-4102 . 
  63. ^ Margenstern, Морис (4 января 2011). «Координаты нового треугольного разбиения гиперболической плоскости». arXiv : 1101.0530 [ cs.FL ].
  64. ^ Zadnik, Gasper. «Замощение гиперболической плоскости правильными многоугольниками» . Вольфрам . Проверено 27 мая 2015 года .
  65. ^ Косетер, HSM (1999). Глава 10: Обычные соты в гиперболическом пространстве . Красота геометрии: двенадцать очерков . Dover Publications . С. 212–213. ISBN 978-0-486-40919-1.
  66. ^ «Математика в искусстве и архитектуре» . Национальный университет Сингапура . Дата обращения 17 мая 2015 .
  67. ^ Уиттакер, Эндрю (2008). Говорите о культуре: Испания . Издательство Торогуд . п. 153. ISBN. 978-1-85418-605-8.
  68. Перейти ↑ Escher 1974 , pp. 5, 17.
  69. ^ Герстен, С.М. "Введение в гиперболические и автоматические группы" (PDF) . Университет Юты . Проверено 27 мая 2015 года . Рисунок 1 является частью мозаики евклидовой плоскости, которую мы представляем непрерывной во всех направлениях, а рисунок 2 [Circle Limit IV] представляет собой красивую мозаику модели единичного диска Пуанкаре гиперболической плоскости белыми плитками, представляющими ангелов, и черными плитки, представляющие дьяволов. Важной особенностью второго является то, что все белые плитки взаимно конгруэнтны, как и все черные плитки; конечно, это неверно для евклидовой метрики, но верно для метрики Пуанкаре.
  70. Перейти ↑ Leys, Jos (2015). «Гиперболический Эшер» . Проверено 27 мая 2015 года .
  71. ^ Escher 1974 , стр. 142-143.
  72. Перейти ↑ Escher 1974 , p. 16.
  73. ^ Портер, Кристин (2006). Лоскутные одеяла: сенсационные образцы из взаимосвязанных узоров . F + W Media. С. 4–8. ISBN 9780715319413.
  74. ^ Бейер, Джинни (1999). Создание мозаики: секреты взаимосвязанных узоров . Современная книга . стр. гл. 7. ISBN 9780809228669.
  75. ^ Герда, Эрик (2008). Мозаика оригами . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-1-568-81451-3.
  76. ^ «Снижение потерь урожая: использование меньшего количества металла для изготовления того же самого» . UIT Кембридж . Дата обращения 29 мая 2015 .
  77. ^ Таулесс, MD (1990). «Расстояние между трещинами в хрупких пленках на упругих основаниях». Варенье. Chem. Soc . 73 (7): 2144–2146. DOI : 10.1111 / j.1151-2916.1990.tb05290.x .
  78. ^ Ся, ZC; Хатчинсон, JW (2000). «Трещины в тонких пленках». J. Mech. Phys. Твердые тела . 48 : 1107–1131. DOI : 10.1016 / S0022-5096 (99) 00081-2 .
  79. ^ Сегир, Р .; Арскотт, С. (2015). «Контролируемое образование грязевых трещин и самоорганизованное растрескивание поверхностей полидиметилсилоксанового эластомера» . Sci. Rep . 5 : 14787. Bibcode : 2015NatSR ... 514787S . DOI : 10.1038 / srep14787 . PMC 4594096 . PMID 26437880 .  
  80. ↑ Болл, Филипп. «Как соты могут строить сами себя» . Природа . Проверено 7 ноября 2014 .
  81. ^ Короче Оксфордский словарь английского языка (6-е изд.). Соединенное Королевство: Издательство Оксфордского университета. 2007. с. 3804. ISBN 978-0199206872.
  82. ↑ Purdy, Кэти (2007). «Колхикум: самая сокровенная тайна осени». Американский садовник (сентябрь / октябрь): 18–22.
  83. ^ Шрайбер, Томаш; Соя, Наталья (2010). "Предельная теория для плоских мозаик Гилберта". arXiv : 1005.0023 [ math.PR ].
  84. ^ Грей, NH; Андерсон, JB; Дивайн, JD; Квасник, JM (1976). «Топологические свойства случайных сетей трещин». Математическая геология . 8 (6): 617–626. DOI : 10.1007 / BF01031092 .
  85. ^ Гилберт, EN (1967). «Случайные плоские сети и игольчатые кристаллы». В Noble, Б. (ред.). Приложения бакалавриата математики в инженерии . Нью-Йорк: Макмиллан.
  86. ^ Weaire, D .; Ривье, Н. (1984). «Мыло, клетки и статистика: случайные закономерности в двух измерениях». Современная физика . 25 (1): 59–99. Bibcode : 1984ConPh..25 ... 59W . DOI : 10.1080 / 00107518408210979 .
  87. ^ Branagan, DF (1983). Янг, RW; Нэнсон, GC (ред.). Массивные тротуары . Аспекты австралийских пейзажей из песчаника. Специальная публикация № 1, Геоморфология Австралии и Новой Зеландии . Университет Вуллонгонга . С. 11–20. ISBN 978-0-864-18001-8.
  88. ^ Болл, Филипп (2009). Формы . Издательство Оксфордского университета . С. 73–76. ISBN 978-0-199-60486-9.
  89. ^ Макадам, Дэниел. «История пазлов» . Американское общество пазлов. Архивировано из оригинального 11 февраля 2014 года . Проверено 28 мая 2015 .
  90. Перейти ↑ Slocum, Jerry (2001). Дао Танграма . Barnes & Noble. п. 9. ISBN 978-1-4351-0156-2.
  91. ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-02444-8.
  92. ^ Мартин, Джордж Э. (1991). Полимино: Путеводитель по головоломкам и задачам по укладке плитки . Математическая ассоциация Америки.
  93. ^ Фредериксон, Грег Н. (2002). Шарнирные расслоения: раскачивание и скручивание . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521811927.
  94. ^ Гарднер, Мартин (май 1963). «На« Rep-tile »многоугольники, которые могут создавать большие и меньшие копии самих себя». Scientific American . Vol. 208 нет. Май. С. 154–164.
  95. ↑ Гарднер, Мартин (14 декабря 2006 г.). Ага! Двухтомный сборник: Ага! Попался Ага! Проницательность . MAA. п. 48. ISBN 978-0-88385-551-5.
  96. ↑ Сури, Мани (12 октября 2015 г.). «Важность развлекательной математики» . Нью-Йорк Таймс .
  97. ^ Schattschneider, Дорис (1978). «Замощение плоскости конгруэнтными пятиугольниками» (PDF) . Математический журнал . MAA. 51 (1): 29–44. DOI : 10.2307 / 2689644 . JSTOR 2689644 .  
  98. ^ Тутте, WT "Квадрат в квадрате" . Squaring.net . Дата обращения 29 мая 2015 .
  99. ^ Гарднер, Мартин; Тутте, Уильям Т. (ноябрь 1958 г.). «Математические игры». Scientific American .
  100. ^ Henle, Фредерик V .; Хенле, Джеймс М. (2008). "Оригинальная плоскость" (PDF) . Американский математический ежемесячник . 115 (1): 3–12. DOI : 10.1080 / 00029890.2008.11920491 . JSTOR 27642387 . Архивировано из оригинального (PDF) 20 июня 2006 года.  

Источники [ править ]

  • Кокстер, HSM (1973). «Раздел IV: Тесселяция и соты». Правильные многогранники . Dover Publications . ISBN 978-0-486-61480-9.
  • Эшер, MC (1974). JL Locher (ред.). Мир М.С. Эшера (New Concise NAL ed.). Абрамс. ISBN 978-0-451-79961-6.
  • Гарднер, Мартин (1989). Плитки Пенроуза для тайных шифров . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-88385-521-8.
  • Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
  • Гуллберг, Ян (1997). Математика от рождения чисел . Нортон. ISBN 978-0-393-04002-9.
  • Стюарт, Ян (2001). Какая форма у снежинки? . Вайденфельд и Николсон. ISBN 978-0-297-60723-6.

Внешние ссылки [ править ]

  • Тегула (программное обеспечение с открытым исходным кодом для исследования двумерных мозаик плоскости, сферы и гиперболической плоскости; включает базы данных, содержащие миллионы мозаик)
  • Wolfram MathWorld: Tessellation (хорошая библиография, рисунки регулярных, полурегулярных и полурегулярных мозаик)
  • Энциклопедия плиток (обширная информация о мозаиках замещения, включая рисунки, людей и ссылки)
  • Tessellations.org (практические руководства, галерея тесселяций Эшера, галереи тесселяций других художников, планы уроков, история)
  • Эпштейн, Дэвид . «Свалка геометрии: гиперболическая мозаика» . (список веб-ресурсов, включая статьи и галереи)