Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Плиточный Пенроуз является примером апериодической черепицы; каждая мозаика, которую он может создать, лишена трансляционной симметрии .

Апериодические плиточный является непериодической Черепицей с дополнительным свойством , что она не содержит сколь угодно большие периодические заплатки. Набор типов плиток (или прототипов ) является апериодическим, если копии этих плиток могут образовывать только непериодические мозаики. В мозаик Пенроуза [1] [2] являются наиболее известными примерами апериодических разбиений.

Апериодические мозаики служат математическими моделями квазикристаллов , физических твердых тел, которые были открыты в 1982 году Дэном Шехтманом [3], который впоследствии получил Нобелевскую премию в 2011 году. [4] Однако конкретная локальная структура этих материалов все еще плохо изучена.

Известно несколько методов построения апериодических мозаик.

Определение и иллюстрация [ править ]

Рассмотрим периодическое замощение единичными квадратами (похоже на бесконечную миллиметровку ). Теперь разрежьте один квадрат на два прямоугольника. Полученный таким образом тайлинг непериодичен: нет ненулевого сдвига, который оставил бы тайлинг фиксированным. Но очевидно, что этот пример гораздо менее интересен, чем мозаика Пенроуза. Чтобы исключить такие скучные примеры, можно определить апериодический тайлинг, который не содержит сколь угодно больших периодических частей.

Тайлинг называется апериодическим, если его оболочка содержит только непериодические мозаики. Оболочка из черепицы содержит все переводит Т + х из Т , вместе со всеми разбиениями , которые могут быть аппроксимированы транслятами T . Формально это замыкание множества в локальной топологии. [5] В локальной топологии (соотв. Соответствующей метрике) два тайлинга являются -замкнутыми, если они совпадают в шаре радиуса вокруг начала координат (возможно, после сдвига одного из тайлингов на величину меньше ).

Чтобы дать еще более простой пример, чем приведенный выше, рассмотрим одномерное разбиение T линии, которое выглядит как ... aaaaaabaaaaa ... где a представляет интервал длины один, b представляет интервал длины два. Таким образом, мозаика T состоит из бесконечного числа копий a и одной копии b (скажем, с центром 0). Теперь все переводы T - это мозаики с одним b где-то и a s еще. Последовательность мозаик, в которой центр b имеет центр, сходится - в локальной топологии - к периодическому замощению, состоящему только из a . Таким образомT не является апериодическим замощением, так как его оболочка содержит периодический тайлинг ... аааааа ....

Для хорошо настроенных мозаик (например, мозаики подстановки с конечным числом локальных шаблонов) верно: если мозаика непериодична и повторяется (т.е. каждый фрагмент встречается равномерно плотным образом по всему мозаичному покрытию), то он апериодичен. [5]

История [ править ]

Первое конкретное появление апериодических мозаик возникло в 1961 году, когда логик Хао Ван попытался определить, разрешима ли проблема домино , то есть существует ли алгоритм для определения того, допускает ли данный конечный набор прототипов мозаику плоскости. Ван нашел алгоритмы для перечисления наборов тайлов, которые не могут покрывать плоскость мозаикой, и наборов тайлов, которые периодически покрывают ее; тем самым он показал, что такой алгоритм решения существует, если каждый конечный набор прототипов, допускающий замощение плоскости, также допускает периодическое разбиение. В 1964 году Роберт Бергер нашел апериодический набор прототипов, на основе которых он продемонстрировал, что проблема мозаики на самом деле неразрешима. [6] [7]Этот первый такой набор, использованный Бергером в его доказательстве неразрешимости, потребовал 20 426 плиток Ванга. Позже Бергер сократил свой набор до 104, а Ганс Лаучли впоследствии нашел апериодический набор, требующий всего 40 плиток Ванга. [8] Еще меньший набор из шести апериодических плиток (основанный на плитках Ванга) был обнаружен Рафаэлем М. Робинсоном в 1971 году. [9] Роджер Пенроуз обнаружил еще три набора в 1973 и 1974 годах, уменьшив количество необходимых плиток до двух, и Роберт Амманн открыли несколько новых наборов в 1977 г. [8]

Апериодические мозаики Пенроуза могут быть сгенерированы не только с помощью апериодического набора прототипов, но также с помощью подстановки и с помощью метода разрезания и проектирования . После открытия квазикристаллов апериодические мозаики стали интенсивно изучаться физиками и математиками. Метод разреза и проекции Н. Г. де Брюйна для мозаик Пенроуза в конечном итоге оказался примером теории множеств Мейера . [10] [11] Сегодня существует большое количество литературы по апериодическим мозаикам. [5]

Конструкции [ править ]

Известно несколько конструкций апериодических мозаик. Некоторые конструкции основаны на бесконечных семействах апериодических наборов плиток. [12] [13] Те конструкции, которые были обнаружены, в основном строятся несколькими способами, в первую очередь, путем создания некой непериодической иерархической структуры. Несмотря на это, неразрешимость из Domino задачи гарантирует , что должно быть бесконечно много различных принципов построения, и что на самом деле, существует апериодические наборы плитки , для которых не может быть никаких доказательств их апериодичности.

Апериодические иерархические мозаики [ править ]

На сегодняшний день нет формального определения, описывающего, когда мозаика имеет иерархическую структуру; тем не менее, ясно, что они есть у подстановочных мозаик, как и у мозаик Бергера, Кнута , Лаухли и Робинсона . Как и сам термин «апериодическая мозаика», термин «апериодическая иерархическая мозаика» является удобным сокращением, означающим что-то вроде «набора плиток, допускающих только непериодические мозаики с иерархической структурой».

Каждый из этих наборов плиток, в любом допускаемом мозаичном покрытии, требует определенной иерархической структуры. (Во многих более поздних примерах эта структура может быть описана как система листов подстановки; это описано ниже). Никакая мозаика, допускаемая таким набором плиток, не может быть периодической просто потому, что ни один перенос не может оставить неизменной всю иерархическую структуру. Рассмотрим плитки Робинсона 1971 года:

Плитка Робинзона

Любая мозаика этими плитками может отображать только иерархию квадратных решеток: каждый оранжевый квадрат находится в углу большего оранжевого квадрата до бесконечности. Любой перевод должен быть меньше некоторого размера квадрата, и поэтому не может оставлять такой тайлинг неизменным.

Фрагмент плитки Робинзона

Робинсон доказывает, что эти плитки должны формировать эту структуру индуктивно; по сути, плитки должны образовывать блоки, которые сами подходят друг к другу как более крупные версии исходных плиток и так далее. Эта идея - найти наборы плиток, которые могут допускать только иерархические структуры - была использована при построении наиболее известных апериодических наборов плиток на сегодняшний день.

Замены [ править ]

Основные статьи: Замещающая мозаика и L-система

Замещающие мозаичные системы представляют собой богатый источник апериодических мозаик. Набор плитки , что структура силы на замену , чтобы появиться , как говорят, обеспечивать структуру замещения. Например, плитки стульев, показанные ниже, допускают замену, а часть плитки замены показана справа внизу. Эти мозаики подстановки обязательно непериодичны, точно так же, как описано выше, но сама плитка кресла не является апериодической - периодические мозаики легко найти по неотмеченным плиткам кресел.

Система подстановки стульев.

Однако плитки, показанные ниже, вызывают возникновение структуры замещения кресел, и поэтому сами по себе апериодичны. [14]

В плитках Трилобита и крест в жизнь замену стула структуры, они могут только признать разбиения , в котором замену стула можно различить и так апериодические.

Плитки Пенроуза и вскоре после этого несколько различных наборов плиток Аммана [15] были первым примером, основанным на явном принуждении к появлению структуры листов подстановки. Джошуа Соколар , [16] [17] Роджер Пенроуз , [18] Людвиг Данцер , [19] и Хаим Гудман-Штраус [14] нашли несколько последующих множеств. Шахар Мозес дал первую общую конструкцию, показав, что каждый продукт одномерных систем замещения может быть реализован с помощью правил сопоставления. [13] Чарльз Рэдин обнаружил правила, обеспечивающие соблюдение системы подстановки в виде вертушки Конвея .[20] В 1998 году Гудман-Штраус показал, что могут быть найдены локальные правила сопоставления для принудительного использования любой структуры мозаичных подстановок при соблюдении некоторых мягких условий. [12]

Метод "вырезать и спроектировать" [ править ]

Непериодические мозаики также могут быть получены путем проецирования многомерных структур в пространства с более низкой размерностью, и при некоторых обстоятельствах могут быть плитки, которые усиливают эту непериодическую структуру и поэтому являются апериодическими. Плитки Пенроуза - первый и самый известный пример этого, как впервые отмечалось в новаторской работе де Брюйна . [21] Пока не существует полной (алгебраической) характеризации разрезанных и проектных мозаик, которая может быть реализована с помощью правил сопоставления, хотя известны многочисленные необходимые или достаточные условия. [22]

Некоторые мозаики, полученные методом разреза и проецирования. Все плоскости сечения параллельны той, которая определяет мозаику Пенроуза (четвертая мозаика на третьей линии). Все эти мозаики принадлежат к разным классам локального изоморфизма, то есть они локально различимы.

Другие методы [ править ]

Было найдено всего несколько различных видов конструкций. Примечательно, что Яркко Кари дал апериодический набор плиток Ванга, основанный на умножении на 2 или 2/3 действительных чисел, закодированных строками плиток (кодирование связано с последовательностями Штурма, сделанными как разности последовательных элементов последовательностей Битти ), с апериодичность в основном основана на том факте, что 2 n / 3 m никогда не равно 1 для любых положительных целых чисел n и m. [23] Этот метод позже был адаптирован Гудманом-Штраусом для получения сильно апериодического набора плиток на гиперболической плоскости. [24] Шахар Мозеснашел много альтернативных конструкций апериодических наборов плиток, некоторые в более экзотических условиях; например, в полупростых группах Ли . [25] Блок и Вайнбергер использовали гомологические методы для построения апериодических наборов плиток для всех неаменабельных многообразий . [26] Джошуа Соколар также предложил другой способ применения апериодичности с точки зрения чередования состояний . [27] Это обычно приводит к намного меньшим наборам тайлов, чем тот, который получен из замен.

Физика [ править ]

Основная статья: Квазикристалл

Апериодические мозаики считались математическими артефактами до 1984 года, когда физик Дэн Шехтман объявил об открытии фазы алюминиево-марганцевого сплава, которая давала резкую дифрактограмму с однозначной пятикратной симметрией [3] - поэтому это должно было быть кристаллическое вещество с икосаэдром симметрия. В 1975 году Роберт Амманнуже расширил конструкцию Пенроуза до трехмерного эквивалента икосаэдра. В таких случаях термин «мозаика» означает «заполнение пространства». Фотонные устройства в настоящее время строятся как апериодические последовательности разных слоев, поэтому они апериодичны в одном направлении и периодичны в двух других. Квазикристаллические структуры Cd-Te, по-видимому, состоят из атомных слоев, в которых атомы расположены в плоской апериодической структуре. Иногда для таких апериодических структур имеет место энергетический минимум или максимум энтропии. Стейнхардт показал, что перекрывающиеся декагоны Гуммельта допускают применение экстремального принципа и, таким образом, обеспечивают связь между математикой апериодической мозаики и структурой квазикристаллов. [28] волны Фарадеянаблюдалось формирование больших пятен апериодических паттернов. [29] Физика этого открытия возродила интерес к несоразмерным структурам и частотам, предлагая связать апериодические мозаики с интерференционными явлениями. [30]

Путаница относительно терминологии [ править ]

Термин « апериодический » широко используется в математической литературе по мозаикам (а также в других математических областях, таких как динамические системы или теория графов, с совершенно разными значениями). В отношении мозаик термин «апериодический» иногда использовался как синоним термина «непериодический». Непериодический плиточный просто один , который не фиксируется любым нетривиальным переводом. Иногда термин описывает - неявно или явно - мозаику, порожденную апериодическим набором прототипов. Часто термин «апериодический» использовался нечетко для описания рассматриваемых структур, имея в виду физические апериодические твердые тела, а именно квазикристаллы, или что-то непериодическое с каким-то глобальным порядком.

Использование слова «черепица» также проблематично, несмотря на его прямое определение. Например, не существует единого разбиения Пенроуза : ромбы Пенроуза допускают бесконечно много разбиений (которые нельзя различить локально). Распространенное решение - попытаться осторожно использовать термины в техническом письме, но признать широкое использование неофициальных терминов.

См. Также [ править ]

  • Гирихская плитка
  • Список апериодических наборов плиток
  • Квазикристалл
  • Zellige

Ссылки [ править ]

  1. ↑ Гарднер, Мартин (январь 1977 г.). «Математические игры». Scientific American . 236 (1): 111–119. Bibcode : 1977SciAm.236a.110G . DOI : 10.1038 / Scientificamerican0177-110 .
  2. ^ Гарднер, Мартин (1988). Плитки Пенроуза для тайных шифров . ISBN WH Freeman & Co. 978-0-7167-1987-8.
  3. ^ a b Schechtman, D .; Blech, I .; Gratias, D .; Кан, JW (1984). «Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и без трансляционной симметрии» . Письма с физическим обзором . 53 (20): 1951–1953. Bibcode : 1984PhRvL..53.1951S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.53.1951 .
  4. ^ "Нобелевская премия по химии 2011" . Nobelprize.org . Проверено 6 октября 2011 .
  5. ^ a b c Baake, M .; Гримм, Уве (2013). Апериодический порядок. Том 1: Математическое приглашение . Издательство Кембриджского университета.
  6. ↑ Роберт Бергер в проекте « Математическая генеалогия» .
  7. ^ Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества (66): 1–72.
  8. ^ a b Грюнбаум и Шепард, раздел 11.1.
  9. ^ Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность мозаик на плоскости». Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–209. Bibcode : 1971InMat..12..177R . DOI : 10.1007 / BF01418780 . S2CID 14259496 . 
  10. ^ Lagarias, JC (1996). «Концепция Мейера квазикристаллических и квазирегулярных множеств» . Commun. Математика. Phys . 179 (2): 356–376. Bibcode : 1996CMaPh.179..365L . DOI : 10.1007 / BF02102593 . S2CID 122753893 . 
  11. Перейти ↑ Moody, RV (1997). «Наборы Мейера и их двойники». Математика дальнего апериодического порядка . Математика Дальней апериодических ордена, серия НАТО АСИ C . С. 403–441. DOI : 10.1007 / 978-94-015-8784-6_16 . ISBN 978-90-481-4832-5.
  12. ^ a b Гудман-Штраус, Хаим (1998). «Правила совпадения и подстановочные тилинги» . Анналы математики . 147 (1): 181–223. CiteSeerX 10.1.1.173.8436 . DOI : 10.2307 / 120988 . JSTOR 120988 .  
  13. ^ a b Мозес, С. (1989). «Тайлинги, системы замещения и порождаемые ими динамические системы». Журнал d'Analyse Mathématique . 53 (1): 139–186. DOI : 10.1007 / BF02793412 . S2CID 121775031 . 
  14. ^ a b Гудман-Штраус, Хаим (1999). «Небольшой апериодический набор плоских плиток». Европейский журнал комбинаторики . 20 (5): 375–384. DOI : 10.1006 / eujc.1998.0281 .
  15. ^ Грюнбаум, Бранко ; Джеффри С. Шепард (1986). Плитки и узоры . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-1194-0.
  16. ^ Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-57541-6.
  17. ^ Socolar, JES (1989). «Простые восьмиугольные и додекагональные квазикристаллы». Phys. Rev. B . 39 (15): 10519–51. Bibcode : 1989PhRvB..3910519S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.39.10519 . PMID 9947860 . 
  18. Перейти ↑ Penrose, R. (1997). «Замечания о замощении: детали 1 +  ε  +  ε 2 -апериодического множества». The Mathematics Long Range Aperiodic Order, НАТО Adv. Sci. Inst. Сер. C. Математика. Phys. Sci . 489 : 467–497.
  19. ^ Nischke, K.-P .; Данзер, Л. (1996). «Построение правил инфляции на основе n- кратной симметрии» . Диск. И комп. Geom . 15 (2): 221–236. DOI : 10.1007 / BF02717732 .
  20. ^ Радин, Чарльз (1994). "Вертушка самолета". Анналы математики . 139 (3): 661–702. DOI : 10.2307 / 2118575 . JSTOR 2118575 . 
  21. ^ Н. де Брейна, Nederl. Акад. Wetensch. Indag. Математика. 43 , 39–52, 53–66 (1981). Алгебраическая теория непериодических мозаик Пенроуза плоскости , I, II
  22. ^ См., Например, обзор TTQ Le в Le, TTQ (1997). «Локальные правила для квазипериодических мозаик». Математика дальнего апериодического порядка . The Mathematics Long Range Aperiodic Order, НАТО Adv. Sci. Inst. Сер. C. Математика. Phys. Sci . 489 . С. 331–366. DOI : 10.1007 / 978-94-015-8784-6_13 . ISBN 978-90-481-4832-5.
  23. ↑ Кари, Джаркко (1996). «Небольшой апериодический набор плиток Ванга». Дискретная математика . 160 (1–3): 259–264. DOI : 10.1016 / 0012-365X (95) 00120-L .
  24. Перейти ↑ Goodman-Strauss, Chaim (2005). «Сильно апериодический набор плиток в гиперболической плоскости». Inventiones Mathematicae . 159 (1): 119–132. Bibcode : 2004InMat.159..119G . CiteSeerX 10.1.1.477.1974 . DOI : 10.1007 / s00222-004-0384-1 . S2CID 5348203 .  
  25. ^ Мозес, Шахар (1997). «Апериодические мозаики». Inventiones Mathematicae . 128 (3): 603–611. Bibcode : 1997InMat.128..603M . DOI : 10.1007 / s002220050153 . S2CID 189819776 . 
  26. ^ Блок, Дж .; Вайнбергер, С. (1992). «Апериодические мозаики, положительная скалярная кривизна и аменабельность пространств» . Журнал АПП . 5 (4): 907–918. DOI : 10.1090 / s0894-0347-1992-1145337-х .
  27. ^ Socolar, Джошуа (1990). «Правила слабого согласования для квазикристаллов». Comm. Математика. Phys . 129 (3): 599–619. Bibcode : 1990CMaPh.129..599S . DOI : 10.1007 / BF02097107 . S2CID 123629334 . 
  28. ^ Стейнхардт, Пол Дж. "Новая парадигма структуры квазикристаллов" . Архивировано 23 февраля 2007 года . Проверено 26 марта 2007 .
  29. ^ Эдвардс, В .; Фов, С. (1993). «Параметрически возбужденные квазикристаллические поверхностные волны». Physical Review E . 47 (2): R788 – R791. Bibcode : 1993PhRvE..47..788E . DOI : 10.1103 / PhysRevE.47.R788 . PMID 9960162 . 
  30. ^ Леви, JC. S .; Мерсье, Д. (2006). «Стабильные квазикристаллы». Acta Phys. Superficierum . 8 : 115.

Внешние ссылки [ править ]

  • Свалка геометрии
  • Апериодические мозаики
  • Бесконечный узор, который никогда не повторяется