Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Щелкните "показать" для описания.
Периодическая плиточные с фундаментальной единицы (треугольник) и примитивной ячейки (шестиугольник) выделены. Мозаика всей плоскости может быть получена путем совмещения копий этих треугольных участков вместе. Для этого базовый треугольник необходимо повернуть на 60 градусов, чтобы подогнать его от края до края к соседнему треугольнику. Таким образом, будет сгенерирована треугольная мозаика фундаментальных единиц, которая взаимно локально выводится из мозаики с помощью цветных плиток. Другая фигура, нарисованная на мозаике, белый шестиугольник, представляет собой примитивную ячейку мозаики. Копии соответствующего фрагмента цветной плитки можно перевестичтобы образовать бесконечную мозаику плоскости. Для этого нет необходимости вращать этот патч.
В плитках Пенроуза представляют собой апериодический набор плиток, поскольку они допускают только непериодические замощения плоскости (смотрите следующий рисунок).
Все бесконечные мозаики плиток Пенроуза апериодичны . То есть плитки Пенроуза представляют собой апериодический набор прототипов.

Набор prototiles является апериодическим , если копии prototiles могут быть собраны для создания разбиений , таким образом, что все возможные модели тесселяций являются не- периодических . Упомянутая апериодичность является свойством определенного набора прототипов; сами различные результирующие мозаики просто непериодичны.

Данный набор плиток на евклидовой плоскости или в другом геометрическом пространстве допускает мозаику, если неперекрывающиеся копии плиток в наборе могут быть соединены вместе, чтобы покрыть все пространство. Данный набор плиток может допускать периодические мозаики, то есть мозаики, которые остаются инвариантными после сдвига путем сдвига (например, решетка квадратных плиток является периодической). Нетрудно разработать набор плиток, который допускает непериодические мозаики, а также периодические мозаики (например, случайно расположенные мозаики с использованием квадрата 2 × 2 и прямоугольника 2 × 1 обычно будут непериодическими).

Однако апериодический набор плиток может создавать только непериодические мозаики. [1] [2] Бесконечно много различных мозаик может быть получено из одного апериодического набора плиток. [3]

Самыми известными примерами апериодического набора плиток являются различные плитки Пенроуза . [4] [5] Известные апериодические наборы прототипов видны в списке апериодических наборов тайлов . Базовая неразрешимость из проблемы домино означает , что не существует систематическую процедуры для решения вопроса, является ли данный набор плиток может плитку плоскости.

История [ править ]

Многоугольники - это плоские фигуры, которые ограничены отрезками прямых линий . Регулярные многоугольники имеют все стороны одинаковой длины , а также все углы равной мере . Еще в 325 году нашей эры Папп Александрийский знал, что только 3 типа правильных многоугольников (квадрат, равносторонний треугольник и шестиугольник) могут идеально сочетаться друг с другом при повторении мозаики на евклидовой плоскости.. Внутри этой плоскости каждый треугольник, независимо от его регулярности, будет мозаичным. Напротив, правильные пятиугольники не мозаичны. Однако неправильные пятиугольники с разными сторонами и углами могут быть мозаичными. Плоскость выложена 15 неправильными выпуклыми пятиугольниками. [6]

Многогранники - это трехмерные корреляты многоугольников. Они построены из плоских граней и прямых краев и имеют острые углы в вершинах . Хотя куб - единственный правильный многогранник, допускающий тесселяцию, многие нерегулярные трехмерные формы могут быть мозаичными, например, усеченный октаэдр .

Вторая часть восемнадцатой проблемы Гильберта требовала единственного многогранника, замощающего евклидово 3-пространство , так что никакое замощение по нему не является изоэдральным ( анизоэдральным тайлом ). Поставленная задача была решена Карлом Рейнхардтом в 1928 г., но наборы апериодических слоев рассматривались как естественное расширение. [7] Конкретный вопрос об апериодических наборах плиток впервые возник в 1961 году, когда логик Хао Ван попытался определить, является ли проблема доминоразрешима - то есть существует ли алгоритм для определения того, допускает ли данный конечный набор прототипов замощение плоскости. Ван нашел алгоритмы для перечисления наборов тайлов, которые не могут покрывать плоскость мозаикой, и наборов тайлов, которые периодически покрывают ее; тем самым он показал, что такой алгоритм решения существует, если каждый конечный набор прототипов, допускающий замощение плоскости, также допускает периодическое разбиение.

Эти плитки Ванга дадут только непериодические мозаики плоскости, поэтому они апериодичны.

Следовательно, когда в 1966 году Роберт Бергер нашел апериодический набор прототипов, это продемонстрировало, что проблема мозаики на самом деле неразрешима. [8] (Таким образом, процедуры Ванга работают не на всех наборах тайлов, хотя это не делает их бесполезными для практических целей.) Этот первый такой набор, использованный Бергером в его доказательстве неразрешимости, потребовал 20 426 тайлов Ванга. Позже Бергер сократил свой набор до 104, а Ганс Лаучли впоследствии нашел апериодический набор, требующий всего 40 плиток Ванга. [9] Набор из 13 плиток, показанный на иллюстрации справа, представляет собой апериодический набор, опубликованный Карелом Куликом , II, в 1996 году.

Однако меньший апериодический набор, состоящий из шести плиток, не принадлежащих Вангу, был обнаружен Рафаэлем М. Робинсоном в 1971 году. [10] Роджер Пенроуз обнаружил еще три набора в 1973 и 1974 годах, уменьшив количество необходимых плиток до двух, а Роберт Амманн. открыл несколько новых множеств в 1977 году. Вопрос о том, существует ли апериодическое множество только с одним прототипом, известен как проблема Эйнштейна .

Конструкции [ править ]

Известно несколько конструкций апериодических плиток, даже через сорок лет после новаторской конструкции Бергера. Некоторые конструкции представляют собой бесконечные семейства апериодических наборов плиток. [11] [12] Те конструкции, которые были обнаружены, в основном строятся несколькими способами, в первую очередь, путем создания некой непериодической иерархической структуры. Несмотря на это, неразрешимость из Domino задачи гарантирует , что должно быть бесконечно много различных принципов построения, и что на самом деле, существует апериодические наборы плитки , для которых не может быть никаких доказательств их апериодичности.

Стоит отметить, что не может быть апериодического набора плиток в одном измерении: это простое упражнение, чтобы показать, что любой набор плиток в строке либо не может быть использован для формирования полной мозаики, либо может быть использован для формирования периодической мозаики. черепица. Апериодичность прототипов требует двух или более измерений.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Сенешаль, Марджори (1996) [1995]. Квазикристаллы и геометрия (исправленное издание в мягкой обложке). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-57541-6.
  2. ^ Грюнбаум, Бранко ; Джеффри С. Шепард (1986). Плитки и узоры . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-1194-0.
  3. ^ Набор апериодических прототипов всегда может образовывать несчетное количество различных мозаик, вплоть до изометрии, как доказал Николай Долбилин в его статье 1995 г. Счетность семейства тайлов и периодичность тайлинга.
  4. ↑ Гарднер, Мартин (январь 1977 г.). «Математические игры». Scientific American . 236 : 111–119.
  5. ^ Гарднер, Мартин (1988). Плитки Пенроуза для тайных шифров . ISBN WH Freeman & Co. 978-0-7167-1987-8.
  6. ^ https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/
  7. ^ Senechal С. 22-24.
  8. ^ Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества (66): 1–72.
  9. ^ Грюнбаум и Шепард, раздел 11.1.
  10. ^ Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность мозаик на плоскости». Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–209. Bibcode : 1971InMat..12..177R . DOI : 10.1007 / BF01418780 .
  11. Перейти ↑ Goodman-Strauss, Chaim (1998). «Правила совпадения и подстановочные тилинги» . Анналы математики . 147 (1): 181–223. CiteSeerX 10.1.1.173.8436 . DOI : 10.2307 / 120988 . JSTOR 120988 .  
  12. ^ Мозес, S. (1989). «Тайлинги, системы замещения и порождаемые ими динамические системы». Журнал d'Analyse Mathématique . 53 (1): 139–186. DOI : 10.1007 / BF02793412 .