В геометрии , А вершина (в форме множественного числа: вершин или вершин ), часто обозначают буквами , таких как , , , , [1] является точкой , где два или более кривых , линий или ребер с концами. Как следствие этого определения, точка, где две прямые пересекаются, образуя угол, а углы многоугольников и многогранников являются вершинами. [2] [3] [4]
Определение [ править ]
Угла [ править ]
Вершина из угла в точку , где два лучи начинают или встречаться, где два отрезка присоединиться или встретиться, где две линии пересекаются (крест), или любой подходящей комбинации лучей, отрезков и линий , которые приводят две прямые «стороны» Встреча в одном месте. [5] [4]
Многогранника [ править ]
Вершина является угловой точкой многоугольника , многогранника или других Многомерным многогранника , образованным пересечением из ребер , граней или граней объекта. [5]
В многоугольнике вершина называется « выпуклой », если внутренний угол многоугольника (т. Е. Угол, образованный двумя ребрами в вершине с многоугольником внутри угла) меньше π радиан (180 °, два прямых угла ); в противном случае его называют «вогнутым» или «рефлекторным». [6] В более общем смысле, вершина многогранника или многогранника является выпуклой, если пересечение многогранника или многогранника с достаточно малой сферой с центром в вершине выпукло, и вогнутым в противном случае.
Вершины многогранника связаны с вершинами графов в том смысле , что 1-скелет многогранника является графом, вершины которого соответствуют вершинам многогранника [7], и в этом случае граф можно рассматривать как одномерный симплициальный комплекс, вершинами которого являются вершины графа.
Однако в теории графов у вершин может быть меньше двух инцидентных ребер, что обычно недопустимо для геометрических вершин. Существует также связь между геометрическими вершинами и вершинами кривой , ее точками крайней кривизны: в некотором смысле вершины многоугольника являются точками бесконечной кривизны, и если многоугольник аппроксимируется гладкой кривой, будет точка крайней кривизны около каждой вершины многоугольника. [8] Однако гладкая кривая, аппроксимирующая многоугольник, также будет иметь дополнительные вершины в точках, где его кривизна минимальна.
Планировки плоскости [ править ]
Вершина мозаики плоскости или мозаики - это точка, в которой встречаются три или более плиток; [9] обычно, но не всегда, плитки мозаики являются многоугольниками, а вершины мозаики также являются вершинами ее плиток. В более общем смысле тесселяцию можно рассматривать как своего рода топологический комплекс ячеек , как и грани многогранника или многогранника; вершины других видов комплексов, таких как симплициальные комплексы, являются его нульмерными гранями.
Основная вершина [ править ]
Вершина многоугольника x i простого многоугольника P является главной вершиной многоугольника, если диагональ [ x (i - 1) , x (i + 1) ] пересекает границу P только в точках x (i - 1) и x (i + 1) . Есть два типа основных вершин: уши и рты . [10]
Уши [ править ]
Основная вершина х I простого многоугольника Р называется уха , если диагонали [ х (я - 1) , х (г + 1) ] , что мосты х я целиком лежит в P . (см. также выпуклый многоугольник ) Согласно теореме о двух ушах , каждый простой многоугольник имеет как минимум два уха. [11]
Рты [ править ]
Основная вершина х I простого многоугольника Р называется рот , если диагонали [ х (я - 1) , х (г + 1) ] лежит вне границы P .
Число вершин многогранника [ править ]
Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику
где V - количество вершин, E - количество ребер , а F - количество граней . Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество вершин на 2 больше, чем превышение количества ребер над количеством граней. Например, поскольку куб имеет 12 ребер и 6 граней, формула подразумевает, что у него 8 вершин.
Вершины в компьютерной графике [ править ]
В компьютерной графике объекты часто представлены в виде триангулированных многогранников, в которых вершины объекта связаны не только с тремя пространственными координатами, но и с другой графической информацией, необходимой для правильной визуализации объекта, такой как цвета, свойства отражения , текстуры и нормали к поверхности ; [12] эти свойства используются при рендеринге вершинным шейдером , частью вершинного конвейера .
См. Также [ править ]
- Расположение вершин
- Фигура вершины
Ссылки [ править ]
- ^ «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 16 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Вертекс" . MathWorld .
- ^ «Вершины, края и грани» . www.mathsisfun.com . Проверено 16 августа 2020 .
- ^ a b "Что такое вершины в математике?" . Наука . Проверено 16 августа 2020 .
- ^ a b Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг элементов Евклида (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: издательство Кембриджского университета, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications.
- (3 тт.): ISBN 0-486-60088-2 (т. 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3).
- ^ Цзин, Ланру; Стефанссон, Уве (2007). Основы методов дискретных элементов в горных сооружениях: теория и приложения . Elsevier Science.
- ^ Питер МакМаллен , Эгон Шульте, Абстрактные правильные многогранники, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (стр. 29)
- ^ Бобенко, Александр I .; Шредер, Питер; Салливан, Джон М .; Циглер, Гюнтер М. (2008). Дискретно-дифференциальная геометрия . Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7.
- ^ М. В. Ярич, редактор, Введение в математику квазикристаллов (апериодичность и порядок, том 2) ISBN 0-12-040602-0 , Academic Press, 1989.
- ^ Девадосс, Сатьян ; О'Рурк, Джозеф (2011). Дискретная и вычислительная геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-14553-2.
- ^ Meisters, GH (1975), "Полигоны есть уши", Американский Математический Ежемесячный , 82 : 648-651, DOI : 10,2307 / 2319703 , MR 0367792 .
- ^ Кристен, Мартин. «Учебники по Clockworkcoders: атрибуты вершин» . Хронос Групп . Проверено 26 января 2009 года .
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Вершина многоугольника» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Вершина многогранника» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Основная вершина» . MathWorld .
