Точка (геометрия)

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

В современной математике , A точка , как правило , относится к элементу некоторого множества называется пространством .

Более конкретно, в евклидовой геометрии точка - это примитивное понятие, на котором построена геометрия, что означает, что точка не может быть определена в терминах ранее определенных объектов. То есть точка определяется только некоторыми свойствами, называемыми аксиомами , которым она должна удовлетворять. В частности, геометрические точки не имеют длины , площади , объема или каких-либо других размерных атрибутов. Распространенное толкование состоит в том, что понятие точки предназначено для отражения понятия уникального местоположения в евклидовом пространстве . ^[1]

Точки в евклидовой геометрии [ править ]

Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии , являются одними из самых фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет части». В двухмерном евклидовом пространстве точка представлена упорядоченной парой ( x ,  y ) чисел, где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается x , а второе число условно представляет вертикаль и часто обозначается по y. Эта идея легко обобщается на трехмерное евклидово пространство, где точка представлена ​​упорядоченным триплетом ( x ,  y ,  z ) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину, и часто обозначается z . Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным набором из n терминов ( a ₁ ,  a ₂ ,…,  a _n ), где n - размерность пространства, в котором расположена точка.

Многие конструкции в евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это представлено набором точек; Например, линия представляет собой бесконечный набор точек формы , где c ₁ по c _n и d - константы, а n - размерность пространства. Существуют аналогичные конструкции, которые определяют плоскость , линейный сегмент и другие связанные понятия. Отрезок, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком.${\ displaystyle \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_ {1}, a_ {2}, ... a_ {n}) | a_ {1} c_ {1} + a_ {2} c_ {2} + .. .a_ {n} c_ {n} = d \ rbrace}}$

В дополнение к определению точек и построений, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это легко подтверждается современными расширениями евклидовой геометрии и имело длительные последствия при ее введении, позволяя построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование точек Евклида не было ни полным, ни окончательным, и иногда он предполагал факты о точках, которые не вытекали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование конкретных точек. Несмотря на это, современные расширения системы служат для устранения этих предположений.

Размер точки [ править ]

В математике существует несколько неэквивалентных определений размерности . Во всех общих определениях точка 0-мерна.

Размерность векторного пространства [ править ]

Размерность векторного пространства - это максимальный размер линейно независимого подмножества. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0 ), нет линейно независимого подмножества. Нулевой вектор не является самим по себе линейно независим, потому что существует нетривиальная линейная комбинация делает его нуль: .${\ Displaystyle 1 \ cdot \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$

Топологическое измерение [ править ]

Топологическая размерность топологического пространства X определяется как минимальное значение п , таким образом, что каждое конечное открытое покрытие из X допускает конечное открытое покрытие из X , который уточняет , в котором ни одна точка не входит в более чем п + 1 элементов. Если такого минимального n не существует, пространство называется бесконечной покрывающей размерностью.${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Точка нульмерна по отношению к размерности покрытия, потому что каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из одного открытого множества.

Измерение Хаусдорфа [ править ]

Пусть X - метрическое пространство . Если S ⊂ X и d ∈ [0, ∞), то д - мерное содержание Хаусдорфовы из S является нижней гранью множества чисел δ ≥ 0, что есть некоторый (индексируется) сбор шаров , покрывающих S с р _я > 0 для каждого i ∈ I , удовлетворяющего .${\ displaystyle \ {B (x_ {i}, r_ {i}): я \ in I \}}$${\ displaystyle \ sum _ {я \ in I} r_ {i} ^ {d} <\ delta}$

Хаусдорфова из X определяется

${\ displaystyle \ operatorname {dim} _ {\ operatorname {H}} (X): = \ inf \ {d \ geq 0: C_ {H} ^ {d} (X) = 0 \}.}$

Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, потому что ее можно покрыть одним шаром сколь угодно малого радиуса.

Геометрия без точек [ править ]

Хотя понятие точки обычно считается фундаментальным в основной геометрии и топологии, есть некоторые системы, которые отказываются от него, например, некоммутативная геометрия и бессмысленная топология . «Бессмысленное» или «бесточечное» пространство определяется не как множество , а через некоторую структуру ( алгебраическую или логическую соответственно), которая выглядит как хорошо известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывных функций или алгебра множеств соответственно . Точнее, такие структуры обобщают хорошо известные пространства функций таким образом, что операция «принять значение в этой точке» не может быть определена.Дальнейшая традиция начинается с некоторых книгА. Н. Уайтхеда, в котором понятие региона рассматривается как примитив вместе с понятием включения или соединения .

Точечные массы и дельта-функция Дирака [ править ]

Часто в физике и математике полезно рассматривать точку как имеющую ненулевую массу или заряд (это особенно распространено в классическом электромагнетизме , где электроны идеализируются как точки с ненулевым зарядом). Дельта - функции Дирака , или δ функции , представляет собой (неформально) а обобщенная функция на вещественной числовой прямой , которая равна нулю всюду , кроме нуля, с интегралом одного над всей прямой. ^{[2] [3] [4]} Дельта-функцию иногда называют бесконечно высоким, бесконечно тонким выступом в начале координат с общей площадью, равной единице под выступом, и физически представляет собой идеализированную точечную массу илиточечный заряд . ^[5] Он был введен физиком-теоретиком Полем Дираком . В контексте обработки сигналов его часто называют символом единичного импульса (или функцией). ^[6] Ее дискретным аналогом является дельта- функция Кронекера, которая обычно определяется в конечной области и принимает значения 0 и 1.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кларк, Боуман, 1985, " Отдельные лица и точки ", Нотр-Дам, Журнал формальной логики 26 : 61–75.
• Де Лагуна, Т., 1922, «Точка, линия и поверхность как множества твердых тел», The Journal of Philosophy 19 : 449–61.
• Герла, Г., 1995, " Бессмысленная геометрия " в Бюкенхауте, Ф., Кантор, W. eds., Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты . Северная Голландия: 1015–31.
• Уайтхед, А. Н. , 1919. Исследование основ естественного знания . Cambridge Univ. Нажмите. 2 изд., 1925.
• Уайтхед, А. Н., 1920. Концепция природы . Cambridge Univ. Нажмите. 2004 г. в мягкой обложке, Книги Прометея. Лекции Тарнера 1919 года, прочитанные в Тринити-колледже .
• Уайтхед, АН, 1979 (1929). Процесс и реальность . Свободная пресса.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с точками (математикой) .

• «Точка» . PlanetMath .
• Вайсштейн, Эрик В. «Точка» . MathWorld .