Риманова геометрия

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / многомерный Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джишхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джишхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Риманова геометрия - это ветвь дифференциальной геометрии , изучающая римановы многообразия , гладкие многообразия с римановой метрикой , то есть со скалярным произведением на касательном пространстве в каждой точке, которое плавно меняется от точки к точке. Это дает, в частности, местные понятия угла , длины кривых , площади поверхности и объема . Из них можно получить некоторые другие глобальные величины путем интегрирования местных вкладов.

Риманова геометрия возникла из видения Бернхарда Римана, выраженного в его вступительной лекции « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen » («О гипотезах, на которых основана геометрия»). Это очень широкое и абстрактное обобщение дифференциальной геометрии поверхностей в R ³ . Развитие римановой геометрии привело к синтезу различных результатов, касающихся геометрии поверхностей и поведения геодезических на них, с методами, которые могут быть применены к изучению дифференцируемых многообразий более высоких измерений. Это позволило формулировке Эйнштейна «S общей теории относительности, оказал глубокое влияние на теорию групп и теорию представлений , а также на анализ и стимулировал развитие алгебраической и дифференциальной топологии .

Введение [ править ]

Риманова геометрия была впервые предложена Бернхардом Риманом в 19 ​​веке. Он имеет дело с широким спектром геометрий, метрические свойства которых меняются от точки к точке, включая стандартные типы неевклидовой геометрии .

Каждое гладкое многообразие допускает риманову метрику , которая часто помогает решать проблемы дифференциальной топологии . Он также служит начальным уровнем для более сложной структуры псевдоримановых многообразий , которые (в четырех измерениях) являются основными объектами общей теории относительности . Другие обобщения римановой геометрии включают финслерову геометрию .

Существует близкая аналогия дифференциальной геометрии с математической структурой дефектов в регулярных кристаллах. Вывихи и дисклинации вызывают скручивание и искривление. ^{[1] [2]}

Следующие статьи содержат полезный вводный материал:

• Метрический тензор
• Риманово многообразие
• Леви-Чивита связь
• Кривизна
• Тензор кривизны
• Список тем по дифференциальной геометрии
• Словарь римановой и метрической геометрии

Классические теоремы [ править ]

Ниже приводится неполный список наиболее классических теорем римановой геометрии. Выбор делается в зависимости от его важности и элегантности формулировки. Большинство результатов можно найти в классической монографии Джеффа Чигера и Д. Эбина (см. Ниже).

Приведенные формулировки далеко не очень точные и не самые общие. Этот список ориентирован на тех, кто уже знает основные определения и хочет знать, о чем эти определения.

Общие теоремы [ править ]

1. Гаусса-Бонне теорема Интеграл от кривизны Гаусса на компактном 2-мерного риманова многообразия равна 2πχ ( М )где χ ( М ) обозначает эйлерову характеристику из М . Эта теорема имеет обобщение на любое компактное четномерное риманово многообразие, см. Обобщенную теорему Гаусса-Бонне .
2. Теоремы вложения Нэша . Они утверждают, что любое риманово многообразие может быть изометрически вложено в евклидово пространство R ⁿ .

Геометрия в целом [ править ]

Во всех следующих теоремах мы предполагаем некоторое локальное поведение пространства (обычно формулируемое с использованием предположения кривизны), чтобы получить некоторую информацию о глобальной структуре пространства, включая либо некоторую информацию о топологическом типе многообразия, либо о поведении точек. на «достаточно больших» расстояниях.

Сжатая секционная кривизна [ править ]

1. Теорема о сфере . Если M - односвязное компактное n -мерное риманово многообразие с секционной кривизной, строго сжатой между 1/4 и 1, то M диффеоморфно сфере.
2. Теорема Чигера о конечности. Для констант C , D и V существует лишь конечное число (с точностью до диффеоморфизма) компактных n -мерных римановых многообразий секционной кривизны | K | ≤ C , диаметр ≤ D и объем ≥ V .
3. Почти плоские многообразия Громова . Существует такое ε _n > 0, что если n- мерное риманово многообразие имеет метрику секционной кривизны | K | ≤ ε _n и диаметра ≤ 1, то его конечное покрытие диффеоморфно нильмногообразию .

Сечение кривизны ограничено снизу [ править ]

1. Теорема души Чигера – Громолля . Если М не являются компактным полным неотрицательно изогнут п - мерное риманово многообразие, то М содержит компактное вполне геодезическое подмногообразие S такого , что M диффеоморфно нормального расслоения S ( S называется душа из М ) . В частности, если М имеет строго положительную кривизну всюду, то это диффеоморфен к R ^н . Г. Перельман в 1994 году дал удивительно элегантное / короткое доказательство гипотезы о душе:M диффеоморфен R ^n, если он имеет положительную кривизну только в одной точке.
2. Теорема Громова о числах Бетти. Существует постоянная С = С ( п ) такое , что если М представляет собой компактное связное п - мерное многообразие с положительной секционной кривизны тогда сумма его чисел Бетти не превосходит C .
3. Теорема Гроув – Петерсена о конечности. Указанные константы С , D и В , существует лишь конечное число типов гомотопических компактных п - мерных риманов многообразий с секционной кривизной K ≥ C , диаметром ≤ D и объемом ≥ V .

Ограниченная сверху кривизна в разрезе [ править ]

1. Картана-Адамар теорема утверждает , что полный односвязный риманово многообразие М неположительной секционной кривизны диффеоморфен к евклидову пространства R ^п с п = тусклыми М через экспоненциальное отображение в любой точке. Отсюда следует, что любые две точки односвязного полного риманова многообразия с неположительной секционной кривизной соединены единственной геодезической.
2. Геодезический поток любого компактного риманова многообразия с отрицательной кривизной секционной эргодичен .
3. Если M - полное риманово многообразие с секционной кривизной, ограниченной сверху строго отрицательной константой k, то это пространство CAT ( k ) . Следовательно, его фундаментальная группа Γ =  π ₁ ( M ) гиперболична по Громову . Это имеет много значений для структуры фундаментальной группы:

• это конечно представлено ;
• слово проблема для Г имеет положительное решение;
• группа Γ имеет конечную виртуальную когомологическую размерность ;
• она содержит лишь конечное число классов сопряженности из элементов конечного порядка ;
• в абелевых подгруппы Г являются практически циклической , так что она не содержит подгруппу , изоморфную Z × Z .

Кривизна Риччи ограничена снизу [ править ]

1. Теорема Майерса . Если компактное риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи, то его фундаментальная группа конечна.
2. Формула Бохнера . Если компактное риманово n -многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи, то его первое число Бетти не превосходит n , с равенством тогда и только тогда, когда риманово многообразие является плоским тором.
3. Теорема о расщеплении . Если полное n -мерное риманово многообразие имеет неотрицательную кривизну Риччи и прямую линию (т. Е. Геодезическую, минимизирующую расстояние на каждом интервале), то оно изометрично прямому произведению вещественной прямой и полного ( n -1) -мерного риманиана. многообразие, имеющее неотрицательную кривизну Риччи.
4. Неравенство Бишопа – Громова . Объем метрического шара радиуса r в полном n- мерном римановом многообразии с положительной кривизной Риччи имеет объем не более объема шара того же радиуса r в евклидовом пространстве.
5. Теорема Громова о компактности . Множество всех римановых многообразий с положительной кривизной Риччи и диаметром в большинстве D является предварительно компактным в Громова-Хаусдорфа метрики .

Отрицательная кривизна Риччи [ править ]

1. Группа изометрий компактного риманова многообразия с отрицательной кривизной Риччи дискретна .
2. Любое гладкое многообразие размерности n ≥ 3 допускает риманову метрику с отрицательной кривизной Риччи. ^[3] ( Это неверно для поверхностей .)

Положительная скалярная кривизна [ править ]

1. П - мерный тор не допускает метрику с положительной скалярной кривизной.
2. Если радиус инъективности компактного n- мерного риманова многообразия ≥ π, то средняя скалярная кривизна не превосходит n ( n -1).

См. Также [ править ]

• Форма вселенной
• Основное введение в математику искривленного пространства-времени
• Нормальные координаты
• Систолическая геометрия
• Геометрия Римана – Картана в теории Эйнштейна – Картана (мотивация)
• Минимальная поверхность Римана

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Книги

• Бергер, Марсель (2000), Риманова геометрия во второй половине двадцатого века , серия лекций в университете, 17 , Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2052-4. (Предоставляет исторический обзор и обзор, включая сотни ссылок.)
• Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008), Теоремы сравнения в римановой геометрии , Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing; Переиздание оригинала 1975 года.
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик; Лафонтен, Жак (2004), Риманова геометрия , Universitext (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag.
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98212-4

• От Римана к дифференциальной геометрии и теории относительности (Личен Джи, Атанас Пападопулос и Сумио Ямада, ред.) Springer, 2017, XXXIV, 647 с. ISBN 978-3-319-60039-0 

Статьи

• Брендл, Саймон ; Шен, Ричард М. (2007), Классификация многообразий с кривизной , имеющей слабо 1/4 защемления , arXiv : 0705.3963 , Bibcode : 2007arXiv0705.3963B

Внешние ссылки [ править ]

• Риманова геометрия В.А. Топоногова в энциклопедии математики.
• Вайсштейн, Эрик В. «Риманова геометрия» . MathWorld .