Аналитическая геометрия

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

В классической математике аналитическая геометрия , также известная как координатная геометрия или декартова геометрия , представляет собой изучение геометрии с использованием системы координат . Это контрастирует с синтетической геометрией .

Аналитическая геометрия используется в физике и технике , а также в авиации , ракетостроении , космической науке и космических полетах . Это основа большинства современных областей геометрии, включая алгебраическую , дифференциальную , дискретную и вычислительную геометрию .

Обычно декартова система координат применяется для управления уравнениями для плоскостей , прямых и квадратов , часто в двух, а иногда и в трех измерениях. Геометрически изучаются евклидова плоскость ( два измерения ) и евклидово пространство ( три измерения ). Как учат в школьных учебниках, аналитическая геометрия может быть объяснена более просто: она связана с определением и представлением геометрических форм числовым способом и извлечением числовой информации из числовых определений и представлений форм. Что алгебра действительных чиселможет использоваться для получения результатов о линейном континууме геометрии, основанном на аксиоме Кантора – Дедекинда .

История [ править ]

Древняя Греция [ править ]

Греческий математик Менехм решал задачи и доказаны теоремы, используя метод , который имел сильное сходство с использованием координат и иногда утверждали , что он представил аналитическую геометрию. ^[1]

Аполлоний Пергский в разделе «О детерминированности» рассматривал проблемы способом, который можно назвать аналитической геометрией одного измерения; с вопросом о нахождении точек на линии, которые были в соотношении с другими. ^[2] Аполлоний в « Кониках» развил метод, который настолько похож на аналитическую геометрию, что иногда думают, что его работа предвосхитила работу Декарта.примерно на 1800 лет. Его применение опорных линий, диаметра и касательной по существу не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеренные по диаметру от точки касания, являются абсциссами, а отрезки, параллельные касательной и пересекаемые между ними. ось и кривая - ординаты. Он далее развил отношения между абсциссами и соответствующими ординатами, которые эквивалентны риторическим уравнениям кривых. Однако, хотя Аполлоний был близок к развитию аналитической геометрии, ему не удалось этого сделать, поскольку он не принимал во внимание отрицательные величины, и в каждом случае система координат накладывалась на заданную кривую апостериори, а не априори.. То есть уравнения определялись кривыми, а кривые не определялись уравнениями. Координаты, переменные и уравнения были вспомогательными понятиями, примененными к конкретной геометрической ситуации. ^[3]

Персия [ править ]

11-го века персидского математика Омар Хайям видел сильную связь между геометрией и алгеброй и двигается в правильном направлении , когда он помог преодолеть разрыв между численной и геометрической алгеброй ^[4] с его геометрическим решением общих кубических уравнений , ^[5] но решительный шаг пришел позже с Декартом. ^[4] Омару Хайяму приписывают определение основ алгебраической геометрии , а его книга « Трактат о демонстрациях проблем алгебры» (1070), в которой изложены принципы алгебры, является частью персидской математики, которая в конечном итоге была передана в Европа. ^[6]Из-за его тщательного геометрического подхода к алгебраическим уравнениям Хайяма можно считать предшественником Декарта в изобретении аналитической геометрии. ^{[7] : 248}

Западная Европа [ править ]

Аналитическая геометрия была независимо изобретена Рене Декарта и Пьера де Ферма , ^{[8] [9]} , хотя Декарт иногда дается единственный кредит. ^{[10] [11]} Декартова геометрия , альтернативный термин, используемый для аналитической геометрии, названа в честь Декарта.

Декарт добился значительного прогресса в использовании методов в эссе под названием La Geometrie (Геометрия) , одном из трех сопутствующих эссе (приложений), опубликованных в 1637 году вместе с его « Рассуждениями о методе правильного направления своего разума и поисками истины в науках» , обычно называется « Беседа о методе» . «Геометрия» , написанная на его родном французском языке, и ее философские принципы послужили основой для исчисления в Европе. Первоначально работа не была хорошо принята, отчасти из-за множества пробелов в аргументах и ​​сложных уравнений. Только после перевода на латынь и добавления комментарияван Скутен в 1649 году (и дальнейшие работы после него) заслужил признание шедевра Декарта. ^[12]

Пьер де Ферма также был пионером в развитии аналитической геометрии. Хотя это и не опубликовали в своей жизни, рукопись форма объявления Планоса и др локомотивы solidos Исагогики (Введение в плоскость и твердые локусы) циркулировали в Париже в 1637 году, незадолго до публикации Декарта дискурса . ^{[13] [14] [15]} Четко написанное и хорошо полученное Введениетакже заложил основы аналитической геометрии. Ключевое различие между подходами Ферма и Декарта заключается в точке зрения: Ферма всегда начинал с алгебраического уравнения, а затем описывал геометрическую кривую, которая ему удовлетворяла, тогда как Декарт начинал с геометрических кривых и выводил их уравнения как одно из нескольких свойств кривых. . ^[12] Вследствие этого подхода Декарту пришлось иметь дело с более сложными уравнениями, и ему пришлось разработать методы для работы с полиномиальными уравнениями более высокой степени. Леонард Эйлер первым применил метод координат для систематического изучения пространственных кривых и поверхностей.

Координаты [ править ]

В аналитической геометрии плоскости задается система координат, в которой каждая точка имеет пару вещественных координат. Точно так же в евклидовом пространстве заданы координаты, где каждая точка имеет три координаты. Значение координат зависит от выбора начальной точки отсчета. Используется множество систем координат, но наиболее распространенными являются следующие: ^[16]

Декартовы координаты (на плоскости или в пространстве) [ править ]

Наиболее распространенной системой координат для использования является декартова система координат , где каждая точка имеет координату x, представляющую ее горизонтальное положение, и координату y, представляющую ее вертикальное положение. Обычно они записываются как упорядоченная пара ( x ,  y ). Эта система также может быть использована для трехмерной геометрии, где каждая точка в евклидовом пространстве представлена упорядоченной тройкой координат ( x ,  y ,  z ).

Полярные координаты (на плоскости) [ править ]

В полярных координатах каждая точка плоскости представлена ​​ее расстоянием r от начала координат и углом θ , при этом θ обычно измеряется против часовой стрелки от положительной оси x . Используя это обозначение, точки обычно записываются как упорядоченная пара ( r , θ ). Можно преобразовать назад и вперед между двухмерным декартовым и полярными координатами с помощью этих формул: . Эта система может быть обобщена на трехмерное пространство за счет использования цилиндрических или сферических координат.${\ displaystyle x = r \, \ cos \ theta, \, y = r \, \ sin \ theta; \, r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \, \ тета = \ arctan (y / x)}$

Цилиндрические координаты (в пространстве) [ править ]

В цилиндрических координатах каждая точка пространства представлена ​​ее высотой z , ее радиусом r относительно оси z и углом θ, который ее проекция на плоскость xy составляет относительно горизонтальной оси.

Сферические координаты (в пространстве) [ править ]

В сферических координатах каждая точка в пространстве представлена ​​ее расстоянием ρ от начала координат, углом θ, который ее проекция на плоскость xy составляет относительно горизонтальной оси, и углом φ, который она составляет относительно оси z. . Названия углов в физике часто меняют местами. ^[16]

Уравнения и кривые [ править ]

В аналитической геометрии любое уравнение, включающее координаты, задает подмножество плоскости, а именно набор решений для уравнения или геометрическое место . Например, уравнение y  =  x соответствует набору всех точек на плоскости, у которых координата x и координата y равны. Эти точки образуют линию , и y  =  x называется уравнением для этой линии. Как правило, линейные уравнения, включающие x и y, определяют линии, квадратные уравнения определяют конические сечения., а более сложные уравнения описывают более сложные фигуры. ^[17]

Обычно кривой на плоскости соответствует одно уравнение . Это не всегда так: тривиальное уравнение x  =  x задает всю плоскость, а уравнение x ²  +  y ²  = 0 задает только одну точку (0, 0). В трех измерениях одно уравнение обычно дает поверхность , а кривая должна быть указана как пересечение двух поверхностей (см. Ниже) или как система параметрических уравнений . ^[18] Уравнение x ²  +  y ²  =  r ² это уравнение для любой окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r.

Линии и плоскости [ править ]

Линии на декартовой плоскости или, в более общем смысле, в аффинных координатах могут быть описаны алгебраически с помощью линейных уравнений. В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме пересечения наклона :

${\ Displaystyle у = мх + Ь \,}$

куда:

m - наклон или уклон линии.

b - точка пересечения линии по оси y .

x - независимая переменная функции y = f ( x ).

Аналогично тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с помощью точки на плоскости и вектора, ортогонального к ней ( вектор нормали ), чтобы указать его "наклон".

В частности, пусть будет вектором положения некоторой точки и пусть будет ненулевым вектором. Плоскость, определяемая этой точкой и вектором, состоит из таких точек с вектором положения , при которых вектор, проведенный от до , перпендикулярен . Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, следует, что искомую плоскость можно описать как набор всех точек, таких что${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$${\ Displaystyle \ mathbf {п} = (а, б, в)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle P_ {0}}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle \ mathbf {п}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle \ mathbf {n} \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {0}) = 0.}$

(Точка здесь означает скалярное произведение , а не скалярное умножение.) В расширенном виде это становится

${\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0,}$

что является точечно-нормальной формой уравнения плоскости. ^[19] Это просто линейное уравнение :

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$

И наоборот, легко показать, что если a , b , c и d - константы, а a , b и c не все равны нулю, то график уравнения

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$

плоскость, имеющая вектор в качестве нормали. ^[20] Это знакомое уравнение для плоскости называется общей формой уравнения для плоскости. ^[21]${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

В трех измерениях линии не могут быть описаны одним линейным уравнением, поэтому они часто описываются параметрическими уравнениями :

${\displaystyle x=x_{0}+at\,}$

${\displaystyle y=y_{0}+bt\,}$

${\displaystyle z=z_{0}+ct\,}$

куда:

x , y и z - все функции независимой переменной t, которая принимает значения действительных чисел.

( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) - любая точка на прямой.

a , b и c связаны с наклоном прямой, так что вектор ( a , b , c ) параллелен прямой.

Конические секции [ править ]

В декартовой системе координат , то граф из квадратного уравнения с двумя переменными всегда коническим сечением - хотя это может быть вырожденным, и все конические сечения возникают таким образом. Уравнение будет иметь вид

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}\,}$

Поскольку масштабирование всех шести констант дает одно и то же геометрическое место нулей, можно рассматривать коники как точки в пятимерном проективном пространстве. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

Конические участки, описываемые этим уравнением, можно классифицировать с помощью дискриминанта ^[22]

${\displaystyle B^{2}-4AC.\,}$

Если коника невырожденная, то:

• если , уравнение представляет собой эллипс ;${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
  • если и , уравнение представляет собой круг , который является частным случаем эллипса;${\displaystyle A=C}$${\displaystyle B=0}$
• если , уравнение представляет собой параболу ;${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• если , уравнение представляет собой гиперболу ;${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$
  • если есть , уравнение представляет собой прямоугольную гиперболу .${\displaystyle A+C=0}$

Квадрические поверхности [ править ]

Квадрика , или поверхность второго порядка , является 2 - мерной поверхностью в 3-мерном пространстве , определенном как локус из нулей одного квадратного многочлена . В координатах x ₁ , x ₂ , x ₃ общая квадрика определяется алгебраическим уравнением ^[23]

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$

Квадрические поверхности включают эллипсоиды (включая сферу ), параболоиды , гиперболоиды , цилиндры , конусы и плоскости .

Расстояние и угол [ править ]

В аналитической геометрии геометрические понятия, такие как расстояние и мера угла , определяются с помощью формул . Эти определения предназначены для согласования с лежащей в основе евклидовой геометрией . Например, используя декартовы координаты на плоскости, расстояние между двумя точками ( x ₁ ,  y ₁ ) и ( x ₂ ,  y ₂ ) определяется формулой

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},\!}$

что можно рассматривать как версию теоремы Пифагора . Точно так же угол между линией и горизонтом можно определить по формуле

${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$

где m - наклон прямой.

В трех измерениях расстояние определяется обобщением теоремы Пифагора:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},\!}$,

в то время как угол между двумя векторами определяется скалярным произведением . Скалярное произведение двух евклидовых векторов A и B определяется формулой ^[24]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

где θ представляет собой угол между A и B .

Преобразования [ править ]

Преобразования применяются к родительской функции, чтобы превратить ее в новую функцию с аналогичными характеристиками.

График изменен стандартными преобразованиями следующим образом:${\displaystyle R(x,y)}$

• Изменение к перемещает график до нужных блоков.${\displaystyle x}$${\displaystyle x-h}$${\displaystyle h}$
• Изменение к перемещает график вверх единиц.${\displaystyle y}$${\displaystyle y-k}$${\displaystyle k}$
• Изменение в растягивает графика по горизонтали на коэффициент . (думайте о расширении)${\displaystyle x}$${\displaystyle x/b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$
• Изменение в растягивает графика по вертикали.${\displaystyle y}$${\displaystyle y/a}$
• Изменение на и изменение на вращает график на угол .${\displaystyle x}$${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$${\displaystyle y}$${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$${\displaystyle A}$

Существуют и другие стандартные преобразования, которые обычно не изучаются в элементарной аналитической геометрии, потому что преобразования изменяют форму объектов способами, которые обычно не рассматриваются. Перекос - это пример преобразования, которое обычно не рассматривается. Для получения дополнительной информации обратитесь к статье в Википедии об аффинных преобразованиях .

Например, родительская функция имеет горизонтальную и вертикальную асимптоты и занимает первый и третий квадрант, а все ее преобразованные формы имеют одну горизонтальную и вертикальную асимптоты и занимают либо 1-й и 3-й, либо 2-й и 4-й квадранты. В общем, если , то можно трансформировать в . В новой преобразованной функции это коэффициент, который растягивает функцию по вертикали, если он больше 1, или сжимает функцию по вертикали, если он меньше 1, а для отрицательных значений функция отражается на оси -axis. Значение сжимает график функции по горизонтали , если больше 1 и тянется функция по горизонтали , если меньше 1, и , как , отражает функцию в${\displaystyle y=1/x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle y=af(b(x-k))+h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle y}$- ось, когда она отрицательная. Значения и вводят переводы ,, вертикальный и горизонтальный. Положительные и значения означают , что функция переводятся к положительному концу своей оси и отрицательный смысл перевода к отрицательному концу.${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$

Преобразования можно применять к любому геометрическому уравнению, независимо от того, представляет оно функцию или нет. Преобразования можно рассматривать как отдельные транзакции или комбинации.

Предположим, что это отношение на плоскости. Например,${\displaystyle R(x,y)}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

- отношение, описывающее единичную окружность.

Поиск пересечений геометрических объектов [ править ]

Для двух геометрических объектов P и Q представлены отношениями, а пересечение - это совокупность всех точек, которые находятся в обоих отношениях. ^[25]${\displaystyle P(x,y)}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$

Например, это может быть круг с радиусом 1 и центром : и может быть круг с радиусом 1 и центром . Пересечение этих двух окружностей представляет собой набор точек, которые делают оба уравнения верными. Верны ли оба уравнения? Используя for , уравнение для становится истинным или истинным, так же как и в отношении . С другой стороны, все еще использование для уравнения для становится или которое является ложным. не на перекрестке, значит, не на перекрестке.${\displaystyle P}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$${\displaystyle (-1)^{2}=1}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$${\displaystyle 0=1}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle P}$

Пересечение и можно найти, решив одновременные уравнения:${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$

Традиционные методы поиска пересечений включают замену и устранение.

Подстановка: решите первое уравнение для через, а затем подставьте выражение для второго уравнения:${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}}$.

Затем мы подставляем это значение в другое уравнение и приступаем к поиску :${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$

${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$

${\displaystyle -2x=-1}$

${\displaystyle x=1/2.}$

Затем мы помещаем это значение в любое из исходных уравнений и решаем для :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle y^{2}=3/4}$

${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$

Итак, у нашего пересечения есть две точки:

${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;\mathrm {and} \;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$

Исключение : добавьте (или вычтите) одно уравнение, кратное другому, в другое уравнение, чтобы исключить одну из переменных. В нашем текущем примере, если мы вычтем первое уравнение из второго, мы получим . В первом уравнении вычитается из второго уравнения, не оставляя члена. Переменная удалена. Затем мы решаем оставшееся уравнение для так же, как и в методе подстановки:${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle y^{2}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$

${\displaystyle -2x=-1}$

${\displaystyle x=1/2.}$

Затем мы помещаем это значение в любое из исходных уравнений и решаем для :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle y^{2}=3/4}$

${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$

Итак, у нашего пересечения есть две точки:

${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;\mathrm {and} \;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$

Для конических секций на пересечении может быть до 4 точек.

Поиск перехватчиков [ править ]

Один тип пересечения, который широко изучается, - это пересечение геометрического объекта с осями координат и .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Пересечение геометрического объекта и оси-оси называется -перехват объекта. Пересечение геометрического объекта и оси-оси называется -перехват объекта.${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Для линии параметр указывает точку, в которой линия пересекает ось. В зависимости от контекста, точка или точка называется перехватом.${\displaystyle y=mx+b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle y}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (0,b)}$${\displaystyle y}$

Касательные и нормали [ править ]

Касательные линии и плоскости [ править ]

В геометрии , то линия тангенса (или просто касательной ) к плоской кривой в заданной точке является прямой линией , что «только касается» кривой в этой точке. Неформально это линия, проходящая через пару бесконечно близких точек на кривой. Более точно, прямая линия называется касательной к кривой y = f ( x ) в точке x = c на кривой, если прямая проходит через точку ( c , f ( c )) на кривой и имеет склонf ' ( c ) где f ' - производная от f . Аналогичное определение применяется к пространственным кривым и кривым в n- мерном евклидовом пространстве .

Проходя через точку пересечения касательной и кривой, называемую точкой касания , касательная линия «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является наилучшим приближением прямой к кривой в этой точке. точка.

Точно так же касательная плоскость к поверхности в данной точке - это плоскость, которая «только касается» поверхности в этой точке. Понятие касательной - одно из самых фундаментальных понятий в дифференциальной геометрии, которое было широко обобщено; см. Касательное пространство .

Нормальная линия и вектор [ править ]

В геометрии , A нормальный представляет собой объект , такие как линия или вектор, перпендикулярные к данному объекту. Например, в двумерном случае нормальная линия к кривой в данной точке - это линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.

В трехмерном случае поверхность нормального или просто нормальный , к поверхности в точке Р является вектором , который является перпендикулярно к касательной плоскости к этой поверхности при Р . Слово «нормальный» также используется как прилагательное: линия, нормальная к плоскости , нормальный компонент силы , вектор нормали и т. Д. Понятие нормальности обобщается на ортогональность .

См. Также [ править ]

• Перекрестный продукт
• Вращение осей
• Перевод осей
• Векторное пространство

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Книги [ править ]

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Dover Publications, ISBN 978-0486438320
• Кахори, Флориан (1999), История математики , AMS, ISBN 978-0821821022
• Джон Кейси (1885) Аналитическая геометрия точек, линий, окружностей и конических сечений , ссылка из Интернет-архива .
• Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: Введение (2-е изд.) , Литература: Аддисон Уэсли Лонгман, ISBN 0-321-01618-1
• Struik, DJ (1969), Справочник по математике, 1200-1800 , Harvard University Press, ISBN 978-0674823556

Статьи [ править ]

• Бисселл К.К., Декартова геометрия: вклад Нидерландов
• Бойер, Карл Б. (1944), "Аналитическая геометрия: открытие Ферма и Декарта", Учитель математики , 37 (3): 99–105
• Бойер, Карл Б., Иоганн Худде и пространственные координаты
• Кулидж, JL (1948), "Начала аналитической геометрии в трех измерениях", American Mathematical Monthly , 55 (2): 76-86, DOI : 10,2307 / 2305740 , JSTOR  2305740
• Пекл Дж. Ньютон и аналитическая геометрия

Внешние ссылки [ править ]

• Темы по координатной геометрии с интерактивной анимацией