.svg)
| Геометрия |
|---|
 |
| Геометры |
Симметрия (от греческого συμμετρία « симметрия » «согласие в размерах, должная пропорция, расположение») [1] в повседневном языке означает чувство гармоничной и красивой пропорции и баланса. [2] [3] [a] В математике «симметрия» имеет более точное определение и обычно используется для обозначения объекта, инвариантного относительно некоторых преобразований ; включая перевод , отражение , поворот или масштабирование . [4] Хотя эти два значения «симметрии» иногда можно разделить, они сложным образом связаны и поэтому обсуждаются вместе в этой статье.
Математическая симметрия может наблюдаться относительно течения времени ; как пространственные отношения ; посредством геометрических преобразований ; через другие виды функциональных преобразований; и как аспект абстрактных объектов , включая теоретические модели , язык и музыку . [5] [b]
В этой статье симметрия описывается с трех точек зрения: в математике , включая геометрию , наиболее знакомый тип симметрии для многих; в науке и природе ; и в искусстве, включая архитектуру , искусство и музыку .
Противоположностью симметрии является асимметрия , которая означает отсутствие или нарушение симметрии.
По математике [ править ]
В геометрии [ править ]
Геометрическая форма или объект являются симметричными, если их можно разделить на две или более идентичные части, которые расположены организованно. [6] Это означает, что объект является симметричным, если есть преобразование, которое перемещает отдельные части объекта, но не меняет общую форму. Тип симметрии определяется способом организации фигур или типом преобразования:
- Объект имеет отражательную симметрию (линейную или зеркальную симметрию), если через него проходит линия (или в 3D- плоскости), разделяющая его на две части, являющиеся зеркальным отображением друг друга. [7]
- Объект имеет вращательную симметрию, если его можно вращать вокруг фиксированной точки (или в 3D вокруг линии) без изменения общей формы. [8]
- Объект обладает трансляционной симметрией , если она может быть переведена (перемещение каждой точки объекта на одинаковом расстоянии) , не меняя свою общую форму. [9]
- Объект обладает спиральной симметрией, если его можно одновременно перемещать и вращать в трехмерном пространстве по линии, известной как ось винта . [10]
- Объект обладает симметрией масштаба, если он не меняет форму при расширении или сжатии. [11] Фракталы также демонстрируют форму масштабной симметрии, когда меньшие части фрактала похожи по форме на большие части. [12]
- Другие симметрии включают в себя скользящее отражении симметрию (отражение с последующим переводом) и rotoreflection симметрию (сочетание вращения и отражение [13] ).
В логике [ править ]
Диадический соотношение R = S × S является симметричным , если для каждого элемента а , б в S , всякий раз , когда это верно , что Rab , это также верно , что Rba . [14] Таким образом, отношение «ровесник» является симметричным, поскольку, если Павел того же возраста, что и Мария, тогда Мария того же возраста, что и Павел.
В логике высказываний симметричные бинарные логические связки включают и (∧, или &), или (∨, или |) и тогда и только тогда, когда (↔), тогда как связка if (→) не является симметричной. [15] Другие симметричные логические связки включают nand (не-и, или), xor (не-двусмысленное, или) и nor (не-или, или ⊽).
Другие области математики [ править ]
Обобщая геометрическую симметрию из предыдущего раздела, можно сказать, что математический объект является симметричным относительно заданной математической операции , если при применении к объекту эта операция сохраняет какое-то свойство объекта. [16] Набор операций, которые сохраняют данное свойство объекта, образуют группу .
В общем, каждая структура в математике будет иметь свою симметрию. Примеры включают в себя четные и нечетных функции в исчислении , симметричные группы в абстрактной алгебре , симметричные матрицы в линейной алгебре , [4] и группу Галуа в теории Галуа . В статистике симметрия также проявляется как симметричные распределения вероятностей и как асимметрия - асимметрия распределений. [17]
В науке и природе [ править ]
В физике [ править ]
Симметрия в физике была обобщена как означающая инвариантность - то есть отсутствие изменений - при любом виде преобразования, например произвольных преобразованиях координат . [18] Эта концепция стала одним из самых мощных инструментов теоретической физики , поскольку стало очевидно, что практически все законы природы берут начало в симметрии. Фактически, эта роль вдохновила лауреата Нобелевской премии П. У. Андерсона написать в своей широко читаемой статье 1972 года « Больше есть другое», что «говорить о том, что физика изучает симметрию, лишь немного преувеличивает». [19] См . Теорему Нётер.(который в очень упрощенной форме утверждает, что для каждой непрерывной математической симметрии существует соответствующая сохраняющаяся величина, такая как энергия или импульс; сохраняющийся ток, на исходном языке Нётер); [20], а также классификация Вигнера , которая гласит, что симметрии законов физики определяют свойства частиц, встречающихся в природе. [21]
Важные симметрии в физике включают непрерывные симметрии и дискретные симметрии о пространстве - времени ; внутренняя симметрия частиц; и суперсимметрия физических теорий.
В биологии [ править ]
В биологии понятие симметрии в основном используется явно для описания форм тела. Двусторонние животные , включая людей, более или менее симметричны относительно сагиттальной плоскости, которая делит тело на левую и правую половины. [22] Животные, которые движутся в одном направлении, обязательно имеют верхнюю и нижнюю стороны, голову и хвост, а значит, левую и правую. Голова становится специализированы с рта и органов чувств, а тело становится двусторонне симметричными для целей движения, с симметричными парами мышц и скелетных элементов, хотя внутренние органы часто остаются асимметричными. [23]
Растения и сидячие (прикрепленные) животные, такие как актинии, часто обладают радиальной или вращательной симметрией , что им подходит, потому что пища или угрозы могут поступать с любого направления. Пятикратная симметрия обнаруживается у иглокожих - группы, в которую входят морские звезды , морские ежи и морские лилии . [24]
В биологии понятие симметрии также используется, как и в физике, то есть для описания свойств изучаемых объектов, включая их взаимодействия. Замечательное свойство биологической эволюции - это изменения симметрии, соответствующие появлению новых частей и динамики. [25] [26]
По химии [ править ]
Симметрия важна для химии, потому что она лежит в основе практически всех конкретных взаимодействий между молекулами в природе (то есть через взаимодействие природных и созданных человеком хиральных молекул с хиральными биологическими системами по своей природе). Контроль симметрии молекул, образующихся в современном химическом синтезе, дает ученым возможность предлагать терапевтические вмешательства с минимальными побочными эффектами . Строгое понимание симметрии объясняет фундаментальные наблюдения в квантовой химии , а также в прикладных областях спектроскопии и кристаллографии.. Теория и приложения симметрии к этим областям физической науки в значительной степени опираются на математическую область теории групп . [27]
В психологии и неврологии [ править ]
Для человека-наблюдателя некоторые типы симметрии более заметны, чем другие, в частности, наиболее заметным является отражение с вертикальной осью, подобное тому, которое присутствует на лице человека. Эрнст Мах сделал это наблюдение в своей книге «Анализ ощущений» (1897), [28], и это означает, что восприятие симметрии не является общим ответом на все типы закономерностей. И поведенческие, и нейрофизиологические исследования подтвердили особую чувствительность к симметрии отражения у людей и других животных. [29] Ранние исследования в рамках традиции гештальт предполагали, что двусторонняя симметрия была одним из ключевых факторов в перцептивной группировке . Это известно как закон симметрии.. Роль симметрии в группировании и организации фигуры / фона была подтверждена во многих исследованиях. Например, обнаружение отражательной симметрии происходит быстрее, если это свойство отдельного объекта. [30] Исследования человеческого восприятия и психофизики показали, что обнаружение симметрии происходит быстро, эффективно и устойчиво к возмущениям. Например, симметрия может быть обнаружена при длительности презентации от 100 до 150 миллисекунд. [31]
Более поздние исследования нейровизуализации документально подтвердили, какие области мозга активны во время восприятия симметрии. Сасаки и др. [32] использовали функциональную магнитно-резонансную томографию (фМРТ) для сравнения ответов на паттерны с симметричными или случайными точками. Сильная активность присутствовала в экстрастриальных областях затылочной коры, но не в первичной зрительной коре. Экстрастриальные области включали V3A, V4, V7 и латеральный затылочный комплекс (LOC). Электрофизиологические исследования выявили поздний задний негатив, происходящий из тех же областей. [33] В целом, большая часть визуальной системы, кажется, участвует в обработке визуальной симметрии, и эти области включают сети, аналогичные тем, которые отвечают за обнаружение и распознавание объектов. [34]
В социальных взаимодействиях [ править ]
Люди наблюдают симметричный характер социальных взаимодействий, часто включающий асимметричный баланс, в различных контекстах. К ним относятся оценки взаимности , сочувствия , сочувствия , извинений , диалога , уважения, справедливости и мести . Рефлексивное равновесие - это баланс, который может быть достигнут путем взвешенной взаимной корректировки общих принципов и конкретных суждений . [35] Симметричные взаимодействия посылают моральсообщение «мы все одинаковые», в то время как асимметричное взаимодействие может послать сообщение «Я особенный; лучше, чем ты». Отношения между сверстниками, которые регулируются золотым правилом , основаны на симметрии, тогда как отношения власти основаны на асимметрии. [36] Симметричные отношения могут до некоторой степени поддерживаться простыми ( теория игр ) стратегиями, наблюдаемыми в симметричных играх, таких как око за око . [37]
В искусстве [ править ]
Существует список журналов и информационных бюллетеней, которые, по крайней мере частично, посвящены симметрии и искусству. [38]
В архитектуре [ править ]
Симметрия находит свое отражение в архитектуре любого масштаба, от общих внешних видов зданий, таких как готические соборы и Белый дом , до планировки отдельных этажей и до дизайна отдельных элементов здания, таких как мозаика из плитки . Исламские здания, такие как Тадж-Махал и мечеть Лотфолла, тщательно используют симметрию как в своей структуре, так и в орнаменте. [39] [40] Мавританские здания, такие как Альгамбра , украшены сложными узорами, выполненными с использованием симметрии поступательного и отражательного движения, а также вращения. [41]
Было сказано, что только плохие архитекторы полагаются на «симметричную планировку блоков, масс и структур»; [42] Модернистская архитектура , начиная с международного стиля , вместо этого полагается на «крылья и баланс масс». [42]
В глиняной посуде и металлических сосудах [ править ]
С самого начала использования гончарных кругов для придания формы глиняным сосудам керамика имела тесную связь с симметрией. Глиняная посуда, созданная с помощью круга, приобретает полную симметрию вращения в своем поперечном сечении, обеспечивая при этом значительную свободу формы в вертикальном направлении. На этой изначально симметричной отправной точке гончары с древних времен добавляли узоры, которые изменяют вращательную симметрию для достижения визуальных целей.
Литым металлическим сосудам не хватало присущей керамической посуде вращательной симметрии, но в остальном предоставлялась аналогичная возможность украсить их поверхности узорами, приятными для тех, кто их использовал. Древние китайцы , например, использовали симметричные узоры в своих бронзовых отливках еще в 17 веке до нашей эры. На бронзовых сосудах присутствовали как двусторонний основной мотив, так и повторяющийся переведенный бордюрный узор. [43]
В коврах и ковриках [ править ]
Давняя традиция использования симметрии в узорах ковров и ковровых покрытий охватывает самые разные культуры. Американские индейцы навахо использовали жирные диагонали и прямоугольные мотивы. Многие восточные ковры имеют замысловатые отраженные центры и границы, передающие узор. Неудивительно, что прямоугольные коврики обычно имеют симметрию прямоугольника, то есть мотивы , которые отражаются как по горизонтальной, так и по вертикальной осям (см. Раздел «Геометрия» из четырех групп Клейна ). [44] [45]
В музыке [ править ]
Симметрия не ограничивается изобразительным искусством. Его роль в истории музыки затрагивает многие аспекты создания и восприятия музыки.
Музыкальная форма [ править ]
Симметрия использовалась в качестве формального ограничения многими композиторами, например, форма арки (ABCBA), используемая Стивом Райхом , Белой Бартоком и Джеймсом Тенни . В классической музыке Бах использовал концепции симметрии перестановки и инвариантности. [46]
Структуры поля [ править ]
Симметрия также является важным фактором при формировании гамм и аккордов , традиционная или тональная музыка состоит из несимметричных групп высот , таких как диатоническая гамма или мажорный аккорд . Симметричные гаммы или аккорды, такие как вся шкала тонов , увеличенный аккорд или уменьшенный септаккорд (уменьшенная-уменьшенная септаккорд), как говорят, не имеют направления или ощущения движения вперед, неоднозначны в отношении тональности или тонального центра и имеют менее специфическая диатоническая функциональность. Однако такие композиторы, как Альбан Берг , Бела Барток и Джордж Перл , использовали оси симметрии и / или интервальные циклы аналогично клавишам или нетональным тональным центрам . [47] Джордж Перл объясняет, что «C – E, D – F♯, [и] Eb – G, являются разными экземплярами одного и того же интервала … другой вид идентичности… имеет отношение к осям симметрии. C – E принадлежит семье симметрично связанных диад следующим образом: " [47]
| D | D♯ | E | F | F♯ | грамм | G♯ | ||||||
| D | C♯ | C | B | A♯ | А | G♯ |
Таким образом, помимо того, что C – E является частью семейства interval-4, C – E также является частью семейства sum-4 (с C, равным 0). [47]
| + | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||
| 2 | 1 | 0 | 11 | 10 | 9 | 8 | |||||||
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
Интервальные циклы симметричны и, следовательно, недиатоничны. Тем не менее, сегмент с семью тонами C5 (цикл пятых, которые являются энгармоническими с циклом четвертых) будет производить диатоническую мажорную гамму. Циклические тональные прогрессии в произведениях композиторов- романтиков, таких как Густав Малер и Рихард Вагнер, образуют связь с циклическими последовательностями высоты тона в атональной музыке модернистов, таких как Барток, Александр Скрябин , Эдгард Варез и Венской школы. В то же время эти прогрессии сигнализируют об окончании тональности. [47] [48]
Первым расширенным произведением, последовательно основанным на симметричных отношениях высоты звука, был, вероятно, квартет Альбана Берга , соч. 3 (1910 г.). [48]
Эквивалентность [ править ]
Тоновые ряды или наборы классов высоты тона, которые инвариантны при ретроградном изменении , симметричны по горизонтали, при инверсии по вертикали. См. Также Асимметричный ритм .
Лоскутное одеяло [ править ]
Поскольку лоскутные одеяла изготавливаются из квадратных блоков (обычно 9, 16 или 25 штук в блоке), причем каждая меньшая часть обычно состоит из тканевых треугольников, ремесло легко поддается применению симметрии. [49]
В других декоративно-прикладных искусствах [ править ]
Симметрии проявляются в дизайне любых предметов. Примеры включают вышивки бисером , мебель , рисунки на песке , узловые работы , маски и музыкальные инструменты . Симметрии занимают центральное место в искусстве М.С. Эшера и во многих областях применения тесселяции в художественных и ремесленных формах, таких как обои , керамическая плитка, например, в исламском геометрическом декоре , батике , икате , ковроткачестве и многих видах текстиля и вышивок . [50]
Симметрия также используется при разработке логотипов. [51] Создавая логотип на сетке и используя теорию симметрии, дизайнеры могут организовать свою работу, создать симметричный или асимметричный дизайн, определить расстояние между буквами, определить, сколько отрицательного пространства требуется в дизайне и как это сделать. подчеркните части логотипа, чтобы он выделялся.
В эстетике [ править ]
Отношение симметрии к эстетике сложное. Люди находят двустороннюю симметрию на лицах физически привлекательной; [52] это указывает на здоровье и генетическую пригодность. [53] [54] Этому противостоит тенденция к тому, что чрезмерная симметрия воспринимается как скучная или неинтересная. Люди предпочитают формы, которые обладают некоторой симметрией, но достаточно сложными, чтобы сделать их интересными. [55]
В литературе [ править ]
Симметрия может быть найдена в различных формах в литературе , простым примером является палиндром, где краткий текст читается одинаково вперед или назад. Истории могут иметь симметричную структуру, как в схеме взлета и падения Беовульфа . [56]
См. Также [ править ]
- Автоморфизм
- Лемма Бернсайда
- Хиральность
- Четные и нечетные функции
- Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве - центр симметрии
- Изотропия
- Палиндром
- Симметрии пространства-времени
- Спонтанное нарушение симметрии
- Ограничения, нарушающие симметрию
- Симметричное отношение
- Симметрии полиалмазов
- Симметрии полимино
- Группа симметрии
- Группа обоев
Примечания [ править ]
- ^ Например, Аристотель приписывал небесным телам сферическую форму, приписывая эту формально определенную геометрическую меру симметрии естественному порядку и совершенству космоса.
- ^ Симметричные объекты могут быть материальными, такими как человек, кристалл , одеяло , плитка для пола или молекула , или это может быть абстрактная структура, такая как математическое уравнение или серия тонов ( музыка ).
Ссылки [ править ]
- ^ "симметрия" . Интернет-словарь этимологии .
- Перейти ↑ Zee, A. (2007). Страшная симметрия . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13482-6.
- ^ Симметрия и Прекрасная Вселенная, Кристофер Т. Хилл и Леон М. Ледерман , Книги Прометея (2005)
- ^ а б «Окончательный словарь высшего математического жаргона - инвариантность» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 12 ноября 2019 .
- ^ Mainzer, Клаус (2005). Симметрия и сложность: дух и красота нелинейной науки . World Scientific. ISBN 981-256-192-7.
- ^ EH Lockwood, RH Macmillan, Геометрическая симметрия , Лондон: Cambridge Press, 1978
- ^ Вейль, Герман (1982) [1952]. Симметрия . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.
- ^ Певец, Дэвид А. (1998). Геометрия: плоскость и фантазия . Springer Science & Business Media.
- ^ Stenger, Victor J. (2000) и Mahou Shiro (2007). Вневременная реальность . Книги Прометея. Особенно главу 12. Нетехнические.
- ^ Bottema, O и B. Рот, Теоретическая кинематика, Dover Publications (сентябрь 1990)
- ^ Тянь Ю Цао Концептуальные основы квантовой теории поля Cambridge University Press, стр.154-155
- ^ Gouyet, Жан-Франсуа (1996). Физика и фрактальные структуры . Париж / Нью-Йорк: Массон Спрингер. ISBN 978-0-387-94153-0.
- ^ "Ось ротоотражения" . TheFreeDictionary.com . Проверено 12 ноября 2019 .
- ^ Иосии Royce, Ignas К. Skrupskelis (2005) Основные Сочинения Иосии Royce: Logic, лояльность и сообщества (Google электронная книга) Фордхем Univ Press, стр. 790
- ↑ Гао, Алиса (2019). «Логика высказываний: введение и синтаксис» (PDF) . Университет Ватерлоо - Школа компьютерных наук . Проверено 12 ноября 2019 .
- ^ Кристофер Г. Моррис (1992) Словарь академической прессы по науке и технологиям Профессиональное издательство Персидского залива
- ^ Petitjean, М. (2003). «Меры хиральности и симметрии: трансдисциплинарный обзор» . Энтропия . 5 (3): 271–312 (см. Раздел 2.9). Bibcode : 2003Entrp ... 5..271P . DOI : 10.3390 / e5030271 .
- ^ Коста, Джованни; Фогли, Джанлуиджи (2012). Симметрии и теория групп в физике элементарных частиц: введение в пространство-время и внутренние симметрии . Springer Science & Business Media. п. 112.
- Перейти ↑ Anderson, PW (1972). «Другое - это другое» (PDF) . Наука . 177 (4047): 393–396. Bibcode : 1972Sci ... 177..393A . DOI : 10.1126 / science.177.4047.393 . PMID 17796623 .
- ^ Kosmann-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: инвариантность и законы сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-87867-6.
- ^ Вигнера, ЕР (1939), "Об унитарных представлений неоднородной группы Лоренца", Annals математики , 40 (1): 149-204, Bibcode : 1939AnMat..40..149W , DOI : 10,2307 / 1968551 , JSTOR 1968551 , Руководство по ремонту 1503456
- ^ Валентин, Джеймс В. "Bilateria" . AccessScience. Архивировано из оригинала 18 января 2008 года . Проверено 29 мая 2013 года .
- ^ Hickman, Cleveland P .; Робертс, Ларри С .; Ларсон, Аллан (2002). «Разнообразие животных (третье издание)» (PDF) . Глава 8: Двусторонние животные акцеломаты . Макгроу-Хилл. п. 139 . Проверено 25 октября 2012 года .
- ^ Стюарт, Ян (2001). Какая форма у снежинки? Волшебные числа в природе . Вайденфельд и Николсон. С. 64–65.
- ^ Лонго, Джузеппе; Монтевиль, Маэль (2016). Взгляды на организмы: биологическое время, симметрии и особенности . Springer. ISBN 978-3-662-51229-6.
- ^ Montévil, Мэл; Моссио, Маттео; Почевиль, Арно; Лонго, Джузеппе (2016). «Теоретические основы биологии: вариация» . Прогресс в биофизике и молекулярной биологии . От века генома к веку организма: новые теоретические подходы. 122 (1): 36–50. DOI : 10.1016 / j.pbiomolbio.2016.08.005 . PMID 27530930 .
- ^ Лоу, Джон П.; Петерсон, Кирк (2005). Квантовая химия (Третье изд.). Академическая пресса. ISBN 0-12-457551-X.
- ^ Мах, Эрнст (1897). Симметрии и теория групп в физике элементарных частиц: введение в пространство-время и внутренние симметрии . Издательство «Открытый суд».
- ^ Wagemans, J. (1997). «Характеристики и модели обнаружения симметрии человека». Тенденции в когнитивных науках . 1 (9): 346–352. DOI : 10.1016 / S1364-6613 (97) 01105-4 . PMID 21223945 . S2CID 2143353 .
- ^ Бертамини, М. (2010). «Чувствительность к отражению и переводу модулируется предметностью». Восприятие . 39 (1): 27–40. DOI : 10,1068 / p6393 . PMID 20301844 . S2CID 22451173 .
- ^ Барлоу, HB; Ривз, Британская Колумбия (1979). «Универсальность и абсолютная эффективность обнаружения зеркальной симметрии в дисплеях с произвольными точками». Исследование зрения . 19 (7): 783–793. DOI : 10.1016 / 0042-6989 (79) 90154-8 . PMID 483597 . S2CID 41530752 .
- ^ Sasaki, Y .; Vanduffel, W .; Knutsen, T .; Тайлер, CW; Тутелл, Р. (2005). «Симметрия активирует экстрастриальную зрительную кору у человека и нечеловеческих приматов» . Труды Национальной академии наук США . 102 (8): 3159–3163. DOI : 10.1073 / pnas.0500319102 . PMC 549500 . PMID 15710884 .
- ^ Макин, ADJ; Rampone, G .; Pecchinenda, A .; Бертамини, М. (2013). «Электрофизиологические реакции на зрительно-пространственную закономерность». Психофизиология . 50 : 1045–1055. DOI : 10.1111 / psyp.12082 . PMID 23941638 .
- ^ Бертамини, М .; Silvanto, J .; Norcia, AM; Макин, ADJ; Вейджманс, Дж. (2018). «Нейронная основа визуальной симметрии и ее роль в визуальной обработке среднего и высокого уровня» . Летопись Нью-Йоркской академии наук . 132 : 280–293. DOI : 10.1111 / nyas.13667 . PMID 29604083 .
- ^ Дэниелс, Норман (2003-04-28). «Отражательное равновесие» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
- ^ Эмоциональная компетентность : симметрия
- ^ Lutus, P. (2008). «Принцип симметрии» . Проверено 28 сентября 2015 года .
- ^ Bouissou, C .; Петижан, М. (2018). «Асимметричные обмены» . Журнал междисциплинарных методологий и проблем науки . 4 : 1–18. DOI : 10.18713 / JIMIS-230718-4-1 . (см. приложение 1)
- ^ Уильямс: Симметрия в архитектуре . Members.tripod.com (31 декабря 1998 г.). Проверено 16 апреля 2013.
- ^ Аслаксен: Математика в искусстве и архитектуре . Math.nus.edu.sg. Проверено 16 апреля 2013.
- ^ Дерри, Грегори Н. (2002). Что такое наука и как она работает . Издательство Принстонского университета. С. 269–. ISBN 978-1-4008-2311-6.
- ^ a b Данлэп, Дэвид У. (31 июля 2009 г.). «За кулисами: говорит Эдгар Мартинс» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 11 ноября 2014 года .
«Моей отправной точкой для этой конструкции было простое утверждение, которое я однажды прочитал (и которое не обязательно отражает мои личные взгляды):« Только плохой архитектор полагается на симметрию;
вместо симметричного расположения блоков, масс и структур модернистская архитектура полагается на крылья и баланс масс ».
- ↑ Искусство китайской бронзы. Архивировано 11 декабря 2003 г. в Wayback Machine . Chinavoc (19 ноября 2007 г.). Проверено 16 апреля 2013.
- ^ Marla Mallett Textiles & Tribal Oriental Rugs . Музей Метрополитен, Нью-Йорк.
- ^ Dilucchio: Навахо ковры . Navajocentral.org (26 октября 2003 г.). Проверено 16 апреля 2013.
- ^ см. («Фуга № 21», pdf или Shockwave )
- ^ a b c d Перл, Джордж (1992). «Симметрия, двенадцатитонная гамма и тональность». Обзор современной музыки . 6 (2): 81–96. DOI : 10.1080 / 07494469200640151 .
- ^ a b Перл, Джордж (1990). Слушающий композитор . Калифорнийский университет Press. п. 21 . ISBN 978-0-520-06991-6.
- ^ Quate: Изучение геометрии Через Quilts Архивированных 2003-12-31 в Wayback Machine . Its.guilford.k12.nc.us. Проверено 16 апреля 2013.
- ^ Cucker, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. С. 77–78, 83, 89, 103. ISBN 978-0-521-72876-8.
- ^ «Как создать идеальный логотип с сеткой и симметрией» .
- ^ Grammer, K .; Торнхилл Р. (1994). «Привлекательность лица и половой отбор человека (Homo sapiens): роль симметрии и усредненности». Журнал сравнительной психологии . Вашингтон, округ Колумбия, 108 (3): 233–42. DOI : 10.1037 / 0735-7036.108.3.233 . PMID 7924253 .
- ^ Родос, Джиллиан; Зебровиц, Лесли, А. (2002). Внешняя привлекательность - эволюционная, когнитивная и социальная точки зрения . Ablex . ISBN 1-56750-636-4.
- ^ Джонс, Британская Колумбия, Little, AC, Tiddeman, BP, Берт, DM, и Perrett, DI (2001). Симметрия лица и суждения об очевидном здоровье Поддержка «хороших генов» объяснения взаимосвязи привлекательности и симметрии, 22, 417–429.
- ^ Арнхейм, Рудольф (1969). Визуальное мышление . Калифорнийский университет Press.
- ^ Дженни Ли Боуман (2009). «Симметричная эстетика Беовульфа» . Университет Теннесси, Ноксвилл.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Уравнение, которое не могло быть решено: как математический гений открыл язык симметрии , Марио Ливио , Souvenir Press 2006, ISBN 0-285-63743-6
Внешние ссылки [ править ]
 | Посмотрите симметрию в Викисловаре, бесплатном словаре. |
 | Викискладе есть медиафайлы по теме симметрии . |
 | В Викицитаторе есть цитаты, связанные с: Симметрия |
- Симметрия (определение) в Британской энциклопедии
- Симметрия (физика) в Британской энциклопедии
- Симметрия (биология) в Британской энциклопедии
- Голландский: симметрия вокруг точки на плоскости
- Чепмен: эстетика симметрии
- Симметрия ISIS
- Симметрия , обсуждение на BBC Radio 4 с Фэй Доукер, Маркусом дю Сотуа и Яном Стюартом ( In Our Time , 19 апреля 2007 г.)
| vтеМатематика и искусство | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Концепции |
| ||||||||
| Формы |
| ||||||||
| Произведения |
| ||||||||
| Здания |
| ||||||||
| Художники |
| ||||||||
| Теоретики |
| ||||||||
| Публикации |
| ||||||||
| Организации |
| ||||||||
| Связанный |
| ||||||||
| |||||||||
Категория