 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( октябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
| Геометрия |
|---|
 |
| Геометры |
В математике диофантова геометрия - это изучение точек алгебраических многообразий с координатами в целых числах , рациональных чисел и их обобщений. Эти обобщения обычно представляют собой поля , которые не являются алгебраически замкнутыми , такие как числовые поля , конечные поля , функциональные поля и p -адические поля (но не действительные числа, которые используются в реальной алгебраической геометрии ). Это подраздел арифметической геометрии и один из подходов к теории диофантовых уравнений., формулируя вопросы о таких уравнениях в терминах алгебраической геометрии .
Одно уравнение определяет гиперповерхность , а совместные диофантовы уравнения порождают общее алгебраическое многообразие V над K ; типичный вопрос заключается в природе множества V ( K ) точек на V с координатами в K , и с помощью функций высоты могут быть поставлены количественные вопросы о «размере» этих решений, а также качественные вопросы о том, существуют ли какие-либо точки, и если да, то есть ли их бесконечное число. Учитывая геометрический подход, рассмотрение однородных уравнений и однородных координатявляется фундаментальным по тем же причинам, по которым проективная геометрия является доминирующим подходом в алгебраической геометрии. Поэтому в первую очередь следует учитывать рациональные числовые решения; но интегральные решения (то есть точки решетки ) можно рассматривать так же, как аффинное многообразие можно рассматривать внутри проективного многообразия, которое имеет дополнительные точки на бесконечности .
Общий подход диофантовой геометрии иллюстрируется теоремой Фалтингса игровых (гипотеза LJ Морделл ) с указанием , что алгебраический кривые С из рода г > 1 над полем рациональных чисел имеют лишь конечное число рациональных точек . Первым результатом такого рода могла быть теорема Гильберта и Гурвица, относящаяся к случаю g = 0. Теория состоит как из теорем, так и из многих гипотез и открытых вопросов.
Фон [ править ]
Серж Ланг опубликовал книгу « Диофантова геометрия в этой области» в 1962 году. Традиционно материал по диофантовым уравнениям упорядочивался по степени и количеству переменных, как в « Диофантовых уравнениях» Морделла (1969). Книга Морделла начинается с замечания об однородных уравнениях f = 0 над рациональным полем, приписываемого К.Ф. Гауссу , о том, что ненулевые решения в целых числах (даже в примитивных точках решетки) существуют, если существуют ненулевые рациональные решения, и отмечает предостережение LE Диксона , посвященного параметрическим решениям. [1] Результат Гильберта – Гурвица 1890 года, сводящий диофантову геометрию кривых рода 0 к степеням 1 и 2 ( конические сечения) встречается в главе 17, как и гипотеза Морделла. Теорема Зигеля о целых точках встречается в главе 28. Теорема Морделла о конечном порождении группы рациональных точек на эллиптической кривой находится в главе 16, а целые точки на кривой Морделла - в главе 26.
Во враждебной рецензии на книгу Лэнга Морделл писал:
В последнее время были разработаны мощные новые геометрические идеи и методы, с помощью которых были найдены и доказаны важные новые арифметические теоремы и связанные с ними результаты, и некоторые из них нелегко доказать иначе. Кроме того, появилась тенденция облечь старые результаты, их расширения и доказательства на новый геометрический язык. Иногда, однако, все последствия результатов лучше всего описать в геометрической обстановке. Лэнг очень много думает об этих аспектах в этой книге и, кажется, не упускает возможности для геометрического представления. Отсюда его титул «Диофантова геометрия». [2]
Он отмечает, что содержание книги в основном представляет собой версии теорем Морделла – Вейля , Туэ – Зигеля – Рота, теоремы Зигеля, с трактовкой теоремы Гильберта о неприводимости и приложений (в стиле Зигеля). Оставляя в стороне вопросы общности и совершенно другой стиль, основное математическое различие между двумя книгами состоит в том, что Ланг использовал абелевы многообразия и предложил доказательство теоремы Зигеля, в то время как Морделл отметил, что доказательство «носит очень продвинутый характер» (стр. 263).
Несмотря на поначалу плохую прессу, концепция Лэнга была достаточно широко принята, чтобы в 2006 году книга была названа «провидческой». [3] Более обширная область, которую иногда называют арифметикой абелевых многообразий, теперь включает диофантову геометрию вместе с теорией полей классов , комплексным умножением , локальными дзета-функциями и L-функциями . [4] Пол Войта писал:
- Хотя другие в то время разделяли эту точку зрения (например, Вейл , Тейт , Серр ), легко забыть, что другие не разделяли , как свидетельствует обзор Диофантовой геометрии Морделлом. [5]
См. Также [ править ]
- Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии
Ссылки [ править ]
- "Диофантова геометрия" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Заметки [ править ]
- ^ Морделл, Луи Дж. (1969). Диофантовы уравнения . Академическая пресса. п. 1. ISBN 978-0125062503.
- ^ "Морделл: Обзор: Серж Ланг, Диофантова геометрия" . Projecteuclid.org. 2007-07-04 . Проверено 7 октября 2015 .
- ^ Марк Хиндри. " La géométrie diophantienne, selon Serge Lang " (PDF) . Gazette des mathématiciens . Проверено 7 октября 2015 .
- ^ "Алгебраические многообразия, арифметика" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- ↑ Джей Йоргенсон; Стивен Г. Кранц. «Математический вклад Сержа Ланга» (PDF) . Ams.org . Проверено 7 октября 2015 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. 9 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004 .
- Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. 4 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1115.11034 .
- Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: введение . Тексты для выпускников по математике . 201 . ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023 .
- Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .
Внешние ссылки [ править ]
- Обзор диофантовых уравнений Морделла Лангом
- Обзор Диофантовой геометрии Лэнга Морделлом
| vтеТеория чисел | ||
|---|---|---|
| Поля |
| |
| Ключевые идеи |
| |
| Продвинутые концепции |
| |
| ||
Категория
Список тем
Викибук
Wikversity| vтеМатематика ( разделы математики ) | |
|---|---|
| Фонды |
|
| Алгебра |
|
| Анализ |
|
| Дискретный |
|
| Геометрия |
|
| Теория чисел |
|
| Топология |
|
| Применяемый |
|
| Вычислительная |
|
| похожие темы |
|
| |
Портал
Commons
ВикиПроект