Геометрия

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Геометрия (от древнегреческого : γεωμετρία ; гео- «земля», -метрон «измерение») вместе с арифметикой является одним из старейших разделов математики . Это касается свойств пространства, которые связаны с расстоянием, формой, размером и относительным положением фигур. ^[1] Математика, работающего в области геометрии, называют геометром .

До 19 века геометрия была почти полностью посвящена евклидовой геометрии , ^[а] которая включает в себя понятия точки , линии , плоскости , расстояния , угла , поверхности и кривой как фундаментальные понятия. ^[2]

В течение 19 века несколько открытий резко расширили рамки геометрии. Одним из старейших таких открытий Гаусса ' Theorema Egregium (замечательная теорема) , которая утверждает примерно , что гауссова кривизна поверхности не зависит от какого - либо конкретного вложения в евклидовом пространстве . Это означает, что поверхности можно изучать внутренне , то есть как автономные пространства, и это было расширено в теорию многообразий и риманову геометрию .

Позже в 19 веке выяснилось, что геометрии без постулата параллельности ( неевклидовы геометрии ) могут быть разработаны без введения каких-либо противоречий. Геометрия, лежащая в основе общей теории относительности, - это известное приложение неевклидовой геометрии.

С тех пор область применения геометрии была значительно расширена, и область была разделена на множество подполей, которые зависят от основных методов - дифференциальная геометрия , алгебраическая геометрия , вычислительная геометрия , алгебраическая топология , дискретная геометрия (также известная как комбинаторная геометрия ), и т. д. - или о свойствах евклидовых пространств, которые не принимаются во внимание - проективной геометрии, которая учитывает только выравнивание точек, но не расстояние и параллельность, аффинная геометрия, которая опускает понятие угла и расстояния, конечная геометрия, которая опускает непрерывность , и т.

Часто разрабатываемая с целью моделирования физического мира, геометрия применяется практически ко всем наукам , а также к искусству , архитектуре и другим видам деятельности, связанным с графикой . ^[3] Геометрия также имеет приложения к областям математики, которые явно не связаны между собой. Например, методы алгебраической геометрии являются основой для доказательства Уайлс игровых из Великой теоремы Ферма , проблема , которая была сформулирована в терминах элементарных арифметический и remainded нерешенной на протяжении нескольких столетий.

История

Самые ранние зарегистрированные истоки геометрии можно проследить до древней Месопотамии и Египта во 2-м тысячелетии до нашей эры. ^{[4] [5]} Ранняя геометрия представляла собой набор эмпирически открытых принципов, касающихся длины, углов, площадей и объемов, которые были разработаны для удовлетворения некоторых практических потребностей в геодезии , строительстве , астрономии и различных ремеслах. Самые ранние известные тексты по геометрии - это Египетский папирус Ринда (2000–1800 до н.э.) и Московский папирус (около 1890 г. до н.э.), вавилонские глиняные таблички, такие как Плимптон 322(1900 г. до н.э.). Например, в Московском папирусе дана формула для расчета объема усеченной пирамиды или усеченной пирамиды . ^[6] Более поздние глиняные таблички (350–50 до н.э.) демонстрируют, что вавилонские астрономы применяли трапециевидные процедуры для вычисления положения и движения Юпитера в пространстве скорости времени. Эти геометрические процедуры предшествовали появлению оксфордских калькуляторов , включая теорему о средней скорости , на 14 веков. ^{[7] К} югу от Египта древние нубийцы установили систему геометрии, включая ранние версии солнечных часов. ^{[8] [9]}

В 7 веке до нашей эры греческий математик Фалес Милетский использовал геометрию для решения таких задач, как вычисление высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое применение дедуктивного мышления в геометрии, выведя четыре следствия из теоремы Фалеса . ^[10] Пифагор основал школу Пифагора , которой приписывают первое доказательство теоремы Пифагора , ^[11] хотя формулировка теоремы имеет долгую историю. ^{[12] [13]} Евдокс (408 – ок. 355 до н. Э.) Разработал метод истощения, который позволил рассчитывать площади и объемы криволинейных фигур ^[14], а также теорию соотношений, которая позволила избежать проблемы несоизмеримых величин , что позволило последующим геометрам добиться значительных успехов. Около 300 г. до н.э. геометрия была революционизирована Евклидом, чьи « Элементы» , широко признанные самым успешным и влиятельным учебником всех времен, ^[15] представили математическую строгость с помощью аксиоматического метода и являются самым ранним примером формата, который все еще используется в математике сегодня. определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Хотя большая часть содержимого Элементовбыли уже известны, Евклид собрал их в единую логическую структуру. ^[16] элементы не было известно всем образованным людям на Западе до середины 20 - го века , и его содержание все еще преподается в классах геометрии сегодня. ^[17] Архимед (ок. 287–212 до н. Э.) Из Сиракуз использовал метод исчерпания для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда и дал удивительно точные приближения числа Пи . ^[18] Он также изучил спираль, носящую его имя, и получил формулы дляОбъемы из поверхностей вращения .

Индийские математики также внесли важный вклад в геометрию. Шатапатх-брахман (третий век до н.э.) содержит правила для ритуальных геометрических построений, которые похожи на Sulba сутры . ^[19] Согласно ( Hayashi 2005 , p. 363), Шульба-сутры содержат «самое раннее сохранившееся словесное выражение теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже было известно древним вавилонянам. Они содержат списки пифагорейских троек , ^[20], которые являются частными случаями диофантовых уравнений . ^[21] В рукописи Бахшали, существует несколько геометрических задач (включая задачи об объемах нерегулярных тел). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой вместо нуля». ^[22] Aryabhata «S Aryabhatiya (499) включает в себя вычисление площадей и объемов. Брахмагупта написал свой астрономический труд Brāhma Sphuṭa Siddhānta в 628 году. Глава 12, содержащая 66 санскритских стихов, была разделена на два раздела: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции и бартер) и «практическая математика» (включая смесь, математические ряды, плоские фигуры, укладка кирпичей, распиловка древесины, укладка зерна). ^[23]В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях вписанного четырехугольника . Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение формулы Герона ), а также полное описание рациональных треугольников ( т. Е. Треугольников с рациональными сторонами и рациональными площадями). ^[23]

В средних веках , математики в средневековом исламе способствовали развитию геометрии, особенно алгебраической геометрии . ^{[24] [25]} Аль-Махани (р. 853 г.) задумал свести геометрические задачи, такие как дублирование куба, к задачам алгебры. ^[26] Табит ибн Курра (известный как Thebit на латыни ) (836–901) имел дело с арифметическими операциями, применяемыми к отношениям геометрических величин, и внес свой вклад в развитие аналитической геометрии . ^[27] Омар Хайям (1048–1131) нашел геометрические решения кубических уравнений.. ^[28] Теоремы Ибн аль-Хайтам (Альхазен), Омар Хайям и Насир ад-Дина ат-Туси на четырехугольников , в том числе четырехугольника Lambert и Саккери четырехугольника , были ранние результаты в гиперболической геометрии , а вместе с их альтернативными постулатами, такими как аксиома Плейфэра , эти работы оказали значительное влияние на развитие неевклидовой геометрии среди более поздних европейских геометров, включая Витело (ок. 1230–1314), Герсонида (1288–1344), Альфонсо , Джона Уоллиса и Джованни Джироламо. Саккери. ^{[ сомнительно - обсудить ] [29]}

В начале 17 века в геометрии произошли два важных развития. Первым было создание аналитической геометрии, или геометрии с координатами и уравнениями , Рене Декартом (1596–1650) и Пьером де Ферма (1601–1665). ^[30] Это было необходимым предвестником развития математического анализа и точной количественной науки физики . ^[31] Второй геометрическое развитие этого периода было систематическое исследование проективной геометрии с помощью Дезарг (1591-1661). ^[32] Проективная геометрия изучает свойства форм, которые не меняются припроекции и разрезы , особенно в том, что касается художественной перспективы . ^[33]

Два развития геометрии в XIX веке изменили способ ее изучения ранее. ^[34] Это было открытие неевклидовых геометрий Николая Иванович Лобачевский, Бойяй и Гауссом и формулировка симметрии в качестве центрального рассмотрения в Erlangen программе от Феликса Клейна (который обобщенная евклидовой и неевклидовых геометрии ). Двумя мастерами геометрии того времени были Бернхард Риман (1826–1866), работавший в основном с инструментами математического анализа и вводивший римановую поверхность , и Анри Пуанкаре , основательалгебраическая топология и геометрическая теория динамических систем . В результате этих серьезных изменений в концепции геометрии понятие «пространство» стало чем-то богатым и разнообразным, и естественным фоном для таких различных теорий, как комплексный анализ и классическая механика . ^[35]

Важные понятия в геометрии

Ниже приведены некоторые из наиболее важных концепций геометрии. ^{[2] [36] [37]}

Аксиомы

Евклид взял абстрактный подход к геометрии в его элементах , ^[38] один из самых влиятельных книг когда - либо написанный. ^[39] Евклид ввел определенные аксиомы или постулаты , выражающие первичные или самоочевидные свойства точек, линий и плоскостей. ^[40] Он приступил к строгому выводу других свойств с помощью математических рассуждений. Характерной чертой подхода Евклида к геометрии была его строгость, и она стала известна как аксиоматическая или синтетическая геометрия. ^[41] В начале 19 - го века, открытие неевклидовых геометрий путемНиколай Иванович Лобачевский (1792–1856), Янош Бойяи (1802–1860), Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) и другие ^[42] привели к возрождению интереса к этой дисциплине, а в XX веке к Давиду Гильберту (1862) –1943) использовал аксиоматические рассуждения в попытке обеспечить современную основу геометрии. ^[43]

Точки

Точки считаются фундаментальными объектами в евклидовой геометрии. Они были определены по-разному, включая определение Евклида как «то, что не имеет части» ^[44], а также с помощью алгебры или вложенных множеств. ^[45] Во многих областях геометрии, таких как аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия и топология, все объекты считаются построенными из точек. Однако были некоторые исследования геометрии без привязки к точкам. ^[46]

Линии

Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «лежит одинаково по отношению к точкам на самой себе». ^[44] В современной математике, учитывая множество геометрий, концепция линии тесно связана со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии , линия в плоскости часто определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной линейное уравнение , ^[47] , но в более абстрактной обстановке, например, геометрия падения , линия может быть независимым объектом , отличный от множества точек, лежащих на нем. ^[48] В дифференциальной геометрии геодезическая - это обобщение понятия прямой наискривленные пространства . ^[49]

Самолеты

Плоскость представляет собой плоскую, двумерную поверхность , которая простирается бесконечно далеко. ^[44] Плоскости используются во всех областях геометрии. Например, плоскости можно изучать как топологическую поверхность без привязки к расстояниям или углам; ^[50] его можно изучать как аффинное пространство , где можно изучать коллинеарность и отношения, но не расстояния; ^[51] он может быть изучен как комплексная плоскость с использованием методов комплексного анализа ; ^[52] и так далее.

Углы

Евклид определяет плоский угол как наклон друг к другу в плоскости двух прямых, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо по отношению друг к другу. ^[44] Говоря современным языком, угол - это фигура, образованная двумя лучами , называемыми сторонами угла, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла. ^[53]

В евклидовой геометрии углы используются для изучения многоугольников и треугольников , а также являются самостоятельным объектом исследования. ^[44] Изучение углов треугольника или углов единичной окружности составляет основу тригонометрии . ^[54]

В дифференциальной геометрии и исчислении углы между плоскими кривыми или пространственными кривыми или поверхностями могут быть вычислены с использованием производной . ^{[55] [56]}

Кривые

Кривой представляет собой 1-мерный объект , который может быть линейным (как линия) , или нет; кривые в 2-мерном пространстве называются плоскими кривыми, а кривые в 3-мерном пространстве - пространственными кривыми . ^[57]

В топологии кривая определяется функцией от интервала действительных чисел до другого пространства. ^[50] В дифференциальной геометрии, используются такое же определение, но функция , определяющая требуется дифференцируемые ^[58] Алгебраической геометрия изучает алгебраические кривые , которые определяются как алгебраические многообразия в размерности один. ^[59]

Поверхности

Поверхность представляет собой двумерный объект, такие как сфера или параболоид. ^[60] В дифференциальной геометрии ^[58] и топология , ^[50] поверхности описывается двумерный «заплатами» (или окрестностей ), которые собраны с помощью диффеоморфизмов или гомеоморфизмов , соответственно. В алгебраической геометрии поверхности описываются полиномиальными уравнениями . ^[59]

Коллекторы

Коллектор представляет собой обобщение понятия кривой и поверхности. В топологии многообразие - это топологическое пространство, в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную евклидову пространству. ^[50] В дифференциальной геометрии , A дифференцируемое многообразие является пространством , где каждый район является диффеоморфен в евклидовом пространстве. ^[58]

Многообразия широко используются в физике, в том числе в общей теории относительности и теории струн . ^[61]

Длина, площадь и объем

Длина , площадь и объем описывают размер или экстент объекта в одном измерении, двух измерениях и трех измерениях соответственно. ^[62]

В евклидовой геометрии и аналитической геометрии длину отрезка прямой можно вычислить по теореме Пифагора . ^[63]

Площадь и объем могут быть определены как фундаментальные величины, отдельно от длины, или они могут быть описаны и вычислены в терминах длин на плоскости или в трехмерном пространстве. ^[62] Математики нашли много явных формул для площади и формул для объема различных геометрических объектов. В исчислении площадь и объем можно определить с помощью интегралов , таких как интеграл Римана ^[64] или интеграл Лебега . ^[65]

Метрики и меры

Понятие длины или расстояния можно обобщить, что приведет к идее метрики . ^[66] Например, евклидова метрика измеряет расстояние между точками на евклидовой плоскости , а гиперболическая метрика измеряет расстояние в гиперболической плоскости . Другие важные примеры метрик включают метрику Лоренца в специальной теории относительности и полу- римановых метрик из общей теории относительности . ^[67]

В другом направлении, понятия длины, площади и объема расширены с помощью теории меры , которая изучает методы присвоения размера или меру для множеств , где меры следуют правила , аналогичные классической площади и объема. ^[68]

Соответствие и сходство

Конгруэнтность и сходство - это понятия, которые описывают, когда две формы имеют схожие характеристики. ^[69] В евклидовой геометрии сходство используется для описания объектов, имеющих одинаковую форму, в то время как конгруэнтность используется для описания объектов, одинаковых по размеру и форме. ^[70] Гильберт в своей работе по созданию более строгого фундамента геометрии трактовал конгруэнтность как неопределенный термин, свойства которого определяются аксиомами .

Конгруэнтность и подобие обобщаются в геометрии преобразований , которая изучает свойства геометрических объектов, которые сохраняются с помощью различных видов преобразований. ^[71]

Конструкции компаса и линейки

Классические геометры уделяли особое внимание построению геометрических объектов, которые описывались иным образом. Классически единственными инструментами, допускаемыми в геометрических конструкциях, являются циркуль и линейка . Кроме того, каждая конструкция должна была быть завершена за конечное число шагов. Однако некоторые проблемы оказалось трудно или невозможно решить только этими средствами, и были найдены гениальные конструкции с использованием парабол и других кривых, а также механические устройства.

Измерение

Там, где традиционная геометрия допускала измерения 1 ( линия ), 2 ( плоскость ) и 3 (наш окружающий мир, задуманный как трехмерное пространство ), математики и физики использовали более высокие измерения на протяжении почти двух столетий. ^[72] Одним из примеров математического использования высших измерений является конфигурационное пространство физической системы, размерность которой равна степеням свободы системы . Например, конфигурацию винта можно описать пятью координатами. ^[73]

В общей топологии понятие размерности было расширено с натуральных чисел на бесконечное измерение (например, гильбертовы пространства ) и положительные действительные числа (во фрактальной геометрии ). ^[74] В алгебраической геометрии , то размерность алгебраического многообразия получила целый ряд различных определений , по- видимому, все из которых эквивалентны в большинстве общих случаев. ^[75]

Симметрия

Тема симметрии в геометрии почти так же стара, как и сама геометрия. ^[76] Симметричные формы, такие как круг , правильные многоугольники и платоновые тела, имели глубокое значение для многих древних философов ^[77] и были подробно исследованы до времен Евклида. ^[40] Симметричные узоры встречаются в природе и были художественно воспроизведены во множестве форм, включая графику Леонардо да Винчи , М. К. Эшера и других. ^[78] Во второй половине 19 века отношения между симметрией и геометрией подверглись тщательному изучению.Феликс Клейн «ы Эрлангенская программа провозглашено , что, в очень точном смысле, симметрии, выражается через понятие трансформации группы , определяет то , что геометрия является . ^[79] Симметрия в классической евклидовой геометрии представлена конгруэнциями и жесткими движениями, тогда как в проективной геометрии аналогичную роль играют коллинеации , геометрические преобразования, которые превращают прямые линии в прямые. ^[80] Однако это было в новой геометрии Бойяи и Лобачевского, Римана, Клиффорда и Клейна и Софуса Ли.что идея Кляйна «определить геометрию через ее группу симметрии » нашла свое вдохновение. ^[81] Как дискретные, так и непрерывные симметрии играют важную роль в геометрии, первая - в топологии и геометрической теории групп , ^{[82] [83]} вторая - в теории Ли и римановой геометрии . ^{[84] [85]}

Другой тип симметрии - это принцип двойственности в проективной геометрии , среди других областей. Этот мета-феномен можно примерно описать следующим образом: в любой теореме точка обмена с плоскостью , соединение с встречей , лежит внутри с содержит , и результат является равно истинной теоремой. ^[86] Подобная и тесно связанная форма двойственности существует между векторным пространством и его двойственным пространством . ^[87]

Современная геометрия

Евклидова геометрия

Евклидова геометрия - это геометрия в классическом смысле. ^[88] Поскольку он моделирует пространство физического мира, он используется во многих научных областях, таких как механика , астрономия , кристаллография , ^[89] и многих технических областях, таких как инженерия , ^[90] архитектура , ^[91] геодезия. , ^[92] аэродинамика , ^[93] и навигация . ^[94] Обязательная образовательная программа большинства стран включает изучение евклидовых понятий, таких как точки , линии., плоскости , углы , треугольники , конгруэнтность , подобие , твердые фигуры , круги и аналитическая геометрия . ^[36]

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия использует методы исчисления и линейной алгебры для изучения проблем геометрии. ^[95] Она имеет приложения в физике , ^[96] эконометрики , ^[97] и биоинформатики , ^[98] среди других.

В частности, дифференциальная геометрия имеет важное значение для математической физики из - за Альберт Эйнштейн «с общей теорией относительности постулата , что Вселенная имеет изогнутую . ^[99] Дифференциальная геометрия может быть внутренней (это означает, что рассматриваемые ею пространства являются гладкими многообразиями , геометрическая структура которых определяется римановой метрикой , которая определяет, как измеряются расстояния около каждой точки), или внешней (где исследуемый объект является частью некоторого объемлющего плоского евклидова пространства). ^[100]

Неевклидова геометрия

Евклидова геометрия была не единственной изучаемой исторической формой геометрии. Сферическая геометрия давно используется астрономами, астрологами и мореплавателями. ^[101]

Иммануил Кант утверждал, что существует только одна, абсолютная , геометрия, которая априори известна своей истинной внутренней способностью разума: евклидова геометрия была синтетической a priori . ^[102] Эта точка зрения была сначала несколько оспорена такими мыслителями, как Саккери , а затем окончательно опровергнута революционным открытием неевклидовой геометрии в работах Бойяи, Лобачевского и Гаусса (которые так и не опубликовали свою теорию). ^[103] Они продемонстрировали, что обычное евклидово пространство - только одна возможность для развития геометрии. Широкое видение предмета геометрии было тогда выражено Риманом.в его инаугурационной лекции 1867 г. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ( О гипотезах, на которых основана геометрия ) ^[104], опубликованной только после его смерти. Новая идея Римана пространства оказалась решающей в Альберте Эйнштейн «с общей теорией относительности . Риманова геометрия , которая рассматривает очень общие пространства, в которых определено понятие длины, является основой современной геометрии. ^[81]

Топология

Топология это поле касается свойств непрерывных отображений , ^[105] и может быть рассмотрена как обобщение евклидовой геометрии. ^[106] На практике топология часто означает работу с крупномасштабными свойствами пространств, такими как связность и компактность . ^[50]

Область топологии, получившая массовое развитие в 20 веке, в техническом смысле представляет собой тип геометрии преобразований , в которой преобразования являются гомеоморфизмами . ^[107] Это часто выражалось в форме поговорки «топология - это геометрия резинового листа». Подполя топологии включают геометрическую топологию , дифференциальную топологию , алгебраическую топологию и общую топологию . ^[108]

Алгебраическая геометрия

Поле алгебраической геометрии разработано из декартовой геометрии из координат . ^[109] Он претерпевал периодические периоды роста, сопровождаемые созданием и изучением проективной геометрии , бирациональной геометрии , алгебраических многообразий и коммутативной алгебры , среди других тем. ^[110] С конца 1950-х до середины 1970-х годов он претерпел серьезные фундаментальные изменения, во многом благодаря работам Жан-Пьера Серра и Александра Гротендика . ^[110] Это привело к введению схеми больший упор на топологические методы, включая различные теории когомологий . Одна из семи проблем , связанных с Премией тысячелетия , гипотеза Ходжа , относится к алгебраической геометрии. ^[111] Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма использует передовые методы алгебраической геометрии для решения давней проблемы теории чисел .

В общем, алгебраическая геометрия изучает геометрию с помощью таких понятий коммутативной алгебры , как многомерные многочлены . ^[112] Он имеет приложения во многих областях, включая криптографию ^[113] и теорию струн . ^[114]

Сложная геометрия

Сложная геометрия изучает природу геометрических структур, смоделированных на комплексной плоскости или возникающих из нее . ^{[115] [116] [117]} Сложная геометрия лежит на пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализа нескольких комплексных переменных и нашла приложения в теории струн и зеркальной симметрии . ^[118]

Сложная геометрия впервые появилась как отдельная область исследования в работе Бернхарда Римана в его исследовании римановых поверхностей . ^{[119] [120] [121]} Работа в духе Римана была выполнена итальянской школой алгебраической геометрии в начале 1900-х годов. Современное рассмотрение сложной геометрии началось с работ Жан-Пьера Серра , который представил предмету понятие пучков и осветил отношения между сложной геометрией и алгебраической геометрией. ^{[122] [123]} Основными объектами изучения комплексной геометрии являются комплексные многообразия , комплексные алгебраические многообразия., комплексные аналитические многообразия , голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки над этими пространствами. Специальные примеры пространств, изучаемых в комплексной геометрии, включают римановы поверхности и многообразия Калаби-Яу , и эти пространства находят применение в теории струн. В частности, мировые листы струн моделируются римановыми поверхностями, а теория суперструн предсказывает, что дополнительные 6 измерений 10-мерного пространства-времени могут быть смоделированы многообразиями Калаби-Яу.

Дискретная геометрия

Дискретная геометрия - это предмет, тесно связанный с выпуклой геометрией . ^{[124] [125] [126]} В основном это касается вопросов взаимного расположения простых геометрических объектов, таких как точки, линии и окружности. Примеры включают изучение упаковки сфер , триангуляции , гипотезу Кнезера-Поульсена и т. Д. ^{[127] [128]} Она разделяет многие методы и принципы с комбинаторикой .

Вычислительная геометрия

Вычислительная геометрия имеет дело с алгоритмами и их реализациями для управления геометрическими объектами. Исторически важные проблемы включали задачу коммивояжера , минимальные остовные деревья , удаление скрытых строк и линейное программирование . ^[129]

Несмотря на то, что это молодая область геометрии, она имеет множество приложений в компьютерном зрении , обработке изображений , компьютерном дизайне , медицинской визуализации и т. Д. ^[130]

Геометрическая теория групп

Геометрическая теория групп использует крупномасштабные геометрические методы для изучения конечно порожденных групп . ^[131] Это тесно связано с низкоразмерной топологией , например, в доказательстве гипотезы геометризации Григорием Перельманом , которое включало доказательство гипотезы Пуанкаре , проблемы с присуждением премии тысячелетия . ^[132]

Геометрическая теория групп часто вращается вокруг графа Кэли , который представляет собой геометрическое представление группы. Другие важные темы включают квазиизометрии , гиперболические группы Громова и прямоугольные группы Артина . ^{[131] [133]}

Выпуклая геометрия

Выпуклая геометрия исследует выпуклые формы в евклидовом пространстве и его более абстрактных аналогах, часто с использованием методов реального анализа и дискретной математики . ^[134] Он тесно связан с выпуклым анализом , оптимизацией и функциональным анализом, а также имеет важные приложения в теории чисел .

Выпуклая геометрия восходит к глубокой древности. ^[134] Архимед дал первое известное точное определение выпуклости. Изопериметрическая проблема , повторяющееся понятие в выпуклой геометрии, была изучено греками , а также, в том числе Зенодора . Архимед, Платон , Евклид , а затем Кеплер и Кокстер изучали выпуклые многогранники и их свойства. Начиная с 19 века математики изучали другие области выпуклой математики, включая многомерные многогранники, объем и площадь поверхности выпуклых тел, гауссову кривизну , алгоритмы , мозаики.и решетки .

Приложения

Геометрия нашла применение во многих областях, некоторые из которых описаны ниже.

Изобразительное искусство

Математика и искусство связаны разными способами. Например, теория перспективы показала, что геометрия - это нечто большее, чем просто метрические свойства фигур: перспектива является источником проективной геометрии . ^[135]

Художники издавна использовали в дизайне понятия пропорции . Витрувий разработал сложную теорию идеальных пропорций человеческой фигуры. ^[136] Эти концепции использовались и адаптировались художниками от Микеланджело до современных художников комиксов. ^[137]

Золотое сечение является частным доли, которая имела противоречивую роль в искусстве. Часто утверждается, что это наиболее эстетически приятное соотношение длин, часто утверждается, что оно включено в известные произведения искусства, хотя самые надежные и недвусмысленные примеры были созданы художниками, знающими об этой легенде. ^[138]

Плитки , или мозаики, использовались в искусстве на протяжении всей истории. Исламское искусство часто использует мозаику, как и искусство М.К. Эшера . ^[139] В работе Эшера также использовалась гиперболическая геометрия .

Сезанн выдвинул теорию, согласно которой все изображения могут быть построены из сферы , конуса и цилиндра . Это все еще используется в теории искусства сегодня, хотя точный список форм варьируется от автора к автору. ^{[140] [141]}

Архитектура

Геометрия имеет множество приложений в архитектуре. Фактически, было сказано, что геометрия лежит в основе архитектурного дизайна. ^{[142] [143]} Приложения геометрии к архитектуре включают использование проективной геометрии для создания принудительной перспективы , ^[144] использование конических секций при построении куполов и подобных объектов, ^[91] использование мозаики , ^[91] и использование симметрии. ^[91]

Физика

Область астрономии , особенно когда она связана с отображением положений звезд и планет на небесной сфере и описанием взаимосвязи между движениями небесных тел, служила важным источником геометрических проблем на протяжении всей истории. ^[145]

Риманова геометрия и псевдориманова геометрия используются в общей теории относительности . ^[146] Теория струн использует несколько вариантов геометрии ^[147], как и квантовая теория информации . ^[148]

Другие области математики

На математический анализ сильно повлияла геометрия. ^[30] Так , например, введение координат с помощью Рене Декарта и параллельные разработки алгебр отмечен новый этап для геометрии, так как геометрические фигуры , таких как плоские кривые теперь могут быть представлены аналитический в виде функций и уравнений. Это сыграло ключевую роль в возникновении исчисления бесконечно малых в 17 веке. Аналитическая геометрия продолжает оставаться основой учебных программ по предварительному исчислению и математическому анализу. ^{[149] [150]}

Еще одна важная область применения - теория чисел . ^[151] В Древней Греции в Пифагорейцы рассматривали роль чисел в геометрии. Однако открытие несоизмеримых длин противоречило их философским взглядам. ^[152] С 19 века геометрия использовалась для решения задач теории чисел, например, с помощью геометрии чисел или, в последнее время, теории схем , которая используется в доказательстве Великой теоремы Ферма, проведенном Уайлсом . ^[153]

Смотрите также

Списки

• Список геометров
  • Категория: Алгебраические геометры
  • Категория: Дифференциальные геометрии
  • Категория: Геометры
  • Категория: Топологи
• Список формул элементарной геометрии
• Список тем по геометрии
• Список важных публикаций по геометрии
• Списки математических тем

похожие темы

• Начертательная геометрия
• Конечная геометрия
• Flatland , книга Эдвина Эбботта Эбботта о двух- и трехмерном пространстве , чтобы понять концепцию четырех измерений
• Список программного обеспечения для интерактивной геометрии

Другие поля

• Молекулярная геометрия

Примечания

Источники

• Бойер, CB (1991) [1989]. История математики (второе издание, отредактированное Утой К. Мерцбах  ред.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Кук, Роджер (2005). История математики . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-44459-6.
• Хаяси, Такао (2003). «Индийская математика». В Граттан-Гиннесс, Айвор (ред.). Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук . 1 . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса . С. 118–130. ISBN 978-0-8018-7396-6.
• Хаяси, Такао (2005). «Индийская математика». В «Потопе», Гэвин (ред.). Спутник Блэквелла в индуизме . Оксфорд: Бэзил Блэквелл . С. 360–375. ISBN 978-1-4051-3251-0.
• Николай Иванович Лобачевский (2010). Пангеометрия . Серия «Наследие европейской математики». 4 . переводчик и редактор: А. Пападопулос. Европейское математическое общество.

дальнейшее чтение

• Джей Каппрафф (2014). Партисипативный подход к современной геометрии . Мировое научное издательство. ISBN 978-981-4556-70-5.
• Леонард Млодинов (2002). Окно Евклида - История геометрии от параллельных линий до гиперпространства (Великобритания). Аллен Лейн. ISBN 978-0-7139-9634-0.

внешняя ссылка

В Викиучебнике есть дополнительная информация по теме: Геометрия

«Геометрия»  . Encyclopdia Britannica . 11 (11-е изд.). 1911. С. 675–736.

• Геометрии курс с Викиверситете
• Проблемы необычной геометрии
• Математический форум - Геометрия
  • Математический форум - K – 12 Geometry
  • Математический форум - Геометрия колледжа
  • Математический форум - Расширенная геометрия
• Природа предшествует - геометрия колышков и веревок в Стоунхендже
• Математический атлас - геометрические разделы математики
• «4000 лет геометрии» , лекция Робина Уилсона, прочитанная в Gresham College , 3 октября 2007 г. (доступна для скачивания в форматах MP3 и MP4, а также в виде текстового файла)
  • Финитизм в геометрии в Стэнфордской энциклопедии философии
• Свалка Геометрии
• Интерактивная справочная информация о геометрии с сотнями апплетов
• Эскизы динамической геометрии (с некоторыми исследованиями учащихся)
• Уроки геометрии в Ханской академии