В математике , кривая (также называется кривой линии в старых текстах) является объект , похожий на линии , но это не должно быть прямой .
Интуитивно кривую можно представить как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в « Элементах » Евклида : «[Изогнутая] линия [a] - это […] первый вид величины, имеющий только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и это не что иное, как поток или движение точки, которая […] оставит от своего воображаемого движения некоторый след в длину, за исключением любой ширины ». [1]
Это определение кривого было закреплено в современной математике , как: кривое представляет собой изображение из интервала на топологическое пространство с помощью непрерывной функции . В некоторых случаях функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая - параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называют топологическими кривыми, чтобы отличать их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, которые изучаются в математике; заметными исключениями являются кривые уровня (которые являются соединениямикривых и изолированных точек) и алгебраических кривых (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .
Тем не менее, класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые выглядят не так, как можно ожидать от кривой, или даже не могут быть нарисованы. Это случай кривых заполнения пространства и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функция, определяющая кривую, часто предполагается дифференцируемой , и тогда кривая называется дифференцируемой кривой .
Плоская кривая алгебраическим является множество нулей полинома в двух неизвестных . Более общо, алгебраические кривой является нулевым набором конечного множества полиномов, которая удовлетворяет еще одно условие того , чтобы быть алгебраическим многообразием по размерности один. Если коэффициенты полиномов принадлежат полю k , кривая называется определенной над k . В общем случае вещественной алгебраической кривой , где k - поле действительных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда сложныйучитываются нули, имеется сложная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью , и часто называется римановой поверхностью . Алгебраические кривые, определенные над другими полями, хотя и не являются кривыми в обычном смысле, широко изучались. В частности, в современной криптографии широко используются алгебраические кривые над конечным полем .
История [ править ]
Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам. [2] Кривые или, по крайней мере, их графическое представление легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.
Исторически термин « линия» использовался вместо более современного термина « кривая» . Следовательно, термины прямая линия и правая линия использовались, чтобы отличить то, что сегодня называется линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I Элементов Евклида линия определяется как «длина без ширины» (определение 2), в то время как прямая линия определяется как «линия, которая равномерно лежит с точками на самой себе» (определение 4). . Идея Евклида о прямой, возможно, поясняется утверждением «Концы линии суть точки» (Определение 3). [3] Более поздние комментаторы дополнительно классифицировали строки по разным схемам. Например: [4]
- Составные линии (линии, образующие угол)
- Несоставные строки
- Определенный (линии, которые не могут продолжаться бесконечно, например круг)
- Неопределенный (линии, которые продолжаются бесконечно, например прямая линия и парабола)
Греческие геометры изучали множество других видов кривых. Одна из причин заключалась в их интересе к решению геометрических задач, которые нельзя было решить с помощью стандартного компаса и линейки . Эти кривые включают:
- Конические сечения, подробно изученные Аполлонием Пергским
- Циссоида диок , изучено Диок и используются в качестве метода удвоения куба . [5]
- Конхоида из Никомеда , изучена Никомедом в качестве метода как двойные куб , и делить на три равные части угла . [6]
- Резьб , изучен Архимед в качестве метода угла делить на три равные части и площадь круга . [7]
- В Шпирича секции , секции торов изученных Персея , как участки конусов были изучены Аполлония.
Фундаментальное достижение в теории кривых было введением аналитической геометрии на Рене Декарт в семнадцатом веке. Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми, которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми, которые не могут. Ранее кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы. [2]
Конические сечения были применены в астрономии по Kepler . Ньютон также работал над ранним примером вариационного исчисления . Решения вариационных задач, таких как вопросы о брахистохроне и таутохроне , по-новому вводят свойства кривых (в данном случае циклоиды ). Контактная сеть получила свое название в качестве решения проблемы висящей цепи, то вопрос , который стал регулярно доступен с помощью дифференциального исчисления .
В восемнадцатом веке началась теория плоских алгебраических кривых в целом. Ньютон изучал кубические кривые в общем описании реальных точек в виде «овалов». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, а именно особые точки и сложные решения.
С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфическими для кривых, например, кривые, заполняющие пространство , теорема Жордана и шестнадцатая проблема Гильберта .
Топологическая кривая [ править ]
Топологическая кривая может быть задана с помощью непрерывной функции из интервала I из действительных чисел в топологическом пространстве X . Собственно говоря, кривая является изображение из Однако, в некоторых случаях, сама называется кривой, особенно , когда изображение не выглядит как то , что обычно называется кривой и не характеризует достаточно
Например, изображение кривой Пеано или, в более общем смысле, кривой, заполняющей пространство, полностью заполняет квадрат и, следовательно, не дает никакой информации о том, как она определяется.
Кривая будет закрыта [8] или является цикл , если и . Таким образом, замкнутая кривая - это образ непрерывного отображения круга .
Если область определения топологической кривой представляет собой замкнутый и ограниченный интервал , он называется путем , также известным как топологическая дуга (или просто дуга ).
Кривая является простой, если она является изображением интервала или круга инъективной непрерывной функцией. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией с интервалом в качестве области, кривая является простой тогда и только тогда, когда две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, тех случаев, когда точки являются конечными точками интервал. Интуитивно простая кривая - это кривая, которая «не пересекает себя и не имеет пропущенных точек». [9]
Простая замкнутая кривая также называется жордановой кривой . Теорема Жордана утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух компонент связности (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся области , которые обе связаны).
Плоская кривая представляет собой кривую , для которой является евклидова плоскость -Это являются примерами впервые столкнулись или в некоторых случаях в проективную плоскость .Кривая пространство представляет собой кривую , для которой , по меньшей мере трехмерным; перекос кривой - пространственная кривая, не лежащая в плоскости. Эти определения плоских, пространственных и косых кривых применимы также к реальным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применяется (реальная алгебраическая кривая может быть отсоединена ).
Определение кривой включает фигуры, которые в обычном употреблении назвать кривыми сложно. Например, изображение простой кривой может покрывать квадрат на плоскости ( кривая, заполняющая пространство ) и, таким образом, иметь положительную площадь. [10] Фрактальные кривые могут иметь свойства, странные для здравого смысла. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. Снежинку Коха ) и даже иметь положительную область. Примером может служить кривая дракона , которая обладает множеством других необычных свойств.
Дифференцируемая кривая [ править ]
Грубо говоря, дифференцируемая кривая является кривой, которая определяется как локально образ инъективного дифференцируемой функции из интервала I из действительных чисел в дифференцируемом многообразии X , часто
Точнее, дифференцируемая кривая представляет собой подмножество С из X , где каждая точка С имеет окрестность U таким образом, что является диффеоморфен к интервалу действительных чисел. [ требуется пояснение ] Другими словами, дифференцируемая кривая - это дифференцируемое многообразие размерности один.
Дифференцируемая дуга [ править ]
В евклидовой геометрии , дуги (символ: ⌒ ) представляет собой связное подмножество дифференцируемого кривой]
Дуги прямых называются отрезками или лучами , в зависимости от того, ограничены они или нет.
Распространенный пример изогнутой кривой - это дуга окружности , называемая дугой окружности .
В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .
Длина кривой [ править ]
Если - -мерное евклидово пространство, а - инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина определяется как величина
Длина кривой не зависит от параметризации .
В частности, длина от графика непрерывно дифференцируемой функции , определенной на отрезком является
В более общем смысле, если это метрическое пространство с метрикой , то мы можем определить длину кривой как
где верхняя грань берется по всем , и все разделы из .
Спрямляемая кривая - это кривая конечной длины. Кривая называется естественной (или единичной скорости, или параметризованной длиной дуги), если для любого такого, что мы имеем
Если - липшицево-непрерывная функция, то она автоматически исправима. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) at как
а затем показать, что
Дифференциальная геометрия [ править ]
В то время как первые встречающиеся примеры кривых - это в основном плоские кривые (то есть, говоря обыденным языком, изогнутые линии в двумерном пространстве ), есть очевидные примеры, такие как спираль, которые естественным образом существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики , должны иметь понятие кривой в пространстве любого числа измерений. В общей теории относительности , мировая линия представляет собой кривую в пространстве - времени .
Если - дифференцируемое многообразие , то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в . Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие приложения кривых в математике. С локальной точки зрения можно принять за евклидово пространство. С другой стороны, полезно быть более общим, поскольку (например) можно определить касательные векторы к с помощью этого понятия кривой.
Если - гладкое многообразие , гладкая кривая в - это гладкое отображение
- .
Это базовое понятие. Также есть все меньше и больше ограниченных идей. Если это многообразие (то есть, многообразие которых графики являются раз непрерывно дифференцируема ), то кривая в такой кривой , которая только предполагается (т.е. раз непрерывно дифференцируема). Если является аналитическим многообразием (т. Е. Бесконечно дифференцируемым и карты выражаются в виде степенных рядов ) и является аналитическим отображением, то называется аналитической кривой .
Дифференцируемая кривая называется регулярной, если ее производная никогда не обращается в нуль. (На словах, обычная кривая никогда не останавливается или не возвращается назад.) Две дифференцируемые кривые
- и
называются эквивалентными, если существует биективное отображение
такое, что обратное отображение
также , и
для всех . Карта называется репараметризацией из ; и это создает отношение эквивалентности на множестве всех дифференцируемых кривых в . Дуга является классом эквивалентности из кривых при соотношении репараметризации.
Алгебраическая кривая [ править ]
Алгебраические кривые - это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плоской алгебраической кривой является множество точек координат х , у , такие , что F ( х , у ) = 0 , где F представляет собой многочлен от двух переменных , определенных над некоторым полем F . Один говорит , что кривая , определенная над F . Алгебраическая геометрия обычно учитывает не только точки с координатами в F , но все точки с координатами в качестве алгебраически замкнутым полем K .
Если С является кривой , определенным с помощью многочлена F с коэффициентами из F , кривой называются определенным над F .
В случае кривой, определяемой действительными числами , обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой , а набор всех реальных точек является реальной частью кривой. Следовательно, только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть отсоединена и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть множество ее сложных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями .
Точки кривой C с координатами в поле G называются рациональными над G и могут быть обозначены C ( G ) . Когда G - поле рациональных чисел , мы просто говорим о рациональных точках . Например, Великая теорема Ферма может быть пересчитаны как: Для п > 2 , каждый рациональной точки кривой Ферма степени п имеет координату нуль .
Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокой размерности, например n . Они определяются как алгебраические многообразия в размерности один. Их можно получить как общие решения не менее n –1 полиномиальных уравнений от n переменных. Если n –1 многочленов достаточно для определения кривой в пространстве размерности n , эта кривая называется полным пересечением . Путем исключения переменных (любым инструментом теории исключения ) алгебраическая кривая может быть спроецирована на плоскую алгебраическую кривую , что, однако, может привести к появлению новых особенностей, таких каккуспиды или двойные точки .
Плоская кривая также может быть дополнена до кривой на проективной плоскости : если кривая определяется многочленом f полной степени d , то w d f ( u / w , v / w ) упрощается до однородного многочлена g ( u , v , w ) степени d . Значения u , v , w такие, что g ( u , v , w ) = 0- однородные координаты точек завершения кривой на проективной плоскости, а точки исходной кривой - такие, что w не равно нулю. Примером может служить кривая Ферма u n + v n = w n , которая имеет аффинную форму x n + y n = 1 . Аналогичный процесс гомогенизации может быть определен для кривых в пространствах более высоких измерений.
За исключением прямых , простейшими примерами алгебраических кривых являются коники , которые представляют собой неособые кривые степени два и рода нуль. Эллиптические кривые , которые представляют собой неособые кривые первого рода, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии .
См. Также [ править ]
- Координатная кривая
- Ориентация кривой
- Построение кривой
- Дифференциальная геометрия кривых
- Галерея кривых
- Список тем кривых
- Список кривых
- Оскулирующий круг
- Параметрическая поверхность
- Путь (топология)
- Вектор положения
- Вектор-функция
- Подгонка кривой
- Номер обмотки
Примечания [ править ]
- ^ В современном математическом использовании линия является прямой. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.
Ссылки [ править ]
- ^ На (довольно старом) французском: "La ligne est la première espece de Quantité, laquelle a tant seulement une Dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre selected que le flux ou coulement du poinct, lequel [ …] Laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exte de toute latitude ». Страницы 7 и 8 книги Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs цифры и демонстрации, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions , автор Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV .
- ^ a b Локвуд стр. ix
- ^ Хит стр. 153
- ^ Хит стр. 160
- ^ Локвуд стр. 132
- ^ Локвуд стр. 129
- ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Спираль Архимеда" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
- ^ Этот термин может быть неоднозначным, поскольку незамкнутая кривая может быть замкнутым множеством , как линия на плоскости.
- ^ "Определение дуги Джордана на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc" . Dictionary.reference.com . Проверено 14 марта 2012 .
- ↑ Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Кривая Иордана положительной области» . Труды Американского математического общества . Американское математическое общество . 4 (1): 107–112. DOI : 10.2307 / 1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986 455 .
- А.С. Пархоменко (2001) [1994], "Линия (кривая)" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Б. И. Голубов (2001) [1994], "Спрямляемая кривая" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Евклид , комментарий и пер. пользователя TL Heath Elements Vol. 1 (Кембридж, 1908 г.) Google Книги
- EH Lockwood Книга кривых (Кембридж, 1961 г.)
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме кривых . |
- Индекс известных кривых , Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия
- Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых.
- Галерея космических кривых, сделанных из кругов, включает анимацию Питера Мозеса
- Галерея кривых епископа и других сферических кривых, включая анимацию Питера Мозеса
- Статья в энциклопедии математики о строках .
- Страница Manifold Atlas по 1-многообразиям .