Размерность алгебраического многообразия

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Измерение алгебраического разнообразия»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике и , в частности , в алгебраической геометрии , то размерность из алгебраического многообразия может быть определена различными эквивалентными способами.

Некоторые из этих определений имеют геометрическую природу, а другие - чисто алгебраические и основаны на коммутативной алгебре . Некоторые из них ограничены алгебраическими многообразиями, в то время как другие применимы также к любому алгебраическому множеству . Некоторые из них являются внутренними, поскольку не зависят от любого вложения многообразия в аффинное или проективное пространство , в то время как другие связаны с таким вложением.

Размерность аффинного алгебраического множества [ править ]

Пусть K - поле , а L ⊇ K - алгебраически замкнутое расширение. Аффинное алгебраическое множество V есть множество общих нулей в L ^п элементов идеала I в кольце многочленов Пусть алгебра полиномиальных функций над V . Размерность V - любое из следующих целых чисел. Он не изменится, если K увеличить, если L заменить другим алгебраически замкнутым расширением K и если I${\ displaystyle R = K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$${\ displaystyle A = R / I}$заменяется другим идеалом с такими же нулями (то есть с тем же радикалом ). Размер также не зависит от выбора координат; другими словами, он не изменится, если x _i заменить их линейно независимыми линейными комбинациями. Размерность V равна

• Длина максимальной из цепей в отличие непустых (неприводимых) подмногообразий V .${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle V_ {0} \ подмножество V_ {1} \ subset \ ldots \ subset V_ {d}}$

Это определение обобщает свойство размерности евклидова пространства или векторного пространства . Таким образом, вероятно, именно определение дает наиболее простое интуитивное описание понятия.

• Размерность Крулля координатного кольца A .

Это транскрипция предыдущего определения на языке коммутативной алгебры , размерность Крулля является максимальной длиной цепочек из простых идеалов в А .${\displaystyle p_{0}\subset p_{1}\subset \ldots \subset p_{d}}$

• Максимальные Крулла размерность локальных колец в точках V .

Это определение показывает, что размерность является локальным свойством, если она неприводима. ${\displaystyle V}$Если неприводимо, то оказывается, что все локальные кольца в замкнутых точках имеют одинаковую размерность Крулля (см. ^[1] ).${\displaystyle V}$

• Если V - многообразие, размерность Крулля локального кольца в любой точке V

Это перефразирует предыдущее определение на более геометрический язык.

• Максимальная размерность касательных векторных пространств на не являющиеся особые точки из V .

Это связывает размерность многообразия с размерностью дифференцируемого многообразия . Точнее, если V определено над вещественными числами, то множество его действительных регулярных точек, если оно не пусто, является дифференцируемым многообразием, имеющим ту же размерность, что и многообразие, и многообразие.

• Если V является многообразие, размерность касательного векторного пространства в любой не особой точке из V .

Это алгебраический аналог того факта, что связное многообразие имеет постоянную размерность. Это также можно вывести из результата, сформулированного ниже третьего определения, и того факта, что размерность касательного пространства равна размерности Крулля в любой неособой точке (см. Касательное пространство Зарисского ).

• Количество гиперплоскостей или гиперповерхности в общем положении , которые необходимы , чтобы иметь пересечение с V , который восстанавливает до ненулевого конечного числа точек.

Это определение не является внутренним, поскольку оно применяется только к алгебраическим множествам, которые явно вложены в аффинное или проективное пространство.

• Длина максимальная из регулярной последовательности в координатном кольцо A .

Это алгебраический перевод предыдущего определения.

• Разница между п и длина максимальной из регулярных последовательностей содержится в I .

Это алгебраический перевод того факта, что пересечение n - d общих гиперповерхностей является алгебраическим множеством размерности d .

• Степень полинома Гильберта от А .
• Степень знаменателе рядов Гильберта от А .

Это позволяет посредством вычисления базиса Грёбнера вычислить размерность алгебраического множества, определенного данной системой полиномиальных уравнений .

• Размерность симплициального комплекса, у которого кольцо Стэнли-Райснера есть где - радикал любого начального идеала I.${\displaystyle R/J}$${\displaystyle J}$

Взятие исходных идеалов сохраняет многочлен / ряд Гильберта, а взятие радикалов сохраняет размерность. ^[2]

• Если я простой идеал (т.е. V является алгебраическим многообразием), то степень трансцендентности над K из области фракций из A .

Это позволяет легко доказать, что размерность инвариантна относительно бирациональной эквивалентности .

Размерность проективного алгебраического множества [ править ]

Пусть V будет проективное алгебраическое множество определяется как множество общих нулей однородного идеала I в кольце многочленов над полем K , и пусть = Р / Я быть градуированной алгеброй многочленов над V .${\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Применяются все определения из предыдущего раздела с тем изменением, что, когда A или I явно появляются в определении, значение измерения должно быть уменьшено на единицу. Например, размерность V на единицу меньше размерности Крулля А .

Расчет размера [ править ]

Учитывая систему полиномиальных уравнений над алгебраически замкнутым полем , может быть трудно вычислить размерность алгебраического множества, которое она определяет.${\displaystyle K}$

Без дополнительной информации о системе существует только один практический метод, который состоит из вычисления базиса Гребнера и определения степени знаменателя ряда Гильберта идеала, порожденного уравнениями.

Второй шаг, который обычно является самым быстрым, можно ускорить следующим образом: во-первых, базис Грёбнера заменяется списком его ведущих мономов (это уже сделано для вычисления ряда Гильберта). Тогда каждый мономиальный , как заменяются произведением переменных в нем: Тогда размерности является максимальным размером подмножества S переменных, таким образом, что ни один из этих продуктов переменных не зависит только от переменных в S .${\displaystyle {x_{1}}^{e_{1}}\cdots {x_{n}}^{e_{n}}}$${\displaystyle x_{1}^{\min(e_{1},1)}\cdots x_{n}^{\min(e_{n},1)}.}$

Этот алгоритм реализован в нескольких системах компьютерной алгебры . Например, в Maple это функция Groebner [HilbertDimension], а в Macaulay2 - это функция dim .

Реальное измерение [ править ]

Вещественная размерность множества вещественных точек, обычно полуалгебраического множество , размерность его Зарисское закрытия . Для полуалгебраического множества S действительная размерность - это одно из следующих равных целых чисел: ^[3]

• Реальный размер - это размер его замыкания Зарисского.${\displaystyle S}$
• Реальный размер является максимальным числом , например , что существует гомеоморфизм из в .${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle [0,1]^{d}}$${\displaystyle S}$
• Реальная размерность - это максимальное целое число, такое, что существует проекция над -мерного подпространства с непустой внутренней частью .${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$

Для алгебраического множества, определенного над действительными числами (которое определяется полиномами с действительными коэффициентами), может случиться так, что реальная размерность множества его реальных точек меньше, чем его размерность как полуалгебраического множества. Например, алгебраическая поверхность уравнения - это алгебраическое многообразие размерности два, которое имеет только одну действительную точку (0, 0, 0) и, следовательно, имеет нулевую действительную размерность.${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

Реальную размерность вычислить сложнее, чем алгебраическую. Для случая реальной гиперповерхности (то есть множества реальных решений одного полиномиального уравнения) существует вероятностный алгоритм для вычисления ее реальной размерности. ^[4]

См. Также [ править ]

• Теория размерностей (алгебра)
• Размер схемы

Ссылки [ править ]