Ноль функции

В математике , А ноль (также иногда называется корнем ) из реального -, комплекс -, или вообще вектор-функция , является членом из домена из таких , что обращается в нуль при ; то есть функция достигает значения 0 в , ^[1] или, что эквивалентно, является решением уравнения . ^[2] Таким образом, «ноль» функции - это входное значение, которое на выходе дает . ^[3]${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle 0}$

Корень из полинома является нулем соответствующей полиномиальной функции . ^[2] Основная теорема алгебры показывает , что любой ненулевой многочлен имеет число корней самое большее равна его степени , а также о том , что число корней и степень равны , если учесть сложные корни (или в более общем плане , то корни в алгебраически замкнутом расширении ) с учетом их кратностей . ^[4] Например, многочлен второй степени, определяемый формулой ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6}$

имеет два корня и , поскольку${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$

${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\cdot 2+6=0\quad {\textrm {and}}\quad f(3)=3^{2}-5\cdot 3+6=0}$.

Если функция отображает действительные числа в действительные числа, то ее нули - это координаты точек, где ее график пересекает ось x . Альтернативное название такой точки в данном контексте - перехват.${\displaystyle x}$${\displaystyle (x,0)}$${\displaystyle x}$

Решение уравнения [ править ]

Каждое уравнение в неизвестном можно переписать как${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x)=0}$

перегруппировав все термины в левой части. Отсюда следует, что решения такого уравнения - это в точности нули функции . Другими словами, «нуль функции» - это в точности «решение уравнения, полученное приравниванием функции к 0», а изучение нулей функций в точности совпадает с изучением решений уравнений.${\displaystyle f}$

Полиномиальные корни [ править ]

Каждый действительный многочлен нечетной степени имеет нечетное число действительных корней (с учетом кратностей ); аналогично действительный многочлен четной степени должен иметь четное число действительных корней. Следовательно, действительные нечетные многочлены должны иметь по крайней мере один действительный корень (поскольку наименьшее нечетное целое число равно 1), тогда как четные многочлены могут не иметь ни одного. Этот принцип может быть доказан ссылкой на теорему о промежуточном значении : поскольку полиномиальные функции непрерывны , значение функции должно пересекать ноль в процессе изменения с отрицательного на положительное или наоборот (что всегда происходит для нечетных функций).

Основная теорема алгебры [ править ]

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени имеет комплексные корни, считая с их кратностями. Неверные корни многочленов с действительными коэффициентами входят в сопряженные пары. ^[3] Формулы Виета связывают коэффициенты многочлена с суммами и произведениями его корней.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Вычислительные корни [ править ]

Вычисление корней функций, например полиномиальных функций , часто требует использования специализированных или аппроксимационных методов (например, метода Ньютона ). Однако некоторые полиномиальные функции, включая все функции степени не выше 4, могут иметь все свои корни, алгебраически выраженные через их коэффициенты (подробнее см. Алгебраическое решение ).

Установка нуля [ править ]

В различных областях математики, то множество нулей из функции является множество всех ее нулей. Более точно, если это вещественная функция (или, в более общем случае , функция принимает значения в некоторой аддитивной группе ), его нулевое множество , то прообраз из в .${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f^{-1}(0)}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle X}$

Термин « множество нулей» обычно используется, когда существует бесконечно много нулей, и они обладают некоторыми нетривиальными топологическими свойствами . Например, набор уровней функции - это нулевой набор . Конуль набор из является дополнением нулевого множества (т.е. подмножество , на котором не равен нулю).${\displaystyle f}$${\displaystyle f-c}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Приложения [ править ]

В алгебраической геометрии первое определение алгебраического многообразия - через нулевые множества. В частности, аффинное алгебраическое множество - это пересечение нулевых множеств нескольких полиномов в кольце многочленов над полем . В этом контексте нулевое множество иногда называют нулевым локусом .${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$

В анализе и геометрии , любое замкнутое подмножество из есть множество нулей гладкой функции , определенной на всех . Это распространяется на любое гладкое многообразие как следствие паракомпактности . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В дифференциальной геометрии нулевые множества часто используются для определения многообразий . Важным частным случаем является случай, когда гладкая функция от до . Если нуль является регулярным значением из , то нулевого множества является гладким многообразием размерности по теореме регулярного значения .${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle m=p-n}$

Например, единица - сфера в является нулевым множеством действительной функции .${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$${\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}$

См. Также [ править ]

• Теорема мардена
• Алгоритм поиска корней
• Гипотеза Сендова
• Исчезнуть в бесконечности
• Нулевой переход
• Нули и полюсы

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Рут» . MathWorld .