Комплексное число

Комплексное число можно визуально представить в виде пары чисел ( a ,  b ), образующих вектор на диаграмме, называемой диаграммой Аргана , представляющей комплексную плоскость . - действительная ось, - это мнимая ось, а i - « мнимая единица », которая удовлетворяет i ² = -1 .${\ displaystyle {\ mathcal {Re}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {Im}}}$

Комплексное число , это число , которое может быть выражено в виде + би , где и б являются действительными числами , а я представляет собой « мнимую единицу », удовлетворяющий уравнению я ² = -1 . Поскольку никакое действительное число не удовлетворяет этому уравнению, i называется мнимым числом . Для комплексного числа a + bi , a называется действительной частью, а b называется мнимой частью.. Множество комплексных чисел обозначается либо из символов ℂ или C . Несмотря на историческую номенклатуру «мнимого», комплексные числа считаются в математических науках такими же «реальными», как и действительные числа, и являются фундаментальными во многих аспектах научного описания мира природы. ^{[1] [2] [3] [4] [a]}

Комплексные числа позволяют решать некоторые уравнения, не имеющие решений в действительных числах. Например, уравнение

${\ Displaystyle (х + 1) ^ {2} = - 9}$

не имеет реального решения, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Однако комплексные числа позволяют решить эту проблему. Идея состоит в том, чтобы расширить действительные числа с помощью неопределенного i (иногда называемого мнимой единицей), взятого для удовлетворения соотношению i ² = −1 , чтобы можно было найти решения для уравнений, подобных предыдущему. В этом случае решениями являются −1 + 3 i и −1-3 i , что можно проверить, используя тот факт, что i ² = −1 :

${\ displaystyle ((-1 + 3i) +1) ^ {2} = (3i) ^ {2} = \ left (3 ^ {2} \ right) \ left (i ^ {2} \ right) = 9 (-1) = - 9,}$

${\ displaystyle ((-1-3i) +1) ^ {2} = (- 3i) ^ {2} = (- 3) ^ {2} \ left (i ^ {2} \ right) = 9 (- 1) = - 9.}$

Согласно основной теореме алгебры , все полиномиальные уравнения с действительными или комплексными коэффициентами от одной переменной имеют решение в комплексных числах. Напротив, некоторые полиномиальные уравнения с действительными коэффициентами не имеют решения в действительных числах. Итальянскому математику 16-го века Джероламо Кардано приписывают введение комплексных чисел в его попытки найти решения кубических уравнений . ^[6]

Формально комплексную систему счисления можно определить как алгебраическое расширение обычных действительных чисел мнимым числом i . ^{[7] ( §VIII.1 )} Это означает, что комплексные числа можно складывать, вычитать и умножать как полиномы от переменной i по правилу i ² = −1 . Кроме того, комплексные числа также можно разделить на ненулевые комплексные числа. ^[3] В целом комплексная система счисления - это поле .

С геометрической точки зрения комплексные числа расширяют понятие одномерной числовой прямой до двухмерной комплексной плоскости , используя горизонтальную ось для действительной части и вертикальную ось для мнимой части. Комплексное число a + bi можно отождествить с точкой ( a ,  b ) на комплексной плоскости. Комплексное число, действительная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым., а точки этих чисел лежат на вертикальной оси комплексной плоскости. Точно так же комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, можно рассматривать как действительное число, точка которого лежит на горизонтальной оси комплексной плоскости. Комплексные числа также могут быть представлены в полярной форме, которая связывает каждое комплексное число с его расстоянием от начала координат (его величиной) и определенным углом, известным как аргумент комплексного числа.

Геометрическая идентификация комплексных чисел с комплексной плоскостью, которая является евклидовой плоскостью ( ² ) , делает очевидной их структуру как реальное двумерное векторное пространство . Действительная и мнимая части комплексного числа могут быть взяты как компоненты вектора относительно канонического стандартного базиса.. Таким образом, сложение комплексных чисел сразу же изображается как обычное покомпонентное сложение векторов. Однако комплексные числа позволяют использовать более богатую алгебраическую структуру, включающую дополнительные операции, которые не обязательно доступны в векторном пространстве. Например, умножение двух комплексных чисел всегда снова дает комплексное число, и его не следует принимать за обычные «произведения», включающие векторы, такие как скалярное умножение , скалярное произведение или другие (полуторные) линейные формы , доступные во многих векторных пространствах. ; а широко используемый векторный продукт существует только в форме, зависящей от ориентации, в трех измерениях.

Определение [ править ]

Комплексное число - это число в форме a + bi , где a и b - действительные числа , а i - неопределенное число, удовлетворяющее i ² = −1 . Например, 2 + 3 i - комплексное число. ^{[8] [3]}

Таким образом, комплексное число определяется как многочлен с действительными коэффициентами в единственном неопределенном i , для которого устанавливается соотношение i ² + 1 = 0 . На основе этого определения комплексные числа можно складывать и умножать, используя сложение и умножение многочленов. Соотношение i ² + 1 = 0 индуцирует равенства i ^{4 k} = 1, i ^{4 k +1} = i , i ^{4 k +2} = −1 и i ^{4 k +3} = - i ,которые верны для всех целых k ; они позволяют уменьшить любой многочлен, полученный в результате сложения и умножения комплексных чисел, до линейного многочлена от i , опять же формы a + bi с действительными коэффициентами a, b.

Действительное число a называется действительной частью комплексного числа a + bi ; действительное число b называется его мнимой частью . Подчеркнем, что мнимая часть не включает фактор i ; то есть мнимая часть - это b , а не bi . ^{[9] [10] [3]}

Формально комплексные числа определяются как фактор - кольца из кольца многочленов в неопределенном I , в идеале , порожденном многочлен I ² + 1 (см ниже ). ^{[7] ( §VIII.1 )}

Обозначение [ править ]

Действительное число a можно рассматривать как комплексное число a + 0 i , мнимая часть которого равна 0. Чисто мнимое число bi - это комплексное число 0 + bi , действительная часть которого равна нулю. Как и в случае с многочленами, принято писать a для a + 0 i и bi для 0 + bi . Более того, когда мнимая часть отрицательна, то есть b = - | b | <0 , обычно пишут a - | b | i вместо a + (- | b | ) i; например, для Ь = -4 , 3 - 4 я можно записать вместо 3 + (-4) I .

Поскольку умножение неопределенного i и действительного числа коммутативно в многочленах с действительными коэффициентами, многочлен a + bi может быть записан как a + ib . Это часто целесообразно для мнимых частей, обозначенных выражениями, например, когда b - радикал. ^[11]

Действительная часть комплексного числа г обозначается Re ( г ) , или ℜ ( г ) ; мнимая часть комплексного числа г обозначим через Im ( г ) , или ℑ ( г ) . ^[2] Например,${\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}$${\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {Re}} (2+3i)=2\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {\mathcal {Im}} (2+3i)=3~.}$

Множество всех комплексных чисел обозначается ℂ ( доске жирным шрифтом ) или C ( в вертикальном положении выделены жирным шрифтом). ^[2]

В некоторых дисциплинах, особенно в электромагнетизме и электротехнике , j используется вместо i, поскольку i часто используется для представления электрического тока . ^[12] В этих случаях комплексные числа записываются как a + bj или a + jb .

Визуализация [ править ]

Таким образом, комплексное число z можно отождествить с упорядоченной парой действительных чисел, которые, в свою очередь, можно интерпретировать как координаты точки в двумерном пространстве. Самое непосредственное пространство евклидовой плоскости с соответствующими координатами, который затем называется комплексной плоскостью или Аргана диаграмма , ^{[13] [б] [14]} назван в честь Жан-Роберт Аргана . Еще одно видное пространство, на которое могут быть спроецированы координаты, - это двумерная поверхность сферы, которую затем называют сферой Римана .${\displaystyle {\bigl (}{\mathcal {Re}}(z),{\mathcal {Im}}(z){\bigr )}}$

Декартова комплексная плоскость [ править ]

Определение комплексных чисел, включающих два произвольных действительных значения, сразу предполагает использование декартовых координат в комплексной плоскости. Горизонтальная ( действительная ) ось обычно используется для отображения реальной части с увеличивающимися значениями вправо, а мнимая часть отмечает вертикальную ( мнимую ) ось с увеличивающимися значениями вверх.

Число на карте можно рассматривать либо как координированную точку, либо как вектор положения от исходной точки до этой точки. Значения координат комплексного числа z, следовательно, могут быть выражены в его декартовой , прямоугольной или алгебраической форме.

Примечательно, что операции сложения и умножения принимают очень естественный геометрический характер, когда комплексные числа рассматриваются как векторы положения: сложение соответствует сложению векторов , а умножение (см. Ниже ) соответствует умножению их величин и сложению углов, которые они образуют с реальная ось. С этой точки зрения умножение комплексного числа на i соответствует повороту вектора положения против часовой стрелки на четверть оборота ( 90 ° ) вокруг начала координат - факт, который можно алгебраически выразить следующим образом:

${\displaystyle (a+bi)\cdot i=ai+b(i)^{2}=-b+ai.}$

Полярная комплексная плоскость [ редактировать ]

Модуль и аргумент [ править ]

Альтернативным вариантом для координат в комплексной плоскости является полярная система координат, которая использует расстояние между точкой z от начала координат ( O ) и угол между положительной действительной осью и отрезком линии Oz в направлении против часовой стрелки. Это приводит к полярной форме комплексных чисел.

Абсолютное значение (или модуль или величину ) комплексного числа г = х + уг является ^[15]

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Если z - действительное число (то есть, если y = 0 ), то r = | х | . То есть абсолютное значение действительного числа равно его абсолютному значению как комплексного числа.

По теореме Пифагора абсолютное значение комплексного числа - это расстояние до начала координат точки, представляющей комплексное число на комплексной плоскости .

Аргумент из г (во многих применениях , указанных в качестве «фазы» ф ) ^[14] представляет собой угол радиуса Oz с положительной вещественной осью, и записывается как аргумент г . Как и в случае с модулем, аргумент можно найти из прямоугольной формы x + yi ^[16] - применяя арктангенс к отношению мнимых частей к действительным. Используя тождество половинного угла, одной ветви arctan достаточно, чтобы покрыть диапазон arg -функции, (- π , π ] , и позволяет избежать более тонкого индивидуального анализа.

${\displaystyle \varphi =\arg(x+yi)={\begin{cases}2\arctan \left({\dfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}$

Обычно, как указано выше, выбирается главное значение в интервале (- π , π ] . Значения в диапазоне [0, 2 π ) получаются путем добавления 2 π - если значение отрицательное. В этой статье значение φ выражается в радианах . Он может увеличиваться на любое целое число, кратное 2 π, и по-прежнему давать тот же угол, рассматриваемый как покрытый лучами положительной действительной оси и от начала координат до z . Следовательно, функцию arg иногда считают многозначной.. Полярный угол для комплексного числа 0 не определен, но произвольный выбор полярного угла 0 является обычным явлением.

Значение φ равно результату atan2 :

${\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left(\operatorname {\mathcal {Im}} (z),\operatorname {\mathcal {Re}} (z)\right).}$

Вместе r и φ дают другой способ представления комплексных чисел, полярную форму , поскольку комбинация модуля и аргумента полностью определяет положение точки на плоскости. Восстановление исходных прямоугольных координат из полярной формы выполняется по формуле, называемой тригонометрической формой

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).}$

Используя формулу Эйлера, это можно записать как

${\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ or }}z=r\exp i\varphi .}$

Используя функцию cis , это иногда сокращается до

${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi .}$

В угловых обозначениях , часто используемых в электронике для представления вектора с амплитудой r и фазой φ , он записывается как ^[17]

${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$

Сложные графики [ править ]

При визуализации сложных функций необходимы как сложный ввод, так и вывод. Поскольку каждое комплексное число представлено в двух измерениях, визуальное отображение сложной функции потребует восприятия четырехмерного пространства , что возможно только в проекциях. Из-за этого были разработаны другие способы визуализации сложных функций.

При раскраске домена выходные размеры представлены цветом и яркостью соответственно. Каждая точка комплексной плоскости как домена украшена орнаментом , обычно цветом, представляющим аргумент комплексного числа, и яркостью, представляющей величину. Темные пятна обозначают модули, близкие к нулю, более яркие пятна находятся дальше от начала координат, градация может быть прерывистой, но предполагается монотонной. Цвета часто меняются в зависимости отπ/3от 0 до 2 π от красного, желтого, зеленого, голубого, синего до пурпурного. Эти графики называются графиками цветового круга . Это обеспечивает простой способ визуализации функций без потери информации. На рисунке показаны нули для ± 1, (2 + i ) и полюсы при ± √ −2 −2 i .

Римановы поверхности - еще один способ визуализировать сложные функции. ^{[ требуется дальнейшее объяснение ]} Римановы поверхности можно рассматривать как деформации комплексной плоскости; в то время как горизонтальные оси представляют реальные и мнимые входные данные, единственная вертикальная ось представляет только реальный или мнимый выход. Однако римановы поверхности построены таким образом, что их поворот на 180 градусов показывает воображаемый результат, и наоборот. В отличие от раскраски областей, римановы поверхности могут представлять многозначные функции типа √ z .

История [ править ]

Решение в радикалах (без тригонометрических функций ) общего кубического уравнения содержит квадратные корни из отрицательных чисел, когда все три корня являются действительными числами, ситуацию, которая не может быть исправлена ​​путем факторизации с помощью проверки рационального корня, если кубика неприводима ( так называемый casus unducibilis ). Эта загадка привела к тому, что итальянский математик Джероламо Кардано придумал комплексные числа примерно в 1545 году ^[18], хотя его понимание было элементарным.

Работа над проблемой общих многочленов в конечном итоге привела к фундаментальной теореме алгебры , которая показывает, что с комплексными числами решение существует для любого полиномиального уравнения степени один или выше. Таким образом, комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле , в котором любое полиномиальное уравнение имеет корень .

Многие математики внесли свой вклад в разработку комплексных чисел. Правила сложения, вычитания, умножения и извлечения корня из комплексных чисел были разработаны итальянским математиком Рафаэлем Бомбелли . ^[19] Более абстрактный формализм для комплексных чисел был развит ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном , который распространил эту абстракцию на теорию кватернионов . ^[20]

Самая ранняя мимолетная ссылку на квадратные корни из отрицательных чисел , возможно , можно сказать , что произойдет в работе греческого математика Героя Александрии в веке 1 г. н.э. , где в его Stereometrica он считает, по- видимому , по ошибке, объем невозможных усеченным из пирамиды , чтобы прибыть на срок √ 81 - 144 = 3 я √ 7 в своих расчетах, хотя отрицательные величины не мыслится в эллинистической математике и герой просто заменил его своей положительной ( √ 144 - 81= 3 √ 7 ) . ^[21]

Стимул к изучению комплексных чисел как самостоятельной темы впервые возник в 16 веке, когда итальянскими математиками были открыты алгебраические решения для корней кубических и четверных многочленов (см. Никколо Фонтана Тарталья , Джероламо Кардано ). Вскоре было осознано (но доказано гораздо позже) ^[22], что эти формулы, даже если интересовались только действительными решениями, иногда требовали манипуляции с квадратными корнями из отрицательных чисел. Например, формула Тартальи для кубического уравнения вида x ³ = px + q ^[c] дает решение уравненияx ³ = x как

${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\left(\left({\sqrt {-1}}\right)^{1/3}+\left({\sqrt {-1}}\right)^{-1/3}\right).}$

На первый взгляд, это чушь. Однако формальные вычисления с комплексными числами показывают, что уравнение z ³ = i имеет решения - i ,√ 3 + я/2 и - √ 3 + я/2. Подставляя их по очереди вместо √ -1 ^1/3 в кубической формуле Тартальи и упрощая, получаем 0, 1 и −1 как решения x ³ - x = 0 . Конечно, это конкретное уравнение можно решить с первого взгляда, но оно показывает, что, когда общие формулы используются для решения кубических уравнений с действительными корнями, тогда, как неукоснительно показали более поздние математики, ^[d] использование комплексных чисел неизбежно . Рафаэль Бомбелли был первым, кто обратился к этим, казалось бы, парадоксальным решениям кубических уравнений, и разработал правила сложной арифметики, пытаясь разрешить эти проблемы.

Термин «мнимые» для этих величин был введен Рене Декартом в 1637 году, хотя он старался подчеркнуть их воображаемую природу ^[23].

... иногда только воображаемый, то есть можно представить столько, сколько я сказал в каждом уравнении, но иногда не существует количества, которое соответствует тому, что мы представляем.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a qu'il n'y a quelquefois aucune Quantité qui correde à celle qu'on представлять себе. ]

Еще одним источником путаницы было то, что уравнение √ -1 ² = √ -1 √ -1 = -1 казалось капризным несовместимым с алгебраическим тождеством √ a √ b = √ ab , которое справедливо для неотрицательных действительных чисел a и b , который также использовался в вычислениях комплексных чисел с одним из a , b положительным и другим отрицательным. Неправильное использование этого удостоверения (и связанного удостоверения1/√ а= √1/а) в случае, когда и a, и b отрицательны, даже озадачил Эйлера. Эта трудность в конечном итоге привела к соглашению об использовании специального символа i вместо √ −1 для защиты от этой ошибки. ^{[ необходима цитата ]} Тем не менее, Эйлер считал естественным знакомить студентов с комплексными числами намного раньше, чем мы делаем это сегодня. В своем учебнике элементарной алгебры « Элементы алгебры» он вводит эти числа почти сразу, а затем использует их естественным образом.

В 18 веке комплексные числа получили более широкое распространение, поскольку было замечено, что формальные манипуляции со сложными выражениями могут использоваться для упрощения вычислений с использованием тригонометрических функций. Например, в 1730 году Абрахам де Муавр заметил, что сложные тождества, связывающие тригонометрические функции целого кратного угла со степенями тригонометрических функций этого угла, могут быть просто перевыражены следующей хорошо известной формулой, носящей его имя: de Формула Муавра :

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}$

В 1748 году Леонард Эйлер пошел дальше и получил формулу Эйлера из комплексного анализа : ^[24]

${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}$

формально манипулируя сложными степенными рядами, и заметил, что эту формулу можно использовать для сведения любого тригонометрического тождества к гораздо более простым экспоненциальным тождествам.

Идея комплексного числа как точки на комплексной плоскости (см. Выше ) была впервые описана Каспаром Весселем в 1799 г. ^[25], хотя ее предвосхищали еще в 1685 г. в « Трактате по алгебре» Уоллиса . ^[26]

Мемуары Весселя были опубликованы в Proceedings of the Copenhagen Academy, но остались практически незамеченными. В 1806 году Жан-Робер Арган независимо выпустил брошюру о комплексных числах и предоставил строгое доказательство основной теоремы алгебры . ^[27] Карл Фридрих Гаусс ранее опубликовал по существу топологическое доказательство теоремы в 1797 году, но в то время выразил свои сомнения относительно «истинной метафизики квадратного корня из -1». ^[28] Лишь в 1831 году он преодолел эти сомнения и опубликовал свой трактат о комплексных числах как точках на плоскости, ^{[29] [30] ( стр. 638 )} в значительной степени устанавливая современные обозначения и терминологию.

Если раньше кто-то рассматривал этот предмет с ложной точки зрения и, следовательно, обнаружил таинственную тьму, это в значительной степени связано с неуклюжей терминологией. Если бы кто-то не назвал +1, −1, √ −1 положительными, отрицательными или мнимыми (или даже невозможными) единицами, а, скажем, прямыми, обратными или боковыми единицами, то вряд ли можно было бы говорить о такой темноте. - Гаусс (1831 г.) ^{[30] ( стр. 638 ) [29]}

В начале 19 века другие математики независимо друг от друга открыли геометрическое представление комплексных чисел: Буэ, ^{[31] [32]} Мурей , ^[33] Уоррен , ^[34] Франсэ и его брат Беллавитис . ^{[35] [36]}

Английский математик Дж. Х. Харди заметил, что Гаусс был первым математиком, который использовал комплексные числа «действительно уверенным и научным способом», хотя математики, такие как Нильс Хенрик Абель и Карл Густав Джейкоб Якоби, обязательно использовали их регулярно до того, как Гаусс опубликовал свой трактат 1831 года. ^[37]

Огюстен Луи Коши и Бернхард Риман вместе довели фундаментальные идеи комплексного анализа до высокого уровня завершения, начиная с 1825 года в случае Коши.

Общие термины, используемые в теории, в основном принадлежат основателям. Арганд называемые сов φ + я грех φ на фактор направления , а г = √ ² + Ь ² модуля ; ^{[е] [39]} Коши (1821) называется сов φ + я грех φ в восстановленной форме (выражение réduite l') ^[40] и , видимо , ввел термин аргумент ; Гаусс использовал i для √ -1 ,^[F] ввел термин комплексное число для более + би , ^[г] и называется ² + Ь ² нормой . ^[ч] Выражение коэффициент направления , часто используется для COS φ + я грех ф , связано с Ганкелем (1867), ^[41] , и абсолютное значение, по модулю, происходит изза Вейерштрассом.

Среди более поздних классиков общей теории - Ричард Дедекинд , Отто Гёльдер , Феликс Кляйн , Анри Пуанкаре , Герман Шварц , Карл Вейерштрасс и многие другие.

Отношения и операции [ править ]

Равенство [ править ]

Комплексные числа имеют такое же определение равенства, что и действительные числа; два комплексных числа a ₁ + b ₁ i и a ₂ + b ₂ i равны тогда и только тогда, когда их действительная и мнимая части равны, то есть если a ₁ = a ₂ и b ₁ = b ₂ . Ненулевые комплексные числа, записанные в полярной форме , равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину и их аргументы различаются на целое число, кратное 2 π .

Заказ [ править ]

В отличие от действительных чисел, комплексные числа не упорядочиваются естественным образом. В частности, в комплексных числах отсутствует линейный порядок , совместимый со сложением и умножением - комплексные числа не могут иметь структуру упорядоченного поля. Это, например, потому, что любая нетривиальная сумма квадратов в упорядоченном поле равна 0 , а i ² + 1 ² = 0 - нетривиальная сумма квадратов. Таким образом, комплексные числа естественным образом считаются существующими в двумерной плоскости.

Конъюгировать [ править ]

Комплексно сопряженное комплексного числа г = х + уг задается х - уг . Обозначается буквой z или z * . ^[42] Эта унарная операция над комплексными числами не может быть выражена путем применения только их основных операций сложения, вычитания, умножения и деления.

Геометрический г является «отражением» от г относительно вещественной оси. Двойное спряжение дает исходное комплексное число

${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z,}$

что делает эту операцию инволюцией . Отражение оставляет неизменными действительную часть и величину z , т. Е.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {Re}} ({\overline {z}})=\operatorname {\mathcal {Re}} (z)\quad }$ и ${\displaystyle \quad |{\overline {z}}|=|z|.}$

Мнимая часть и аргумент комплексного числа z меняют знак при сопряжении

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {Im}} ({\overline {z}})=-\operatorname {\mathcal {Im}} (z)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {arg} {\overline {z}}\equiv -\operatorname {arg} z{\pmod {2\pi }}.}$

Подробнее об аргументе и величине см. В разделе о полярной форме .

Произведение комплексного числа z = x + yi и сопряженного с ним числа называется абсолютным квадратом . Это всегда положительное действительное число, равное квадрату величины каждого:

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}=|{\overline {z}}|^{2}.}$

Это свойство можно использовать для преобразования дроби со сложным знаменателем в эквивалентную дробь с действительным знаменателем путем расширения числителя и знаменателя дроби на сопряжение данного знаменателя. Этот процесс иногда называют « рационализацией » знаменателя (хотя знаменатель в конечном выражении может быть иррациональным действительным числом), потому что он напоминает метод удаления корней из простых выражений в знаменателе.

Действительная и мнимая части комплексного числа z могут быть извлечены с помощью сопряжения:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {Re}} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}},\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {\mathcal {Im}} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}.}$

Более того, комплексное число реально тогда и только тогда, когда оно равно своему собственному сопряженному.

Сопряжение распределяет по основным сложным арифметическим операциям:

${\displaystyle {\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}},}$

${\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\quad {\overline {z/w}}={\overline {z}}/{\overline {w}}.}$

Сопряжение также используется в инверсивной геометрии - области геометрии, изучающей более общие отражения, чем отражения от линии. В сетевом анализе электрических цепей комплексное сопряжение используется для нахождения эквивалентного импеданса, когда ищется теорема о максимальной передаче мощности .

Сложение и вычитание [ править ]

Два комплексных числа a и b сложить проще всего , сложив их действительную и мнимую части слагаемых по отдельности. То есть:

${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$

Точно так же вычитание может быть выполнено как

${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$

Используя визуализацию комплексных чисел на комплексной плоскости, сложение имеет следующую геометрическую интерпретацию: сумма двух комплексных чисел a и b , интерпретируемых как точки на комплексной плоскости, является точкой, полученной путем построения параллелограмма из трех вершин O , и точки стрелок, помеченных a и b (при условии, что они не находятся на прямой). Эквивалентно, называть эти точки A , B , соответственно , и четвертую точку параллелограмма X на треугольники ОАВ и Xba являются конгруэнтны. Визуализация вычитания может быть достигнута путем рассмотрения добавления отрицательного вычитаемого .

Умножение [ править ]

Поскольку действительная часть, мнимая часть и неопределенное i в комплексном числе рассматриваются как числа сами по себе, два комплексных числа, заданные как z = x + yi и w = u + vi , умножаются по правилам распределительного свойство , коммутативные свойства и определяющее свойство i ² = −1 следующим образом

${\displaystyle {\begin{aligned}z\cdot w&=(x+yi)\cdot (u+vi)&\\&=x(u+vi)+yi(u+vi)&&{\text{by the (right) distributive law}}\\&=xu+xvi+yiu+yivi&&{\text{by the (left) distributive law}}\\&=xu+yivi+xvi+yiu&&{\text{by the commutativity of addition}}\\&=xu+yvi^{2}+xvi+yui&&{\text{by the commutativity of multiplication}}\\&=(xu+yvi^{2})+(xvi+yui)&&{\text{by the associativity of addition}}\\&=(xu-yv)+(xvi+yui)&&{\text{by the defining property of }}i\\&=(xu-yv)+(xv+yu)i&&{\text{by the distributive law}}.\end{aligned}}}$

Взаимное и разделение [ править ]

Используя сопряжение, обратная величина ненулевого комплексного числа z = x + yi всегда может быть разбита на

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {\overline {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i,}$

поскольку ненулевое значение означает, что x ² + y ² больше нуля.

Это может быть использовано для выражения деления произвольного комплексного числа w = u + vi на ненулевое комплексное число z как

${\displaystyle {\frac {w}{z}}=w\cdot {\frac {1}{z}}=(u+vi)\cdot \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i\right)={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}\left((ux+vy)+(vx-uy)i\right).}$

Умножение и деление в полярной форме [ править ]

Формулы для умножения, деления и возведения в степень проще в полярной форме, чем соответствующие формулы в декартовых координатах. Даны два комплексных числа z ₁ = r ₁ (cos  φ ₁ + i  sin  φ ₁ ) и z ₂ = r ₂ (cos  φ ₂ + i  sin  φ ₂ ) в силу тригонометрических тождеств

${\displaystyle \cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b)}$

${\displaystyle \cos a\sin b+\sin a\cos b=\sin(a+b)}$

мы можем получить

${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$

Другими словами, абсолютные значения умножаются, а аргументы складываются, чтобы получить полярную форму продукта. Например, умножение на i соответствует четверти оборота против часовой стрелки, что дает i ² = −1 . Картинка справа иллюстрирует умножение

${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$

Поскольку действительная и мнимая части 5 + 5 i равны, аргумент этого числа равен 45 градусам или π / 4 (в радианах ). С другой стороны, это также сумма углов в начале координат красного и синего треугольников: arctan (1/3) и arctan (1/2), соответственно. Таким образом, формула

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$

держит. Поскольку функция arctan может быть аппроксимирована очень эффективно, такие формулы - известные как формулы типа Мачина - используются для высокоточных приближений π .

Точно так же деление дается

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}$

Квадратный корень [ править ]

Квадратные корни из a + bi (при b ≠ 0 ) равны , где${\displaystyle \pm (\gamma +\delta i)}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

и

${\displaystyle \delta =(\operatorname {sgn} b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}$

где sgn - сигнум- функция. Это можно увидеть, возведя в квадрат для получения a + bi . ^{[43] [44]} Здесь называется модуль из + би , а корень квадратный знак указывает на квадратный корень с неотрицательной вещественной частью, называется главным квадратным корнем ; также где z = a + bi . ^[45]${\displaystyle \pm (\gamma +\delta i)}$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {z{\overline {z}}}},}$

Экспоненциальная функция [ править ]

Экспоненциальная функция может быть определена для каждого комплексного числа г в степенной ряд${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto \exp z}$

${\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},}$

имеющий бесконечный радиус сходимости .

Значение 1 экспоненциальной функции - это число Эйлера.

${\displaystyle e=\exp 1=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\approx 2.71828.}$

Если z вещественно, аналитическое продолжение позволяет расширить это равенство для каждого комплексного значения z и, таким образом, определить комплексное возведение в степень с основанием e как${\displaystyle \exp z=e^{z}.}$

${\displaystyle e^{z}=\exp z.}$

Функциональное уравнение [ править ]

Экспоненциальная функция удовлетворяет функциональному уравнению. Это можно доказать либо путем сравнения разложения обоих членов в степенной ряд, либо путем применения аналитического продолжения от ограничения уравнения к действительным аргументам.${\displaystyle e^{z+t}=e^{z}e^{t}.}$

Формула Эйлера [ править ]

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа y ,

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y.}$

Таким образом, из функционального уравнения следует, что если x и y действительны, то

${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y,}$

которая представляет собой разложение экспоненциальной функции на действительную и мнимую части.

Комплексный логарифм [ править ]

В реальном случае натуральный логарифм может быть определен как величина, обратная экспоненциальной функции. Чтобы распространить это на комплексную область, можно начать с формулы Эйлера. Это означает, что если комплексное число записано в полярной форме${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{\times }}$

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

с потом с${\displaystyle r,\varphi \in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \ln z=\ln r+i\varphi }$

в качестве комплексного логарифма есть собственно обратный:

${\displaystyle \exp \ln z=\exp(\ln r+i\varphi )=r\exp i\varphi =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=z.}$

Однако, поскольку косинус и синус являются периодическими функциями, добавление к φ целого числа, кратного 2 π , не изменяет z . Например, e ^iπ = e ^{3 iπ} = -1 , поэтому как iπ , так и 3 iπ являются возможными значениями натурального логарифма −1 .

Следовательно, если комплексный логарифм не следует определять как многозначную функцию

${\displaystyle \ln z=\left\{\ln r+i(\varphi +2\pi k)\mid k\in \mathbb {Z} \right\},}$

нужно использовать разрез ветвей и ограничить область значений , в результате чего получится биективная функция

${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,(\!-\pi ,\pi ].}$

Если не является неположительным действительным числом (положительным или не действительным числом), результирующее главное значение комплексного логарифма получается с - π < φ < π . Это аналитическая функция за пределами отрицательных действительных чисел, но ее нельзя продолжить до функции, которая является непрерывной для любого отрицательного действительного числа , где главное значение равно ln z = ln (- z ) + iπ . ^[я]${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus {\bigl (}\!\!-\!\mathbb {R} _{\geq 0}{\bigr )}}$${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$

Возведение в степень [ править ]

Если x > 0 вещественное, а z комплексное, возведение в степень определяется как

${\displaystyle x^{z}=e^{z\ln x},}$

где ln обозначает натуральный логарифм.

Кажется естественным распространить эту формулу на комплексные значения x , но возникают некоторые трудности, связанные с тем, что комплексный логарифм на самом деле не функция, а многозначная функция .

Отсюда следует, что если z такое же, как указано выше, и если t - другое комплексное число, то возведение в степень - это многозначная функция

${\displaystyle z^{t}=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+2\pi kt)+i\sin(\varphi t+2\pi kt))\}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}$

Целочисленные и дробные показатели [ править ]

Если в предыдущей формуле t - целое число, то синус и косинус не зависят от k . Таким образом, если показатель степени n является целым числом, тогда z ⁿ хорошо определено, и формула возведения в степень упрощается до формулы де Муавра :

${\displaystyle z^{n}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$

П п й корни из комплексного числа г задается

${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$

для 0 ≤ k ≤ n - 1 . (Вот обычный (положительный) корень n- й степени из положительного действительного числа r .) Поскольку синус и косинус периодичны, другие целые значения k не дают других значений.${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$

Хотя корень n- й степени положительного действительного числа r выбран как положительное действительное число c, удовлетворяющее c ⁿ = r , естественного способа отличить один конкретный комплексный корень n- й степени комплексного числа не существует. Следовательно, корень n- й степени является n- значной функцией от z . Это означает, что, в отличие от положительных действительных чисел,

${\displaystyle (z^{n})^{1/n}\neq z,}$

так как левая часть состоит из n значений, а правая часть - это одно значение.

Свойства [ править ]

Структура поля [ править ]

Набор комплексных чисел ℂ представляет собой поле . ^[46] Вкратце, это означает, что верны следующие факты: во-первых, любые два комплексных числа можно сложить и умножить, чтобы получить другое комплексное число. Во-вторых, для любого комплексного числа z его аддитивный обратный - z также является комплексным числом; и, в-третьих, каждое ненулевое комплексное число имеет обратное комплексное число. Более того, эти операции удовлетворяют ряду законов, например закону коммутативности сложения и умножения для любых двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ :

${\displaystyle z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1},}$

${\displaystyle z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}.}$

Эти два закона и другие требования к полю можно доказать с помощью приведенных выше формул, используя тот факт, что действительные числа сами по себе образуют поле.

В отличие от вещественных чисел, ℂ не является упорядоченным полем , то есть невозможно определить отношение z ₁ < z ₂ , совместимое со сложением и умножением. Фактически, в любом упорядоченном поле квадрат любого элемента обязательно положителен, поэтому i ² = −1 исключает существование упорядочения на ℂ . ^[47]

Когда базовым полем математической темы или конструкции является поле комплексных чисел, название темы обычно изменяется, чтобы отразить этот факт. Например: комплексный анализ , комплексная матрица , комплексный многочлен и комплексная алгебра Ли .

Решения полиномиальных уравнений [ править ]

Для любых комплексных чисел (называемых коэффициентами ) a ₀ , ...,  a _n уравнение

${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$

имеет хотя бы одно комплексное решение z при условии, что хотя бы один из старших коэффициентов a ₁ , ...,  a _n отличен от нуля. ^{[7] ( VIII.1 )} Это утверждение основной теоремы алгебры , из Гаусс и Д'Аламбера . В связи с этим поле называется алгебраически замкнутым полем . Это свойство не выполняется для поля рациональных чисел ℚ (многочлен x ² - 2 не имеет рационального корня, поскольку √ 2не является рациональным числом), ни действительными числами ℝ (многочлен x ² + a не имеет действительного корня при a > 0 , поскольку квадрат x положителен для любого действительного числа x ).

Существуют различные доказательства этой теоремы либо аналитическими методами, такими как теорема Лиувилля , либо топологическими методами, такими как число поворота , либо доказательством, сочетающим теорию Галуа и тот факт, что любой действительный многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

По этой причине к ℂ применимы теоремы, справедливые для любого алгебраически замкнутого поля . Например, любая непустая комплексная квадратная матрица имеет хотя бы одно (комплексное) собственное значение .

Алгебраическая характеристика [ править ]

Поле ℂ имеет следующие три свойства:

• Во-первых, он имеет характеристику 0. Это означает, что 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 для любого количества слагаемых (все из которых равны одному).
• Во- вторых, его степень трансцендентности над ℚ , то простое поле из ℂ , является мощность континуума .
• В-третьих, он алгебраически замкнут (см. Выше).

Можно показать , что любое поле , имеющее эти свойства является изоморфно (как поле) , чтобы ℂ . Например, алгебраическое замыкание поля ℚ p также удовлетворяет этим трем свойствам, поэтому эти два поля изоморфны (как поля, но не как топологические поля). ^[48] Кроме того, изоморфно полю комплексных рядов Пюизо . Однако для задания изоморфизма требуется аксиома выбора . Другим следствием этой алгебраической характеристики является то , что ℂ содержит много правильных подполя, которые изоморфны ℂ .

Характеристика как топологическое поле [ править ]

Предшествующая характеристика ℂ описывает только алгебраические аспекты ℂ . Иными словами, свойства близости и непрерывности , которые имеют значение в таких областях, как анализ и топология , не рассматриваются. Следующее ниже описание ℂ как топологического поля (то есть поля, снабженного топологией , допускающей понятие сходимости) действительно учитывает топологические свойства. ℂ содержит подмножество P (а именно множество положительных действительных чисел) ненулевых элементов, удовлетворяющих следующим трем условиям:

• P замкнут относительно сложения, умножения и взятия обратных.
• Если х и у являются отдельными элементами P , то либо х - у или у - х в Р .
• Если S - любое непустое подмножество P , то S + P = x + P для некоторого x из ℂ .

Кроме того, ℂ имеет ненулевой инволютивный автоморфизм х н- х * (а именно комплексное сопряжение), такое , что х х * находится в P для любого ненулевых х в ℂ .

Любое поле F с этими свойствами можно снабдить топологией, взяв множества B ( x ,  p ) = {  y | р - ( у - х ) ( у - х ) * ∈ P  }  в качестве основания , где х пробегает поле и р пробегает Р . С помощью этой топологии F изоморфно как топологическое поле для ℂ .

Единственный связанные локально компактные топологические поля являются ℝ и ℂ . Это дает еще одну характеристику ℂ как топологическое поле, так как ℂ можно отличить от ℝ , так как от нуля комплексных числа соединены , в то время как действительные числа , отличные от нуля не являются. ^{[7] ( §VIII.4 )}

Формальная конструкция [ править ]

Строительство в виде упорядоченных пар [ править ]

Уильям Роуэн Гамильтон представил подход для определения набора ℂ комплексных чисел ^[49] в качестве множества ℝ ² из упорядоченных пар ( ,  б ) действительных чисел, в которых наложены следующие правила сложения и умножения: ^[46]

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac-bd,bc+ad).\end{aligned}}}$

Тогда это просто вопрос обозначений, чтобы выразить ( a ,  b ) как a + bi .

Строительство как поле частного [ править ]

Хотя эта низкоуровневая конструкция действительно точно описывает структуру комплексных чисел, следующее эквивалентное определение сразу раскрывает алгебраическую природу ℂ . Эта характеристика основана на понятии полей и многочленов. Поле - это набор, наделенный операциями сложения, вычитания, умножения и деления, которые ведут себя так же, как, например, по рациональным числам. Например, закон распределения

${\displaystyle (x+y)z=xz+yz}$

должно выполняться для любых трех элементов x , y и z поля. Множество ℝ действительных чисел действительно образует поле. Многочлен p ( X ) с действительными коэффициентами - это выражение вида

${\displaystyle a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$

где a ₀ , ...,  a _n - действительные числа. Обычное сложение и умножение многочленов наделяет множество ℝ [ X ] всех таких многочленов кольцевой структурой. Это кольцо называется кольцом многочленов над действительными числами.

Набор комплексных чисел определяется как факторкольцо ℝ [ X ] / ( X ² + 1) . ^{[7] ( §VIII.1 )} Это поле расширения содержит два квадратных корня из −1 , а именно ( смежные классы ) X и - X соответственно. (Смежные классы) 1 и X образуют базис ℝ [ X ] / ( X ² + 1) как вещественное векторное пространство , что означает, что каждый элемент поля расширения может быть однозначно записан как линейная комбинацияв этих двух элементах. Эквивалентно, элементы поля расширения могут быть записаны как упорядоченные пары ( a ,  b ) действительных чисел. Фактор - кольцо представляет собой поле, так как X ² + 1 является неприводимым над ℝ , поэтому идеал он генерирует является максимальным .

Формулы сложения и умножения в кольце ℝ [ X ] по модулю отношения X ² = −1 соответствуют формулам сложения и умножения комплексных чисел, определенных как упорядоченные пары. Таким образом, два определения поля ℂ являются изоморфными (как поля).

Признание того, что ℂ алгебраически замкнуто, так как он является алгебраическим расширением из ℝ в этом подходе, ℂ поэтому является алгебраическим замыканием в ℝ .

Матричное представление комплексных чисел [ править ]

Комплексные числа a + bi также могут быть представлены матрицами 2 × 2, которые имеют вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}.}$

Здесь записи a и b - действительные числа. Поскольку сумма и произведение двух таких матриц снова имеют эту форму, эти матрицы образуют подкольцо кольцевых матриц 2 × 2 .

Простое вычисление показывает, что карта

${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$

является кольцевым изоморфизмом поля комплексных чисел в кольцо этих матриц. Этот изоморфизм связывает квадрат абсолютного значения комплексного числа с определителем соответствующей матрицы и сопряжение комплексного числа с транспонированной матрицей.

Действие матрицы на вектор ( x , y ) соответствует умножению x + iy на a + ib . В частности, если определитель равен 1 , существует действительное число t такое, что матрица имеет вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}r\cos t&r\sin t\\-r\sin t&r\cos t\end{pmatrix}}.}$

В этом случае действие матрицы на векторы и умножение на комплексное число являются поворотом на угол t .${\displaystyle \cos t+i\sin t}$

Комплексный анализ [ править ]

Изучение функций комплексной переменной известно как комплексный анализ и имеет огромное практическое применение в прикладной математике, а также в других областях математики. Часто наиболее естественные доказательства утверждений реального анализа или даже теории чисел используют методы комплексного анализа (см. Пример теоремы о простых числах ). В отличие от реальных функций, которые обычно представлены в виде двумерных графиков, сложные функции имеют четырехмерные графики и могут быть с пользой проиллюстрированы путем цветового кодирования трехмерного графика, чтобы предложить четыре измерения, или путем анимации динамического преобразования сложной функции комплексная плоскость.

Сложные экспоненциальные и связанные с ними функции [ править ]

Понятия сходящихся рядов и непрерывных функций в (реальном) анализе имеют естественные аналоги в комплексном анализе. Говорят, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части сходятся . Это эквивалентно (ε, δ) -определению пределов , где абсолютное значение действительных чисел заменяется модулем комплексных чисел. С более абстрактной точки зрения, ℂ с метрикой

${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$

является полным метрическим пространством , которое, в частности, включает неравенство треугольника

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$

для любых двух комплексных чисел z ₁ и z ₂ .

Как и в реальном анализе, это понятие сходимости используется для построения ряда элементарных функций : экспоненциальная функция exp z , также обозначаемая как e ^z , определяется как бесконечный ряд

${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Ряды, определяющие действительные тригонометрические функции синуса и косинуса , а также гиперболические функции sinh и cosh, также переносятся на сложные аргументы без изменений. Для других тригонометрических и гиперболических функций, таких как касательная , все немного сложнее, так как определяющие ряды не сходятся для всех комплексных значений. Следовательно, нужно определить их либо в терминах синуса, косинуса и экспоненты, либо, что то же самое, с помощью метода аналитического продолжения .

Формула Эйлера гласит:

${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$

для любого действительного числа φ , в частности

${\displaystyle \exp(i\pi )=-1}$

В отличие от ситуации с действительными числами, существует бесконечное множество комплексных решений z уравнения

${\displaystyle \exp z=w}$

для любого комплексного числа w ≠ 0 . Можно показать , что любое такое решение г - называется комплекс логарифм из ш - удовлетворяет

${\displaystyle \log w=\ln |w|+i\arg w,}$

где arg - аргумент, определенный выше , а ln (действительный) натуральный логарифм . Поскольку arg - многозначная функция , уникальная только с точностью, кратной 2 π , log также многозначна. Главное значение log часто берется путем ограничения мнимой части интервалом (- π , π ] .

Комплексное возведение в степень z ^ω определяется как

${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \log z),}$

и является многозначным, кроме случая, когда ω является целым числом. При ω = 1 / n для некоторого натурального числа n это восстанавливает неединственность корней n- й степени, упомянутую выше.

Комплексные числа, в отличие от действительных чисел, в целом не удовлетворяют неизменным тождествам мощности и логарифма, особенно когда их наивно трактуют как однозначные функции; увидеть отказ власти и тождества логарифма . Например, они не удовлетворяют

${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$

Обе части уравнения многозначны в соответствии с определением комплексного возведения в степень, данным здесь, а значения слева являются подмножеством значений справа.

Голоморфные функции [ править ]

Функция f  : ℂ → ℂ называется голоморфной, если она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана . Например, любое ℝ-линейное отображение ℂ → ℂ можно записать в виде

${\displaystyle f(z)=az+b{\overline {z}}}$

с комплексными коэффициентами a и b . Это отображение голоморфно тогда и только тогда, когда b = 0 . Второе слагаемое вещественно дифференцируемо, но не удовлетворяет уравнениям Коши – Римана .${\displaystyle b{\overline {z}}}$

Комплексный анализ показывает некоторые особенности, не очевидные при реальном анализе. Так , например, любые две голоморфные функции F и г , которые согласны на сколь угодно малое открытое подмножестве из ℂ обязательно согласны везде. Мероморфные функции , функции, которые могут быть записаны локально как f ( z ) / ( z - z ₀ ) ⁿ с голоморфной функцией f , по-прежнему обладают некоторыми чертами голоморфных функций. Другие функции имеют существенные особенности , такие как sin (1 / z ) при z = 0.

Приложения [ править ]

Комплексные числа находят применение во многих научных областях, включая обработку сигналов , теорию управления , электромагнетизм , гидродинамику , квантовую механику , картографию и анализ вибрации . Некоторые из этих приложений описаны ниже.

Геометрия [ править ]

Фигуры [ править ]

Три неколлинеарные точки на плоскости определяют форму треугольника . Располагая точки на комплексной плоскости, эта форма треугольника может быть выражена комплексной арифметикой как${\displaystyle u,v,w}$${\displaystyle \{u,v,w\}}$

${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$

Форма треугольника останется прежней, когда комплексная плоскость трансформируется путем сдвига или растяжения ( аффинного преобразования ), что соответствует интуитивному представлению о форме и описывает подобие . Таким образом, каждый треугольник относится к классу подобия треугольников одинаковой формы. ^[50]${\displaystyle S}$${\displaystyle \{u,v,w\}}$

Фрактальная геометрия [ править ]

Множество Мандельброта является популярным примером фрактала , образованного на комплексной плоскости. Он определяется путем нанесения на график каждого места, где итерация последовательности не расходится при бесконечной итерации . Точно так же наборы Julia имеют те же правила, за исключением случаев, когда остается постоянным.${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle c}$

Треугольники [ править ]

Каждый треугольник имеет уникальный эллипс Штейнера - эллипс внутри треугольника, касательный к серединам трех сторон треугольника. Очаги из Эллипс Штейнера треугольника можно найти следующим образом , согласно теореме МАРДЕН в : ^{[51] [52]} Обозначим вершины треугольника в комплексной плоскости, в = х _А + у _А я , Ь = х _B + у _B I , и c = x _C + y _C i. Напишите кубическое уравнение , возьмите его производную и приравняйте (квадратичную) производную нулю. Теорема Мардена гласит, что решениями этого уравнения являются комплексные числа, обозначающие местоположения двух фокусов эллипса Штейнера.${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$

Алгебраическая теория чисел [ править ]

Как упоминалось выше, любое непостоянное полиномиальное уравнение (с комплексными коэффициентами) имеет решение в ℂ . А тем более то же самое верно, если уравнение имеет рациональные коэффициенты. Корни таких уравнений называются алгебраическими числами - они являются основным объектом изучения алгебраической теории чисел . По сравнению с ℚ , алгебраическим замыканием ℚ , который также содержит все алгебраические числа, ℂ имеет то преимущество, что легко понять , в геометрических терминах. Таким образом, алгебраические методы могут использоваться для изучения геометрических вопросов и наоборот. С помощью алгебраических методов, в частности, применяя механизмы теории поля к числовому полюсодержащий корни из единицы , можно показать, что невозможно построить правильный шестиугольник, используя только циркуль и линейку - это чисто геометрическая задача.

Другой пример - гауссовские целые числа , то есть числа вида x + iy , где x и y - целые числа, которые можно использовать для классификации сумм квадратов .

Аналитическая теория чисел [ править ]

Аналитическая теория чисел изучает числа, часто целые или рациональные, используя тот факт, что их можно рассматривать как комплексные числа, в которых могут использоваться аналитические методы. Это делается путем кодирования теоретико-числовой информации в комплекснозначных функциях. Например, дзета-функция Римана ζ ( s ) связана с распределением простых чисел .

Неправильные интегралы [ править ]

В прикладных областях комплексные числа часто используются для вычисления некоторых действительных несобственных интегралов с помощью комплексных функций. Для этого существует несколько методов; см. методы контурной интеграции .

Динамические уравнения [ править ]

В дифференциальных уравнений , обычно сначала найти все комплексные корни г из характеристического уравнения в виде линейного дифференциального уравнения или системы уравнений , а затем пытаться решить систему в терминах базовых функций вида F ( т ) = е ^кт . Аналогичным образом, в разностных уравнениях используются комплексные корни r характеристического уравнения системы разностных уравнений, чтобы попытаться решить систему в терминах основных функций вида f ( t ) = r ^t .

В прикладной математике [ править ]

Теория управления [ править ]

В теории управления системы часто преобразуются из временной области в частотную с помощью преобразования Лапласа . Затем на комплексной плоскости анализируются нули и полюсы системы . Корень локус , афчй и участок Николс техника все делают использование комплексной плоскости.

В методе корневого годографа важно, находятся ли нули и полюсы в левой или правой полуплоскостях, то есть имеют действительную часть больше или меньше нуля. Если линейная, инвариантная во времени (LTI) система имеет полюса, которые

• в правой полуплоскости будет нестабильно ,
• все в левой полуплоскости, будет стабильно ,
• на мнимой оси он будет иметь предельную стабильность .

Если система имеет нули в правой полуплоскости, это неминимальная фазовая система.

Анализ сигналов [ править ]

Комплексные числа используются в анализе сигналов и других полях для удобного описания периодически меняющихся сигналов. Для заданных реальных функций, представляющих реальные физические величины, часто в терминах синусов и косинусов, рассматриваются соответствующие комплексные функции, действительные части которых являются исходными величинами. Для синусоиды заданной частоты абсолютное значение | z | соответствующего z - амплитуда, а аргумент arg z - фаза .

Если анализ Фурье используется для записи заданного действительного сигнала в виде суммы периодических функций, эти периодические функции часто записываются как комплексные функции вида

${\displaystyle x(t)=\operatorname {\mathcal {Re}} \{X(t)\}}$

и

${\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}$

где ω представляет угловую частоту, а комплексное число A кодирует фазу и амплитуду, как объяснено выше.

Это использование также распространяется на цифровую обработку сигналов и цифровую обработку изображений , которые используют цифровые версии анализа Фурье (и вейвлет- анализа) для передачи, сжатия , восстановления и иной обработки цифровых аудиосигналов , неподвижных изображений и видеосигналов .

Другой пример, относящийся к двум боковым полосам амплитудной модуляции AM-радио:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {\mathcal {Re}} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {\mathcal {Re}} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {\mathcal {Re}} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {\mathcal {Re}} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}$

В физике [ править ]

Электромагнетизм и электротехника [ править ]

В электротехнике , то преобразование Фурье используется для анализа различных напряжений и токов . Обработка резисторов , конденсаторов и катушек индуктивности затем может быть унифицирована путем введения мнимых частотно-зависимых сопротивлений для последних двух и объединения всех трех в одно комплексное число, называемое импедансом . Такой подход называется фазорным исчислением.

В электротехнике мнимая единица обозначается j , чтобы избежать путаницы с I , который обычно используется для обозначения электрического тока , или, более конкретно, i , который обычно используется для обозначения мгновенного электрического тока.

Поскольку напряжение в цепи переменного тока колеблется, его можно представить как

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}$

Для получения измеряемой величины берется действительная часть:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {Re}} (V)=\operatorname {\mathcal {Re}} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}$

Комплексный сигнал V ( t ) называется аналитическим представлением действительного измеримого сигнала v ( t ) .^[53]

Гидродинамика [ править ]

В гидродинамике сложные функции используются для описания потенциального потока в двух измерениях .

Квантовая механика [ править ]

Поле комплексных чисел является неотъемлемой частью математических формулировок квантовой механики , где комплексные гильбертовы пространства обеспечивают контекст для одной такой формулировки, которая является удобной и, возможно, наиболее стандартной. Исходные формулы квантовой механики - уравнение Шредингера и матричная механика Гейзенберга - используют комплексные числа.

Относительность [ править ]

В специальной и общей теории относительности некоторые формулы для метрики пространства-времени упрощаются, если принять временную составляющую пространственно-временного континуума как мнимую. (Этот подход больше не является стандартным в классической теории относительности, но существенно используется в квантовой теории поля .) Комплексные числа важны для спиноров , которые являются обобщением тензоров, используемых в теории относительности.

Обобщения и связанные с ними понятия [ править ]

Процесс расширения поля вещественных чисел до известного как конструкция Кэли-Диксона . Он может быть перенесен в более высокие измерения, давая кватернионы и октонионы, которые (как реальное векторное пространство) имеют размерность 4 и 8 соответственно. В этом контексте комплексные числа были названы бинарионами . ^[54]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Подобно тому, как при применении конструкции к вещественным числам теряется свойство упорядочения , свойства, известные по действительным и комплексным числам, исчезают с каждым расширением. В кватернионы проигрывают коммутативности, то есть х · у ≠ у · х для некоторых кватернионов х ,  у , а умножение октонионов , дополнительно не является коммутативной, не может быть ассоциативно: ( х · у ) · г ≠ х · ( y · z ) для некоторых октонионов x ,  y,  Г .

Действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы - все это нормированные алгебры с делением над По теореме Гурвица они единственные; в sedenions , следующий шаг в строительстве Кэли-Диксона, не иметь эту структуру.${\displaystyle \mathbb {R} }$

Конструкция Кэлей-Диксон тесно связана с регулярным представлением о мысли как - алгебра ( ℝ -векторного пространства с умножением), по отношению к основе (1,  я ) . Это означает следующее: -линейная карта${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$

для некоторого фиксированного комплексного числа w может быть представлена матрицей 2 × 2 (после выбора базиса). Относительно базиса (1,  i ) эта матрица имеет вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {\mathcal {Re}} (w)&-\operatorname {\mathcal {Im}} (w)\\\operatorname {\mathcal {Im}} (w)&\operatorname {\mathcal {Re}} (w)\end{pmatrix}},}$

то есть тот, который упомянут в разделе о матричном представлении комплексных чисел выше. В то время как это линейное представление о в 2 × 2 вещественных матриц, это не только один. Любая матрица${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$

обладает тем свойством , что его квадрат является отрицательной единичной матрицы: J ² = - я . потом

${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$

также изоморфен полю и дает альтернативную сложную структуру на. Это обобщается понятием линейной комплексной структуры .${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Гиперкомплексные числа также являются обобщением, и, например, это понятие содержит расщепленные комплексные числа , которые являются элементами кольца (в отличие от комплексных чисел). В этом кольце уравнение a ² = 1 имеет четыре решения.${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} .}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

Поле является завершением поля рациональных чисел относительно обычной метрики абсолютного значения . Другие выборы метрик на приводят к полям из р -адических чисел (для любого простого числа р ), которые , таким образом , аналогично ℝ . Там нет других нетривиальных способов завершения , чем и по теореме Островского . Алгебраические замыкания по- прежнему несут норму, но (в отличие от ) не полны относительно нее. Завершение из${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$оказывается алгебраически замкнутым. По аналогии это поле называется p -адическими комплексными числами.

Поля и их конечные полевые расширения, в том числе , называются локальными полями .${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме комплексных чисел .

• Алгебраическая поверхность
• Круговое движение с использованием комплексных чисел
• Комплексно-базовая система
• Сложная геометрия
• Двойное комплексное число
• Целое число Эйзенштейна
• Тождество Эйлера
• Геометрическая алгебра (которая включает комплексную плоскость как двумерное спинорное подпространство )${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$
• Корень единства
• Комплексное число единицы

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]