Воображаемая единица

i в комплексной или декартовой плоскости. Действительные числа лежат на горизонтальной оси, а мнимые числа - на вертикальной оси.

Мнимая единица или единица мнимое число ( я ) является решением квадратного уравнения х ² + 1 = 0 . Хотя с этим свойством нет действительного числа , i можно использовать для расширения действительных чисел до так называемых комплексных чисел , используя сложение и умножение . Простой пример использования i в комплексном числе - 2 + 3 i .

Мнимые числа являются важным математическим понятием, которое расширяет систему действительных чисел ℝ до комплексной системы чисел , в которой существует по крайней мере один корень для каждого непостоянного многочлена (см. Алгебраическое замыкание и Фундаментальную теорему алгебры ). Здесь термин «мнимый» используется потому, что не существует действительного числа с отрицательным квадратом .

Есть два комплексных квадратных корня из -1 , а именно i и - i , точно так же, как есть два комплексных квадратных корня из каждого действительного числа, кроме нуля (которое имеет один двойной квадратный корень ).

В контекстах, в которых использование буквы i неоднозначно или проблематично, вместо нее иногда используется буква j или греческое ι . ^[а] Например, в области электротехники и управления инженерных систем , мнимая единица обычно обозначается J вместо I , потому что я обычно используется для обозначения электрического тока .

Для истории воображаемой единицы см. Комплексное число § История .

Определение [ править ]

Мнимое число i определяется исключительно тем свойством, что его квадрат равен −1:

${\ displaystyle i ^ {2} = - 1 ~.}$

При таком определении i прямо из алгебры следует, что + i и - i являются квадратными корнями из −1.

Хотя конструкция называется «мнимой», и хотя понятие мнимого числа может быть интуитивно сложнее для понимания, чем концепция действительного числа, конструкция совершенно верна с математической точки зрения. Операции с вещественными числами можно расширить до мнимых и комплексных чисел, рассматривая i как неизвестную величину при манипулировании выражением (и используя определение для замены любого вхождения i ² на -1). Более высокие целые степени i также можно заменить на - i , +1, + i или −1:

${\ Displaystyle я ^ {3} = я ^ {2} я = (- 1) я = -i}$

${\ Displaystyle я ^ {4} = я ^ {3} я = (- я) я = - (я ^ {2}) = - (- 1) = 1}$ или, что то же самое, ${\ Displaystyle я ^ {4} = (я ^ {2}) (я ^ {2}) = (- 1) (- 1) = 1}$

${\ Displaystyle я ^ {5} = я ^ {4} я = (1) я = я}$

Точно так же, как и с любым ненулевым действительным числом:

${\displaystyle i^{0}=i^{+1-1}=i^{+1}i^{-1}=i^{+1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1}$

В качестве комплексного числа, я представлена в прямоугольной форме , как 0 + 1 I , с нулевой действительной составляющей и мнимой составляющей единицу. В полярной форме , я представлен как 1⋅ е ^{iπ / 2} (или просто электронная ^{iπ / 2} ), с абсолютным значением (или величиной) 1 и аргументом (или углом) П / 2 . В комплексной плоскости (также известной как плоскость Аргана), которая является специальной интерпретацией декартовой плоскости , i- точка, расположенная на расстоянии одной единицы от начала координат вдоль мнимой оси (которая ортогональна действительной оси ).

я против - я [ править ]

Будучи квадратичным многочленом без кратного корня , определяющее уравнение x ² = −1 имеет два различных решения, которые одинаково действительны и которые оказываются аддитивными и мультипликативными обратными друг другу. После того, как решение i уравнения было зафиксировано, значение - i , отличное от i , также является решением. Поскольку уравнение является единственным определением i , оказывается, что определение неоднозначно (точнее, не вполне определено).). Однако двусмысленности не будет, если одно или другое решение будет выбрано и обозначено как « i », а другое будет обозначено как - i . ^{[3] В} конце концов, хотя - i и + i не эквивалентны количественно (они являются отрицательными по отношению друг к другу), между + i и - i нет алгебраической разницы , поскольку оба мнимых числа имеют равные права на то, чтобы быть числом, квадрат которого равно -1.

Фактически, если бы все математические учебники и опубликованная литература, относящиеся к мнимым или комплексным числам, были бы переписаны с - i, заменяя каждое вхождение + i (и, следовательно, каждое появление - i заменено на - (- i ) = + i ), все факты и теоремы останутся в силе. Различие между двумя корнями x из x ² + 1 = 0 , один из которых помечен знаком минус, является чисто условным реликтом; ни один из корней нельзя назвать более первичным или фундаментальным, чем другой, и ни один из них не является «положительным» или «отрицательным». ^[4]

Проблема может быть тонкой: наиболее точное объяснение состоит в том, чтобы сказать, что хотя комплексное поле , определенное как ℝ [ x ] / ( x ² + 1) (см. Комплексное число ), уникально с точностью до изоморфизма , оно не является уникальным. до уникального изоморфизма: Есть ровно два поля автоморфизмов из ℝ [ х ] / ( х ² + 1) которые держат каждое вещественное число Fixed: идентичность и автоморфизм посылки х к - х . Подробнее см.комплексно сопряженная и группа Галуа .

Матрицы [ править ]

Аналогичная проблема возникает, если комплексные числа интерпретируются как вещественные матрицы 2 × 2 (см. Матричное представление комплексных чисел ), потому что тогда оба

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}$     и     ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}\;\;0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

были бы решениями матричного уравнения

${\displaystyle X^{2}=-I=-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&\;\;0\\\;\;0&-1\end{pmatrix}}.}$

В этом случае неоднозначность возникает из-за геометрического выбора того, какое «направление» вокруг единичной окружности является «положительным» вращением. Более точное объяснение состоит в том, чтобы сказать , что группа автоморфизмов из специальной ортогональной группы SO (2, ℝ ) имеет ровно два элемента: идентичность и автоморфизм, обмен «CW» ( по часовой стрелке) и «CCW» (против часовой стрелки) вращения . Для получения дополнительной информации см. Ортогональная группа .

Все эти неоднозначности можно решить, приняв более строгое определение комплексного числа и явно выбрав одно из решений уравнения в качестве мнимой единицы. Например, упорядоченная пара (0, 1) в обычном построении комплексных чисел с двумерными векторами.

Рассмотрим матричное уравнение Здесь z ² + xy = -1 , поэтому произведение xy отрицательно, потому что xy = - (1 + z ² ) , поэтому точка ( x , y ) лежит в квадранте II или IV. Более того,${\displaystyle {\begin{pmatrix}z&x\\y&-z\end{pmatrix}}^{2}\!\!={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle z^{2}=-(1+xy)\geq 0\implies xy\leq -1}$

поэтому ( x , y ) ограничено гиперболой xy = –1 .

Правильное использование [ править ]

Мнимая единица иногда записывается как √ −1  в контексте продвинутой математики ^[3] (а также в менее продвинутых популярных текстах). Однако при манипуляциях с формулами, содержащими радикалы, необходимо соблюдать большую осторожность . Обозначение знака радикала зарезервировано либо для функции главного квадратного корня, которая определена только для действительного x ≥ 0 , либо для главной ветви функции комплексного квадратного корня. Попытка применить правила вычисления функции основного (действительного) квадратного корня для управления главной ветвью функции комплексного квадратного корня может привести к ложным результатам: ^[5]

${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1\,}}\cdot {\sqrt {-1\,}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)\,}}={\sqrt {1\,}}=1\qquad (incorrect).}$

По аналогии:

${\displaystyle {\frac {1}{\,i\,}}={\frac {\sqrt {1\,}}{\,{\sqrt {-1\,}}\;}}={\sqrt {{\frac {1}{\,-1\;}}\,}}={\sqrt {{\frac {\,-1\;}{1}}\,}}={\sqrt {-1\,}}=i\qquad (incorrect).}$

Правила расчета

${\displaystyle {\sqrt {a\,}}\cdot {\sqrt {b\,}}={\sqrt {a\cdot b\,}}}$

и

${\displaystyle {\frac {\sqrt {a\,}}{\sqrt {b\,}}}={\sqrt {{\frac {\,a\,}{b}}\,}}}$

действительны только для реальных положительных значений a и b . ^{[6] [7] [8]}

Этих проблем можно избежать, написав и манипулируя выражениями типа i √ 7  , а не √ −7  . Для более подробного обсуждения см. Квадратный корень и точку ветвления .

Свойства [ править ]

Квадратные корни [ править ]

Как и у всех ненулевых комплексных чисел, у i есть два квадратных корня: это ^[b]

${\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2\,}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2\,}}{2}}(1+i).}$

Действительно, возведение обоих выражений в квадрат дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2\,}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2\,}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i~.\,\\\end{aligned}}}$

Используя знак радикала для главного квадратного корня , мы получаем:

${\displaystyle {\sqrt {i\,}}={\frac {\sqrt {2\,}}{2}}(1+i)~.}$

Кубические корни [ править ]

Три кубических корня из i :

${\displaystyle -i,}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {3\,}}{2}}+{\frac {i}{2}}\,,}$ и

${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3\,}}{2}}+{\frac {i}{2}}~.}$

Подобно всем корням 1 , все корни i являются вершинами правильных многоугольников , вписанных в единичную окружность комплексной плоскости.

Умножение и деление [ править ]

Умножение комплексного числа на i дает:

${\displaystyle i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai~.}$

(Это эквивалентно повороту вектора на 90 ° против часовой стрелки вокруг начала координат в комплексной плоскости.)

Разделив на I эквивалентно умножения на обратную часть I :

${\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i~.}$

Использование этого тождества для обобщения деления на i на все комплексные числа дает:

${\displaystyle {\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai~.}$

(Это эквивалентно повороту вектора на 90 ° по часовой стрелке вокруг начала координат в комплексной плоскости.)

Полномочия [ править ]

Степени i повторяются в цикле, который можно выразить следующим шаблоном, где n - любое целое число:

${\displaystyle i^{4n}=1}$

${\displaystyle i^{4n+1}=i}$

${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$

${\displaystyle i^{4n+3}=-i,}$

Это приводит к выводу, что

${\displaystyle i^{n}=i^{(n{\bmod {4}})}}$

где mod представляет собой операцию по модулю . Эквивалентно:

${\displaystyle i^{n}=\cos(n\pi /2)+i\sin(n\pi /2)}$

я возведен в степень i [ править ]

Используя формулу Эйлера , i ⁱ равно

${\displaystyle i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}}$

где k ∈ ℤ , множество целых чисел .

Главное значение (для k = 0 ) равно e ^{- π / 2} , или приблизительно 0,207879576. ^[10]

Факториал [ править ]

Факториал мнимой единицы я наиболее часто дается в терминах гаммы - функции , измеренной при 1 + я :

${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i~.}$

Также,

${\displaystyle |i!|={\sqrt {{\frac {\pi }{\,\sinh \pi \,}}\,}}}$^[11]

Другие операции [ править ]

Многие математические операции, которые могут быть выполнены с действительными числами, также могут выполняться с i , например, возведение в степень, корни, логарифмы и тригонометрические функции. Все следующие функции являются комплексными многозначными функциями , и на практике следует четко указать, на какой ветви римановой поверхности функция определяется. Ниже приведены результаты для наиболее часто выбираемой ветви.

Число в степени ni :

${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x)~.}$

П - ^й корень числа является:

${\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x\,}}=\cos \left({\frac {\ln x}{n}}\right)-i\sin \left({\frac {\ln x}{n}}\right)~.}$

Мнимая база логарифм ряда является:

${\displaystyle \log _{i}x={\frac {2\ln x}{i\pi }}~.}$

Как и любой комплексный логарифм , основание журнала i не определено однозначно.

Косинус от I вещественное число:

${\displaystyle \cos i=\cosh 1={\frac {e+1/e}{2}}={\frac {e^{2}+1}{2e}}\approx 1.54308064\ldots }$

И синус от I является чисто мнимым:

${\displaystyle \sin i=i\sinh 1={\frac {e-1/e}{2}}i={\frac {e^{2}-1}{2e}}i\approx (1.17520119\ldots )i~.}$

См. Также [ править ]

• Тождество Эйлера
• Математическая константа
• Кратность (математика)
• Корень единства
• Комплексное число единицы

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Нахин, Пол Дж. (1998). Воображаемая сказка: история i [квадратный корень минус один] . Чичестер: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02795-1 - через Archive.org.

Внешние ссылки [ править ]

• Эйлер, Леонард . «Мнимые корни многочленов» .у «Конвергенции» . mathdl.maa.org . Математическая ассоциация Америки. Архивировано из оригинала 13 июля 2007 года.