Алгебраическое замыкание

В математике , в частности абстрактной алгебры , в алгебраическом замыкании в виде поля К является алгебраическим расширением из K , которое алгебраически замкнуто . Это одно из многих замыканий в математике.

Используя лемму Цорна ^{[1] [2] [3]} или слабее ультрафильтр леммы , ^{[4] [5]} можно показать , что каждое поле имеет алгебраическое замыкание , и что алгебраическое замыкание поля К являются уникальным до изоморфизм , который фиксирует каждый член K . Из - за этой существенной уникальности, мы часто говорим о в алгебраическом замыкании К , а не с алгебраическим замыканием K .

Алгебраическое замыкание поля К можно рассматривать как самое большое алгебраическое расширение K . Чтобы убедиться в этом, заметим , что если L является любое алгебраическое расширение К , то алгебраическое замыкание L также алгебраическое замыкание K , и поэтому L содержится в алгебраическом замыкании К . Алгебраическое замыкание K также является наименьшим алгебраически замкнутым полем, содержащим K , потому что если M - любое алгебраически замкнутое поле, содержащее K , то элементы M , алгебраические над Kобразуют алгебраическое замыкание K .

Алгебраическое замыкание поля K имеет ту же мощность , как K , если К бесконечно, и счетное , если К конечна. ^[3]

Примеры [ править ]

• Основная теорема алгебры гласит , что алгебраическое замыкание поля вещественных чисел является полем комплексных чисел .
• Алгебраическое замыкание поля рациональных чисел - это поле алгебраических чисел .
• Внутри комплексных чисел имеется множество счетных алгебраически замкнутых полей, строго содержащих поле алгебраических чисел; это алгебраические замыкания трансцендентных расширений рациональных чисел, например алгебраическое замыкание Q (π).
• Для конечного поля порядка q степени простого числа алгебраическое замыкание - это счетно бесконечное поле, которое содержит копию поля порядка q ⁿ для каждого положительного целого числа n (и фактически является объединением этих копий). ^[6]

Существование алгебраических полей замыкания и разделения [ править ]

Пусть - множество всех монических неприводимых многочленов в K [ x ]. Для каждого введите новые переменные где . Пусть R - кольцо многочленов над K, порожденное для всех и всех . Написать${\displaystyle S=\{f_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}}$${\displaystyle f_{\lambda }\in S}$${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$${\displaystyle d={\rm {degree}}(f_{\lambda })}$${\displaystyle u_{\lambda ,i}}$${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$${\displaystyle i\leq {\rm {degree}}(f_{\lambda })}$

${\displaystyle f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]}$

с . Пусть I - идеал в R, порожденный . Поскольку я строго меньше R , леммы Цорна следует , что существует максимальный идеал М в R , содержащий I . Поле K ₁ = R / M обладает тем свойством, что каждый многочлен с коэффициентами из K расщепляется как произведение и, следовательно, имеет все корни из K ₁ . Таким же образом расширение K ₂ из K ₁${\displaystyle r_{\lambda ,j}\in R}$${\displaystyle r_{\lambda ,j}}$${\displaystyle f_{\lambda }}$${\displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M),}$могут быть построены и т. д. Объединение всех этих расширений является алгебраическим замыканием K , потому что любой многочлен с коэффициентами в этом новом поле имеет свои коэффициенты в некотором K _n с достаточно большим n , а затем его корни лежат в K _{n + 1} , а значит, и в самом союзе.

Можно показать , по той же схеме , что для любого подмножества S из K [ х ], существует поле разложения из S над K .

Раздельное закрытие [ править ]

Алгебраическое замыкание К ^ALG из K содержит уникальный разъемные расширения K ^сно из K , содержащие все (алгебраические) отделимые расширения из K в пределах K ^ALG . Это подрасширение называется сепарабельное замыкание в K . Поскольку сепарабельное расширение сепарабельного расширения снова сепарабельно, не существует конечных сепарабельных расширений K ^sep степени> 1. Другими словами, K содержится в сепарабельно-замкнутом поле алгебраических расширений. Он уникален ( доизоморфизм). ^[7]

Сепарабельное замыкание является полным алгебраическим замыканием тогда и только тогда, когда K - совершенное поле . Например, если K - поле характеристики p и если X трансцендентно над K , это неразделимое алгебраическое расширение поля.${\displaystyle K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)}$

В общем, абсолютная группа Галуа из K является группа Галуа K ^сен над K . ^[8]

См. Также [ править ]

• Алгебраически замкнутое поле
• Алгебраическое расширение
• Расширение Puiseux
• Заполните поле

Ссылки [ править ]

• Каплански, Ирвинг (1972). Поля и кольца . Чикагские лекции по математике (второе изд.). Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-42451-0. Zbl  1001.16500 .
• Маккарти, Пол Дж. (1991). Алгебраические расширения полей (Исправленное переиздание 2-го изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. Zbl  0768.12001 .