В математической области теории множеств , ультрафильтр является максимальным собственным фильтром : это фильтр на заданном непустом множестве что определенный тип непустого семейства подмножеств изчто не равно установленной мощности из (такие фильтры называются собственными ), и это также является «максимальным» в том смысле, что не существует другого подходящего фильтра накоторый содержит его как собственное подмножество . Другими словами, правильный фильтрназывается ультрафильтром, если существует ровно один правильный фильтр, который содержит его как подмножество, причем этот правильный фильтр (обязательно) является сам.
Более формально ультрафильтр на - правильный фильтр, который также является максимальным фильтром наотносительно включения множества , что означает, что не существует подходящего фильтра на это содержит как собственное подмножество . Ультрафильтры на наборах являются важным частным случаем ультрафильтров на частично упорядоченных наборах , где частично упорядоченный набор состоит из набора мощности а частичный порядок - включение подмножества
Ультрафильтры имеют множество приложений в теории множеств, теории моделей и топологии . [1] : 186
Определения
По произвольному множеству ультрафильтр на непустая семья подмножеств такой, что:
- Собственный или невырожденный : пустое множество не является элементом
- Вверх закрыто в : Если и если любой надмножество (то есть, если ) тогда
- π −система : Если а также являются элементами тогда и их пересечение
- Если затем либо [примечание 1] или его относительное дополнение является элементом
Свойства (1), (2) и (3) являются определяющими свойствами фильтра наНекоторые авторы не включают невырожденность (которая является свойством (1) выше) в свое определение «фильтра». Однако определение «ультрафильтра» (а также «предварительного фильтра» и «подосновы фильтра») всегда включает невырожденность как определяющее условие. В этой статье требуется, чтобы все фильтры были правильными, хотя фильтр может быть описан как «подходящий» для акцента.
Для фильтра это не ультрафильтр, можно сказать если а также если уход undefined в другом месте. [ необходима цитата ] [ требуется пояснение ]
Фильтр к югу база представляет собой непустое семейство множеств, имеет конечное свойство пересечения (т.е. все конечные пересечения непустые). Эквивалентно, подбаза фильтра - это непустое семейство наборов, которое содержится в некотором (собственном) фильтре. Наименьший (относительно) фильтр, содержащий данную суббазу фильтра, называется созданным суббазой фильтра.
Вверх замыкание в семейства наборов это набор
Предварительный фильтр или основание фильтра непустое и правильное (т. Е.) семейство множеств это направлено вниз , что означает, что если тогда есть некоторые такой, что Эквивалентно, предварительный фильтр - это любое семейство наборов чье закрытие вверх является фильтром, и в этом случае этот фильтр называется фильтром, сгенерированным а также называется базой фильтров для
Двойственный[2] семейства множеств это набор
Обобщение на ультра префильтры
Семья подмножеств называется ультра, еслии выполняется любое из следующих эквивалентных условий: [2] [3]
- Для каждого набора существует некоторый набор такой, что или же (или, что то же самое, такое, что равно или же ).
- Для каждого набора существует некоторый набор } такой, что равно или же
- Здесь, определяется как объединение всех множеств в
- Эта характеристика " "ультра" не зависит от набора так что говоря о наборе не является обязательным при использовании термина «ультра».
- Для каждого набора (не обязательно даже подмножество ) существует некоторое множество такой, что равно или же
- Если удовлетворяет этому условию, то и каждое надмножество В частности, набор ультра тогда и только тогда, когда а также содержит в качестве подмножества некоторое ультра-семейство множеств.
Суббаза фильтра, которая является ультра, обязательно является предварительным фильтром. [доказательство 1]
Свойство ultra теперь можно использовать для определения как ультрафильтров, так и ультра-префильтров:
- Ультра предфильтр [2] [3] является предфильтр , что ультра. Эквивалентно, это суббаза фильтра, которая является ультра.
- Ультрафильтр [2] [3] на является (собственным) фильтром на это ультра. Равнозначно, это любой фильтр на который создается ультрафильтром предварительной очистки.
- Толкование как большие множества
Элементы правильного фильтра на можно рассматривать как "большие наборы (относительно ) "и дополнения в больших множеств можно рассматривать как «маленькие» множества [4] («маленькие множества» - это в точности элементы идеального). В общем, могут быть подмножествакоторые не являются ни большими, ни маленькими, или, возможно, одновременно большими и маленькими. Двойственный идеал - это фильтр (т.е. собственный), если не существует множества одновременно больших и малых, или, что то же самое, еслине большой. [4] Фильтр является ультра, если и только если каждое подмножестволибо большой, либо маленький. Используя эту терминологию, определяющие свойства фильтра можно перезапустить следующим образом: (1) любое надмножество большого множества является большим множеством, (2) пересечение любых двух (или конечного числа) больших множеств велико, (3) большой набор (т.е. ), (4) пустое множество невелико. Различные двойственные идеалы дают разные представления о «больших» множествах.
Другой взгляд на ультрафильтры в силовой установке выглядит следующим образом: для данного ультрафильтра определить функцию на установив если является элементом а также иначе. Такая функция называется двузначным морфизмом . потомэто конечно - аддитивная , и , следовательно, содержание на и каждое свойство элементов либо верно почти везде, либо ложно почти везде. Тем не мение,обычно не является счетно аддитивным и, следовательно, не определяет меру в обычном смысле.
- Ультра префильтры как максимальные префильтры
Чтобы охарактеризовать ультрапрефильтры с точки зрения «максимальности», необходимо следующее соотношение.
- Даны два семейства множеств а также семья называется более грубым [5] [6], чем а также является более тонкой , чем и подчинен написано или N ⊢ M , если для каждого существует некоторое такой, что Семьи а также называются эквивалентными, если а также Семьи а также являются сопоставимыми , если одно из этих множеств тоньше , чем другие. [5]
Отношения подчинения, т. Е. является предварительным порядком, поэтому приведенное выше определение «эквивалента» действительно образует отношение эквивалентности . Если тогда но в общем случае обратное неверно. Однако если закрывается вверх, например, фильтр, то если и только если Каждый предварительный фильтр эквивалентен создаваемому им фильтру. Это показывает, что фильтры могут быть эквивалентны наборам, которые не являются фильтрами.
Если два семейства множеств а также эквивалентны, то либо оба а также являются ультра (соответственно префильтры, суббазы фильтров) или в противном случае ни один из них не является ультра (соответственно префильтры, суббазы фильтров). В частности, если суббаза фильтра также не является предварительным фильтром, то она не эквивалентна фильтру или предварительному фильтру, который она создает. Если а также оба фильтра включены тогда а также эквивалентны тогда и только тогда, когда Если правильный фильтр (или ультрафильтр) эквивалентен семейству множеств тогда обязательно является предварительным фильтром (соотв. ультра префильтром). Используя следующую характеристику, можно определить префильтры (соотв. Ультрапрефильтры), используя только концепцию фильтров (соотв. Ультрафильтров) и подчинения:
- Произвольное семейство наборов является предварительным фильтром тогда и только тогда, когда оно эквивалентно (собственному) фильтру.
- Произвольное семейство множеств является ультра-префильтром тогда и только тогда, когда оно эквивалентно ультрафильтру.
- Максимальная предфильтр на[2] [3] - предварительный фильтр который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
- это ультра.
- является максимальным на относительно это означает, что если удовлетворяет тогда [3]
- Нет предфильтра, должным образом подчиненного [3]
- Если (правильный) фильтр на удовлетворяет тогда
- Фильтр на создан это ультра.
Характеристики
На нем нет ультрафильтров. где - пустое множество , поэтому в дальнейшем предполагается, что
Фильтр суб базовой на это ультрафильтр на тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий: [2] [3]
- для любой либо или же
- - максимальная подбаза фильтра на это означает, что если есть ли какая-либо подбаза фильтров на тогда подразумевает [4]
(Правильный) фильтр на это ультрафильтр на тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
- ультра;
- формируется ультрафильтром предварительной очистки;
- Для любого подмножества или же [4]
- Итак, ультрафильтр решает для каждого ли "большой" (т. е. ) или "маленький" (т. е. ). [7]
- Для каждого подмножества либо [примечание 1] в или же () является.
- Это условие можно переформулировать как: разделен и его двойная
- Наборы а также не пересекаются для всех префильтров на
- это идеал на [4]
- Для любого конечного семейства подмножеств (где ), если тогда для некоторого индекса
- На словах «большой» набор не может быть конечным объединением небольших множеств. [8]
- Для любой если тогда или же
- Для любой если тогда или же (фильтр с этим свойством называется простым фильтром ).
- Для любой если а также тогда либо или же
- - максимальный фильтр; то есть, если это фильтр на такой, что тогда Эквивалентно, является максимальным фильтром, если нет фильтра на это содержит как собственное подмножество (то есть ни один фильтр не является строго более тонким, чем). [4]
Грили и фильтры-решетки
Если затем его гриль на это семья
где может быть написано, если ясно из контекста. Например, и если тогда Если тогда и более того, если является подбазой фильтра, тогда [9] Гриль закрывается вверх если и только если что впредь будет предполагаться. Более того, чтобы закрывается вверх если и только если
Решетка фильтра на называется фильтром-решеткой на[9] Для любого это фильтр-решетка на тогда и только тогда, когда (1) закрывается вверх и (2) для всех множеств а также если тогда или же Работа гриля вызывает биекцию
обратное также дается [9] Если тогда это фильтр-решетка на если и только если [9] или эквивалентно, если и только если это ультрафильтр на [9] То есть фильтр наявляется фильтром-решеткой тогда и только тогда, когда он ультра. Для любого непустого оба фильтра на и фильтр-решетка на тогда и только тогда, когда (1) и (2) для всех имеют место следующие эквивалентности:
- если и только если если и только если [9]
Бесплатно или по принципу
Если любое непустое семейство множеств , то ядро из является пересечением всего множества в :
- [10]
Непустое семейство множеств называется:
- бесплатно, еслии зафиксировано в противном случае (т. е. если),
- основной, если
- главный в точке, если а также одноэлементный набор; в этом случае, если тогда считается главным в
Если семейство наборов фиксируется тогда ультра тогда и только тогда, когда некоторый элемент является одноэлементным набором, и в этом случае обязательно будет префильтр. Каждый основной предварительный фильтр фиксирован, поэтому основной предварительный фильтр ультра тогда и только тогда, когда представляет собой одноэлементный набор. Одноэлементный набор является ультра, если и только если его единственный элемент также является одноэлементным набором.
Каждый фильтр на что принципиально в одной точке является ультрафильтром, а если вдобавок конечно, то на кроме этих. [10] Если в наборе есть бесплатный ультрафильтр (или даже подбаза фильтров) тогда должно быть бесконечно.
Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он бесплатный, либо это главный фильтр, порожденный одной точкой.
Предложение - Если это ультрафильтр на то следующие эквиваленты:
- фиксировано или, что то же самое, не бесплатно.
- является основным.
- Какой-то элемент - конечное множество.
- Какой-то элемент представляет собой одноэлементный набор.
- является главным в какой-то момент что значит для некоторых
- вовсе не содержит фильтр Фреше на как подмножество.
- является последовательным. [9]
Примеры, свойства и достаточные условия
Если а также - семейства множеств такие, что ультра, а также тогда обязательно ультра. Подбаза фильтраэто не префильтр, не может быть ультра; но, тем не менее, это все еще возможно для предварительного фильтра и фильтра, сгенерированного быть ультра.
Предполагать ультра и это набор. Следявляется ультра тогда и только тогда, когда он не содержит пустого множества. Кроме того, хотя бы один из наборов а также будет ультра (этот результат распространяется на любое конечное разбиение ). Если фильтры на это ультрафильтр на а также тогда есть некоторые это удовлетворяет [11] Этот результат не обязательно верен для бесконечного семейства фильтров. [11]
Изображение под картой ультра-набора снова ультра, и если это ультра префильтр, то и Свойство быть ультра сохраняется при биекциях. Однако прообраз ультрафильтра не обязательно ультра, даже если отображение сюръективно. Например, если имеет более одной точки, и если диапазон состоит из одной точки тогда это ультра префильтр на но его прообраз не ультра. В качестве альтернативы, если является основным фильтром, порожденным точкой в тогда прообраз содержит пустой набор и поэтому не является ультра.
Элементарный фильтр, индуцированный бесконечной последовательностью, все точки которой различны, не является ультрафильтром. [11] Если тогда обозначает множество, состоящее из всех подмножеств имеющий мощность и если содержит как минимум () различных точек, то Ультра, но не содержится ни в одном предварительном фильтре. Этот пример обобщается на любое целое число а также если содержит более одного элемента. Ультра-наборы, не являющиеся одновременно предфильтрами, используются редко.
Для каждого и каждый позволять Если это ультрафильтр на затем набор всех такой, что это ультрафильтр на [12]
Структура монады
Функтор ассоциирования к любому набору набор всех ультрафильтров на образует монаду, называемую монадой ультрафильтров . Карта объекта
отправляет любой элемент к основному ультрафильтру, заданному формулой
Эта монада допускает концептуальное объяснение как монада кодовой плотности включения категории конечных множеств в категорию всех множеств . [13]
Лемма об ультрафильтрации
Лемма об ультрафильтре была впервые доказана Альфредом Тарским в 1930 году [12].
Лемма / принцип / теорема об ультрафильтрации [5] - Каждый собственный фильтр на множестве содержится в каком-то ультрафильтре на
Лемма об ультрафильтре эквивалентна каждому из следующих утверждений:
- Для каждого предфильтра в комплекте существует максимальный предварительный фильтр на подчиняться ему. [2]
- Каждая подходящая подбаза фильтров в наборе содержится в каком-то ультрафильтре на
Следствием леммы об ультрафильтрах является то, что каждый фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. [14] [примечание 2]
Следующие результаты могут быть доказаны с помощью леммы об ультрафильтрах. На множестве существует свободный ультрафильтр. если и только если бесконечно. Каждый собственный фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. [5] Поскольку есть фильтры, которые не являются ультра, это показывает, что пересечение семейства ультрафильтров не обязательно должно быть ультра. Семейство наборов продолжается до свободного ультрафильтра тогда и только тогда, когда пересечение любого конечного семейства элементов бесконечно.
Связь с другими заявлениями в ZF
В этом разделе ZF относится к теории множеств Цермело – Френкеля, а ZFC относится к ZF с аксиомой выбора ( AC ). Лемма об ультрафильтре не зависит от ZF . То есть существуют модели, в которых аксиомы ZF верны, а лемма об ультрафильтре - нет. Также существуют модели ZF, в которых каждый ультрафильтр обязательно является главным.
Каждый фильтр, содержащий одноэлементный набор, обязательно является ультрафильтром и задан определение дискретного ультрафильтра не требует больше ZF . Есликонечно, то каждый ультрафильтр является дискретным фильтром в точке; следовательно, свободные ультрафильтры могут существовать только на бесконечных множествах. В частности, есликонечно, то лемма об ультрафильтре может быть доказана из аксиом ZF . Существование свободного ультрафильтра на бесконечных множествах можно доказать, если принять аксиому выбора. В более общем плане лемма об ультрафильтре может быть доказана с помощью аксиомы выбора , которая вкратце утверждает, что любое декартово произведение непустых множеств непусто. При ZF аксиома выбора, в частности, эквивалентна (a) лемме Цорна , (b) теореме Тихонова , (c) слабой форме теоремы о векторном базисе (которая утверждает, что каждое векторное пространство имеет базис ), ( г) сильная форма теоремы о векторном базисе и другие утверждения. Однако лемма об ультрафильтре строго слабее выбранной аксиомы. В то время как свободные Ультрафильтры может быть доказано , что существует, это не возможно построить явный пример свободной ультрафильтрации; то есть бесплатные ультрафильтры нематериальны. [15] Альфред Тарский доказал, что при ZFC мощность множества всех свободных ультрафильтров на бесконечном множестве равна мощности где обозначает набор мощности [16]
Под ZF , то аксиома выбора может быть использована , чтобы доказать как ультрафильтрационную лемму и теорему Крейна-Мильман ; наоборот, при ZF лемма об ультрафильтре вместе с теоремой Крейна – Мильмана может доказать аксиому выбора. [17]
Утверждения, которые невозможно вывести
Лемма об ультрафильтре - относительно слабая аксиома. Например, каждое из утверждений в следующем списке не может быть выведено из ZF вместе только с леммой об ультрафильтре:
- Счетное объединение счетных множеств - это счетное множество.
- Аксиома счетного выбора ( ACC ).
- Аксиома зависимого выбора ( АЦП ).
Эквивалентные заявления
При ZF лемма об ультрафильтре эквивалентна каждому из следующих утверждений: [18]
- Теорема о булевом простом идеале ( BPIT ).
- Эта эквивалентность доказуема в теории множеств ZF без аксиомы выбора ( AC ).
- Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр .
- Любое произведение булевых пространств является булевым пространством. [19]
- Теорема существования булевого простого идеала : каждая невырожденная булева алгебра имеет простой идеал. [20]
- Теорема Тихонова для пактов : Любой продукт из компактных хаусдорфовых пространств компактно. [19]
- Если наделен дискретной топологией, то для любого множествапространство продукт является компактным . [19]
- Каждая из следующих версий теоремы Банаха-Алаоглу эквивалентна лемме об ультрафильтре:
- Любой равностепенно непрерывный набор скалярнозначных отображений на топологическом векторном пространстве (TVS) относительно компактен в слабой * топологии (то есть содержится в некотором слабом * компактном множестве). [21]
- Полярная любой окрестности нуля в ТВСявляется слабым * компактным подмножеством своего непрерывного сопряженного пространства . [21]
- Замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве любого нормированного пространства слабо компактен. [21]
- Если нормированное пространство сепарабельно, лемма об ультрафильтре достаточна, но не обязательна для доказательства этого утверждения.
- Топологическое пространство компактна, если каждый ультрафильтр на сходится к некоторому пределу. [22]
- Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр насходится к некоторому пределу. [22]
- Добавление слов «и только если» - единственное отличие этого утверждения от того, что находится непосредственно над ним.
- Лемма Ultranet: каждая сеть имеет универсальную подсеть. [23]
- По определению сеть вназывается ультрасетью или универсальной сетью, если для каждого подмножества сеть в конечном итоге оказывается в или в
- Топологическое пространство компактен тогда и только тогда, когда каждая ультрасеть на сходится к некоторому пределу. [22]
- Если убрать слова «и только если», то полученное утверждение остается эквивалентным лемме об ультрафильтре. [22]
- Конвергенция пространства компактна, если каждый ультрафильтр на сходится. [22]
- Равномерное пространство является компактным , если оно полное и вполне ограничено . [22]
- Теорема Стоуна – Чеха о компактификации . [19]
- Каждая из следующих версий теоремы компактности эквивалентна лемме об ультрафильтре:
- Если представляет собой набор первого порядка предложений таким образом, что каждый из конечного подмножестваесть модель , тоесть модель. [24]
- Если - это набор предложений нулевого порядка, таких что каждое конечное подмножество есть модель, то есть модель. [24]
- Теорема полноты : еслиэто набор предложений нулевого порядка, который является синтаксически непротиворечивым, тогда у него есть модель (то есть он семантически непротиворечив).
Более слабые заявления
Любое утверждение, которое можно вывести из леммы об ультрафильтре (вместе с ZF ), называется более слабым, чем лемма об ультрафильтре. Более слабое утверждение называется строго более слабым, если при ZF оно не эквивалентно лемме об ультрафильтре. При ZF лемма об ультрафильтре влечет каждое из следующих утверждений:
- Аксиома выбора конечных множеств ( АКФ ): дано и семья непустых конечных множеств, их произведениене пусто. [23]
- Счетное объединение конечных множеств счетное множество.
- Однако ZF с леммой об ультрафильтре слишком слаб, чтобы доказать, что счетное объединение счетных множеств является счетным множеством.
- Теорема Хана – Банаха . [23]
- В ZF теорема Хана – Банаха строго слабее леммы об ультрафильтре.
- Банаха-Тарского парадокс .
- Фактически, при ZF парадокс Банаха – Тарского может быть выведен из теоремы Хана – Банаха , [25] [26], которая строго слабее, чем лемма об ультрафильтре.
- Каждый набор можно упорядочить линейно .
- Каждое поле имеет уникальное алгебраическое замыкание .
- Теорема Александера о суббазе . [23]
- Существуют нетривиальные сверхпродукты .
- Теорема о слабом ультрафильтре: свободный ультрафильтр существует на
- При ZF из теоремы об ультрафильтре не следует лемма об ультрафильтре; т. е. он строго слабее леммы об ультрафильтре.
- На каждом бесконечном множестве существует свободный ультрафильтр;
- На самом деле это утверждение строго слабее леммы об ультрафильтре.
- Сама по себе ZF даже не означает, что на некотором множестве существует неглавный ультрафильтр .
Полнота
Полнота ультрафильтрана множестве мощности - это наименьший кардинал κ такой, что существует κ элементов чье пересечение не находится в Из определения ультрафильтра следует, что полнота любого ультрафильтра powerset не менее ℵ 0 {\ displaystyle \ aleph _ {0}} . Ультрафильтр, полнота которого больше, чем- то есть пересечение любого счетного набора элементов все еще в - называется счетно полным или σ-полным .
Полнота счетно полного неглавного ультрафильтра на powerset всегда является измеримым кардиналом . [ необходима цитата ]
Заказ на ультрафильтры
Порядок Рудина – Кейслера (названный в честь Мэри Эллен Рудин и Говарда Джерома Кейслера ) является предварительным заказом в классе ультрафильтров Powerset, определяемых следующим образом: если это ультрафильтр на а также ультрафильтр на тогда если существует функция такой, что
- если и только если
для каждого подмножества
Ультрафильтры а также называются эквивалентами Рудина – Кейслера и обозначаются U ≡ RK V , если существуют множества а также и биекция который удовлетворяет вышеуказанному условию. (Если а также имеют одинаковую мощность, определение можно упростить, зафиксировав )
Известно, что ≡ RK является ядром ≤ RK , т. Е. Что U ≡ RK V тогда и только тогда, когда а также [27]
Ультрафильтры на
Ультрафильтр обладает рядом особых свойств. где расширяет натуральные числа , может обладать, что оказывается полезным в различных областях теории множеств и топологии.
- Неосновной ультрафильтр называется P-точкой (или слабо селективной ), если для каждого разбиения из такое, что для всех есть некоторые такое, что для всех является конечным множеством для каждого
- Неосновной ультрафильтр называется Рамсеевским (или селективным ), если для каждого раздела из такое, что для всех есть некоторые такой, что представляет собой одноэлементный набор для каждого
То, что все ультрафильтры Рамсея являются P-точками, является тривиальным наблюдением. Вальтер Рудин доказал, что из гипотезы континуума следует существование ультрафильтров Рамсея. [28] Фактически, многие гипотезы предполагают существование ультрафильтров Рамсея, включая аксиому Мартина . Позднее Сахарон Шелах показал, что ультрафильтры с точкой Р не подлежат сомнению. [29] Следовательно, существование этих типов ультрафильтров не зависит от ZFC .
P-точки называются таковыми, потому что они являются топологическими P-точками в обычной топологии пространства βω \ ω неглавных ультрафильтров. Имя Рэмси происходит от теоремы Рэмси . Чтобы понять, почему, можно доказать, что ультрафильтр является рамсеевским тогда и только тогда, когда для каждой 2-раскраски существует элемент ультрафильтра, имеющий однородный цвет.
Ультрафильтр на является рамсеевским тогда и только тогда, когда он минимален в упорядочении Рудина – Кейслера неглавных ультрафильтров по степеням. [ необходима цитата ]
Смотрите также
- Фильтр (математика) - в математике специальное подмножество частично упорядоченного множества.
- Фильтры в топологии - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
- Универсальная сеть
Заметки
- ^ a b Из свойств 1 и 3 следует, что а также не могут одновременно быть элементами
- ^ Пусть быть фильтром на это не ультрафильтр. Если таково, что тогда имеет свойство конечного пересечения (потому что если тогда если и только если ), так что по лемме об ультрафильтрах существует некоторый ультрафильтр на такой, что (так, в частности ). Следует, что ∎
- Доказательства
- ^ Предположимэто суббаза фильтра, которая является ультра. Позволять и определить Так как ультра, есть некоторые такой, что равно или же Из свойства конечного пересечения следует, что так обязательно что эквивалентно ∎
Рекомендации
- ^ Дэйви, BA; Пристли, HA (1990). Введение в решетки и порядок . Кембриджские математические учебники. Издательство Кембриджского университета.
- ^ a b c d e f g Narici & Beckenstein 2011 , стр. 2-7.
- ^ a b c d e f g Дугунджи 1966 , стр. 219-221.
- ^ Б с д е е Шехтером 1996 , стр. 100-130.
- ↑ a b c d Бурбаки 1989 , стр. 57-68.
- ^ Schubert 1968 , стр. 48-71.
- ^ Хиггинс, Сесилия (2018). «Ультрафильтры в теории множеств» (PDF) . math.uchicago.edu . Проверено 16 августа 2020 года .
- ^ Крукман, Алекс (7 ноября 2012 г.). «Примечания по ультрафильтрам» (PDF) . math.berkeley.edu . Проверено 16 августа 2020 года .
- ^ Б с д е е г Dolecki & Mynard 2016 г. , стр. 27-54.
- ^ a b Dolecki & Mynard 2016 , стр. 33-35.
- ^ а б в Бурбаки 1989 , стр. 129-133.
- ^ a b Jech 2006 , стр. 73-89.
- ^ Ленстер, Том (2013). «Кодоплотность и монада ультрафильтров». Теория и приложения категорий . 28 : 332–370. arXiv : 1209,3606 . Bibcode : 2012arXiv1209.3606L .
- Перейти ↑ Bourbaki 1987 , pp. 57–68.
- Перейти ↑ Schechter 1996 , p. 105.
- ↑ Schechter 1996 , pp. 150-152.
- ^ Bell, J .; Фремлин, Дэвид (1972). «Геометрическая форма аксиомы выбора» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 77 (2): 167–170 . Проверено 11 июня 2018 .
Теорема 1.2. BPI [теорема о булевом простом идеале] и KM [Крейн-Мильман](*) [единичный шар двойственного к нормированному векторному пространству имеет крайнюю точку] .... Теорема 2.1. (*) AC [Аксиома выбора].
- ^ Schechter 1996 , стр. 105,150-160,166,237,317-315,338-340,344-346,386-393,401-402,455-456,463,474,506,766-767.
- ^ a b c d Schechter 1996 , стр. 463.
- Перейти ↑ Schechter 1996 , p. 339.
- ^ a b c Schechter 1996 , стр. 766-767.
- ^ a b c d e f Schechter 1996 , стр. 455.
- ^ а б в г Мугер, Майкл (2020). Топология для рабочего математика .
- ^ a b Schechter 1996 , стр. 391-392.
- ^ Бригадир, М .; Верунг, Ф. (1991). «Теорема Хана – Банаха влечет существование не измеримого по Лебегу множества» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 138 : 13–19. DOI : 10,4064 / фм-138-1-13-19 .
- ^ Павликовский, Януш (1991). «Теорема Хана – Банаха влечет парадокс Банаха – Тарского» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 138 : 21–22. DOI : 10,4064 / фм-138-1-21-22 .
- ^ Комфорт, WW; Негрепонтис, С. (1974). Теория ультрафильтров . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . Руководство по ремонту 0396267 . Следствие 9.3.
- ^ Рудин, Уолтер (1956), "гомогенности проблемы в теории Чеха", Дюк математический журнал , 23 (3): 409-419, DOI : 10,1215 / S0012-7094-56-02337-7 , ЛВП : 10338.dmlcz / 101493
- ^ Wimmers, Эдвард (март 1982), "Теорема Независимость Сала P-точка", Израиль Журнал математики , 43 (1): 28-48, DOI : 10.1007 / BF02761683 , S2CID 122393776
Библиография
- Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. 13 . Дордрехт Бостон: Д. Рейдел . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC 9944489 .
- Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
- Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303 .
- Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
- Часар, Акос (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клара. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC 4146011 .
- Jech, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC 50422939 .
- Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753 .
дальнейшее чтение
- Комфорт, WW (1977). «Ультрафильтры: старые и новые результаты» . Бюллетень Американского математического общества . 83 (4): 417–455. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN 0002-9904 . Руководство по ремонту 0454893 .
- Комфорт, WW; Негрепонтис, С. (1974), Теория ультрафильтров , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0396267
- Ультрафильтр в nLab