Теория моделей

Эта статья требует внимания специалиста по математике . Конкретная проблема заключается в следующем: за исключением отведения, которое я только что переписал, большая часть этой статьи не посвящена конкретно теории моделей. Не мог бы какой-нибудь эксперт переписать оставшуюся часть статьи. См. Подробности на странице обсуждения . WikiProject Mathematics может помочь нанять эксперта. ( Март 2021 г. )

В математике , теории моделей являются изучением взаимосвязи между формальными теориями (совокупность предложений в формальном языке , выражающий утверждение о математической структуре ), и их модель, взятая в качестве интерпретаций , которые удовлетворяют предложения этой теории. ^[1]

Неофициальное описание [ править ]

Теория моделей признает двойственность и тесно связана с ней: она исследует семантические элементы (значение и истину) с помощью синтаксических элементов (формул и доказательств) соответствующего языка. В кратком определении, датируемом 1973 годом:

теория моделей = универсальная алгебра + логика . ^[2]

Теория моделей быстро развивалась в течение 1990-х годов, и более современное определение дано Уилфридом Ходжесом (1997):

теория моделей = алгебраическая геометрия - поля .

Это умный лозунг, подразумевающий, что существует много общего: например, алгебраическое многообразие можно неформально описать как геометрическое место точек, где набор многочленов равен нулю. Точно так же модель можно описать как локус интерпретаций, в котором набор предложений истинен. Есть и другие аналогии, доходящие до разной глубины.

Другой часто повторяющаяся лозунг гласит , что «если теория доказательств о сакрального, то модель теории обо профана» , ^[3] о том , что эти две темы , в некотором смысле двойственной друг-друга. Так же, как доказательство теории , теория моделей находится в районе междисциплинарности среди математики , философии и информатики . Теория моделей используется в различных условиях, как академических, так и промышленных. Они включают:

• Доказательство результатов по системам аксиом . Например, доказательство независимости гипотезы континуума от других аксиом теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC) осуществляется путем построения внутри ZFC модели ZFC, в которой гипотеза континуума верна, и другой модели, в которой она ложна (см. Гипотеза континуума § Независимость от ZFC ).
• Обеспечение основы для выполнимости решателей теорий по модулю , которые обычно используются для функциональной проверки в автоматизации электронного проектирования . Такие решатели ищут выполнимые предложения, вплоть до эквивалентных утверждений в некоторой конкретной теории, такой как теория равенства или теория линейной алгебры .
• Обеспечение основы для реляционных моделей , которые представляют собой фрагмент, состоящий из структур , сигнатуры которых полностью состоят из отношений . Хорошо известные результаты заключаются в том, что SQL и noSQL категорически двойственны друг другу.

Самой известной научной организацией в области теории моделей является Ассоциация символической логики .

Филиалы [ править ]

Эта страница посвящена теории конечных моделей бесконечных структур первого порядка . Теория конечных моделей , которая концентрируется на конечных структурах, значительно отличается от изучения бесконечных структур как в изучаемых проблемах, так и в используемых методах. Теория моделей в логиках более высокого порядка или бесконечных логиках затруднена из-за того, что полнота и компактность в общем случае не выполняются для этих логик. Однако в области такой логики также было проведено много исследований.

Неформально теорию моделей можно разделить на классическую теорию моделей, теорию моделей, применяемую к группам и полям, и теорию геометрических моделей. Недостающее подразделение - это теория вычислимых моделей , но это, возможно, можно рассматривать как независимое подполе логики.

Примеры ранних теорем из классической теории модели включают законченность теорему Гёделя , вверх и вниз Löwenheim-сколемовские теоремы , Вота «теорему два-кардинального s, Scott » s изоморфизм теоремы, то опуская типы теоремы , и теорема Рыль-Нардзевский . Примеры ранних результатов теории моделей применяются к полям Тарского «s элиминации кванторов для реальных замкнутых полей , Ax » s теорема о псевдоконечных полей и Robinson «s разработка нестандартного анализа. Важный шаг в развитии классической теории модели произошел с рождением теории устойчивости (по теореме Морела на неисчислиме категоричных теорий и Шели программы классификации «s), который разработал исчисление независимости и ранга на основе синтаксических условий , удовлетворенных теориями.

В течение последних нескольких десятилетий теория прикладных моделей неоднократно сливалась с более чистой теорией устойчивости. Результат этого синтеза в данной статье называется теорией геометрической модели (которая включает, например, о-минимальность, а также классическую геометрическую теорию устойчивости). Примером доказательства из теории геометрических моделей является доказательство Грушовским гипотезы Морделла – Лэнга для функциональных полей. Задача теории геометрических моделей состоит в том, чтобы обеспечить географию математики , приступив к детальному изучению определяемых множеств в различных математических структурах, опираясь на существенные инструменты, разработанные при изучении чистой теории моделей.

Теория конечных моделей [ править ]

Теория конечных моделей (FMT) - это часть теории моделей (MT), которая имеет дело с ее ограничением интерпретациями конечных структур, которые имеют конечную вселенную.

Поскольку многие центральные теоремы теории моделей не верны, когда они ограничиваются конечными структурами, FMT сильно отличается от MT своими методами доказательства. Центральные результаты классической теории моделей , которые не для конечных структур в рамках ДРМА включают теорему компактности , теорему Гёделя о полноте , и метод ультрапроизведений для логики первого порядка .

Основные области применения являются FMT дескриптивной теории сложности , теории баз данных и теории формального языка .

Логика первого порядка [ править ]

В то время как универсальная алгебра обеспечивает семантику для подписи , логика обеспечивает синтаксис . С терминами, тождествами и квазитождествами даже универсальная алгебра имеет некоторые ограниченные синтаксические инструменты; Логика первого порядка является результатом явной количественной оценки и добавления отрицания в картину.

Формула первого порядка строится из элементарных формул, таких как R ( f ( x , y ), z ) или y = x + 1, с помощью логических связок и префиксов кванторов или . Предложение - это формула, в которой каждое вхождение переменной входит в область действия соответствующего квантификатора. Примерами формул являются φ (или φ (x), чтобы отметить тот факт, что не более x является несвязанной переменной в φ) и ψ, определяемые следующим образом:${\ displaystyle \ neg, \ land, \ lor, \ rightarrow}$${\ displaystyle \ forall v}$${\ Displaystyle \ существует v}$

${\displaystyle {\varphi \;=\;\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,}}$

${\displaystyle \psi \;=\;\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.}$

(Обратите внимание, что символ равенства здесь имеет двоякое значение.) Интуитивно понятно, как перевести такие формулы в математический смысл. Например, в σ _smr -структуре натуральных чисел элемент n удовлетворяет формуле φ тогда и только тогда, когда n - простое число. Формула ψ аналогично определяет неприводимость. Тарский дал строгое определение, иногда называемое «определением истины Тарского» , для отношения удовлетворения , так что одно легко доказывает:${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \models }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$ простое число.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$ неприводимо.

Набор предложений T называется теорией (первого порядка) . Теория является выполнимой , если она имеет модель , т.е. структуры (соответствующую подпись) , которая удовлетворяет все предложения в наборе T . Непротиворечивость теории обычно определяется синтаксически, но в логике первого порядка с помощью теоремы о полноте нет необходимости различать выполнимость и непротиворечивость. Поэтому теоретики моделей часто используют «согласованный» как синоним «выполнимого».${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$

Теория называется категоричной, если она определяет структуру с точностью до изоморфизма, но оказывается, что это определение бесполезно из-за серьезных ограничений в выразительности логики первого порядка. Теорема Левенгейма – Сколема означает, что для каждой теории T, имеющей счетную сигнатуру ^[4], которая имеет бесконечную модель для некоторого бесконечного кардинального числа , тогда она имеет модель размера κ для любого бесконечного кардинального числа κ. Поскольку две модели разного размера не могут быть изоморфными, только финитарные структуры могут быть описаны категориальной теорией.

Однако отсутствие выразительности (по сравнению с более высокой логикой, такой как логика второго порядка ) имеет свои преимущества. Для теоретиков моделей теорема Левенхайма – Сколема является важным практическим инструментом, а не источником парадокса Сколема . В определенном смысле, уточненном теоремой Линдстрема , логика первого порядка является наиболее выразительной логикой, для которой справедливы как теорема Левенгейма – Сколема, так и теорема компактности.

Как следствие (т. Е. Противоположное) теорема компактности утверждает, что каждая неудовлетворительная теория первого порядка имеет конечное невыполнимое подмножество. Эта теорема имеет центральное значение в теории бесконечных моделей, где слова «компактностью» являются обычным явлением. Один из способов доказать это - использование сверхпродуктов . Альтернативное доказательство использует теорему о полноте, которая в противном случае сводится к второстепенной роли в большей части современной теории моделей.

Аксиоматизируемость, исключение кванторов и полнота модели [ править ]

Первым шагом, часто тривиальным, для применения методов теории моделей к классу математических объектов, таких как группы или деревья в смысле теории графов, является выбор сигнатуры σ и представление объектов как σ-структур. Следующий шаг - показать, что класс является элементарным классом , т. Е. Аксиоматизируемым в логике первого порядка (т.е. существует теория T, такая, что σ-структура находится в классе тогда и только тогда, когда она удовлетворяет T  ). Например, этот шаг не выполняется для деревьев, поскольку связность не может быть выражена в логике первого порядка. Аксиоматизируемость гарантирует, что теория моделей может говорить о правильных объектах. Исключение квантора можно рассматривать как условие, гарантирующее, что теория моделей не слишком много говорит об объектах.

Теория T имеет исключение кванторов, если каждая формула первого порядка φ ( x ₁ , ..., x _n ) над своей сигнатурой эквивалентна по модулю T формуле первого порядка ψ ( x ₁ , ..., x _n ) без кванторы, то есть имеет место во всех моделях T . Например, теория алгебраически замкнутых полей в _кольце сигнатуры σ = (×, +, -, 0,1) имеет исключение кванторов, потому что каждая формула эквивалентна булевой комбинации уравнений между многочленами.${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$

Подструктура из а-структуры является подмножеством своей области, закрытой при всех функциях в его сигнатуре, которая рассматривается как о-структура, ограничивая все функции и отношения в а к подмножеству. Вложение из а-структуры в другую а-структуру является отображение F : → B между доменами , которые могут быть записаны как изоморфизм с подструктурой . Каждое вложение является инъективным гомоморфизмом, но обратное верно, только если сигнатура не содержит символов отношения.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Если теория не имеет исключения кванторов, можно добавить дополнительные символы к ее сигнатуре, чтобы это имело место. Ранняя теория моделей потратила много усилий на доказательство аксиоматизируемости и результатов исключения кванторов для конкретных теорий, особенно в алгебре. Но часто вместо исключения квантора достаточно более слабого свойства:

Теория T называется модельно-полной, если каждая подструктура модели T, которая сама является моделью T, является элементарной подструктурой. Существует полезный критерий для проверки того, является ли подструктура элементарной подструктурой, называемый тестом Тарского – Воота . Из этого критерия следует, что теория T является модельно-полной тогда и только тогда, когда каждая формула первого порядка φ ( x ₁ , ..., x _n ) над своей сигнатурой эквивалентна по модулю T экзистенциальной формуле первого порядка, т. Е. формула следующего вида:

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$,

где ψ бескванторная. Теория, которая не является законченной на основе модели, может иметь или не иметь завершение модели , которое представляет собой связанную теорию полной модели, которая, как правило, не является расширением исходной теории. Более общее понятие - это модельные спутники .

Категоричность [ править ]

Как отмечалось в разделе о логике первого порядка, теории первого порядка не могут быть категоричными, то есть они не могут описывать уникальную модель с точностью до изоморфизма, если эта модель не конечна. Но две известные теоретико-модельные теоремы имеют дело с более слабым понятием κ-категоричности для кардинала κ. Теория T называется κ-категоричной, если любые две модели T , имеющие мощность κ, изоморфны. Оказывается, вопрос о κ-категоричности критически зависит от того, превышает ли κ мощность языка (т.е.  + | σ |, где | σ | - мощность сигнатуры). Для конечных или счетных подписей это означает, что существует фундаментальная разница между${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$-мощность и κ-мощность для несчетного κ.

Вот несколько характеристик категории -категории ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} :

Для полной теории первого порядка T в конечной или счетной сигнатуре следующие условия эквивалентны:

1. T является -категориальным.${\displaystyle \aleph _{0}}$
2. Для любого натурального числа п , в камне пространство S _п ( Т ) конечно.
3. Для любого натурального числа n количество формул φ ( x ₁ , ..., x _n ) от n свободных переменных с точностью до эквивалентности по модулю T конечно.

Этот результат независимо от Энгелера , Рылля -Нардзевского и Свенониуса иногда называют теоремой Рылля-Нардзевского .

Кроме того, -категорические теории и их счетные модели имеют сильную связь с олигоморфными группами . Их часто строят как пределы Фраиссе .${\displaystyle \aleph _{0}}$

В высшей степени нетривиальный результат Майкла Морли о том, что (для счетных языков) существует только одно понятие несчетной категоричности, стал отправной точкой для современной теории моделей, и в частности теории классификации и теории устойчивости:

Теорема Морли о категоричности

Если теория первого порядка T в конечной или счетной сигнатуре является κ-категоричной для некоторого несчетного кардинала κ, то T является κ-категоричной для всех несчетных кардиналов κ.

Бесчисленно категоричные (т. Е. Κ-категоричные для всех бесчисленных кардиналов κ) теории со многих точек зрения являются наиболее приемлемыми теориями. Теория, которая является одновременно -категоричной и бесчисленно категоричной, называется полностью категоричной .${\displaystyle \aleph _{0}}$

Теория множеств [ править ]

Теория множеств (выраженная на счетном языке), если она непротиворечива, имеет счетную модель; это известно как парадокс Сколема , поскольку в теории множеств есть предложения, которые постулируют существование бесчисленных множеств, и тем не менее эти предложения верны в нашей счетной модели. В частности, доказательство независимости гипотезы континуума требует рассмотрения множеств в моделях, которые кажутся несчетными, если смотреть изнутри модели, но которые могут быть подсчитаны кем-то за пределами модели.

Теоретико-модельная точка зрения оказалась полезной в теории множеств ; например , в Курта Гёделя работы о присуждении конструктивной вселенной, которая, наряду с методом форсирование , разработанный Полом Коэном можно показать , доказать (снова философски интересным) независимость от аксиомы выбора и гипотезы континуума от других аксиом теории множеств.

С другой стороны, сама теория моделей может быть формализована в рамках теории множеств ZFC. Развитие основ теории моделей (таких как теорема компактности) опирается на аксиому выбора, или, точнее, теорему о булевом простом идеале. Другие результаты в теории моделей зависят от теоретико-множественных аксиом, выходящих за рамки стандартной структуры ZFC. Например, если гипотеза континуума верна, то каждая счетная модель обладает сверхмощью, которая является насыщенной (по своей мощности). Точно так же, если гипотеза обобщенного континуума верна, то каждая модель имеет насыщенное элементарное расширение. Ни один из этих результатов нельзя доказать только с помощью ZFC. Наконец, было показано, что некоторые вопросы, возникающие из теории моделей (например, компактность для бесконечных логик), эквивалентны аксиомам больших кардиналов.

Другие основные понятия [ править ]

Сокращения и расширения [ править ]

Поле или векторное пространство можно рассматривать как (коммутативную) группу, просто игнорируя часть его структуры. Соответствующее понятие в теории моделей - это редукция структуры к подмножеству исходной сигнатуры. Противоположное отношение называется расширением - например, (аддитивная) группа рациональных чисел , рассматриваемая как структура в сигнатуре {+, 0}, может быть расширена до поля с сигнатурой {×, +, 1,0} или в упорядоченную группу с подписью {+, 0, <}.

Аналогично, если σ '- сигнатура, расширяющая другую сигнатуру σ, то полная σ'-теория может быть ограничена на σ, пересекая множество ее предложений с множеством σ-формул. И наоборот, полную σ-теорию можно рассматривать как σ'-теорию, и ее можно расширить (более чем одним способом) до полной σ'-теории. К этому отношению иногда также применяются термины редукция и расширение.

Интерпретируемость [ править ]

Учитывая математическую структуру, очень часто существуют связанные структуры, которые могут быть построены как частное части исходной структуры через отношение эквивалентности. Важный пример - фактор-группа группы.

Можно сказать, что для понимания полной структуры нужно понимать эти коэффициенты. Когда отношение эквивалентности определимо, мы можем придать предыдущему предложению точное значение. Мы говорим, что эти структуры интерпретируемы .

Ключевым фактом является то, что можно переводить предложения с языка интерпретируемых структур на язык исходной структуры. Таким образом, можно показать, что если структура M интерпретирует другую, теория которой неразрешима , то сама M неразрешима.

Использование теорем компактности и полноты [ править ]

Теорема Гёделя о полноте (не путать с его теоремами о неполноте ) говорит, что теория имеет модель тогда и только тогда, когда она непротиворечива , т.е. теория не доказывает никакого противоречия. Это суть теории моделей, поскольку она позволяет нам отвечать на вопросы о теориях, глядя на модели, и наоборот. Не следует путать теорему о полноте с понятием полной теории. Полная теория - это теория, которая содержит каждое предложение или его отрицание. Важно отметить, что можно найти полную непротиворечивую теорию, расширяющую любую непротиворечивую теорию. Однако, как показывают теоремы Гёделя о неполноте, только в относительно простых случаях можно будет иметь полную непротиворечивую теорию, которая также является рекурсивной., т.е. это может быть описано рекурсивно перечислимым набором аксиом. В частности, теория натуральных чисел не имеет рекурсивной полной и непротиворечивой теории. Нерекурсивна теории мало практической пользы, так как она неразрешима , если предложенная аксиома действительно является аксиомой, что делает доказательства проверки на сверхзадачу .

Теорема компактности утверждает, что множество предложений S выполнимо, если каждое конечное подмножество S выполнимо. В контексте теории доказательств аналогичное утверждение тривиально, поскольку каждое доказательство может иметь только конечное число антецедентов, используемых в доказательстве. Однако в контексте теории моделей это доказательство несколько сложнее. Есть два хорошо известных доказательства, одно Гёделя (которое проходит через доказательства), а второе Мальцева (которое является более прямым и позволяет нам ограничить мощность результирующей модели).

Теория моделей обычно связана с логикой первого порядка , и многие важные результаты (такие как теоремы о полноте и компактности) терпят неудачу в логике второго порядка или других альтернативах. В логике первого порядка все бесконечные кардиналы выглядят одинаково для счетного языка . Это выражено в теоремах Левенгейма – Сколема , которые утверждают, что любая счетная теория с бесконечной моделью имеет модели всех бесконечных мощностей (по крайней мере, модели языка), которые согласуются со всеми предложениями, т.е. они « элементарно эквивалентны ».${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

Типы [ править ]

Зафиксируйте -структуру и натуральное число . Множество определимых подмножеств некоторых параметров является булевой алгеброй . По теореме Стоуна о представлении булевых алгебр к этому есть естественное двойственное понятие. Можно рассматривать это как топологическое пространство, состоящее из максимальных непротиворечивых множеств формул над . Мы называем это пространство ( в комплекте) - типы более , и писать .${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S_{n}(A)}$

Теперь рассмотрим элемент . Тогда набор всех формул с параметрами в свободных переменных так, чтобы он был непротиворечивым и максимальным. Это называется тип из за кадром .${\displaystyle m\in M^{n}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle M\models \phi (m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$

Можно показать , что для любого -типа , существует некоторое элементарное расширение в и некоторые , так что это тип более .${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a\in N^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$

Многие важные свойства в теории моделей могут быть выражены с помощью типов. Далее многие доказательства проходят через построение моделей с элементами, которые содержат элементы с определенными типами, а затем с использованием этих элементов.

Наглядный пример: Предположим , это алгебраически замкнутое поле . В теории есть кванторное исключение. Это позволяет нам показать, что тип определяется в точности содержащимися в нем полиномиальными уравнениями. Таким образом, пространство -типы над подполом является биективно с множеством простых идеалов в кольце многочленов . Это тот же самый набор как спектр в . Однако обратите внимание, что топология, рассматриваемая в пространстве типов, является конструируемой топологией : набор типов является базовым открытым, если он имеет форму или форму . Это лучше, чем топология Зарисского.${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle \{p:f(x)=0\in p\}}$${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$.

История [ править ]

Теория моделей как предмет существует примерно с середины 20 века. Однако некоторые более ранние исследования, особенно в области математической логики , в ретроспективе часто рассматриваются как имеющие теоретико-модельный характер. Первый значительный результат в том, что теперь модели теории была особый случаем нисходящей теоремы Löwenheim-сколемовской , опубликованный Леопольд Löwenheim в 1915 годе компактность теорема была заложенной в работе Thoralf Сколемого , ^[5] , но она была впервые опубликована в 1930 году , как лемма в доказательстве Курта Гёделя его теоремы о полноте. Теорема Левенгейма – Сколема и теорема компактности получили свои общие формы в 1936 и 1941 годах от Анатолия Мальцева .

Развитие теории моделей можно проследить до Альфреда Тарского , члена львовско-варшавской школы во время межвоенного периода . Работа Тарского включала , среди прочего, логическое следствие , дедуктивные системы , алгебру логики, теорию определимости и семантическое определение истины . Его семантические методы достигли высшей точки в теории моделей, которую он и несколько его учеников из Беркли разработали в 1950-х и 60-х годах. Эти современные концепции теории моделей повлияли на программу Гильберта ^{[ требуется пояснение ]} и на современную математику.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Канонические учебники [ править ]

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основам математики (3-е изд.). Эльзевир. ISBN 978-0-444-88054-3.
• Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модельная теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-58713-6.
• Копперман Р. (1972). Теория моделей и ее приложения . Бостон: Аллин и Бэкон .
• Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: Введение . Тексты для выпускников по математике 217. Springer. ISBN 0-387-98760-6.

Другие учебники [ править ]

• Белл, Джон Л .; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (перепечатка изд. 1974 г.). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3.
• Эббингаус, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг; Томас, Вольфганг (1994). Математическая логика . Springer . ISBN 0-387-94258-0.
• Хинман, Питер Г. (2005). Основы математической логики . А.К. Петерс . ISBN 1-56881-262-0.
• Ходжес, Уилфрид (1993). Теория моделей . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-30442-3.
• Манзано, Мария (1999). Теория моделей . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853851-0.
• Poizat, Бруно (2000). Курс теории моделей . Springer. ISBN 0-387-98655-3.
• Раутенберг, Вольфганг (2010). Краткое введение в математическую логику (3-е изд.). Нью-Йорк : Springer Science + Business Media . DOI : 10.1007 / 978-1-4419-1221-3 . ISBN 978-1-4419-1220-6.
• Ротмалер, Филипп (2000). Введение в теорию моделей (новое изд.). Тейлор и Фрэнсис . ISBN 90-5699-313-5.
• Палатка, Катрин ; Зиглер, Мартин (2012). Курс теории моделей . Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521763240.
• Кирби, Джонатан (2019). Приглашение к модельной теории . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-107-16388-1.

Бесплатные онлайн-тексты [ править ]

• Chatzidakis, Zoé (2001). Введение в теорию моделей (PDF) . С. 26 стр.
• Пиллэй, Ананд (2002). Конспект лекций - Теория моделей (PDF) . 61 стр.
• "Теория моделей" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Ходжес, Уилфрид , Теория моделей . Стэнфордская энциклопедия философии, Э. Залта (ред.).
• Ходжес, Уилфрид , Теория моделей первого порядка . Стэнфордская энциклопедия философии, Э. Залта (ред.).
• Симмонс, Гарольд (2004), Введение в старомодную теорию моделей . Конспект вводного курса для аспирантов (с упражнениями).
• Дж. Барвайз и С. Феферман (редакторы), Теоретико-модельная логика , Перспективы математической логики, том 8, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1985.

Внешние ссылки [ править ]

• Карта Вселенной - небольшая база теорий и ее свойств.