Универсальная алгебра

Универсальная алгебра (иногда называемая общей алгеброй ) - это область математики , изучающая сами алгебраические структуры , а не примеры («модели») алгебраических структур. Например, в универсальной алгебре вместо того, чтобы рассматривать отдельные группы в качестве объекта исследования, в качестве объекта исследования берется класс групп .

Основная идея [ править ]

В универсальной алгебре, алгебра (или алгебраическая структура ) представляет собой множество вместе с коллекцией операций на A . П - арной операции на А является функцией , которая принимает п элементов А и возвращает один элемент из A . Таким образом, нулевая операция (или нулевая операция ) может быть представлена ​​просто как элемент A или константа , часто обозначаемая буквой, например a . 1-арная операция (или унарная операция ) - это просто функция от A до A , часто обозначаемая символом, помещенным перед ее аргументом, например ~ x . Двухзначная операция (или двоичная операция ) часто обозначается символом, помещенным между ее аргументами, например x  ∗  y . Операции с более высокой или неопределенной арностью обычно обозначаются функциональными символами с аргументами, помещенными в круглые скобки и разделенными запятыми, например f ( x , y , z ) или f ( x ₁ , ..., x _n ). Некоторые исследователи допускают бесконечнооперации, такие как где J - бесконечное множество индексов , что приводит к алгебраической теории полных решеток . Таким образом, можно говорить об алгебре, называя ее алгеброй определенного типа , где - упорядоченная последовательность натуральных чисел, представляющая арность операций алгебры.${\ displaystyle \ textstyle \ bigwedge _ {\ alpha \ in J} x _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega}$

Уравнения [ править ]

После того, как операции были определены, природа алгебры дополнительно определяется аксиомами , которые в универсальной алгебре часто принимают форму тождеств или законов уравнений. Примером может служить ассоциативная аксиома для бинарной операции, которая задается уравнением x  ∗ ( y  ∗  z ) = ( x  ∗  y ) ∗  z . Аксиомой предназначен для удержания для всех элементов х , у и г множества А .

Разновидности [ править ]

Набор алгебраических структур, определяемых тождествами, называется многообразием или эквациональным классом . Некоторые авторы считают многообразия основным направлением универсальной алгебры. ^{[ необходима цитата ]}

Ограничение изучения разновидностями исключает:

• количественная оценка , в том числе универсальная количественная оценка ( ), кроме перед уравнением, и количественная оценка существования ( ), а также логика предикатов${\ displaystyle \ forall}$${\ Displaystyle \ существует}$
• отношения, отличные от равенства, в частности, неравенства , как a ≠ b, так и отношения порядка

Изучение эквациональных классов можно рассматривать как особый раздел теории моделей , обычно имеющий дело со структурами, имеющими только операции (т. Е. Тип может иметь символы для функций, но не для отношений, отличных от равенства), и в котором язык, используемый для обсуждения в этих структурах используются только уравнения.

Не все алгебраические структуры в широком смысле попадают в эту область. Например, упорядоченные группы включают отношение упорядочения, поэтому не подпадают под эту область.

Класс полей не является эквациональным классом, потому что не существует типа (или "сигнатуры"), в котором все законы поля могут быть записаны в виде уравнений (инверсии элементов определены для всех ненулевых элементов в поле, поэтому инверсия не может быть добавлен к типу).

Одним из преимуществ этого ограничения является то, что структуры, изучаемые в универсальной алгебре, могут быть определены в любой категории , имеющей конечные продукты . Например, топологическая группа - это просто группа в категории топологических пространств .

Примеры [ править ]

Большинство обычных алгебраических систем математики являются примерами разнообразия, но не всегда очевидным образом, поскольку обычные определения часто включают количественную оценку или неравенства.

Группы [ править ]

В качестве примера рассмотрим определение группы . Обычно группа определяется в терминах одной бинарной операции ∗ с учетом аксиом:

• Ассоциативность (как в предыдущем разделе ): x  ∗ ( y  ∗  z ) = ( x  ∗  y ) ∗  z ; формально: ∀ x , y , z . x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z .
• Элемент идентичности : существует такой элемент e , что для каждого элемента x выполняется e  ∗  x   =  x   =  x  ∗  e ; формально: ∃ e ∀ x . е * х = х = х * е .
• Обратный элемент : легко заметить, что элемент идентичности уникален, и его обычно обозначают буквой e . Тогда для каждого x существует элемент i такой, что x  ∗  i   =  e   =  i  ∗  x ; формально: ∀ x ∃ i . х * я = е = я * х .

(Некоторые авторы также используют аксиому « замыкания », согласно которой x  ∗  y принадлежит A всякий раз, когда это делают x и y , но здесь это уже подразумевается вызовом ∗ бинарной операцией.)

Это определение группы не сразу соответствует точке зрения универсальной алгебры, потому что аксиомы тождественного элемента и инверсии не сформулированы исключительно в терминах эквациональных законов, которые универсально выполняются «для всех ...» элементов, но также включают экзистенциальный квантор «существует ...». Групповые аксиомы можно сформулировать как универсальные количественные уравнения, указав, помимо бинарной операции ∗, нулевую операцию e и унарную операцию ~, причем ~ x обычно записывается как x ⁻¹ . Аксиомы становятся:

• Ассоциативность: x ∗ ( y ∗ z ) =  ( x ∗ y ) ∗ z .
• Элемент идентичности: e ∗ x  =  x  =  x ∗ e ; формально: ∀ x . е * х = х = х * е .
• Обратный элемент: x ∗ (~ x ) =  e  =  (~ x ) ∗ x   формально: ∀ x . х * ~ х = е = ~ х * х .

Подводя итог, обычное определение имеет:

• одна бинарная операция ( подпись (2))
• 1 эквациональный закон (ассоциативность)
• 2 количественных закона (тождество и обратный)

в то время как определение универсальной алгебры имеет:

• 3 операции: одна двоичная, одна унарная и одна нулевая ( подпись (2,1,0))
• 3 эквациональных закона (ассоциативность, тождество и обратный)
• нет количественных законов (кроме крайних универсальных кванторов, которые разрешены в разновидностях)

Ключевым моментом является то, что дополнительные операции не добавляют информацию, а однозначно следуют из обычного определения группы. Хотя обычное определение не определяет однозначно элемент идентичности e , простое упражнение показывает, что он уникален, как и каждый обратный элемент .

Точка зрения универсальной алгебры хорошо адаптирована к теории категорий. Например, при определении группового объекта в теории категорий, где рассматриваемый объект может не быть набором, необходимо использовать законы уравнений (которые имеют смысл в общих категориях), а не количественные законы (которые относятся к отдельным элементам). Далее обратное и тождество указываются как морфизмы в категории. Например, в топологической группе обратное должно не только существовать поэлементно, но и давать непрерывное отображение (морфизм). Некоторые авторы также требуют, чтобы карта идентичности была замкнутым включением ( кофибрациями ).

Другие примеры [ править ]

Большинство алгебраических структур являются примерами универсальных алгебр.

• Кольца , полугруппы , квазигруппы , группоиды , магмы , петли и другие.
• Векторные пространства над фиксированным полем и модули над фиксированным кольцом являются универсальными алгебрами. У них есть двоичное сложение и семейство унарных операторов скалярного умножения, по одному для каждого элемента поля или кольца.

Примеры реляционных алгебр включают полурешетки , решетки и булевы алгебры .

Основные конструкции [ править ]

Мы предполагаем, что тип, был исправлен. Тогда в универсальной алгебре есть три основных конструкции: гомоморфный образ, подалгебра и произведение.${\ displaystyle \ Omega}$

Гомоморфизм между двумя алгебры A и B является функцией ч :  →  B из множества А до множества В такое , что для каждой операции ф _А А и соответствующая F _B из B (арности, скажем, п ), ч ( f _A ( x ₁ , ..., x _n )) = f _B ( h ( x ₁ ), ..., h ( x _n )). (Иногда индексы нае снимаются , когда это ясно из контекста, алгебры функция от.) Например, если е является константой (нульарной операция), то ч ( е ) =  е _В . Если ~ - унарная операция, то h (~ x ) = ~ h ( x ). Если ∗ - бинарная операция, то h ( x  ∗  y ) = h ( x ) ∗  h ( y). И так далее. Некоторые вещи, которые можно сделать с помощью гомоморфизмов, а также определения некоторых специальных видов гомоморфизмов перечислены в разделе Гомоморфизм . В частности, мы можем взять гомоморфный образ алгебры h ( A ).

Подалгебра А является подмножеством А , замкнутое относительно всех операций А . Произведение некоторого набора алгебраических структур - декартово произведение множеств с операциями, определенными покоординатно.

Некоторые основные теоремы [ править ]

• В изоморфизм теоремы , которые охватывают теоремы изоморфизма группы , кольца , модули и т.д.
• Теорема Биркгофа HSP , которая утверждает, что класс алгебр является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно гомоморфных образов, подалгебр и произвольных прямых произведений.

Мотивы и приложения [ править ]

В дополнение к объединяющему подходу универсальная алгебра также дает глубокие теоремы, важные примеры и контрпримеры. Он обеспечивает полезную основу для тех, кто намеревается начать изучение новых классов алгебр. Это может позволить использовать методы, изобретенные для некоторых конкретных классов алгебр, для других классов алгебр, путем преобразования методов в терминах универсальной алгебры (если возможно), а затем их интерпретации применительно к другим классам. Он также дал концептуальное разъяснение; как говорит Дж.Д.Х. Смит: «То , что выглядит запутанным и сложным в конкретной структуре, может оказаться простым и очевидным в правильной общей».

В частности, универсальная алгебра может быть применена к изучению моноидов , колец и решеток . До появления универсальной алгебры многие теоремы (в первую очередь теоремы об изоморфизме ) были доказаны отдельно во всех этих классах, но с универсальной алгеброй они могут быть доказаны раз и навсегда для всех видов алгебраических систем.

Статья Хиггинса 1956 года, на которую ссылается ниже, была хорошо развита с точки зрения ее структуры для ряда конкретных алгебраических систем, в то время как его статья 1963 года примечательна обсуждением алгебр с операциями, которые определены только частично, типичными примерами для этого являются категории и группоиды. . Это приводит к предмету многомерной алгебры, которую можно определить как изучение алгебраических теорий с частичными операциями, области которых определены в геометрических условиях. Яркими примерами этого являются различные формы многомерных категорий и группоидов.

Проблема удовлетворения ограничений [ править ]

Универсальная алгебра обеспечивает естественный язык для проблемы удовлетворения ограничений (CSP) . СНТ относится к важному классу вычислительных задач , где, учитывая реляционную алгебру A и экзистенциальное предложение по этой алгебре, вопрос в том , чтобы выяснить , может быть удовлетворена в A . Алгебра A часто фиксирована, так что CSP _A относится к проблеме, примером которой является только экзистенциальное предложение .${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

Доказано , что каждая вычислительная задача может быть сформулирована как НСП _А для некоторой алгебры A .

Например, проблема n- раскраски может быть сформулирована как CSP алгебры , то есть алгебры с элементами и одним отношением, неравенством.${\ displaystyle {\ big (} \ {0,1, \ dots, n-1 \}, \ neq {\ big)}}$${\ displaystyle n}$

Гипотеза дихотомии (доказанная в апреле 2017 г.) утверждает, что если A конечная алгебра, то CSP _A либо P, либо NP-полная . ^[1]

Обобщения [ править ]

Универсальная алгебра также изучалась с использованием методов теории категорий . В этом подходе вместо написания списка операций и уравнений, которым подчиняются эти операции, можно описать алгебраическую структуру, используя категории особого вида, известные как теории Ловера или, в более общем смысле, алгебраические теории . В качестве альтернативы можно описывать алгебраические структуры с помощью монад . Эти два подхода тесно связаны, и у каждого из них есть свои преимущества. ^[2]В частности, каждая теория Ловера дает монаду категории множеств, в то время как любая «конечная» монада категории множеств возникает из теории Ловера. Однако монада описывает алгебраические структуры внутри одной конкретной категории (например, категории множеств), в то время как алгебраические теории описывают структуру внутри любого большого класса категорий (а именно категорий, имеющих конечные продукты ).

Более поздним развитием теории категорий является теория операд  - операда - это набор операций, подобных универсальной алгебре, но ограниченный тем, что уравнения разрешены только между выражениями с переменными, без дублирования или пропуска переменных. Таким образом, кольца можно описать как так называемые «алгебры» некоторой операды, но не группы, так как закон дублирует переменную g в левой части и пропускает ее в правой части. Сначала это может показаться неприятным ограничением, но выигрыш в том, что операды имеют определенные преимущества: например, можно гибридизировать концепции кольца и векторного пространства, чтобы получить концепцию ассоциативной алгебры.${\ displaystyle gg ^ {- 1} = 1}$, но нельзя образовать подобный гибрид понятий группы и векторного пространства.

Другое развитие - частичная алгебра, где операторы могут быть частичными функциями . С некоторыми частичными функциями можно также обращаться с помощью обобщения теорий Ловера, известных как по существу алгебраические теории . ^[3]

Еще одно обобщение универсальной алгебры - теория моделей , которую иногда называют «универсальная алгебра + логика». ^[4]

История [ править ]

В книге Альфреда Норта Уайтхеда « Трактат по универсальной алгебре», опубликованной в 1898 году, термин универсальная алгебра имел по существу то же значение, что и сегодня. Уайтхед приписывает Уильяму Роуэну Гамильтону и Августу Де Моргану авторов предмета, а Джеймсу Джозефу Сильвестру - создание самого термина. ^{[5] : v}

В то время такие структуры, как алгебры Ли и гиперболические кватернионы, привлекли внимание к необходимости расширения алгебраических структур за пределы ассоциативно мультипликативного класса. В обзоре Александр Макфарлейн писал: «Основная идея работы заключается не в объединении нескольких методов и не в обобщении обычной алгебры с целью их включения, а в сравнительном изучении нескольких их структур». ^[6] В то время логическая алгебра Джорджа Буля была сильным противовесом обычной числовой алгебре, поэтому термин «универсальный» служил для успокоения напряженных чувств.

Ранние работы Уайтхед стремились унифицировать кватернионы (из - за Гамильтон), грассманы «s Ausdehnungslehre и алгебру Буля логики. Уайтхед писал в своей книге:

«Такие алгебры имеют внутреннюю ценность для отдельного подробного изучения; также они достойны сравнительного изучения ради света, проливаемого таким образом на общую теорию символических рассуждений и, в частности, на алгебраический символизм. Сравнительное исследование обязательно предполагает некоторые предыдущие отдельное изучение, сравнение невозможно без знания ». ^[5]

Уайтхед, однако, не дал результатов общего характера. Работа по этой теме была минимальной до начала 1930-х годов, когда Гаррет Биркгоф и Ойстейн Оре начали публиковать публикации по универсальным алгебрам. Развитие метаматематики и теории категорий в 1940-х и 1950-х годах способствовало развитию этой области, особенно работы Абрахама Робинсона , Альфреда Тарского , Анджея Мостовского и их учеников. ^[7]

В период между 1935 и 1950 годами большинство статей было написано в соответствии с направлениями, предложенными статьями Биркгофа, касающимися свободных алгебр , решеток конгруэнций и подалгебр и теорем о гомоморфизмах. Хотя развитие математической логики сделало возможными приложения к алгебре, они появлялись медленно; результаты, опубликованные Анатолием Мальцевым в 1940-х годах, остались незамеченными из-за войны. Лекция Тарского на Международном конгрессе математиков в 1950 году в Кембридже открыла новый период, когда теоретико-модельные аспекты были разработаны, главным образом, самим Тарским, а также Ч. К. Чангом, Леоном Хенкином , Бьярни Йонссоном , Роджером Линдоном и другими.

В конце 1950-х годов Эдвард Марчевский ^[8] подчеркнул важность свободных алгебр, что привело к публикации более 50 работ по алгебраической теории свободных алгебр, написанных самим Марчевским вместе с Яном Мицельским , Владиславом Наркевичем, Витольдом Ниткой, Я. Плонка, С. Свержковский, К. Урбаник и другие.

Начиная с диссертации Уильяма Ловера в 1963 году, методы теории категорий стали важными в универсальной алгебре. ^[9]

См. Также [ править ]

• Алгебра графов
• Термин алгебра
• Клонировать
• Универсальная алгебраическая геометрия
• Простая универсальная алгебра

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бергман, Джордж М., 1998. Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям (изд. Генри Хелсон, 15 The Crescent, Беркли, Калифорния, 94708) 398 стр.  ISBN 0-9655211-4-1 . 
• Биркгоф, Гарретт, 1946. Универсальная алгебра. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques , Университет Торонто Пресс, Торонто, стр. 310–326.
• Беррис, Стэнли Н. и Х. П. Санкаппанавар, 1981. Курс универсальной алгебры Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 Бесплатная онлайн-версия . 
• Кон, Пол Мориц, 1981. Универсальная алгебра . Дордрехт, Нидерланды: D.Reidel Publishing. ISBN 90-277-1213-1 (впервые опубликовано в 1965 г. компанией Harper & Row) 
• Фриз, Ральф и Ральф Маккензи, 1987. Теория коммутаторов для конгруэнтных модульных многообразий , 1-е изд. Серия лекций Лондонского математического общества, 125. Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 0-521-34832-3 . Бесплатное онлайн второе издание  .
• Гретцер, Джордж, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
• Хиггинс, П. Дж. Группы с несколькими операторами . Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 6 (1956), 366–416.
• Хиггинс П. Дж. Алгебры со схемой операторов. Mathematische Nachrichten (27) (1963) 115–132.
• Хобби, Дэвид и Ральф Маккензи, 1988. Структура конечных алгебр Американского математического общества. ISBN 0-8218-3400-2 . Бесплатное онлайн-издание. 
• Джипсен, Питер и Генри Роуз, 1992. Разновидности решеток, конспекты лекций по математике 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8 . Бесплатное онлайн-издание . 
• Пигоцци, Дон. Общая теория алгебр . Бесплатное онлайн-издание.
• Smith, JDH, 1976. Разновидности Мальцева , Springer-Verlag.
• Уайтхед, Альфред Норт , 1898. Трактат по универсальной алгебре , Кембридж. ( В основном представляет исторический интерес. )

Внешние ссылки [ править ]

• Algebra Universalis - журнал, посвященный универсальной алгебре.