Класс групп

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

Класс групп представляет собой набор Теоретической совокупности групп , удовлетворяющих то свойство , что если G находится в коллекции , то каждая группа изоморфна G также находится в коллекции. Эта концепция возникла из-за необходимости работать с группой групп, удовлетворяющих определенному специальному свойству (например, конечности или коммутативности). Поскольку теория множеств не допускает «множество всех групп», необходимо работать с более общим понятием класса .

Определение [ править ]

Класс групп представляет собой совокупность групп , так что если и тогда . Группы в классе называются - группами .${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}} ~}$${\ Displaystyle G \ in {\ mathfrak {X}} ~}$${\ Displaystyle G \ cong H ~}$${\ displaystyle H \ in {\ mathfrak {X}} ~}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}} ~}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {X}}}$

Для набора групп обозначим наименьший класс групп, содержащий . В частности , для группы , обозначает его класс изоморфизма.${\ Displaystyle {\ mathfrak {I}} ~}$${\ displaystyle ({\ mathfrak {I}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {I}}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle (G)}$

Примеры [ править ]

Наиболее распространенные примеры классов групп:

• ${\displaystyle \emptyset }$: пустой класс групп
• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$: класс циклических групп .
• ${\displaystyle {\mathfrak {A}}~}$: класс абелевых групп .
• ${\displaystyle {\mathfrak {U}}~}$: класс конечных сверхразрешимых групп
• ${\displaystyle {\mathfrak {N}}~}$: класс нильпотентных групп
• ${\displaystyle {\mathfrak {S}}~}$: класс конечных разрешимых групп
• ${\displaystyle {\mathfrak {I}}~}$: класс конечных простых групп
• ${\displaystyle {\mathfrak {F}}~}$: класс конечных групп
• ${\displaystyle {\mathfrak {G}}~}$: класс всех групп

Произведение классов групп [ править ]

Даны два класса групп и определено произведение классов${\displaystyle {\mathfrak {X}}~}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}~}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}~=(G|G{\text{ has a normal subgroup }}N\in {\mathfrak {X}}{\text{ with }}G/N\in {\mathfrak {Y}})}$

Эта конструкция позволяет нам рекурсивно определять мощность класса , задавая

${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{0}=(1)}$ а также ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{n}={\mathfrak {X}}^{n-1}{\mathfrak {X}}}$

Следует отметить, что эта бинарная операция над классом классов групп не является ни ассоциативной, ни коммутативной . Например, рассмотрим переменную группу степени 4 (и порядка 12); эта группа принадлежит к классу, потому что она имеет в качестве подгруппы группу, к которой принадлежит и, более того, которая находится в . Однако не имеет нетривиальной нормальной циклической подгруппы, поэтому . Тогда .${\displaystyle ({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$${\displaystyle V_{4}}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}}$${\displaystyle A_{4}/V_{4}\cong C_{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$${\displaystyle A_{4}}$${\displaystyle A_{4}\not \in {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}})\not =({\mathfrak {C}}{\mathfrak {C}}){\mathfrak {C}}}$

Однако Несложно из определения следует, что для любых трех классов групп , и ,${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Z}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}({\mathfrak {Y}}{\mathfrak {Z}})\subseteq ({\mathfrak {X}}{\mathfrak {Y}}){\mathfrak {Z}}}$

Карты классов и операции закрытия [ править ]

Карта класса с является карта , которая присваивает класс групп к другому классу групп . Карта классов называется операцией замыкания, если она удовлетворяет следующим свойствам:${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle c{\mathfrak {X}}}$

1. c обширен:${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {X}}}$
2. с является идемпотентным :${\displaystyle c{\mathfrak {X}}=c(c{\mathfrak {X}})}$
3. c монотонен: если то${\displaystyle {\mathfrak {X}}\subseteq {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle c{\mathfrak {X}}\subseteq c{\mathfrak {Y}}}$

Некоторые из наиболее распространенных примеров операций закрытия:

• ${\displaystyle S{\mathfrak {X}}=(G|G\leq H,\ H\in {\mathfrak {X}})}$
• ${\displaystyle Q{\mathfrak {X}}=(G|{\text{exists }}H\in {\mathfrak {X}}{\text{ and an epimorphism from }}H{\text{ to }}G)}$
• ${\displaystyle N_{0}{\mathfrak {X}}=(G|{\text{ exists }}K_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ subnormal in }}G{\text{ with }}K_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ and }}G=\langle K_{1},\cdots ,K_{r}\rangle )}$
• ${\displaystyle R_{0}{\mathfrak {X}}=(G|{\text{ exists }}N_{i}\ (i=1,\cdots ,r){\text{ normal in }}G{\text{ with }}G/N_{i}\in {\mathfrak {X}}{\text{ and }}\bigcap \limits _{i=1}^{r}Ni=1)}$
• ${\displaystyle S_{n}{\mathfrak {X}}=(G|G{\text{ is subnormal in }}H{\text{ for some }}H\in {\mathfrak {X}})}$

Ссылки [ править ]

• Баллестер-Болинчес, Адольфо; Эскерро, Луис М. (2006), Классы конечных групп , математика и ее приложения (Springer), 584 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-4718-3, MR  2241927
• Дерк, Клаус; Хоукс, Тревор (1992), Конечные разрешимые группы , Выставки де Грюйтера по математике, 4 , Берлин: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-012892-5, Руководство по ремонту  1169099

См. Также [ править ]

Формирование