Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( июнь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В теории групп , разделе математики , для данной группы G при бинарной операции ∗ подмножество H в G называется подгруппой в G, если H также образует группу при операции ∗. Точнее, Н является подгруппой G , если ограничение на * до H × H является операцией группы на H . Обычно это обозначается H ≤ G , читается как « H - подгруппа G".
Единичная подгруппа любой группы является подгруппой { х } , состоящей только из единичного элемента.
Собственная подгруппа группы G является подгруппой Н , которая является собственное подмножество из G (то есть, H ≠ G ). Обычно это обозначается как H < G , читается как « H - собственная подгруппа G ». Некоторые авторы также исключают тривиальную группу из собственной (то есть H ≠ { e }). [1] [2]
Если Н является подгруппой группы G , то G иногда называют надгруппа из H .
Те же определения применяются в более общем случае, когда G - произвольная полугруппа , но эта статья будет иметь дело только с подгруппами групп. Группу G иногда обозначают упорядоченной парой ( G , ∗) , обычно для того, чтобы подчеркнуть операцию ∗, когда G содержит несколько алгебраических или других структур.
Основные свойства подгрупп [ править ]
- Подмножество H группы G является подгруппой G тогда и только тогда, когда оно непусто и замкнуто относительно произведений и обратных. (Условия замыкания означают следующее: всякий раз, когда a и b находятся в H , тогда ab и a −1 также находятся в H. Эти два условия могут быть объединены в одно эквивалентное условие: когда a и b находятся в H , тогда ab −1 также находится в H. ) В случае, когда H конечно, то Hявляется подгруппой тогда и только тогда, когда H замкнута относительно произведений. (В этом случае каждый элемент a группы H порождает конечную циклическую подгруппу группы H , и тогда обратный элемент a равен a −1 = a n −1 , где n - порядок a .)
- Вышеупомянутое условие можно сформулировать в терминах гомоморфизма ; то есть, Н является подгруппой группы G тогда и только тогда , когда Н является подмножеством G и существует гомоморфизм включения (то есть, я ( ) = для каждого а ) от H до G .
- Идентичность подгруппы является единицей группы: если G является группой с единицей х G и Н является подгруппой группы G с единицей й Н , то е Н = е G .
- Обратный элемент в подгруппе является обратным по отношению к элементу в группе: если Н является подгруппой группы G , и и б являются элементами H , такой , что AB = ба = е Н , то AB = ба = е G .
- Пересечение подгрупп A и B является снова подгруппой. [3] объединением подгрупп A и B является подгруппой тогда и только тогда , когда либо или Б содержит другой, так как , например , 2 и 3 находятся в союзе 2Z и 3Z , но их сумма 5 не является. Другой пример - объединение оси x и оси y на плоскости (с операцией сложения); каждый из этих объектов является подгруппой, а их объединение - нет. Это также служит примером двух подгрупп, пересечение которых в точности совпадает.
- Если S является подмножеством G , то существует минимальная подгруппа, содержащая S , которую можно найти, взяв пересечение всех подгрупп, содержащих S ; она обозначается через ⟨ S ⟩ и , как говорят, является подгруппа , порожденная S . Элемент G в ⟨ S ⟩ тогда и только тогда , когда оно является конечным продуктом элементов S и их инверсий.
- Каждый элемент группы G порождает циклическая подгруппа ⟨ ⟩. Если ⟨ ⟩ есть изоморфна к Z / п Z для некоторого положительного целого числа п , то п является наименьшим положительным целым числом , для которого п = е , и п называется порядок из . Если ⟨ ⟩ изоморфна Z , то говорят, есть бесконечный порядок .
- Подгруппы любой данной группы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп . (Хотя нижняя грань здесь является обычным теоретико-множественным пересечением, верхняя грань множества подгрупп - это подгруппа, порожденная теоретико-множественным объединением подгрупп, а не само теоретико-множественное объединение.) Если e является единицей G , то тривиальная группа { e } является минимальной подгруппой в G , а максимальная подгруппа - это сама группа G.
Козеты и теорема Лагранжа [ править ]
Для подгруппы H и некоторого a в G определим левый смежный класс aH = { ah : h в H }. Поскольку a обратимо, отображение φ: H → aH, заданное формулой φ ( h ) = ah, является биекцией . Более того, каждый элемент G содержится ровно в одном левом классе смежности H ; левые смежные классы - это классы эквивалентности, соответствующие отношению эквивалентности a 1 ~ a 2 тогда и только тогда, когда a1 -1 2 в H . Число левых смежных классов H называется индексом из H в G и обозначается [ G : H ].
Теорема Лагранжа утверждает , что для конечной группы G и подгруппы H ,
где | G | и | H | обозначают порядки групп G и H соответственно. В частности, порядок каждой подгруппы группы G (и порядок каждого элемента группы G ) должен быть делителем | G |, [4] [5]
Правые классы смежности определяются аналогично: Ha = { ha : h в H }. Они также являются классами эквивалентности для подходящего отношения эквивалентности, и их количество равно [ G : H ].
Если aH = Ha для любого a из G , то H называется нормальной подгруппой . Каждая подгруппа индекса 2 является нормальной: левые смежные классы, а также правые смежные классы - это просто подгруппа и ее дополнение. В более общем смысле, если p - младшее простое число, делящее порядок конечной группы G, то любая подгруппа индекса p (если таковая существует) является нормальной.
Пример: подгруппы Z 8 [ править ]
Пусть G - циклическая группа Z 8 , элементы которой равны
и чья групповая операция - сложение по модулю восемь . Его Кэли таблица является
+ | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Эта группа имеет два нетривиальных подгруппы: J = {0,4} и H = {0,2,4,6} , где J также подгруппа H . Таблица Кэли для H является верхний левый квадрант таблицы Кэли для G . Группа G является циклической , и поэтому ее подгруппы. В общем случае подгруппы циклических групп также являются циклическими.
Пример: подгруппы S 4 ( симметрическая группа из 4 элементов) [ править ]
Каждая группа имеет столько же малых подгрупп, сколько нейтральных элементов на главной диагонали:
Единичная группа и два элемента группы Z 2 . Эти небольшие подгруппы не включены в следующий список.
12 элементов [ править ]
8 элементов [ править ]
6 элементов [ править ]
4 элемента [ править ]
3 элемента [ править ]
Другие примеры [ править ]
- Четные целые числа являются подгруппой аддитивной группы целых чисел: когда вы складываете два четных числа, вы получаете четное число.
- Идеал в кольце является подгруппой аддитивной группы .
- Линейное подпространство из векторного пространства является подгруппой аддитивной группы векторов.
- Позвольте быть абелевой группой ; элементы , имеющие конечный период, образуют подгруппу, называемую торсионной подгруппой группы .
См. Также [ править ]
- Подгруппа Картана
- Подгруппа фитингов
- Стабильная подгруппа
- Подгруппа фиксированной точки
- Подгруппа теста
Заметки [ править ]
- ^ Хангерфорд (1974), стр. 32
- ^ Артин (2011), стр. 43 год
- ^ Якобсон (2009), стр. 41 год
- ^ См. Дидактическое доказательство в этом видео .
- ^ Даммит и Фут (2004), стр. 90.
Ссылки [ править ]
- Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1.
- Хангерфорд, Томас (1974), алгебра (1-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
- Артин, Майкл (2011), Алгебра (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 9780132413770.
- Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264 .